नॉनलाइनियर सिस्टम

"Nonlinear dynamics" redirects here. For the journal, see Nonlinear Dynamics (journal).

This article is about "nonlinearity" in mathematics, physics and other sciences. For video and film editing, see Non-linear editing system. For other uses, see Nonlinearity (disambiguation).

गणित और विज्ञान में, एक nonlinear प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जिसमें आउटपुट का परिवर्तन इनपुट के परिवर्तन के लिए आनुपातिक नहीं है। नॉनलाइनियर समस्याएं इंजीनियरों, जीवविज्ञानी के लिए रुचि रखते हैं, भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ, और कई अन्य वैज्ञानिक क्योंकि अधिकांश प्रणालियां स्वाभाविक रूप से प्रकृति में नॉनलाइनियर हैं। Nonlinear डायनेमिक सिस्टम, समय के साथ चर में परिवर्तन का वर्णन करते हुए, अराजक, अप्रत्याशित, या काउंटरिंट्यूटिव, बहुत सरल रैखिक प्रणालियों के साथ विपरीत दिखाई दे सकता है।

आमतौर पर, एक nonlinear प्रणाली के व्यवहार को गणित में समीकरणों की एक गैर -प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक साथ समीकरणों का एक सेट है जिसमें अज्ञात (या अंतर समीकरणों के मामले में अज्ञात कार्य) डिग्री के बहुपद के चर के रूप में दिखाई देते हैं। एक से अधिक या किसी फ़ंक्शन के तर्क में जो डिग्री एक का बहुपद नहीं है। दूसरे शब्दों में, समीकरणों के एक गैर -प्रणाली में, हल किए जाने वाले समीकरण (ओं) को अज्ञात चर या उन कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जो उनमें दिखाई देते हैं। सिस्टम को गैर -रेखीय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, चाहे वे ज्ञात रैखिक कार्य समीकरणों में दिखाई दें। विशेष रूप से, एक अंतर समीकरण रैखिक है यदि यह अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के संदर्भ में रैखिक है, भले ही इसमें दिखाई देने वाले अन्य चर के संदर्भ में नॉनलाइनियर हो।

चूंकि nonlinear डायनेमिक समीकरणों को हल करना मुश्किल होता है, नॉनलाइनियर सिस्टम आमतौर पर रैखिक समीकरणों (रैखिककरण) द्वारा अनुमानित होते हैं। यह कुछ सटीकता और इनपुट मूल्यों के लिए कुछ सीमा तक अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन कुछ दिलचस्प घटनाएं जैसे कि सोलिटोन, अराजकता, और विलक्षणताएं रैखिककरण द्वारा छिपी हुई हैं।यह निम्नानुसार है कि एक nonlinear प्रणाली के गतिशील व्यवहार के कुछ पहलू प्रतिवाद, अप्रत्याशित या अराजक भी प्रतीत हो सकते हैं।यद्यपि इस तरह के अराजक व्यवहार यादृच्छिक व्यवहार से मिलते -जुलते हो सकते हैं, यह वास्तव में यादृच्छिक नहीं है।उदाहरण के लिए, मौसम के कुछ पहलुओं को अराजक देखा जाता है, जहां सिस्टम के एक हिस्से में सरल परिवर्तन जटिल प्रभाव पैदा करते हैं।यह नॉनलाइनरिटी एक कारण है कि वर्तमान तकनीक के साथ सटीक दीर्घकालिक पूर्वानुमान असंभव क्यों हैं।

कुछ लेखक nonlinear सिस्टम के अध्ययन के लिए nonlinear विज्ञान शब्द का उपयोग करते हैं।यह शब्द दूसरों द्वारा विवादित है:

Using a term like nonlinear science is like referring to the bulk of zoology as the study of non-elephant animals.

