मुक्त चर और बाध्य चर

For bound variables in computer programming, see Name binding.

"Free variable" redirects here. Not to be confused with Free parameter or Dummy variable.

गणित में, और गणितीय तर्क और कंप्यूटर विज्ञान सहित औपचारिक भाषाओं से जुड़े अन्य विषयों में, एक मुक्त चर एक गणितीय संकेतन (प्रतीक) है जो एक अभिव्यक्ति (गणित) में स्थानों को निर्दिष्ट करता है जहां प्रतिस्थापन (तर्क) हो सकता है और यह एक पैरामीटर नहीं है इसका या कोई कंटेनर एक्सप्रेशन। कुछ पुरानी पुस्तकें क्रमशः मुक्त चर और बाध्य चर के लिए वास्तविक चर और स्पष्ट चर का उपयोग करती हैं। विचार एक प्लेसहोल्डर (एक प्रतीक जो बाद में कुछ मूल्य से बदल दिया जाएगा), या एक वाइल्डकार्ड वर्ण से संबंधित है जो एक अनिर्दिष्ट प्रतीक के लिए खड़ा है।

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में, शब्द मुक्त चर एक फ़ंक्शन (कंप्यूटर विज्ञान) में उपयोग किए जाने वाले चर (प्रोग्रामिंग) को संदर्भित करता है जो न तो स्थानीय चर हैं और न ही उस फ़ंक्शन के पैरामीटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)। गैर-स्थानीय चर शब्द अक्सर इस संदर्भ में एक पर्यायवाची है।

एक बाध्य चर, इसके विपरीत, एक चर है जो प्रवचन या ब्रह्मांड (गणित) के क्षेत्र में एक विशिष्ट मूल्य या मूल्यों की सीमा के लिए बाध्य है। यह तार्किक क्वांटिफायर, वेरिएबल-बाइंडिंग ऑपरेटर्स, या वेरिएबल के लिए अनुमत मानों के स्पष्ट विवरण के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है (जैसे, ... जहां $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है।) उदाहरण अगले भाग में दिए गए हैं। हालाँकि यह किया जाता है, चर एक स्वतंत्र चर होना बंद हो जाता है, जिस पर अभिव्यक्ति का मूल्य निर्भर करता है, चाहे वह मूल्य एक सत्य मूल्य हो या गणना का संख्यात्मक परिणाम, या अधिक सामान्यतः, एक छवि सेट का एक तत्व समारोह। ध्यान दें कि कई संदर्भों में चर्चा के क्षेत्र को समझा जाता है, जब बाध्य चर के लिए मूल्यों की एक स्पष्ट श्रेणी नहीं दी गई है, तो अभिव्यक्ति का उचित मूल्यांकन करने के लिए डोमेन को निर्दिष्ट करना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार करें जिसमें दोनों चर तार्किक क्वांटिफायर से बंधे हैं:

$$\forall y\,\exists x\,\left(x={\sqrt {y}}\right).$$

यह व्यंजक असत्य का मूल्यांकन करता है यदि का डोमेन $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन सत्य है यदि डोमेन सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

डमी चर शब्द का प्रयोग कभी-कभी एक बाध्य चर के लिए भी किया जाता है (कंप्यूटर विज्ञान की तुलना में सामान्य गणित में अधिक), लेकिन इसे डमी चर (सांख्यिकी) की समान रूप से नामित लेकिन असंबंधित अवधारणा के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जैसा कि आमतौर पर आंकड़ों में उपयोग किया जाता है। प्रतिगमन विश्लेषण में।

उदाहरण

फ्री वेरिएबल और बाउंड वेरिएबल की सटीक परिभाषा बताने से पहले, निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं जो शायद इन दो अवधारणाओं को परिभाषा की तुलना में स्पष्ट करते हैं:

अभिव्यक्ति में

$\sum _{k=1}^{10}f(k,n),$

n एक मुक्त चर है और k एक परिबद्ध चर है; परिणामस्वरूप इस व्यंजक का मान n के मान पर निर्भर करता है, लेकिन k नाम की कोई चीज़ नहीं है जिस पर यह निर्भर हो सके।

अभिव्यक्ति में

$\int _{0}^{\infty }x^{y-1}e^{-x}\,dx,$

y एक मुक्त चर है और x एक परिबद्ध चर है; परिणामस्वरूप इस व्यंजक का मान y के मान पर निर्भर करता है, लेकिन x नाम की कोई चीज़ नहीं है जिस पर यह निर्भर हो सके।

अभिव्यक्ति में

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},$

x एक मुक्त चर है और h एक परिबद्ध चर है; परिणामस्वरूप इस व्यंजक का मान x के मान पर निर्भर करता है, लेकिन h नाम की कोई चीज़ नहीं है जिस पर यह निर्भर हो सके।

