बेशुमार सेट

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गणित में, एक बेशुमार सेट (या बेशुमार अनंत सेट) एक अनंत सेट है जिसमें गणनीय सेट होने के लिए बहुत सारे तत्व (गणित) हैं। किसी समुच्चय की बेशुमारता उसके कार्डिनल नंबर से निकटता से संबंधित है: एक सेट बेशुमार है यदि इसकी कार्डिनल संख्या सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट से बड़ी है।

लक्षण वर्णन

बेशुमारता के कई समकक्ष लक्षण हैं। एक सेट एक्स बेशुमार है अगर और केवल अगर निम्न में से कोई भी स्थिति हो:

• प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए X से कोई अंतःक्षेपी फलन (इसलिए कोई आक्षेप नहीं) नहीं है।
• X रिक्त नहीं है और X के तत्वों के प्रत्येक ω-अनुक्रम के लिए, X का कम से कम एक तत्व मौजूद है जो इसमें शामिल नहीं है। अर्थात्, X रिक्त नहीं है और प्राकृतिक संख्याओं से X तक कोई विशेषण फलन नहीं है।
• X की कार्डिनैलिटी न तो परिमित है और न ही इसके बराबर है $\aleph _{0}$ (एलेफ संख्या | एलेफ-नल, प्राकृतिक संख्याओं की प्रमुखता)।
• सेट एक्स में कार्डिनैलिटी सख्ती से अधिक है $\aleph _{0}$.

इन लक्षणों में से पहले तीन को ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना समकक्ष साबित किया जा सकता है, लेकिन तीसरे और चौथे की समानता को अतिरिक्त विकल्प सिद्धांतों के बिना साबित नहीं किया जा सकता है।

गुण

• यदि एक बेशुमार सेट X, सेट Y का सबसेट है, तो Y बेशुमार है।

उदाहरण

बेशुमार समुच्चय का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R है; कैंटर के विकर्ण तर्क से पता चलता है कि यह सेट बेशुमार है। डायगोनलाइजेशन प्रूफ तकनीक का उपयोग यह दिखाने के लिए भी किया जा सकता है कि कई अन्य सेट बेशुमार हैं, जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के सभी अनंत अनुक्रमों का सेट और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के सभी सबसेट का सेट। आर की प्रमुखता को अक्सर सातत्य की प्रमुखता कहा जाता है, और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है ${\mathfrak {c}}$, या $2^{\aleph _{0}}$, या $\beth _{1}$ (सातत्य की प्रमुखता | बेथ-वन)।

कैंटर सेट आर का एक बेशुमार उपसमुच्चय है। कैंटर सेट एक भग्न है और हॉसडॉर्फ आयाम शून्य से अधिक है लेकिन एक से कम है (आर का आयाम एक है)। यह निम्नलिखित तथ्य का एक उदाहरण है: हौसडॉर्फ आयाम के आर के किसी भी उपसमुच्चय को शून्य से अधिक निश्चित रूप से बेशुमार होना चाहिए।

बेशुमार समुच्चय का एक अन्य उदाहरण R से R तक के सभी फलन (गणित) का समुच्चय है। यह समुच्चय इस अर्थ में R से भी अधिक बेशुमार है कि इस समुच्चय की प्रमुखता $\beth _{2}$ (बेथ दो|बेथ-दो), जो इससे बड़ा है $\beth _{1}$.

बेशुमार समुच्चय का एक और सार उदाहरण सभी गणनीय क्रमिक संख्याओं का समुच्चय है, जिसे Ω या ω द्वारा निरूपित किया जाता है₁.Ω की प्रमुखता निरूपित की जाती है $\aleph _{1}$ (एलेफ नंबर | एलेफ-वन)। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि $\aleph _{1}$ सबसे छोटी बेशुमार कार्डिनल संख्या है। इस प्रकार या तो $\beth _{1}$, वास्तविक की कार्डिनैलिटी, के बराबर है $\aleph _{1}$ या यह सख्ती से बड़ा है। क्या के प्रश्न का प्रस्ताव सबसे पहले जॉर्ज कैंटर ने दिया था $\beth _{1}$ के बराबर है $\aleph _{1}$. 1900 में, डेविड हिल्बर्ट ने इस प्रश्न को अपनी हिल्बर्ट की पहली समस्याओं के रूप में प्रस्तुत किया। बयान है कि $\aleph _{1}=\beth _{1}$ अब इसे सातत्य परिकल्पना कहा जाता है, और सेट सिद्धांत (पसंद के स्वयंसिद्ध सहित) के लिए ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र होने के लिए जाना जाता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना

Main article: Dedekind-infinite set

पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना, कार्डिनैलिटी की तुलना मौजूद हो सकती है $\aleph _{0}$ (अर्थात्, डेडेकिंड-परिमित अनंत सेट की कार्डिनैलिटी)। इन कार्डिनैलिटी के सेट उपरोक्त पहले तीन लक्षणों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन चौथे लक्षण वर्णन को नहीं। चूँकि ये सेट कार्डिनैलिटी के अर्थ में प्राकृतिक संख्याओं से बड़े नहीं हैं, इसलिए कुछ लोग इन्हें बेशुमार नहीं कहना चाहेंगे।

यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो निम्नलिखित स्थितियाँ एक कार्डिनल पर होती हैं $\kappa$ समतुल्य हैं:

• $\kappa \nleq \aleph _{0};$
• $\kappa >\aleph _{0};$ और
• $\kappa \geq \aleph _{1}$, कहां $\aleph _{1}=|\omega _{1}|$ और $\omega _{1}$ कम से कम प्रारंभिक क्रमिक से अधिक है $\omega .$

हालाँकि, ये सभी अलग-अलग हो सकते हैं यदि पसंद का स्वयंसिद्ध विफल हो जाता है। इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि कौन सा स्वयंसिद्ध विफल होने पर बेशुमारता का उपयुक्त सामान्यीकरण है। इस मामले में शब्द का उपयोग करने से बचना और इनमें से किसका अर्थ निर्दिष्ट करना सबसे अच्छा हो सकता है।

यह भी देखें

• अलेफ संख्या
• बेथ संख्या
• पहला बेशुमार क्रमसूचक
• इंजेक्शन समारोह

ग्रन्थसूची

• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2

बाहरी कड़ियाँ

• Proof that R is uncountable