— Stanislaw Ulam

परिभाषा

गणित में, एक रैखिक मानचित्र (या रैखिक कार्य) $f(x)$ एक है जो निम्नलिखित दोनों गुणों को संतुष्ट करता है:

• Additivity या सुपरपोजिशन सिद्धांत: $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
• समरूपता: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

किसी भी तर्कसंगत α के लिए, किसी भी वास्तविक α के लिए, किसी भी तर्कसंगत α के लिए समरूपता का अर्थ है।एक जटिल α के लिए, समरूपता additivity से पालन नहीं करती है।उदाहरण के लिए, एक एंटीलिनियर मैप एडिटिव है, लेकिन सजातीय नहीं है।एडिटिविटी और समरूपता की शर्तों को अक्सर सुपरपोजिशन सिद्धांत में जोड़ा जाता है

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

एक समीकरण के रूप में लिखा

$f(x)=C$

अगर रैखिक कहा जाता है $f(x)$ एक रैखिक मानचित्र है (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) और अन्यथा nonlinear अन्यथा।समीकरण को सजातीय कहा जाता है $C=0$।

मानहानि $f(x)=C$ उस में बहुत सामान्य है $x$ कोई भी समझदार गणितीय वस्तु (संख्या, वेक्टर, फ़ंक्शन, आदि), और फ़ंक्शन हो सकता है $f(x)$ शाब्दिक रूप से किसी भी मैपिंग हो सकती है, जिसमें संबद्ध बाधाओं (जैसे सीमा मूल्यों) के साथ एकीकरण या भेदभाव शामिल है।यदि $f(x)$ के संबंध में भेदभाव शामिल है $x$, परिणाम एक अंतर समीकरण होगा।

nonlinear बीजगणितीय समीकरण

Main articles: Algebraic equation and System of polynomial equations

Nonlinear बीजगणितीय समीकरण, जिन्हें बहुपद समीकरण भी कहा जाता है, को बहुपदों (एक से अधिक डिग्री से अधिक) को शून्य से परिभाषित किया जाता है।उदाहरण के लिए,

$x^{2}+x-1=0\,.$

एक एकल बहुपद समीकरण के लिए, रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग समीकरण के समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है (यानी, समीकरण को संतुष्ट करने वाले चर के लिए मानों के सेट)।हालांकि, बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ अधिक जटिल हैं;उनका अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति के क्षेत्र के लिए एक प्रेरणा है, जो आधुनिक गणित की एक कठिन शाखा है।यह तय करना और भी मुश्किल है कि किसी दिए गए बीजीय प्रणाली में जटिल समाधान हैं (देखें हिल्बर्ट्स नुलस्टेलेंसैट्ज़)।फिर भी, जटिल समाधानों की एक सीमित संख्या के साथ प्रणालियों के मामले में, बहुपद समीकरणों के इन प्रणालियों को अब अच्छी तरह से समझा जाता है और उन्हें हल करने के लिए कुशल तरीके मौजूद हैं।

nonlinear पुनरावृत्ति संबंध

एक nonlinear पुनरावृत्ति संबंध पूर्ववर्ती शब्दों के एक गैर -कार्य समारोह के रूप में एक अनुक्रम के क्रमिक शब्दों को परिभाषित करता है।Nonlinear पुनरावृत्ति संबंधों के उदाहरण लॉजिस्टिक मैप और संबंध हैं जो विभिन्न हॉफस्टैटर अनुक्रमों को परिभाषित करते हैं।Nonlinear असतत मॉडल जो nonlinear पुनरावृत्ति संबंधों के एक विस्तृत वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हैं, उनमें Narmax (Nonlinear Autoregressive मूविंग एवरेज विथ एक्सोजेनस इनपुट्स) मॉडल और संबंधित नॉनलाइनियर सिस्टम पहचान और विश्लेषण प्रक्रियाएं शामिल हैं। इन दृष्टिकोणों का उपयोग समय, आवृत्ति और स्पैटो-टेम्पोरल डोमेन में जटिल गैर-व्यवहार व्यवहारों की एक विस्तृत कक्षा का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

nonlinear अंतर समीकरण

अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को गैर -रेखीय कहा जाता है यदि यह रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली नहीं है। Nonlinear अंतर समीकरणों से जुड़ी समस्याएं बेहद विविध हैं, और समाधान या विश्लेषण के तरीके समस्या पर निर्भर हैं। नॉनलाइनियर डिफरेंशियल इक्वेशन के उदाहरण तरल पदार्थ की गतिशीलता में नवियर -स्टोक्स समीकरण और जीव विज्ञान में लोटका -वोल्ट्रा समीकरण हैं।

