बूलियन फ़ंक्शन

एक द्विआधारी निर्णय आरेख और एक टर्नरी बूलियन फ़ंक्शन की सत्य तालिका

गणित में, एक बूलियन फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसका फ़ंक्शन और परिणाम का तर्क दो-तत्व सेट (आमतौर पर {सही, गलत}, {0,1} या {-1,1}) से मान ग्रहण करता है।^[1]^[2] वैकल्पिक नाम स्विचिंग फ़ंक्शन हैं, जिनका उपयोग विशेष रूप से पुराने कंप्यूटर विज्ञान साहित्य में किया जाता है,^[3]^[4] और सत्य फ़ंक्शन (या तार्किक फ़ंक्शन), तर्क में उपयोग किया जाता है। बूलियन फ़ंक्शन बूलियन बीजगणित और स्विचिंग सिद्धांत का विषय हैं।^[5]

एक बूलियन फ़ंक्शन फॉर्म लेता है $f:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}$ , कहाँ $\{0,1\}$ बूलियन डोमेन के रूप में जाना जाता है और $k$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है जिसे फ़ंक्शन की योग्यता कहा जाता है। मामले में जहां $k=0$ , फ़ंक्शन एक स्थिर तत्व है $\{0,1\}$ . एकाधिक आउटपुट वाला एक बूलियन फ़ंक्शन, $f:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}^{m}$ साथ $m>1$ एक वेक्टरियल या वेक्टर-मूल्यवान बूलियन फ़ंक्शन (सममित क्रिप्टोग्राफी में एक एस-बॉक्स) है।^[6]

वहाँ हैं $2^{2^{k}}$ विभिन्न बूलियन कार्यों के साथ $k$ तर्क; विभिन्न सत्य तालिकाओं की संख्या के बराबर $2^{k}$ प्रविष्टियाँ।

प्रत्येक $k$ -एरी बूलियन फ़ंक्शन को एक प्रस्ताव सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $k$ चर $x_{1},...,x_{k}$ , और दो प्रस्ताव सूत्र तार्किक तुल्यता हैं यदि और केवल यदि वे समान बूलियन फ़ंक्शन को व्यक्त करते हैं।

उदाहरण

सोलह बाइनरी बूलियन फ़ंक्शंस

अल्पविकसित सममित बूलियन फ़ंक्शन (तार्किक संयोजक या तर्क द्वार ) हैं:

इन्वर्टर (लॉजिक गेट), नकार या तार्किक पूरक - जो एक इनपुट प्राप्त करता है और इनपुट गलत होने पर सही रिटर्न देता है (नहीं)

न ही गेट या तार्किक संयोजन - सत्य है जब सभी इनपुट सत्य हैं (दोनों)

या गेट या तार्किक विच्छेद - सत्य है जब कोई इनपुट सत्य है (या तो)

XOR गेट या एकमात्र - सत्य है जब इसका एक इनपुट सत्य है और दूसरा गलत है (बराबर नहीं)

NAND गेट या शेफ़र लाइन - सत्य है जब ऐसा नहीं है कि सभी इनपुट सत्य हैं (दोनों नहीं)
NOR गेट या लॉजिकल NOR - सत्य है जब कोई भी इनपुट सत्य नहीं है (न ही)
XNOR गेट या तार्किक समानता - सत्य है जब दोनों इनपुट समान हों (बराबर)

अधिक जटिल फ़ंक्शन का एक उदाहरण बहुसंख्यक फ़ंक्शन (विषम संख्या में इनपुट का) है।

प्रतिनिधित्व

File:Three input Boolean circuit.jpg

एक बूलियन फ़ंक्शन को बूलियन सर्किट के रूप में दर्शाया जाता है

एक बूलियन फ़ंक्शन को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

सत्य तालिका: तर्कों के सभी संभावित मूल्यों के लिए इसके मूल्य को स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध करना
- मार्क्वांड आरेख: सत्य तालिका मान दो-आयामी ग्रिड में व्यवस्थित होते हैं (कर्नाघ मानचित्र में प्रयुक्त)
- बाइनरी निर्णय आरेख, बाइनरी ट्री के नीचे सत्य तालिका मानों को सूचीबद्ध करना
- वेन आरेख, विमान के क्षेत्रों के रंग के रूप में सत्य तालिका मूल्यों को दर्शाता है

