पॉल कोहेन

For other people named Paul Cohen, see Paul Cohen (disambiguation). Not to be confused with Paul Cohn.

Paul J. Cohen
जन्म	(1934-04-02)April 2, 1934 Long Branch, New Jersey, U.S.
मर गया	March 23, 2007(2007-03-23) (aged 72) Stanford, California, U.S.
अल्मा मेटर	University of Chicago (MS, PhD)
के लिए जाना जाता है	Cohen forcing Continuum hypothesis
पुरस्कार	Bôcher Prize (1964) Fields Medal (1966) National Medal of Science (1967)
Scientific career
खेत	Mathematics
संस्थानों	Stanford University
Doctoral advisor	Antoni Zygmund
डॉक्टरेट के छात्र	Peter Sarnak

पॉल जोसेफ कोहेन (2 अप्रैल, 1934 - 23 मार्च, 2007) एक अमेरिकी गणितज्ञ थे। वह अपने प्रमाणों के लिए सबसे ज्यादा जाने जाते हैं कि सातत्य परिकल्पना और पसंद का सिद्धांत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है, जिसके लिए उन्हें फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया था। रेफरी>Pearce, Jeremy (2 April 2007). "गणित के अग्रणी पॉल जे. कोहेन का 72 वर्ष की आयु में निधन". NY Times.</ref>

प्रारंभिक जीवन और शिक्षा

कोहेन का जन्म लॉन्ग ब्रांच, न्यू जर्सी में एक यहूदी परिवार में हुआ था, जो अब पोलैंड से संयुक्त राज्य अमेरिका में आकर बस गया था; वह ब्रुकलीन में पले-बढ़े। उन्होंने 1950 में, 16 साल की उम्र में, न्यूयॉर्क शहर के स्टुवेसेंट हाई स्कूल से स्नातक की उपाधि प्राप्त की।

कोहेन ने अगली बार 1950 से 1953 तक ब्रुकलीन कॉलेज में अध्ययन किया, लेकिन जब उन्हें पता चला कि वह केवल दो साल के कॉलेज के साथ शिकागो विश्वविद्यालय में अपनी स्नातक की पढ़ाई शुरू कर सकते हैं, तो उन्होंने स्नातक की डिग्री हासिल किए बिना कॉलेज छोड़ दिया। शिकागो में, कोहेन ने एंटोनी ज़िगमंड की देखरेख में 1954 में गणित में अपनी मास्टर डिग्री और 1958 में डॉक्टर ऑफ फिलॉसफी की डिग्री पूरी की। उनकी डॉक्टरेट थीसिस का शीर्षक त्रिकोणमितीय श्रृंखला की विशिष्टता के सिद्धांत में विषय था।

1957 में, डॉक्टरेट की उपाधि से पहले, कोहेन को एक वर्ष के लिए रोचेस्टर विश्वविद्यालय में गणित में प्रशिक्षक के रूप में नियुक्त किया गया था। इसके बाद उन्होंने प्रिंसटन में उन्नत अध्ययन संस्थान में एक फेलो के रूप में 1959-61 बिताने से पहले शैक्षणिक वर्ष 1958-59 मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था में बिताया। ये वे वर्ष थे जिनमें कोहेन ने कई महत्वपूर्ण गणितीय सफलताएँ हासिल कीं। समूह बीजगणित में गुणनखंडन (1959) में उन्होंने दिखाया कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर कोई भी पूर्णांकीय फ़ंक्शन दो ऐसे कार्यों का कनवल्शन है, जो वाल्टर रुडिन द्वारा प्रस्तुत एक समस्या को हल करता है। में Cohen (1960) उन्होंने लिटिलवुड अनुमान को हल करने में महत्वपूर्ण सफलता हासिल की। कोहेन कला और विज्ञान की अमेरिकी अकादमी के सदस्य थे, यूनाइटेड स्टेट्स राष्ट्रीय विज्ञान अकादमी, और अमेरिकन फिलॉसॉफिकल सोसायटी। 2 जून 1995 को, कोहेन को स्वीडन के उप्साला विश्वविद्यालय में विज्ञान और प्रौद्योगिकी संकाय से मानद उपाधि प्राप्त हुई।