Nonlinear समस्याओं की सबसे बड़ी कठिनाइयों में से एक यह है कि आम तौर पर ज्ञात समाधानों को नए समाधानों में संयोजित करना संभव नहीं है। रैखिक समस्याओं में, उदाहरण के लिए, सुपरपोजिशन सिद्धांत के माध्यम से सामान्य समाधानों का निर्माण करने के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के एक परिवार का उपयोग किया जा सकता है। इसका एक अच्छा उदाहरण डिरिचलेट सीमा स्थितियों के साथ एक आयामी गर्मी परिवहन है, जिसका समाधान अलग-अलग आवृत्तियों के साइनसोइड्स के समय-निर्भर रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; यह समाधान बहुत लचीला बनाता है। यह अक्सर नॉनलाइनियर समीकरणों के लिए कई बहुत विशिष्ट समाधान खोजना संभव होता है, हालांकि एक सुपरपोजिशन सिद्धांत की कमी नए समाधानों के निर्माण को रोकती है।

साधारण अंतर समीकरण

प्रथम आदेश साधारण अंतर समीकरण अक्सर चर के पृथक्करण द्वारा बिल्कुल हल करने योग्य होते हैं, विशेष रूप से स्वायत्त समीकरणों के लिए।उदाहरण के लिए, nonlinear समीकरण

${\frac {du}{dx}}=-u^{2}$

है $u={\frac {1}{x+C}}$ एक सामान्य समाधान के रूप में (और भी $u=0$ एक विशेष समाधान के रूप में, सामान्य समाधान की सीमा के अनुरूप जब C अनंतता के लिए जाता है)।समीकरण nonlinear है क्योंकि इसे के रूप में लिखा जा सकता है

${\frac {du}{dx}}+u^{2}=0$

और समीकरण के बाएं हाथ का एक रैखिक कार्य नहीं है $u$ और इसके डेरिवेटिव।ध्यान दें कि यदि $u^{2}$ शब्द को बदल दिया गया $u$, समस्या रैखिक होगी (घातीय क्षय समस्या)।

दूसरे और उच्चतर क्रम साधारण अंतर समीकरण (अधिक आम तौर पर, नॉनलाइनियर समीकरणों की प्रणालियां) शायद ही कभी बंद-रूप अभिव्यक्ति की उपज देती हैं। बंद-रूप समाधान, हालांकि निहित समाधान और गैर-अभिन्न अंगों से जुड़े समाधानों का सामना किया जाता है।

Nonlinear साधारण अंतर समीकरणों के गुणात्मक विश्लेषण के लिए सामान्य तरीकों में शामिल हैं:

• किसी भी संरक्षित मात्रा की जांच, विशेष रूप से हैमिल्टन सिस्टम में
• विघटनकारी मात्रा की जांच (देखें ल्यपुनोव फ़ंक्शन) संरक्षित मात्रा के अनुरूप
• टेलर विस्तार के माध्यम से रैखिककरण
• कुछ आसान अध्ययन में चर का परिवर्तन
• द्विभाजन सिद्धांत
• गड़बड़ी के तरीके (बीजगणितीय समीकरणों पर भी लागू किया जा सकता है)
• परिमित अवधि के समाधान का अस्तित्व, जो कुछ गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरणों के लिए विशिष्ट परिस्थितियों में हो सकता है।