अभिव्यक्ति में

$\forall x\ \exists y\ {\Big [}\varphi (x,y,z){\Big ]},$

z एक मुक्त चर है और x और y बाध्य चर हैं, जो तार्किक क्वांटिफायर से जुड़े हैं; परिणामस्वरूप इस व्यंजक का तार्किक मान z के मान पर निर्भर करता है, लेकिन x या y नाम की कोई चीज़ नहीं है जिस पर यह निर्भर हो सके।

अधिक व्यापक रूप से, अधिकांश प्रमाणों में, बाध्य चर का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रमाण दर्शाता है कि धनात्मक सम पूर्णांकों के सभी वर्ग विभाज्य हैं $4$

होने देना $n$ एक धनात्मक सम पूर्णांक हो। फिर एक पूर्णांक है $k$ ऐसा है कि $n=2k$. तब से $n^{2}=4k^{2}$, अपने पास $n^{2}$ द्वारा विभाज्य $4$

सबूत में न केवल k बल्कि n को भी बाध्य चर के रूप में उपयोग किया गया है।

वेरिएबल-बाइंडिंग ऑपरेटर्स

निम्नलिखित

$\sum _{x\in S}\quad \quad \prod _{x\in S}\quad \quad \int _{0}^{\infty }\cdots \,dx\quad \quad \lim _{x\to 0}\quad \quad \forall x\quad \quad \exists x$

कुछ सामान्य वेरिएबल-बाइंडिंग ऑपरेटर हैं। उनमें से प्रत्येक कुछ सेट S के लिए चर x को बांधता है।

ध्यान दें कि इनमें से कई ऑपरेटर (गणित) हैं जो बाध्य चर के कार्यों पर कार्य करते हैं। अधिक जटिल संदर्भों में, ऐसे अंकन अजीब और भ्रामक हो सकते हैं। यह उन नोटेशनों पर स्विच करने के लिए उपयोगी हो सकता है जो बाइंडिंग को स्पष्ट करते हैं, जैसे

$\sum _{1,\ldots ,10}\left(k\mapsto f(k,n)\right)$

रकम के लिए या

$D\left(x\mapsto x^{2}+2x+1\right)$

विभेदीकरण के लिए।

औपचारिक व्याख्या

वृक्ष अभिव्यक्ति के वाक्य-विन्यास का सारांश देता है $\forall x\,((\exists y\,A(x))\vee B(z))$

चर-बाध्यकारी तंत्र गणित, तर्क और कंप्यूटर विज्ञान में विभिन्न संदर्भों में होते हैं। हालांकि, सभी मामलों में, वे अभिव्यक्ति और चर के विशुद्ध रूप से सिंटैक्स गुण हैं। इस खंड के लिए हम एक सार सिंटैक्स ट्री के साथ एक अभिव्यक्ति की पहचान करके सिंटैक्स को सारांशित कर सकते हैं, जिसके पत्ते नोड्स चर, स्थिरांक, फ़ंक्शन स्थिरांक या विधेय स्थिरांक हैं और जिनके गैर-पत्ती नोड तार्किक ऑपरेटर हैं। इस व्यंजक को तब ट्री का ट्री ट्रैवर्सल करके निर्धारित किया जा सकता है। वेरिएबल-बाइंडिंग ऑपरेटर तार्किक ऑपरेटर होते हैं जो लगभग हर औपचारिक भाषा में होते हैं। एक बाध्यकारी ऑपरेटर क्यू दो तर्क लेता है: एक चर वी और एक अभिव्यक्ति पी, और जब इसके तर्कों पर लागू होता है तो एक नई अभिव्यक्ति क्यू (वी, पी) पैदा करता है। बाध्यकारी ऑपरेटरों का अर्थ भाषा के शब्दार्थ द्वारा प्रदान किया जाता है और यहां हमें चिंतित नहीं करता है।

वेरिएबल बाइंडिंग तीन चीज़ों से संबंधित है: एक वेरिएबल v, एक एक्सप्रेशन में उस वेरिएबल के लिए एक स्थान और क्यू(v, P) फॉर्म का एक नॉन-लीफ नोड n। नोट: हम अभिव्यक्ति में स्थान को सिंटैक्स ट्री में लीफ नोड के रूप में परिभाषित करते हैं। वेरिएबल बाइंडिंग तब होती है जब वह स्थान नोड n के नीचे होता है।

