रूढ़िवादी विस्तार

गणितीय तर्क में, एक रूढ़िवादी विस्तार एक सिद्धांत (गणितीय तर्क)#उपसिद्धांत और एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) का विस्तार है जो अक्सर प्रमेयों को साबित करने के लिए सुविधाजनक होता है, लेकिन मूल सिद्धांत की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी प्रकार, एक गैर-रूढ़िवादी विस्तार एक सुपरथ्योरी है जो रूढ़िवादी नहीं है, और मूल से अधिक प्रमेयों को सिद्ध कर सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से कहा गया, एक सिद्धांत $T_{2}$ एक सिद्धांत का (प्रमाण सिद्धांत) रूढ़िवादी विस्तार है $T_{1}$ यदि प्रत्येक प्रमेय $T_{1}$ का एक प्रमेय है $T_{2}$, और कोई भी प्रमेय $T_{2}$ की भाषा में $T_{1}$ का एक प्रमेय पहले से ही है $T_{1}$.

अधिक सामान्यतः, यदि $\Gamma$ की आम भाषा में सुगठित फार्मूले का एक सेट है $T_{1}$ और $T_{2}$, तब $T_{2}$ है $\Gamma$-रूढ़िवादी खत्म $T_{1}$ यदि प्रत्येक सूत्र से $\Gamma$ में सिद्ध करने योग्य $T_{2}$ में भी सिद्ध है $T_{1}$.

ध्यान दें कि एक सुसंगत सिद्धांत का रूढ़िवादी विस्तार सुसंगत है। यदि ऐसा न होता तो विस्फोट के सिद्धांत से प्रत्येक सूत्र की भाषा में $T_{2}$ का एक प्रमेय होगा $T_{2}$, तो हर सूत्र की भाषा में $T_{1}$ का एक प्रमेय होगा $T_{1}$, इसलिए $T_{1}$ सुसंगत नहीं होगा. इसलिए, रूढ़िवादी विस्तार नई विसंगतियों को शुरू करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचना करने की एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक सिद्धांत से शुरू करें, $T_{0}$, जिसे सुसंगत माना जाता है (या मान लिया जाता है), और क्रमिक रूप से रूढ़िवादी विस्तार का निर्माण करता है $T_{1}$, $T_{2}$, ...इसका.

हाल ही में, ऑन्टोलॉजी (कंप्यूटर विज्ञान) के लिए ऑन्टोलॉजी मॉड्यूलरीकरण की धारणा को परिभाषित करने के लिए रूढ़िवादी एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि एक ऑन्कोलॉजी को तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो एक उपसिद्धांत एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी उपसिद्धांत का एक रूढ़िवादी विस्तार है।

जो विस्तार रूढ़िवादी नहीं है उसे उचित विस्तार कहा जा सकता है।

उदाहरण

• ${\mathsf {ACA}}_{0}$, रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का एक उपप्रणाली, पहले क्रम के पीनो अंकगणित का एक रूढ़िवादी विस्तार है।
• उलटा गणित|दूसरे क्रम के अंकगणित के उपप्रणाली ${\mathsf {RCA}}_{0}^{*}$ और ${\mathsf {WKL}}_{0}^{*}$ हैं $\Pi _{2}^{0}$-रूढ़िवादी खत्म ${\mathsf {EFA}}$.
• सबसिस्टम ${\mathsf {WKL}}_{0}$ एक है $\Pi _{1}^{1}$-रूढ़िवादी विस्तार ${\mathsf {RCA}}_{0}$, और ए $\Pi _{2}^{0}$-रूढ़िवादी खत्म ${\mathsf {PRA}}$ (आदिम पुनरावर्ती अंकगणित)।* वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत (${\mathsf {NBG}}$) पसंद के सिद्धांत के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का एक रूढ़िवादी विस्तार है (${\mathsf {ZFC}}$).
• आंतरिक सेट सिद्धांत पसंद के सिद्धांत के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का एक रूढ़िवादी विस्तार है (${\mathsf {ZFC}}$).
• परिभाषाओं द्वारा विस्तार रूढ़िवादी हैं।
• अप्रतिबंधित विधेय या फ़ंक्शन प्रतीकों द्वारा विस्तार रूढ़िवादी हैं।
• $I\Sigma _{1}$ (केवल अंकगणितीय पदानुक्रम के लिए प्रेरण के साथ पीनो अंकगणित का एक उपतंत्र|$\Sigma _{1}^{0}$-सूत्र) एक है $\Pi _{2}^{0}$-रूढ़िवादी विस्तार ${\mathsf {PRA}}$.
• ${\mathsf {ZFC}}$ एक विश्लेषणात्मक पदानुक्रम है|$\Sigma _{3}^{1}$-रूढ़िवादी विस्तार ${\mathsf {ZF}}$ निरपेक्षता द्वारा (गणितीय तर्क)|शॉनफील्ड की निरपेक्षता प्रमेय।
• ${\mathsf {ZFC}}$ सातत्य परिकल्पना के साथ एक है $\Pi _{1}^{2}$-रूढ़िवादी विस्तार ${\mathsf {ZFC}}$.

मॉडल-सैद्धांतिक रूढ़िवादी विस्तार

मॉडल सिद्धांत|मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, एक मजबूत धारणा प्राप्त होती है: एक विस्तार $T_{2}$ एक सिद्धांत का $T_{1}$ यदि मॉडल-सैद्धांतिक रूप से रूढ़िवादी है $T_{1}\subseteq T_{2}$ और प्रत्येक मॉडल $T_{1}$ के मॉडल तक विस्तारित किया जा सकता है $T_{2}$. प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक रूढ़िवादी विस्तार भी उपरोक्त अर्थ में एक (प्रमाण-सैद्धांतिक) रूढ़िवादी विस्तार है। मॉडल सैद्धांतिक धारणा का प्रमाण सिद्धांत संबंधी धारणा पर लाभ यह है कि यह हाथ में मौजूद भाषा पर इतना निर्भर नहीं करता है; दूसरी ओर, मॉडल सैद्धांतिक रूढ़िवादिता स्थापित करना आमतौर पर कठिन होता है।

यह भी देखें

• परिभाषाओं द्वारा विस्तार
• नए स्थिरांक और फ़ंक्शन नामों द्वारा विस्तार

बाहरी संबंध

• The importance of conservative extensions for the foundations of mathematics