बीजगणितीय रूप से, अल्पविकसित बूलियन फ़ंक्शंस का उपयोग करते हुए एक प्रस्तावक सूत्र के रूप में:

विहित सामान्य रूप का निषेध, तर्कों और उनके पूरकों के AND और ORs का एक मनमाना मिश्रण

तर्कों और उनके पूरकों के AND के OR के रूप में विच्छेदनात्मक सामान्य रूप
संयोजक सामान्य रूप, तर्कों और उनके पूरकों के ORs के AND के रूप में
कैनोनिकल सामान्य रूप, एक मानकीकृत सूत्र जो विशिष्ट रूप से फ़ंक्शन की पहचान करता है:
- बीजगणितीय सामान्य रूप या ज़ेगलकिन बहुपद, तर्कों के ANDs के XOR के रूप में (कोई पूरक की अनुमति नहीं है)
- पूर्ण (विहित) विच्छेदात्मक सामान्य रूप, प्रत्येक तर्क या पूरक वाले ANDs का एक OR (minterms)
- पूर्ण (विहित) संयोजी सामान्य रूप, प्रत्येक तर्क या पूरक (अधिकतम शब्द) वाले ओआरएस का एक और
- ब्लेक विहित रूप , फ़ंक्शन के सभी प्रमुख निहितार्थों का OR

बूलियन सूत्रों को ग्राफ़ के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है:

प्रस्तावात्मक निर्देशित चक्रीय ग्राफ
- लॉजिक गेट का सर्किट (कंप्यूटर विज्ञान) आरेख, एक बूलियन सर्किट
- और-इन्वर्टर ग्राफ़, केवल AND और NOT का उपयोग करते हुए

इलेक्ट्रॉनिक सर्किट को अनुकूलित करने के लिए, बूलियन फ़ार्मुलों को क्विन-मैकक्लुस्की एल्गोरिदम या कर्णघ मानचित्र का उपयोग करके बूलियन कार्यों को न्यूनतम किया जा सकता है।

विश्लेषण

गुण

एक बूलियन फ़ंक्शन में विभिन्न प्रकार के गुण हो सकते हैं:^[7]

स्थिर कार्य: अपने तर्कों की परवाह किए बिना हमेशा सत्य या सदैव असत्य होता है।
मोनोटोनिक फ़ंक्शन#बूलियन फ़ंक्शंस में: तर्क मानों के प्रत्येक संयोजन के लिए, किसी तर्क को ग़लत से सत्य में बदलने से आउटपुट केवल असत्य से सत्य पर स्विच हो सकता है, न कि सत्य से असत्य पर। किसी फ़ंक्शन को एक निश्चित वेरिएबल में एकजुट कार्य कहा जाता है यदि वह उस वेरिएबल में परिवर्तन के संबंध में मोनोटोन है।
रैखिकता#बूलियन फ़ंक्शन: प्रत्येक चर के लिए, चर के मान को फ़्लिप करने से या तो हमेशा सत्य मान में अंतर आता है या कभी भी कोई अंतर नहीं आता (एक समता फ़ंक्शन)।
सममित बूलियन फ़ंक्शन: मान इसके तर्कों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है।
एक बार पढ़ने का कार्य|रीड-वन्स: प्रत्येक चर के एक उदाहरण के साथ तार्किक संयोजन, तार्किक विघटन और निषेध के साथ व्यक्त किया जा सकता है।
संतुलित बूलियन फ़ंक्शन: यदि इसकी सत्य तालिका में शून्य और एक की समान संख्या है। फ़ंक्शन का हैमिंग भार सत्य तालिका में मौजूद संख्याओं की संख्या है।
मुड़ा हुआ कार्य: इसके सभी डेरिवेटिव संतुलित हैं (ऑटोसहसंबंध स्पेक्ट्रम शून्य है)
एमवें क्रम से सहसंबंध प्रतिरक्षा: यदि आउटपुट अधिकतम एम तर्कों के सभी (रैखिक) संयोजनों से असंबंधित है
इवेसिव बूलियन फ़ंक्शन: यदि फ़ंक्शन के मूल्यांकन के लिए हमेशा सभी तर्कों के मान की आवश्यकता होती है
एक बूलियन फ़ंक्शन एक शेफ़र फ़ंक्शन है यदि इसका उपयोग किसी भी मनमाने ढंग से बूलियन फ़ंक्शन को बनाने के लिए किया जा सकता है (कार्यात्मक पूर्णता देखें)
किसी फ़ंक्शन की बीजगणितीय डिग्री उसके बीजगणितीय सामान्य रूप में उच्चतम क्रम के एकपदी का क्रम है