लैम्ब्डा कैलकुलस में, x अवधि में एक बाध्य चर है M = λx. T और अवधि में एक मुक्त चर T. हम कहते है x में बंधा हुआ है M और मुक्त T. यदि T एक उपवाक्य होता है λx. U तब x इस टर्म में रिबाउंड है। यह नेस्टेड, आंतरिक बंधन x बाहरी बंधन को छाया देने के लिए कहा जाता है। की घटनाएँ x में U नए की मुक्त घटनाएँ हैं x. एक कार्यक्रम के शीर्ष स्तर पर बंधे चर तकनीकी रूप से मुक्त चर हैं, जिन शर्तों के लिए वे बाध्य हैं, लेकिन अक्सर विशेष रूप से व्यवहार किया जाता है क्योंकि उन्हें निश्चित पते के रूप में संकलित किया जा सकता है। इसी तरह, एक संगणनीय कार्य के लिए बाध्य एक पहचानकर्ता भी तकनीकी रूप से अपने शरीर के भीतर एक मुक्त चर है लेकिन विशेष रूप से व्यवहार किया जाता है।

एक बंद अवधि वह है जिसमें कोई मुक्त चर नहीं है।

फंक्शन एक्सप्रेशंस

गणित से एक उदाहरण देने के लिए, एक व्यंजक पर विचार करें जो एक फलन को परिभाषित करता है

$f=\left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]$

जहां टी एक अभिव्यक्ति है। t में x में से कुछ, सभी या कोई नहीं हो सकता है₁, …, एक्स_n और इसमें अन्य चर हो सकते हैं। इस मामले में हम कहते हैं कि फ़ंक्शन परिभाषा चर x को बांधती है₁, …, एक्स_n.

इस तरह, ऊपर दिखाए गए प्रकार के फ़ंक्शन डेफिनिशन एक्सप्रेशन को लैम्ब्डा कैलकुलस के लैम्ब्डा एक्सप्रेशन के अनुरूप वेरिएबल बाइंडिंग ऑपरेटर के रूप में माना जा सकता है। अन्य बाध्यकारी ऑपरेटरों, जैसे योग चिह्न, को किसी फ़ंक्शन पर लागू होने वाले उच्च-क्रम के कार्यों के रूप में माना जा सकता है। तो, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति

$\sum _{x\in S}{x^{2}}$

के लिए एक अंकन के रूप में माना जा सकता है

$\sum _{S}{(x\mapsto x^{2})}$

कहां $\sum _{S}{f}$ दो पैरामीटर वाला एक ऑपरेटर है—एक-पैरामीटर फ़ंक्शन, और उस फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने के लिए एक सेट। ऊपर सूचीबद्ध अन्य ऑपरेटरों को समान तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, यूनिवर्सल क्वांटिफायर $\forall x\in S\ P(x)$ एक ऑपरेटर के रूप में सोचा जा सकता है जो बूलियन-मूल्यवान फ़ंक्शन पी के तार्किक संयोजन का मूल्यांकन करता है जो (संभवतः अनंत) सेट एस पर लागू होता है।

प्राकृतिक भाषा

जब औपचारिक शब्दार्थ (तर्क) में विश्लेषण किया जाता है, तो प्राकृतिक भाषाओं को मुक्त और बाउंड चर सर्वनाम चर के रूप में देखा जा सकता है। अंग्रेजी में, व्यक्तिगत सर्वनाम जैसे वह, वह, वे आदि मुक्त चर के रूप में कार्य कर सकते हैं।

लिसा को 'उसकी' किताब मिली।

उपरोक्त वाक्य में, अधिकारवाचक सर्वनाम her एक मुक्त चर है। यह पहले उल्लेखित लिसा या किसी अन्य महिला के लिए # शब्दार्थ का संदर्भ दे सकता है। दूसरे शब्दों में, उसकी पुस्तक लिसा की पुस्तक (सहसंदर्भ का एक उदाहरण) या किसी अन्य महिला से संबंधित पुस्तक (जैसे जेन की पुस्तक) का संदर्भ दे सकती है। जो भी उसका संदर्भ है उसे स्थितिजन्य (यानी व्यावहारिक) संदर्भ के अनुसार स्थापित किया जा सकता है। दिग्दर्शन की पहचान कोइंडेक्सिंग सबस्क्रिप्ट का उपयोग करके दिखाया जा सकता है जहां i एक दिग्दर्शन को इंगित करता है और j एक दूसरे दिग्दर्शन को इंगित करता है (i से भिन्न)। इस प्रकार, लिसा ने अपनी पुस्तक को जो वाक्य पाया, उसकी निम्नलिखित व्याख्याएँ हैं:

लिसा_i मिली_i पुस्तक। (व्याख्या #1: उसका = लिसा का)

लिसा_i मिली_j पुस्तक। (व्याख्या #2: उसकी = एक महिला जो लिसा नहीं है)

भेद विशुद्ध रूप से अकादमिक हित का नहीं है, क्योंकि कुछ भाषाओं में वास्तव में उसके लिए अलग-अलग रूप हैं_iऔर उसकी_j: उदाहरण के लिए, नॉर्वेजियन भाषा और स्वीडिश भाषा में उसका अनुवाद किया जाता है_iपाप और अप्रासंगिक के रूप में_jहेन्स के रूप में।