आंशिक अंतर समीकरण

Main article: Nonlinear partial differential equation

See also: List of nonlinear partial differential equations

Nonlinear आंशिक अंतर समीकरणों का अध्ययन करने के लिए सबसे आम बुनियादी दृष्टिकोण चर को बदलना है (या अन्यथा समस्या को बदलना) ताकि परिणामी समस्या सरल हो (संभवतः रैखिक)। कभी -कभी, समीकरण को एक या एक से अधिक साधारण अंतर समीकरणों में बदल दिया जा सकता है, जैसा कि चर के पृथक्करण में देखा जाता है, जो हमेशा उपयोगी होता है कि परिणामी साधारण अंतर समीकरण (एस) हल करने योग्य है।

एक अन्य सामान्य (हालांकि कम गणितीय) रणनीति, जिसे अक्सर द्रव और गर्मी यांत्रिकी में शोषण किया जाता है, एक निश्चित विशिष्ट सीमा मूल्य समस्या में एक सामान्य, प्राकृतिक समीकरण को सरल बनाने के लिए स्केल विश्लेषण का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, (बहुत) nonlinear Navier-Stokes समीकरणों को क्षणिक, लामिनार, एक परिपत्र पाइप में एक आयामी प्रवाह के मामले में एक रैखिक आंशिक अंतर समीकरण में सरल किया जा सकता है; स्केल विश्लेषण ऐसी स्थिति प्रदान करता है जिसके तहत प्रवाह लामिना और एक आयामी है और सरलीकृत समीकरण को भी पैदा करता है।

अन्य तरीकों में विशेषताओं की जांच करना और साधारण अंतर समीकरणों के लिए ऊपर दिए गए तरीकों का उपयोग करना शामिल है।

पेंडुला

Main article: Pendulum (mathematics)

सही

सही

एक क्लासिक, बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया nonlinear समस्या गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में एक घर्षण रहित पेंडुलम की गतिशीलता है।लैग्रैन्जियन मैकेनिक्स का उपयोग करते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि एक पेंडुलम की गति को आयामहीन nonlinear समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0$

जहां गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर इशारा करता है और $\theta$ क्या कोण पेंडुलम अपनी आराम की स्थिति के साथ बनता है, जैसा कि सही में चित्र में दिखाया गया है।इस समीकरण को हल करने के लिए एक दृष्टिकोण उपयोग करना है $d\theta /dt$ एक एकीकृत कारक के रूप में, जो अंततः उपज देगा

$\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}$

जो एक अण्डाकार अभिन्न शामिल है, एक अंतर्निहित समाधान है।इस समाधान में आम तौर पर कई उपयोग नहीं होते हैं क्योंकि समाधान की अधिकांश प्रकृति गैर -अभिन्न अंग में छिपी हुई है $C_{0}=2$)।

समस्या का सामना करने का एक और तरीका टेलर विस्तार के माध्यम से ब्याज के विभिन्न बिंदुओं पर किसी भी गैर -किसी भी नॉनलाइनरिटी (इस मामले में साइन फ़ंक्शन शब्द) को रैखिक करना है।उदाहरण के लिए, रैखिककरण पर $\theta =0$, छोटे कोण सन्निकटन कहा जाता है, है

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0$

जबसे $\sin(\theta )\approx \theta$ के लिये $\theta \approx 0$।यह एक सरल हार्मोनिक थरथरानवाला है जो इसके पथ के नीचे पेंडुलम के दोलनों के अनुरूप है।एक और रैखिककरण होगा $\theta =\pi$, पेंडुलम के सीधे होने के कारण:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0$

जबसे $\sin(\theta )\approx \pi -\theta$ के लिये $\theta \approx \pi$।इस समस्या के समाधान में हाइपरबोलिक साइनसोइड्स शामिल हैं, और ध्यान दें कि छोटे कोण सन्निकटन के विपरीत, यह सन्निकटन अस्थिर है, जिसका अर्थ है कि $|\theta |$ आमतौर पर सीमा के बिना बढ़ेगा, हालांकि बंधे समाधान संभव हैं।यह एक पेंडुलम को संतुलित करने की कठिनाई से मेल खाती है, यह सचमुच एक अस्थिर राज्य है।

