हस्ताक्षर (तर्क)

तर्कशास्त्र में, विशेष रूप से गणितीय तर्क में, एक हस्ताक्षर औपचारिक भाषा के गैर-तार्किक प्रतीकों को सूचीबद्ध करता है और उनका वर्णन करता है। सार्वभौमिक बीजगणित में, एक हस्ताक्षर उन कार्यों को सूचीबद्ध करता है जो एक बीजगणितीय संरचना की विशेषता बताते हैं। मॉडल सिद्धांत में, दोनों उद्देश्यों के लिए हस्ताक्षर का उपयोग किया जाता है। तर्क के अधिक दार्शनिक उपचारों में उन्हें शायद ही कभी स्पष्ट किया जाता है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक (एकल-क्रमबद्ध) हस्ताक्षर को 4-टपल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right),$ कहाँ $S_{\operatorname {func} }$ और $S_{\operatorname {rel} }$ असंयुक्त समुच्चय (गणित) हैं जिनमें कोई अन्य बुनियादी तार्किक प्रतीक नहीं हैं, जिन्हें क्रमशः कहा जाता है

फ़ंक्शन प्रतीक (उदाहरण: $+,\times ,0,1$ ),
relation symbol या विधेय (गणितीय तर्क) (उदाहरण: $\,\leq ,\,\in$ ),
स्थिर प्रतीक (उदाहरण: $0,1$ ),

और एक समारोह $\operatorname {ar} :S_{\operatorname {func} }\cup S_{\operatorname {rel} }\to \mathbb {N}$ जो हर फंक्शन या रिलेशन सिंबल को एक प्राकृतिक संख्या प्रदान करता है जिसे arity कहा जाता है। एक समारोह या संबंध प्रतीक कहा जाता है $n$ -आरी अगर इसकी arity है $n.$ कुछ लेखक एक अशक्त परिभाषित करते हैं ( $0$ -ary) फ़ंक्शन प्रतीक को स्थिर प्रतीक के रूप में, अन्यथा निरंतर प्रतीकों को अलग से परिभाषित किया जाता है।

बिना फंक्शन सिंबल वाले सिग्नेचर को 'कहा जाता है'relational signature, और बिना संबंध प्रतीकों वाले हस्ताक्षर को a कहा जाता हैalgebraic signature.^[1] एfinite signature एक हस्ताक्षर ऐसा है $S_{\operatorname {func} }$ और $S_{\operatorname {rel} }$ परिमित समुच्चय हैं। अधिक आम तौर पर, एक हस्ताक्षर की प्रमुखता $\sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)$ परिभाषित किया जाता है $|\sigma |=\left|S_{\operatorname {func} }\right|+\left|S_{\operatorname {rel} }\right|+\left|S_{\operatorname {const} }\right|.$ language of a signature तार्किक प्रणाली में प्रतीकों के साथ उस हस्ताक्षर में प्रतीकों से निर्मित सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का सेट है।

अन्य सम्मेलन

सार्वभौमिक बीजगणित में शब्दtype याsimilarity type को अक्सर हस्ताक्षर के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है। मॉडल सिद्धांत में, एक हस्ताक्षर $\sigma$ अक्सर ए कहा जाता हैvocabulary, या प्रथम-क्रम की भाषा | (प्रथम-क्रम) भाषा से पहचाना जाता है $L$ जिसके लिए यह गैर-तार्किक प्रतीक प्रदान करता है। हालांकि, भाषा की प्रमुखता $L$ हमेशा अनंत रहेगा; अगर $\sigma$ तब परिमित है $|L|$ अलेफ-नॉट होगा | $\aleph _{0}$ .

जैसा कि औपचारिक परिभाषा रोजमर्रा के उपयोग के लिए असुविधाजनक है, एक विशिष्ट हस्ताक्षर की परिभाषा को अक्सर अनौपचारिक तरीके से संक्षिप्त किया जाता है, जैसे:

एबेलियन समूहों के लिए मानक हस्ताक्षर है

\sigma =(+,-,0),

कहाँ

-

एक यूनरी ऑपरेटर है।

कभी-कभी एक बीजगणितीय हस्ताक्षर को सिर्फ एक सूची के रूप में माना जाता है, जैसा कि:

एबेलियन समूहों के लिए समानता प्रकार है

\sigma =(2,1,0).