कैरियर

कोहेन को फोर्सिंग (गणित) नामक एक गणितीय तकनीक विकसित करने के लिए जाना जाता है, जिसका उपयोग उन्होंने यह साबित करने के लिए किया था कि न तो सातत्य परिकल्पना (सीएच) और न ही पसंद के स्वयंसिद्ध को सेट सिद्धांत के मानक ज़र्मेलो-फ्रेंकेल एक्सिओम्स (जेडएफ) से साबित किया जा सकता है। कर्ट गोडेल | गोडेल के पहले के काम के संयोजन में, इससे पता चला कि ये दोनों कथन ZF सिद्धांतों की तार्किक स्वतंत्रता हैं: इन कथनों को इन सिद्धांतों से न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत किया जा सकता है। इस अर्थ में, सातत्य परिकल्पना अनिर्णीत है, और यह एक प्राकृतिक कथन का सबसे व्यापक रूप से ज्ञात उदाहरण है जो सेट सिद्धांत के मानक ZF स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है।

सातत्य परिकल्पना पर अपने परिणाम के लिए, कोहेन ने 1966 में गणित में फील्ड्स मेडल और 1967 में विज्ञान का राष्ट्रीय पदक भी जीता। कोहेन ने जो फील्ड्स मेडल जीता, वह 2022 तक गणितीय तर्क में काम के लिए दिया जाने वाला एकमात्र फील्ड्स मेडल बना हुआ है।

सेट सिद्धांत में अपने काम के अलावा, कोहेन ने विश्लेषण में भी कई मूल्यवान योगदान दिए। उन्हें 1964 में गणितीय विश्लेषण में जॉन एडेंसर लिटिलवुड और इडेम्पोटेंट उपायों द्वारा एक अनुमान पर उनके पेपर के लिए बाउचर मेमोरियल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था। और कोहेन-हेविट गुणनखंडन प्रमेय को अपना नाम देता है।

कोहेन स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय में गणित के पूर्ण प्रोफेसर थे। वह 1962 में स्टॉकहोम में और 1966 में मॉस्को में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में आमंत्रित वक्ता थे।

लंदन की क्वीन मैरी यूनिवर्सिटी के एंगस मैकइंटायर ने कोहेन के बारे में कहा: वह अत्यंत चतुर थे, और जिस पॉल को मैं 60 के दशक में जानता था, उसके सामने अपनी 'सबसे कठिन समस्या' रखने के लिए किसी को भोला या असाधारण रूप से परोपकारी होना होगा। उन्होंने कोहेन की तुलना कर्ट गोडेल से करते हुए कहा: विषय के इतिहास में उनके काम से अधिक नाटकीय कुछ भी नहीं हुआ है। गोडेल ने स्वयं 1963 में कोहेन को एक पत्र लिखा था, जिसके एक मसौदे में कहा गया था, मुझे दोहराने दीजिए कि कंट[इनुअम] सम्मोहन [ओथिसिस] की स्वतंत्रता[निर्भरता] के आपके प्रमाण को पढ़ना वास्तव में खुशी की बात है। मुझे लगता है कि सभी आवश्यक पहलुओं में आपने सर्वोत्तम संभव प्रमाण दिया है और ऐसा बार-बार नहीं होता है। आपके प्रूफ़ को पढ़ने का मुझ पर उतना ही सुखद प्रभाव पड़ा जितना किसी सचमुच अच्छे नाटक को देखने का।

सातत्य परिकल्पना

सातत्य परिकल्पना का अध्ययन करते समय, कोहेन को 1985 में यह कहते हुए उद्धृत किया गया था कि उन्हें यह महसूस हुआ था कि लोगों को लगा कि समस्या निराशाजनक है, क्योंकि सेट सिद्धांत के मॉडल बनाने का कोई नया तरीका नहीं था। दरअसल, उन्होंने सोचा कि समस्या के बारे में सोचने के लिए भी आपको थोड़ा पागल होना पड़ेगा।