एक और दिलचस्प रैखिककरण के आसपास संभव है $\theta =\pi /2$, जिसके चारों ओर $\sin(\theta )\approx 1$:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.$

यह एक मुक्त गिरावट की समस्या से मेल खाती है।पेंडुलम की गतिशीलता की एक बहुत ही उपयोगी गुणात्मक तस्वीर इस तरह के रैखिकों को एक साथ जोड़कर प्राप्त की जा सकती है, जैसा कि सही में आंकड़े में देखा गया है।अन्य तकनीकों का उपयोग चरण चित्रों और अनुमानित अवधि को खोजने के लिए किया जा सकता है।

nonlinear गतिशील व्यवहार के प्रकार

• आयाम मृत्यु - सिस्टम में मौजूद कोई भी दोलन एक ही प्रणाली द्वारा अन्य प्रणाली या प्रतिक्रिया के साथ किसी प्रकार की बातचीत के कारण बंद हो जाता है
• अराजकता - एक प्रणाली के मूल्यों को भविष्य में अनिश्चित काल तक भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है, और उतार -चढ़ाव aperiodic हैं
• मल्टीस्टेबिलिटी - दो या अधिक स्थिर राज्यों की उपस्थिति
• सॉलिटन-एकान्त तरंगों को आत्म-सुदृढ़ करना
• चक्रों को सीमित करें - एसिम्प्टोटिक आवधिक कक्षाएं जिनसे अस्थिर निश्चित बिंदु आकर्षित होते हैं।
• स्व-गठबंधन | स्व-दोलन-प्रतिक्रिया दोलन खुले विघटनकारी भौतिक प्रणालियों में हो रहे हैं।

nonlinear समीकरणों के उदाहरण

• बीजगणितीय रिक्काती समीकरण
• बॉल और बीम सिस्टम
• इष्टतम नीति के लिए बेलमैन समीकरण
• बोल्ट्जमैन समीकरण
• कोलब्रुक समीकरण
• सामान्य सापेक्षता
• गिन्ज़बर्ग -लैंडौ थ्योरी
• इशिमोरी समीकरण
• कडोम्टसेव -पेटवियाशविली समीकरण
• Korteweg -de vries समीकरण
• Landau -Lifshitz -Gilbert समीकरण
• लेनार्ड समीकरण
• नवियर -स्टोक्स फ्लुइड डायनेमिक्स के समीकरण
• Nonlinear ऑप्टिक्स
• Nonlinear श्रोडिंगर समीकरण
• पावर-फ्लो स्टडी
• असंतृप्त जल प्रवाह के लिए रिचर्ड्स समीकरण
• सेल्फ-बैलेंसिंग यूनीसाइकिल
• साइन-गॉर्डन समीकरण
• वैन डेर पोल ऑसिलेटर
• व्लासोव समीकरण

यह भी देखें

• अलेक्जेंड्र मिखाइलोविच ल्यापुनोव
• डायनेमिक सिस्टम
• प्रतिपुष्टि
• आरंभिक दशा
• परस्पर क्रिया
• रैखिक प्रणाली
• मोड युग्मन
• वेक्टर सोलिटॉन
• वोल्टेरा श्रृंखला

अग्रिम पठन

• Diederich Hinrichsen and Anthony J. Pritchard (2005). Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer Verlag. ISBN 9783540441250.
• Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Nonlinear Ordinary Differential Equations (fourth ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1.
• Khalil, Hassan K. (2001). Nonlinear Systems. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Kreyszig, Erwin (1998). Advanced Engineering Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-15496-9.
• Sontag, Eduardo (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. ISBN 978-0-387-98489-6.

बाहरी संबंध

• Command and Control Research Program (CCRP)
• New England Complex Systems Institute: Concepts in Complex Systems
• Nonlinear Dynamics I: Chaos at MIT's OpenCourseWare
• Nonlinear Model Library – (in MATLAB) a Database of Physical Systems
• The Center for Nonlinear Studies at Los Alamos National Laboratory