रैखिक प्रकार्य

For the use of the term in calculus, see Linear function (calculus).

गणित में, रेखीय फलन शब्द दो अलग-अलग लेकिन संबंधित धारणाओं को संदर्भित करता है:

• कलन और संबंधित क्षेत्रों में, एक रेखीय फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका फलन का ग्राफ एक सीधी रेखा होता है, अर्थात, बहुपद डिग्री शून्य या एक का बहुपद फलन। इस तरह के एक रैखिक कार्य को अन्य अवधारणा से अलग करने के लिए, एफ़िन रूपांतरण शब्द का प्रयोग अक्सर किया जाता है।
• रेखीय बीजगणित में, गणितीय विश्लेषण, और कार्यात्मक विश्लेषण, एक रैखिक कार्य एक रैखिक मानचित्र है।

एक बहुपद समारोह के रूप में

Main article: Linear function (calculus)

दो रैखिक कार्यों के रेखांकन।

कलन, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में, एक रेखीय फलन एक या उससे कम डिग्री का बहुपद होता है, जिसमें शून्य बहुपद भी शामिल होता है (उत्तरार्द्ध को डिग्री शून्य नहीं माना जाता है)।

जब कार्य केवल एक चर (गणित) का होता है, तो यह रूप का होता है

$f(x)=ax+b,$

कहाँ a और b स्थिर हैं (गणित), प्राय: वास्तविक संख्याएँ हैं। एक चर के ऐसे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक गैर लंबवत रेखा है। a अक्सर रेखा के ढलान के रूप में जाना जाता है, और b अवरोधन के रूप में।

यदि a> 0 है तो ढलान सकारात्मक है और ग्राफ ऊपर की ओर झुका हुआ है।

यदि < 0 है तो ढलान ऋणात्मक है और ग्राफ नीचे की ओर झुका हुआ है।

एक समारोह के लिए $f(x_{1},\ldots ,x_{k})$ चरों की किसी भी परिमित संख्या का, सामान्य सूत्र है

$f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},$

और ग्राफ आयाम का एक hyperplane है k.

इस संदर्भ में एक अचर फलन को रैखिक भी माना जाता है, क्योंकि यह डिग्री शून्य का बहुपद है या शून्य बहुपद है। इसका ग्राफ, जब केवल एक चर होता है, एक क्षैतिज रेखा होती है।

इस संदर्भ में, एक फ़ंक्शन जो एक रेखीय मानचित्र (दूसरा अर्थ) भी है, को एक सजातीय फ़ंक्शन रैखिक फ़ंक्शन या रैखिक रूप के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। रेखीय बीजगणित के संदर्भ में, डिग्री 0 या 1 के बहुपद कार्य अदिश-मूल्यवान सजातीय मानचित्र हैं।

एक रेखीय मानचित्र के रूप में

Main article: Linear map

एक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग पूर्णांक कार्यों के वेक्टर स्थान से वास्तविक संख्या तक एक रैखिक मानचित्र है।

रेखीय बीजगणित में, एक रेखीय फलन दो सदिश स्थानों s.t के बीच का मानचित्र f होता है।

$f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )$

$f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).$

यहाँ a किसी क्षेत्र (गणित) से संबंधित निरंतर को दर्शाता है K स्केलर (गणित) के (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएं) और x और y एक सदिश स्थान के तत्व हैं, जो हो सकता है K अपने आप।

अन्य शब्दों में रैखिक फलन सदिश जोड़ और अदिश गुणन को संरक्षित रखता है।

कुछ लेखक केवल रैखिक मानचित्रों के लिए रैखिक फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं जो स्केलर फ़ील्ड में मान लेते हैं; इन्हें आमतौर पर रैखिक रूप कहा जाता है।

कलन के रेखीय फलन रेखीय मानचित्र के रूप में योग्य होते हैं जब (और केवल जब) f(0, ..., 0) = 0, या, समतुल्य, जब उपरोक्त स्थिरांक b शून्य के बराबर। ज्यामितीय रूप से, फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल बिंदु से होकर गुजरना चाहिए।

यह भी देखें

• सजातीय कार्य
• नॉनलाइनियर सिस्टम
• टुकड़ावार रैखिक कार्य
• रैखिक सन्निकटन
• रेखिक आंतरिक
• असंतुलित रैखिक नक्शा
• रैखिक कम से कम वर्ग

संदर्भ

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
• Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
• James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
• Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6