अभिव्यक्ति (गणित)

गणित में, एक अभिव्यक्ति या गणितीय अभिव्यक्ति प्रतीकों का एक परिमित संयोजन है जो अच्छी तरह से गठित सूत्र है। नियमों के अनुसार अच्छी तरह से गठित जो संदर्भ पर निर्भर करता है।गणितीय प्रतीक संचालन के आदेश और तार्किक वाक्यविन्यास के अन्य पहलुओं को निर्धारित करने में मदद करने के लिए संख्याओं (स्थिरांक), चर, संचालन, कार्यों, कोष्ठक, विराम चिह्न और समूहीकरण को नामित कर सकते हैं।

कई लेखक एक फॉर्मूला से एक अभिव्यक्ति को अलग करते हैं, जो पूर्व गणितीय वस्तु को दर्शाता है, और बाद में गणितीय वस्तुओं के बारे में एक बयान को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, $8x-5$ एक अभिव्यक्ति है, जबकि $8x-5\geq 5x-8$ एक सूत्र है।हालांकि, आधुनिक गणित में, और विशेष रूप से कंप्यूटर बीजगणित में, सूत्रों को उन अभिव्यक्तियों के रूप में देखा जाता है, जिनका मूल्यांकन सही या गलत से किया जा सकता है, जो उन मूल्यों पर निर्भर करता है जो अभिव्यक्तियों में होने वाले चर को दिए जाते हैं।उदाहरण के लिए $8x-5\geq 5x-8$ मान को गलत लगता है x -1 से कम मूल्य दिया जाता है, और अन्यथा मान सत्य है।

उदाहरण

भावों का उपयोग सरल से होता है:

$3+8$

$8x-5$ & nbsp; & nbsp; (रैखिक बहुपद)

$7{{x}^{2}}+4x-10$ & nbsp; & nbsp; (द्विघात बहुपद)

${\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}$ & nbsp; & nbsp; (तर्कसंगत अंश)

कॉम्प्लेक्स के लिए:

$f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.$

सिंटैक्स बनाम शब्दार्थ

सिंटैक्स

Main article: Syntax

एक अभिव्यक्ति एक वाक्यविन्यास निर्माण है।यह अच्छी तरह से गठित फॉर्मूला होना चाहिए | अच्छी तरह से गठित: अनुमत ऑपरेटरों के पास सही स्थानों में सही स्थानों में इनपुट की सही संख्या होनी चाहिए, इन इनपुटों को बनाने वाले वर्णों को मान्य होना चाहिए, संचालन का एक स्पष्ट क्रम होना चाहिए, आदि प्रतीकों के तार।सिंटैक्स के नियमों का उल्लंघन अच्छी तरह से गठित नहीं है और वैध गणितीय अभिव्यक्ति नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, अंकगणित के सामान्य संकेतन में, अभिव्यक्ति 1 + 2 × 3 अच्छी तरह से गठित है, लेकिन निम्नलिखित अभिव्यक्ति नहीं है:

$\times 4)x+,/y$।

शब्दार्थ

Main articles: Semantics and Formal semantics (logic)

शब्दार्थ अर्थ का अध्ययन है। औपचारिक शब्दार्थ अभिव्यक्तियों के लिए अर्थ संलग्न करने के बारे में है।

बीजगणित में, एक अभिव्यक्ति का उपयोग एक मूल्य को नामित करने के लिए किया जा सकता है, जो अभिव्यक्ति में होने वाले चर को सौंपे गए मूल्यों पर निर्भर हो सकता है। इस मूल्य का निर्धारण अभिव्यक्ति के प्रतीकों से जुड़े शब्दार्थ पर निर्भर करता है। शब्दार्थ की पसंद अभिव्यक्ति के संदर्भ पर निर्भर करती है। एक ही सिंटैक्टिक अभिव्यक्ति 1 + 2 × 3 में अलग -अलग मान (गणितीय रूप से 7, लेकिन 9) भी हो सकते हैं, जो संदर्भ द्वारा निहित संचालन के क्रम पर निर्भर करता है (संचालन § कैलकुलेटर भी देखें)।