A point of view which the author [Cohen] feels may eventually come to be accepted is that CH is obviously false. The main reason one accepts the axiom of infinity is probably that we feel it absurd to think that the process of adding only one set at a time can exhaust the entire universe. Similarly with the higher axioms of infinity. Now $\aleph _{1}$ is the cardinality of the set of countable ordinals, and this is merely a special and the simplest way of generating a higher cardinal. The set $C$ [the continuum] is, in contrast, generated by a totally new and more powerful principle, namely the power set axiom. It is unreasonable to expect that any description of a larger cardinal which attempts to build up that cardinal from ideas deriving from the replacement axiom can ever reach $C$.

Thus $C$ is greater than $\aleph _{n},\aleph _{\omega },\aleph _{a}$, where $a=\aleph _{\omega }$, etc. This point of view regards $C$ as an incredibly rich set given to us by one bold new axiom, which can never be approached by any piecemeal process of construction. Perhaps later generations will see the problem more clearly and express themselves more eloquently.

— Cohen (2008)

सातत्य परिकल्पना पर कोहेन के काम का एक स्थायी और शक्तिशाली उत्पाद, और जिसका उपयोग अनगिनत गणितज्ञों द्वारा किया गया हैफ़ोर्सिंग (गणित) के रूप में जाना जाता है| फोर्सिंग, और इसका उपयोग सत्य या असत्य के लिए दी गई परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए गणितीय मॉडल बनाने के लिए किया जाता है।

अपनी मृत्यु से कुछ समय पहले, कोहेन ने 2006 में वियना में गोडेल शताब्दी सम्मेलन में सातत्य परिकल्पना की समस्या के समाधान का वर्णन करते हुए एक व्याख्यान दिया था।

मृत्यु

कोहेन और उनकी पत्नी क्रिस्टीना (नी कार्ल्स) के तीन बेटे थे। फेफड़ों की बीमारी से पीड़ित होने के बाद 23 मार्च 2007 को स्टैनफोर्ड, कैलिफोर्निया में कोहेन की मृत्यु हो गई।

चयनित प्रकाशन

• Cohen, Paul Joseph (1958). "त्रिकोणमितीय श्रृंखला की विशिष्टता के सिद्धांत में विषय" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-07-25. Retrieved 2010-02-19.
• Cohen, Paul Joseph (1960). "लिटिलवुड और निष्क्रिय उपायों के अनुमान पर". Amer. J. Math. 82 (2): 191–212. doi:10.2307/2372731. JSTOR 2372731. MR 0133397.
• Cohen, Paul Joseph (December 1963). "सातत्य परिकल्पना की स्वतंत्रता". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50 (6): 1143–1148. Bibcode:1963PNAS...50.1143C. doi:10.1073/pnas.50.6.1143. PMC 221287. PMID 16578557.
• Cohen, Paul Joseph (January 1964). "सातत्य परिकल्पना की स्वतंत्रता, II". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 51 (1): 105–110. Bibcode:1964PNAS...51..105C. doi:10.1073/pnas.51.1.105. PMC 300611. PMID 16591132.
• Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. सेट सिद्धांत और सातत्य परिकल्पना. Mineola, New York City: Dover Publications. p. 151. ISBN 978-0-486-46921-8.

यह भी देखें

• कोहेन बीजगणित

अग्रिम पठन

• Akihiro Kanamori, "Cohen and Set Theory", The Bulletin of Symbolic Logic, Volume 14, Number 3, Sept. 2008.
• Sarnak, Peter (December 2007). "Remembering Paul Cohen" (PDF). MAA Focus. Washington, DC: Mathematical Association of America. 27 (9): 21–22. ISSN 0731-2040. Retrieved 2009-05-31.

बाहरी संबंध

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Paul Joseph Cohen", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Paul Joseph Cohen at the Mathematics Genealogy Project
• paulcohen.org - a commemorative website celebrating the life of Paul Cohen
• Stanford obituary