सर्किट जटिलता सर्किट के आकार या गहराई के संबंध में बूलियन कार्यों को वर्गीकृत करने का प्रयास करती है जो उनकी गणना कर सकती है।

व्युत्पन्न फलन

सकारात्मक और नकारात्मक शैनन सहकारकों (शैनन विस्तार) में बूले के विस्तार प्रमेय का उपयोग करके एक बूलियन फ़ंक्शन को विघटित किया जा सकता है, जो कि तर्कों में से एक (शून्य या एक) को ठीक करने के परिणामस्वरूप (k-1) -ary फ़ंक्शन हैं। इनपुट के एक सेट (एक रैखिक उपस्थान) पर एक रैखिक बाधा लगाकर प्राप्त किए गए सामान्य (k-ary) फ़ंक्शन को उप-फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है।^[8] किसी एक तर्क के लिए फ़ंक्शन का बूलियन व्युत्पन्न एक (k-1)-ary फ़ंक्शन है जो तब सत्य होता है जब फ़ंक्शन का आउटपुट चुने गए इनपुट चर के प्रति संवेदनशील होता है; यह दो संगत सहकारकों का XOR है। रीड-मुलर विस्तार में एक व्युत्पन्न और एक सहकारक का उपयोग किया जाता है। अवधारणा को दिशा dx में k-ary व्युत्पन्न के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे x और x + dx पर फ़ंक्शन के अंतर (XOR) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।^[8]

एक बूलियन फ़ंक्शन का ज़ेगल्किन बहुपद#मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन|मोबियस ट्रांसफॉर्म (या बूले-मोबियस ट्रांसफॉर्म) एकपदी घातांक वैक्टर के एक फ़ंक्शन के रूप में, इसके ज़ेगल्किन बहुपद (बीजगणितीय सामान्य रूप) के गुणांक का सेट है। यह एक इनवोलुशन (गणित)|स्व-प्रतिलोम परिवर्तन है। इसकी गणना बटरफ्लाई आरेख (फास्ट मोबियस ट्रांसफॉर्म) का उपयोग करके कुशलतापूर्वक की जा सकती है, जो फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म के अनुरूप है।^[9] संयोग बूलियन फ़ंक्शन उनके मोबियस ट्रांसफॉर्म के बराबर हैं, यानी उनकी सत्य तालिका (मिनटर्म) मान उनके बीजगणितीय (मोनोमियल) गुणांक के बराबर हैं।^[10] k तर्कों के 2^2^(k−1) संपाती फलन हैं।^[11]

क्रिप्टोग्राफ़िक विश्लेषण

बूलियन फ़ंक्शन का वॉल्श रूपांतरण एक k-ary पूर्णांक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो पैरिटी फ़ंक्शन (वाल्श समारोह) में अपघटन के गुणांक देता है, जो फूरियर रूपांतरण द्वारा लयबद्ध में वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के अपघटन के अनुरूप होता है। इसका वर्ग पावर स्पेक्ट्रम या वॉल्श स्पेक्ट्रम है। एकल बिट वेक्टर का वॉल्श गुणांक बूलियन फ़ंक्शन के आउटपुट के साथ उस बिट के सहसंबंध के लिए एक उपाय है। अधिकतम (निरपेक्ष मान में) वॉल्श गुणांक को फ़ंक्शन की रैखिकता के रूप में जाना जाता है।^[8]बिट्स (ऑर्डर) की उच्चतम संख्या जिसके लिए सभी वॉल्श गुणांक 0 हैं (यानी सबफ़ंक्शन संतुलित हैं) को लचीलेपन के रूप में जाना जाता है, और फ़ंक्शन को उस ऑर्डर के लिए सहसंबंध प्रतिरक्षा कहा जाता है।^[8]वॉल्श गुणांक रैखिक क्रिप्टोएनालिसिस में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