सिमेंटिक नियम यह घोषणा कर सकते हैं कि कुछ अभिव्यक्तियाँ किसी भी मूल्य को नामित नहीं करती हैं (उदाहरण के लिए जब वे 0 से विभाजन शामिल करते हैं); इस तरह के भावों को एक अपरिभाषित मूल्य कहा जाता है, लेकिन फिर भी वे अच्छी तरह से गठित भाव हैं। सामान्य तौर पर अभिव्यक्तियों का अर्थ मूल्यों को नामित करने तक सीमित नहीं है; उदाहरण के लिए, एक अभिव्यक्ति एक स्थिति, या एक समीकरण को नामित कर सकती है जिसे हल किया जाना है, या इसे अपने आप में एक वस्तु के रूप में देखा जा सकता है जिसे कुछ नियमों के अनुसार हेरफेर किया जा सकता है। कुछ भाव जो एक मूल्य को एक साथ नामित करते हैं, एक ऐसी स्थिति को व्यक्त करते हैं जो धारण करने के लिए ग्रहण की जाती है, उदाहरण के लिए ऑपरेटर को शामिल करने वाले $\oplus$ एक आंतरिक प्रत्यक्ष योग को नामित करने के लिए।

औपचारिक भाषाएँ और लैम्ब्डा कैलकुलस

Main articles: Formal language and Lambda calculus

औपचारिक भाषाएं अच्छी तरह से गठित अभिव्यक्तियों की अवधारणा को औपचारिक बनाने की अनुमति देती हैं।

1930 के दशक में, एक नए प्रकार के भाव, जिसे लैम्ब्डा एक्सप्रेशन कहा जाता है, को अलोंजो चर्च और स्टीफन क्लेन द्वारा कार्यों और उनके मूल्यांकन को औपचारिक रूप देने के लिए पेश किया गया था।वे लैम्ब्डा कैलकुलस के लिए आधार बनाते हैं, गणितीय तर्क में उपयोग की जाने वाली एक औपचारिक प्रणाली और प्रोग्रामिंग भाषाओं के सिद्धांत।

दो लैम्ब्डा अभिव्यक्तियों की तुल्यता अवांछनीय है।यह वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले भावों के लिए भी मामला है, जो अंकगणितीय संचालन, लॉगरिदम और एक्सपोनेंशियल (रिचर्डसन के प्रमेय) का उपयोग करके पूर्णांक से बनाए जाते हैं।

चर

कई गणितीय अभिव्यक्तियों में चर शामिल हैं।किसी भी चर को एक मुक्त चर या एक बाध्य चर के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

मुक्त चर के लिए मूल्यों के दिए गए संयोजन के लिए, एक अभिव्यक्ति का मूल्यांकन किया जा सकता है, हालांकि मुक्त चर के मूल्यों के कुछ संयोजनों के लिए, अभिव्यक्ति का मूल्य अपरिभाषित हो सकता है।इस प्रकार एक अभिव्यक्ति एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करती है जिसका इनपुट मुक्त चर को सौंपे गए मान हैं और जिसका आउटपुट अभिव्यक्ति का परिणामी मान है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति

$x/y$

x = 10, y = 5 के लिए मूल्यांकन किया गया, 2 देगा;लेकिन यह y = 0 के लिए अपरिभाषित है।

एक अभिव्यक्ति का मूल्यांकन गणितीय ऑपरेटरों की परिभाषा और मूल्यों की प्रणाली पर निर्भर है जो इसका संदर्भ है।

दो अभिव्यक्तियों को समतुल्य कहा जाता है यदि, मुक्त चर के लिए मानों के प्रत्येक संयोजन के लिए, उनके पास एक ही आउटपुट है, यानी, वे एक ही फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण:

भावाभिव्यक्ति

$\sum _{n=1}^{3}(2nx)$

नि: शुल्क चर x, बाध्य चर n, स्थिरांक 1, 2, और 3, एक अंतर्निहित गुणन ऑपरेटर की दो घटनाएं और एक योग ऑपरेटर है।अभिव्यक्ति सरल अभिव्यक्ति 12x के बराबर है।X & nbsp; = & nbsp; 3 के लिए मान 36 है।

यह भी देखें

• बीजगणितीय बंद
• बीजगणतीय अभिव्यक्ति
• विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति
• बंद-रूप अभिव्यक्ति
• कॉम्बिनेटर
• कंप्यूटर बीजगणित अभिव्यक्ति
• परिभाषित और अपरिभाषित
• समीकरण
• अभिव्यक्ति (प्रोग्रामिंग)
• औपचारिक व्याकरण
• सूत्र
• कार्यात्मक प्रोग्रामिंग
• तार्किक अभिव्यक्ति
• शब्द (तर्क)
• अच्छी तरह से परिभाषित अभिव्यक्ति

संदर्भ

• Redden, John (2011). "Elementary Algebra". Flat World Knowledge. Archived from the original on 2014-11-15. Retrieved 2012-03-18.