अंग्रेजी सह-संदर्भ निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है, लेकिन यह वैकल्पिक है, क्योंकि पिछले उदाहरण की दोनों व्याख्याएं मान्य हैं (अव्याकरणिक व्याख्या तारांकन चिह्न के साथ इंगित की गई है):

लिसा_i मिली_i खुद की किताब। (व्याख्या #1: उसका = लिसा का)

*लिसा_i मिली_j खुद की किताब। (व्याख्या #2: उसकी = एक महिला जो लिसा नहीं है)

हालाँकि, प्रतिवर्ती सर्वनाम, जैसे स्वयं, स्वयं, स्वयं, आदि, और पारस्परिक सर्वनाम, जैसे कि एक दूसरे, बाध्य चर के रूप में कार्य करते हैं। निम्नलिखित की तरह एक वाक्य में:

जेन ने 'खुद को' चोट पहुंचाई।

आत्मचिंतन करने वाला स्वयं इस मामले में जेन के पहले उल्लिखित पूर्ववर्ती (व्याकरण) को ही संदर्भित कर सकता है, और कभी भी एक अलग महिला व्यक्ति को संदर्भित नहीं कर सकता है। इस उदाहरण में, चर स्वयं संज्ञा जेन से बंधा है जो विषय (व्याकरण) स्थिति में होता है। सह-अनुक्रमण का संकेत देते हुए, जेन और खुद के सह-अनुक्रमण के साथ पहली व्याख्या अनुमेय है, लेकिन दूसरी व्याख्या जहां वे सह-अनुक्रमित नहीं हैं, व्याकरणिकता है:

जेन_i खुद को चोट पहुँचाना_i. (व्याख्या #1: स्वयं = जेन)

*जेन_i खुद को चोट पहुँचाना_j. (व्याख्या #2: स्वयं = एक महिला जो जेन नहीं है)

ध्यान दें कि पिछले #औपचारिक स्पष्टीकरण में उल्लिखित लैम्ब्डा कैलकुलस का उपयोग करके कोरेफेरेंस बाइंडिंग का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। रिफ्लेक्सिव वाले वाक्य को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

(λx.x चोट x)जेन

जिसमें जेन सब्जेक्ट रेफरेंस तर्क है और λx.x हर्ट x लैम्ब्डा नोटेशन के साथ प्रेडिकेट फंक्शन (एक लैम्ब्डा एब्स्ट्रैक्शन) है और x सिमेंटिक सब्जेक्ट और सिमेंटिक ऑब्जेक्ट दोनों को बाध्य होने का संकेत देता है। यह शब्दार्थ व्याख्या देता है जेन ने जेन को एक ही व्यक्ति होने के साथ चोट पहुंचाई।

सर्वनाम भी अलग तरह से व्यवहार कर सकते हैं। नीचे के वाक्य में

एशले ने 'उसे' मारा।

सर्वनाम उसका केवल उस महिला को संदर्भित कर सकता है जो एशले नहीं है। इसका मतलब यह है कि एशले के खुद को हिट करने के बराबर इसका कोई रिफ्लेक्सिव अर्थ कभी नहीं हो सकता है। व्याकरणिक और अव्याकरणिक व्याख्याएं हैं:

* एशले_i उसे मारो_i. (व्याख्या #1: उसकी = एशले)

एशले_i उसे मारो_j. (व्याख्या #2: उसकी = एक महिला जो एशले नहीं है)

पहली व्याख्या असंभव है। व्याकरण द्वारा केवल दूसरी व्याख्या की अनुमति है।

इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि रिफ्लेक्सिव्स और पारस्परिक बाध्य चर हैं (तकनीकी रूप से एनाफोरस के रूप में जाना जाता है) जबकि सत्य सर्वनाम कुछ व्याकरणिक संरचनाओं में मुक्त चर हैं, लेकिन वे चर जो अन्य व्याकरणिक संरचनाओं में बंधे नहीं हो सकते हैं। प्राकृतिक भाषाओं में पाई जाने वाली बाध्यकारी घटनाएं विशेष रूप से वाक्य रचनात्मक सरकार और बाध्यकारी सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण थीं (यह भी देखें: बाध्यकारी (भाषाविज्ञान))।

यह भी देखें

• क्लोजर (कंप्यूटर साइंस)
• संयुक्त तर्क
• लैम्ब्डा उठाना
• नाम बंधन
• स्कोप (प्रोग्रामिंग)

संदर्भ

• Thompson, Simon (1991). Type theory and functional programming. Wokingham, England: Addison-Wesley. ISBN 0201416670. OCLC 23287456.