बूलियन फ़ंक्शन का स्वत:सहसंबंध एक k-ary पूर्णांक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो इनपुट और फ़ंक्शन आउटपुट में परिवर्तनों के एक निश्चित सेट के बीच सहसंबंध देता है। किसी दिए गए बिट वेक्टर के लिए यह उस दिशा में व्युत्पन्न के हैमिंग वजन से संबंधित है। अधिकतम स्वसहसंबंध गुणांक (निरपेक्ष मान में) को पूर्ण संकेतक के रूप में जाना जाता है।^[7]^[8]यदि एक निश्चित संख्या में बिट्स के लिए सभी ऑटोसहसंबंध गुणांक 0 हैं (यानी डेरिवेटिव संतुलित हैं) तो फ़ंक्शन को उस क्रम में प्रसार मानदंड को पूरा करने के लिए कहा जाता है; यदि वे सभी शून्य हैं तो फलन एक मुड़ा हुआ फलन है।^[12] ऑटोसहसंबंध गुणांक विभेदक क्रिप्टोएनालिसिस में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

बूलियन फ़ंक्शन के वॉल्श गुणांक और इसके ऑटोसहसंबंध गुणांक वीनर-खिनचिन प्रमेय के समकक्ष से संबंधित हैं, जो बताता है कि ऑटोसहसंबंध और पावर स्पेक्ट्रम एक वॉल्श ट्रांसफॉर्म जोड़ी हैं।^[8]

रैखिक सन्निकटन तालिका

इन अवधारणाओं को उनके आउटपुट बिट्स (निर्देशांक) पर व्यक्तिगत रूप से विचार करके, या अधिक अच्छी तरह से, आउटपुट बिट्स के सभी रैखिक कार्यों के सेट को देखकर, जिसे इसके घटकों के रूप में जाना जाता है, स्वाभाविक रूप से वेक्टरियल बूलियन फ़ंक्शंस तक बढ़ाया जा सकता है।^[6] घटकों के वॉल्श परिवर्तनों के सेट को रैखिक सन्निकटन तालिका (LAT) के रूप में जाना जाता है।^[13]^[14] या सहसंबंध मैट्रिक्स;^[15]^[16] यह इनपुट और आउटपुट बिट्स के विभिन्न रैखिक संयोजनों के बीच संबंध का वर्णन करता है। घटकों के स्वतःसहसंबंध गुणांक का सेट स्वतःसहसंबंध तालिका है,^[14]घटकों के वॉल्श परिवर्तन से संबंधित^[17] अधिक व्यापक रूप से प्रयुक्त अंतर वितरण तालिका (डीडीटी) के लिए^[13]^[14]जो इनपुट और आउटपुट बिट्स में अंतर के बीच सहसंबंधों को सूचीबद्ध करता है (यह भी देखें: एस-बॉक्स)।

वास्तविक बहुपद रूप

यूनिट हाइपरक्यूब पर

कोई बूलियन फ़ंक्शन $f(x):\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ एक बहुरेखीय बहुपद द्वारा वास्तविक संख्या तक विशिष्ट रूप से विस्तारित (प्रक्षेपित) किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$ , सत्य तालिका मानों को लैग्रेंज बहुपद से गुणा करके निर्मित किया गया है:

f^{*}(x)=\sum _{a\in {\{0,1\}}^{n}}f(a)\prod _{i:a_{i}=1}x_{i}\prod _{i:a_{i}=0}(1-x_{i})

उदाहरण के लिए, बाइनरी XOR फ़ंक्शन का विस्तार

x\oplus y

है

0(1-x)(1-y)+1x(1-y)+1(1-x)y+0xy

जो बराबर है

x+y-2xy

कुछ अन्य उदाहरण निषेध हैं (

1-x

), और (

xy

) और या (

x+y-xy

). जब सभी ऑपरेंड स्वतंत्र होते हैं (कोई चर साझा नहीं करते हैं) तो बूलियन सूत्र में ऑपरेटरों के बहुपदों को बार-बार लागू करके एक फ़ंक्शन का बहुपद रूप पाया जा सकता है। जब गुणांकों की गणना मॉड्यूलर अंकगणित से की जाती है तो बीजगणितीय सामान्य रूप (ज़ेगलकिन बहुपद) प्राप्त होता है।

बहुपद के गुणांकों के लिए प्रत्यक्ष अभिव्यक्ति उचित व्युत्पन्न लेकर प्राप्त की जा सकती है:

{\begin{array}{lcl}f^{*}(00)&=&(f^{*})(00)&=&f(00)\\f^{*}(01)&=&(\partial _{1}f^{*})(00)&=&-f(00)+f(01)\\f^{*}(10)&=&(\partial _{2}f^{*})(00)&=&-f(00)+f(10)\\f^{*}(11)&=&(\partial _{1}\partial _{2}f^{*})(00)&=&f(00)-f(01)-f(10)+f(11)\\\end{array}}

