समानता (गणित)

गणित में, समानता दो राशियों अथवा अधिक सामान्य रूप से दो गणितीय अभिव्यक्तियों के मध्य एक संबंध है, जो यह आशय करती है कि राशियों का मान समान है, अथवा यह आशय करती है कि अभिव्यक्तियाँ एक ही गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करती हैं। $A$ और $B$ के मध्य समानता को $A = B$ लिखा जाता है, और $A$ का उच्चारण $B$ के समान होता है।^[1] प्रतीक "=" को "समान चिह्न" कहा जाता है। दो वस्तुएँ जो समान नहीं हैं, भिन्न कहलाती हैं।

उदाहरण के लिए:

$x=y$ का अर्थ है, कि $x$ और $y$ समान वस्तु को दर्शाते हैं।^[2]
प्रमाण (गणित) $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ इसका तात्पर्य है कि यदि $x$ कोई संख्या है, तो दोनों व्यंजकों का मान समान है। इसे यह कहते हुए भी समझा जा सकता है कि समान चिह्न के दो पक्ष समान फलन (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हैं।
$\{x\mid P(x)\}=\{x\mid Q(x)\}$ यदि $P(x)\Leftrightarrow Q(x).$ है। यह अभिकथन, जो सेट-बिल्डर नोटेशन का उपयोग करता है, इसका अर्थ है कि यदि गुण $P(x)$ को संतुष्ट करने वाले तत्व $Q(x),$ को संतुष्ट करने वाले तत्वों के समान हैं तो सेट-बिल्डर नोटेशन के दो उपयोग समान समुच्चय को परिभाषित करते हैं। इस गुण को सामान्यतः दो समूहों के रूप में व्यक्त किया जाता है जिनमें समान तत्व होते हैं। यह समुच्चय सिद्धांत के सामान्य एक्सिओम्स में से एक है, जिसे विस्तार का एक्सिओम कहा जाता है।^[3]

व्युत्पत्ति

शब्द की व्युत्पत्ति लैटिन भाषा के एक्वालिस ("समान", "जैसे", "तुलनीय", "समरूप") से एक्वस ("समान", "स्तर", "निष्पक्ष", "न्याय") से हुई है।

मूल गुण

प्रतिस्थापन गुण: किसी भी राशि a तथा b और किसी अभिव्यक्ति F(x) के लिए यदि a = b, तब F(a) = F(b) है (प्रतिबंध कि दोनों पक्ष उचित रूप से गठित हों)
इसके कुछ विशिष्ट उदाहरण हैं:
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प्रतिवर्त गुण: किसी भी राशि के लिए a, a = a
सममित गुण: किसी भी राशि के लिए a और b, यदि a = b, तब b = a
सकर्मक गुण:किसी भी राशि के लिए a, b, और c, यदि a = b और b = c, तब a = c^[4]

ये अंतिम तीन गुण समानता को तुल्यता संबंध बनाते हैं। वे मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीआनो स्वयंसिद्धों में सम्मलित थे। यद्यपि सममित और सकर्मक गुणों को सामान्यतः मौलिक के रूप में देखा जाता है, उन्हें प्रतिस्थापन और प्रतिवर्ती गुणों से घटाया जा सकता है।

विधेय के रूप में समानता

जब A और B पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं या कुछ चर (गणित) पर निर्भर होते हैं, तो समानता एक प्रस्ताव (गणित) है, जो कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकता है और अन्य मूल्यों के लिए गलत हो सकता है। समानता एक द्विआधारी संबंध है (एक दो-तर्क विधेय (गणितीय तर्क)) जो अपने तर्कों से एक सत्य मान (गलत या सत्य) उत्पन्न कर सकता है। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में, दो भावों से इसकी गणना को संबंधपरक संकारक के रूप में जाना जाता है।

प्रमाण

जब A और B को कुछ चरों के फलन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, तब A = B का अर्थ है कि A और B एक ही फलन को परिभाषित करते हैं। कार्यों की ऐसी समानता को कभी-कभी एक तत्समक

(प्रमाण गणित) कहा जाता है। एक उदाहरण है $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.$ कभी-कभी, लेकिन हमेशा नहीं, एक ट्रिपल बार के साथ एक पहचान लिखी जाती है: $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$

समीकरण

एक समीकरण कुछ चरों के मान ज्ञात करने की समस्या है, जिसे अज्ञात कहा जाता है जिसके लिए निर्दिष्ट समानता सत्य है। शब्द समीकरण भी एक समानता संबंध को संदर्भित कर सकता है जो केवल उन चरों के मूल्यों के लिए संतुष्ट होता है जिनमें रुचि होती है। उदाहरण के लिए, $x^{2}+y^{2}=1$ इकाई घेरा समीकरण का है।