औपचारिक रूप से यह हस्ताक्षर के फ़ंक्शन प्रतीकों को कुछ इस तरह परिभाषित करेगा

f_{0}

(जो बाइनरी है),

f_{1}

(जो एकात्मक है) और

f_{2}

(जो निरर्थक है), लेकिन वास्तव में इस सम्मेलन के संबंध में भी सामान्य नामों का उपयोग किया जाता है।

गणितीय तर्क में, बहुत बार प्रतीकों को शून्य होने की अनुमति नहीं होती है,^{[citation needed]} ताकि निरंतर प्रतीकों को अशक्त कार्य प्रतीकों के बजाय अलग से व्यवहार किया जाना चाहिए। वे एक सेट बनाते हैं $S_{\operatorname {const} }$ से अलग होना $S_{\operatorname {func} },$ जिस पर आरती कार्य करती है $\operatorname {ar}$ परिभाषित नहीं है। हालांकि, यह केवल जटिल मामलों में कार्य करता है, विशेष रूप से एक सूत्र की संरचना पर प्रेरण द्वारा प्रमाण में, जहां एक अतिरिक्त मामले पर विचार किया जाना चाहिए। कोई भी अशक्त संबंध प्रतीक, जिसे ऐसी परिभाषा के तहत भी अनुमति नहीं है, एक एकल संबंध प्रतीक द्वारा एक वाक्य के साथ अनुकरण किया जा सकता है जो यह व्यक्त करता है कि इसका मान सभी तत्वों के लिए समान है। यह अनुवाद केवल खाली संरचनाओं के लिए विफल रहता है (जो अक्सर सम्मेलन द्वारा बहिष्कृत होते हैं)। यदि अशक्त प्रतीकों की अनुमति है, तो प्रस्तावपरक तर्क का प्रत्येक सूत्र प्रथम-क्रम तर्क का भी एक सूत्र है।

एक अनंत हस्ताक्षर उपयोग के लिए एक उदाहरण $S_{\operatorname {func} }=\{+\}\cup \left\{f_{a}:a\in F\right\}$ और $S_{\operatorname {rel} }=\{=\}$ एक अनंत अदिश क्षेत्र पर सदिश स्थान के बारे में व्यंजकों और समीकरणों को औपचारिक रूप देने के लिए $F,$ जहां प्रत्येक $f_{a}$ द्वारा अदिश गुणन की एकात्मक संक्रिया को दर्शाता है $a.$ इस तरह, सिग्नेचर और लॉजिक को सिंगल-सॉर्ट किया जा सकता है, जिसमें वेक्टर्स ही सॉर्ट होते हैं।^[2]

तर्क और बीजगणित में हस्ताक्षरों का प्रयोग

प्रथम-क्रम तर्क के संदर्भ में, हस्ताक्षर में प्रतीकों को गैर-तार्किक प्रतीकों के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि तार्किक प्रतीकों के साथ मिलकर वे अंतर्निहित वर्णमाला बनाते हैं, जिस पर दो औपचारिक भाषाओं को अनिवार्य रूप से परिभाषित किया जाता है: हस्ताक्षर और हस्ताक्षर के ऊपर (सुगठित) सूत्रों का सेट।

एक संरचना (गणितीय तर्क) में, एक व्याख्या फ़ंक्शन और संबंध प्रतीकों को गणितीय वस्तुओं से जोड़ती है जो उनके नामों को सही ठहराते हैं: एक की व्याख्या $n$ -एरी फ़ंक्शन प्रतीक $f$ एक संरचना में $\mathbf {A}$ डोमेन के साथ $A$ एक कार्य है $f^{\mathbf {A} }:A^{n}\to A,$ और एक की व्याख्या $n$ -एरी संबंध प्रतीक एक परिमित संबंध है $R^{\mathbf {A} }\subseteq A^{n}.$ यहाँ $A^{n}=A\times A\times \cdots \times A$ दर्शाता है $n$ -गुना कार्तीय डोमेन का उत्पाद $A$ खुद के साथ, और इसी तरह $f$ वास्तव में एक है $n$ -एरी फ़ंक्शन, और $R$ एक $n$ -आर्य संबंध।

कई तरह के हस्ताक्षर

कई-सॉर्ट किए गए तर्क के लिए और संरचना के लिए (गणितीय तर्क) # कई-सॉर्ट किए गए स्ट्रक्चर्स | कई-सॉर्ट किए गए स्ट्रक्चर सिग्नेचर्स को सॉर्ट के बारे में जानकारी को एनकोड करना चाहिए। ऐसा करने का सबसे सीधा तरीका हैsymbol types जो सामान्यीकृत धर्मार्थियों की भूमिका निभाते हैं।^[3]

प्रतीक प्रकार

होने देना $S$ एक सेट (प्रकार का) बनें जिसमें प्रतीक न हों $\times$ या $\to .$ प्रतीक टाइप हो गया $S$ वर्णमाला के ऊपर कुछ शब्द हैं $S\cup \{\times ,\to \}$ : संबंधपरक प्रतीक प्रकार $s_{1}\times \cdots \times s_{n},$ और कार्यात्मक प्रतीक प्रकार $s_{1}\times \cdots \times s_{n}\to s^{\prime },$ गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$ और $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n},s^{\prime }\in S.$ (के लिए $n=0,$ इजहार $s_{1}\times \cdots \times s_{n}$ खाली शब्द को दर्शाता है।)