इसे बिट वैक्टर के आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के मोबियस ट्रांसफॉर्म|मोबियस व्युत्क्रम के रूप में सामान्यीकृत किया जाता है:

f^{*}(m)=\sum _{a\subseteq m}(-1)^{|a|+|m|}f(a)

कहाँ

|a|

बिट वेक्टर के वजन को दर्शाता है

a

. मॉड्यूलो 2 को लिया गया, यह झेगल्किन बहुपद|बूलियन मोबियस रूपांतरण है, जो बीजगणितीय सामान्य रूप गुणांक देता है:

{\hat {f}}(m)=\bigoplus _{a\subseteq m}f(a)

दोनों ही मामलों में, एम द्वारा कवर किए गए सभी बिट-वेक्टरों का योग लिया जाता है, यानी एम के एक बिट्स का एक उपसमूह बनता है।

जब डोमेन एन-डायमेंशनल अतिविम तक सीमित होता है $[0,1]^{n}$ , बहुपद $f^{*}(x):[0,1]^{n}\rightarrow [0,1]$ जब बूलियन फ़ंक्शन f को व्यक्तिगत संभावनाओं x के साथ n स्वतंत्र यादृच्छिक (बर्नौली वितरण) चर पर लागू किया जाता है, तो सकारात्मक परिणाम की संभावना मिलती है। इस तथ्य का एक विशेष मामला पैरिटी फ़ंक्शन के लिए जमा हुआ लेम्मा है। बूलियन फ़ंक्शन के बहुपद रूप का उपयोग फजी लॉजिक के प्राकृतिक विस्तार के रूप में भी किया जा सकता है।

सममित हाइपरक्यूब पर

अक्सर, बूलियन डोमेन को इस रूप में लिया जाता है $\{-1,1\}$ , गलत ( 0 ) से 1 और सत्य ( 1 ) से -1 तक मैपिंग के साथ (बूलियन फ़ंक्शंस का विश्लेषण देखें)। के अनुरूप बहुपद $g(x):\{-1,1\}^{n}\rightarrow \{-1,1\}$ फिर इसके द्वारा दिया जाता है:

g^{*}(x)=\sum _{a\in {\{-1,1\}}^{n}}g(a)\prod _{i:a_{i}=-1}{\frac {1-x_{i}}{2}}\prod _{i:a_{i}=1}{\frac {1+x_{i}}{2}}

सममित बूलियन डोमेन का उपयोग बूलियन कार्यों के विश्लेषण के कुछ पहलुओं को सरल बनाता है, क्योंकि निषेध -1 से गुणा करने से मेल खाता है और समता फ़ंक्शन एकपदीय है (एक्सओआर गुणन है)। इस प्रकार यह बहुपद रूप फ़ंक्शन के वॉल्श ट्रांसफॉर्म (इस संदर्भ में फूरियर ट्रांसफॉर्म के रूप में भी जाना जाता है) से मेल खाता है (ऊपर देखें)। बहुपद की भी वही सांख्यिकीय व्याख्या होती है जो मानक बूलियन डोमेन में होती है, सिवाय इसके कि यह अब अपेक्षित मूल्यों से संबंधित है

E(X)=P(X=1)-P(X=-1)\in [-1,1]

(उदाहरण के लिए पाइलिंग-अप लेम्मा देखें)।

अनुप्रयोग

बूलियन फ़ंक्शंस कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत के प्रश्नों के साथ-साथ डिजिटल कम्प्यूटर ों के लिए प्रोसेसर के डिज़ाइन में एक बुनियादी भूमिका निभाते हैं, जहां उन्हें लॉजिक गेट का उपयोग करके इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में कार्यान्वित किया जाता है।

बूलियन फ़ंक्शंस के गुण क्रिप्टोग्राफी में महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से सममित कुंजी एल्गोरिदम के डिज़ाइन में (प्रतिस्थापन बॉक्स देखें)।

सहकारी खेल सिद्धांत सिद्धांत में, मोनोटोन बूलियन फ़ंक्शंस को सरल गेम (वोटिंग गेम) कहा जाता है; यह धारणा सामाजिक चयन सिद्धांत में समस्याओं को हल करने के लिए लागू की जाती है।

यह भी देखें

संदर्भ

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