कोई मानक संकेतन नहीं है जो एक समीकरण को एक पहचान से भिन्न करता है, या समानता संबंध के अन्य उपयोग: किसी को अभिव्यक्ति के शब्दार्थ और संदर्भ से एक उपयुक्त व्याख्या का अनुमान लगाना पड़ता है। किसी दिए गए डोमेन में चर के सभी मूल्यों के लिए एक पहचान को सही माना जाता है। एक "समीकरण" का अर्थ कभी-कभी एक पहचान हो सकता है, लेकिन अधिक बार नहीं, यह चर स्थान के एक उपसमुच्चय के रूप में निर्दिष्ट करता है जहां समीकरण सत्य है।

अनुमानित समानता

कुछ गणितीय तर्क ऐसे हैं जिनमें समानता की कोई धारणा नहीं है। यह दो वास्तविक संख्याओं की समानता की अनिर्णीत समस्या को दर्शाता है, जो पूर्णांकों, मूल अंकगणितीय संक्रियाओं, लघुगणक और घातीय फलन से जुड़े सूत्रों द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, ऐसी समानता तय करने के लिए कोई कलन विधि सम्मलित नहीं हो सकती है ।

द्विआधारी संबंध सन्निकटन (प्रतीक द्वारा निरूपित $\approx$ ) वास्तविक संख्याओं या अन्य चीजों के मध्य, भले ही अधिक त्रुटिहीन रूप से परिभाषित हो, सकर्मक नहीं है (चूंकि कई छोटे अंतर (गणित) कुछ बड़ा जोड़ सकते हैं)। यद्यपि , समानता लगभग हर जगह सकर्मक है।

परीक्षण के अंतर्गत एक संदिग्ध समानता को ≟ प्रतीक का उपयोग करके निरूपित किया जा सकता है।

तुल्यता, सर्वांगसमता और समरूपता से संबंध

एक संबंध के रूप में देखा गया, समानता एक समुच्चय पर तुल्यता संबंध की अधिक सामान्य अवधारणा का मूलरूप है: वे द्विआधारी संबंध जो प्रतिवर्त संबंध, सममित संबंध और सकर्मक संबंध हैं। पहचान संबंध एक तुल्यता संबंध है। विलोमतः, मान लीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है, और आइए हम x के तुल्यता वर्ग को x^R से निरूपित करें, जिसमें सभी अवयव z ऐसे हैं कि x R z है। तब संबंध x R y समता x^R = y^R के तुल्य है। यह इस प्रकार है कि समानता किसी भी समुच्चय S पर इस अर्थ में सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है कि यह ऐसा संबंध है जिसमें सबसे छोटा तुल्यता वर्ग है (प्रत्येक वर्ग को एक तत्व में घटाया जाता है)।

कुछ संदर्भों में, समानता को तुल्यता संबंध या तुल्याकारिता से स्पष्ट रूप से भिन्न किया जाता है।^[5] उदाहरण के लिए, कोई परिमेय संख्याओं से से भिन्नों को अलग कर सकता है, बाद वाला अंशों का तुल्यता वर्ग है: भिन्न $1/2$ तथा $2/4$ के रूप में भिन्न हैं (प्रतीकों के विभिन्न तार के रूप में) लेकिन वे एक ही परिमेय संख्या (संख्या रेखा पर एक ही बिंदु) का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह भेद भागफल समुच्चय की धारणा को जन्म देता है।

इसी प्रकार समूह

\{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}

तथा

\{1,2,3\}

समान समूह नहीं हैं - पहले में अक्षर होते हैं, जबकि दूसरे में संख्याएँ होती हैं - लेकिन वे दोनों तीन तत्वों के समूह हैं और इस प्रकार आइसोमॉर्फिक हैं, जिसका अर्थ है कि उनके मध्य एक आक्षेप है। उदाहरण के लिए

{\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.

यद्यपि, समरूपता के अन्य विकल्प हैं, जैसे

{\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,

और इन समूहों को इस प्रकार के विकल्प के बिना पहचाना नहीं जा सकता है - कोई भी विवरण जो उन्हें पहचानता है पहचान की पसंद पर निर्भर करता है। यह अंतर, समरूपता समानता के साथ संबंध, श्रेणी सिद्धांत में मूलभूत महत्व का है और श्रेणी सिद्धांत के विकास के लिए एक प्रेरणा है।

कुछ स्थिति में, एक समान दो गणितीय वस्तुओं के रूप में विचार किया जा सकता है जो केवल गुणों और संरचना के लिए समकक्ष हैं। शब्द सर्वांगसमता संबंध (और संबंधित प्रतीक $\cong$ ) इस प्रकार की समानता के लिए सामान्यतः उपयोग किया जाता है, और इसे वस्तुओं के मध्य समरूपता वर्गों के भागफल समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, ज्यामिति में, दो ज्यामितीय आकृतियों को सर्वांगसमता (ज्यामिति) कहा जाता है, जब एक को दूसरे के साथ मेल खाने के लिए ले जाया जा सकता है, और समानता/सर्वांगसमता संबंध आकृतियों के मध्य समरूपता का समरूपता वर्ग है। समूह के समरूपता के समान, गुणों और संरचना के साथ ऐसी गणितीय वस्तुओं के मध्य समरूपता और समानता/अनुरूपता के मध्य का अंतर श्रेणी सिद्धांत के विकास के साथ-साथ होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत और असमान नींव के लिए एक प्रेरणा थी।

तार्किक परिभाषाएँ

लाइबनिट्स ने समानता की धारणा को इस प्रकार बताया:

किसी भी x और y को देखते हुए, x = y यदि केवल , कोई विधेय (गणित) P, P(x) और P(y) दिया गया हो।

समुच्चय सिद्धांत में समानता

समुच्चय सिद्धांत में समुच्चय की समानता को दो भिन्न -भिन्न उपायों से अभिगृहीत किया जाता है, यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि क्या स्वयंसिद्ध प्रथम-क्रम की भाषा पर समानता के साथ या इसके अतिरिक्त आधारित हैं।

समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता निर्धारित करें

समानता के साथ प्रथम क्रम के तर्क में, विस्तार का स्वयंसिद्ध बताता है कि दो समुच्चय जिनमें समान तत्व होते हैं, वही समान समुच्चय होते हैं।^[6]

तर्क एक्सिओम: x = y ⇒ ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
तर्क एक्सिओम: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)
समुच्चय सिद्धांत एक्सिओम: (∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)) ⇒ x = y

प्रथम क्रम के तर्क में अर्ध कार्य को सम्मिलित करना केवल सुविधा का विषय माना जा सकता है, जैसा कि लेवी ने टिप्पणी की है।

हम प्रथम-क्रम विधेय कलन को समानता के साथ क्यों लेते हैं इसका कारण सुविधा का विषय है; इसके द्वारा हम समानता को परिभाषित करने और उसके सभी गुणों को सिद्ध करने के श्रम को बचाते हैं; यह भार अब तर्क द्वारा ग्रहण किया जाता है।^[7]

समानता के बिना प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता निर्धारित करें

समानता के बिना प्रथम क्रम के तर्क में, दो समुच्चयों को समान रूप से परिभाषित किया जाता है यदि उनमें समान तत्व होते हैं। तब विस्तार की अभिधारणा बताती है कि दो समान समुच्चय एक ही समुच्चय में समाहित हैं।^[8]

समुच्चय सिद्धांत परिभाषा: x = y का अर्थ है ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
समुच्चय सिद्धांत एक्सिओम: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)

यह भी देखें

↑ Weisstein, Eric W. "समानता". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-01.
↑ Rosser 2008, p. 163.
↑ Lévy 2002, pp. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999, p. 2. Mendelson 1964, p. 5.
↑ Weisstein, Eric W. "Equal". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-01.
↑ (Mazur 2007)
↑ Kleene 2002, p. 189. Lévy 2002, p. 13. Shoenfield 2001, p. 239.
↑ Lévy 2002, p. 4.
↑ Mendelson 1964, pp. 159–161. Rosser 2008, pp. 211–213

संदर्भ

Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Mathematical Logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
Lévy, Azriel (2002) [1979]. Basic set theory. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (Third ed.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
Mazur, Barry (12 June 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF)
Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostrand Reinhold.
Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Logic for mathematicians. Mineola, New York: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3.
Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Mathematical Logic (2nd ed.). A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2.

बाहरी संबंध

"Equality axioms", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Weisstein, Eric W. "समानता". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-01.

[2] Rosser 2008, p. 163.

[3] Lévy 2002, pp. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999, p. 2. Mendelson 1964, p. 5.

[4] Weisstein, Eric W. "Equal". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-01.

[5] (Mazur 2007)

[6] Kleene 2002, p. 189. Lévy 2002, p. 13. Shoenfield 2001, p. 239.

[7] Lévy 2002, p. 4.

[8] Mendelson 1964, pp. 159–161. Rosser 2008, pp. 211–213

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