रैखिक सन्निकटन

स्पर्श रेखा पर (a, f(a))

गणित में, एक रैखिक सन्निकटन एक रैखिक फ़ंक्शन (अधिक सटीक, एक एफाइन फंक्शन ) का उपयोग करके एक सामान्य फ़ंक्शन (गणित) का अनुमान है। समीकरणों के समाधान को हल करने या अनुमान लगाने के लिए प्रथम क्रम विधियों का उत्पादन करने के लिए उनका व्यापक रूप से परिमित अंतर की विधि में उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

एक दो बार लगातार भिन्न कार्य को देखते हुए $f$ एक वास्तविक संख्या चर का, मामले के लिए टेलर का प्रमेय $n=1$ बताता है

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}$$

कहाँ पे $R_{2}$ शेष पद है। शेष को छोड़कर रैखिक सन्निकटन प्राप्त किया जाता है:

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

यह एक अच्छा सन्निकटन है जब $x$ के काफी करीब है $a$; चूंकि एक वक्र, जब बारीकी से देखा जाता है, तो एक सीधी रेखा जैसा दिखना शुरू हो जाएगा। इसलिए, दायीं ओर का व्यंजक के ग्राफ की स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण मात्र है $f$ पर $(a,f(a))$. इस कारण से, इस प्रक्रिया को स्पर्शरेखा रेखा सन्निकटन भी कहा जाता है।

यदि $f$ के बीच के अंतराल में अवतल है $x$ तथा $a$, सन्निकटन एक overestimate होगा (चूंकि उस अंतराल में व्युत्पन्न घट रहा है)। यदि $f$ अवतल है, सन्निकटन को कम करके आंका जाएगा। एक वेक्टर चर के वेक्टर (ज्यामितीय) कार्यों के लिए रैखिक सन्निकटन उसी तरह प्राप्त किया जाता है, जिसमें व्युत्पन्न को जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक मैट्रिक्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक भिन्न कार्य दिया गया है $f(x,y)$ वास्तविक मूल्यों के साथ, कोई अनुमान लगा सकता है $f(x,y)$ के लिये $(x,y)$ के करीब $(a,b)$ सूत्र द्वारा

$$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$$

दायीं ओर, के ग्राफ के समतल स्पर्शरेखा का समीकरण है $z=f(x,y)$ पर $(a,b).$ बनच रिक्त स्थान के अधिक सामान्य मामले में, एक है

$$f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)$$

कहाँ पे $Df(a)$ फ्रेचेट का व्युत्पन्न है $f$ पर $a$.

आवेदन

प्रकाशिकी

Main article: Gaussian optics

गॉसियन ऑप्टिक्स ज्यामितीय प्रकाशिकी में एक तकनीक है जो पैरेक्सियल सन्निकटन का उपयोग करके ऑप्टिकल सिस्टम में प्रकाश किरणों के व्यवहार का वर्णन करती है, जिसमें केवल किरणें जो सिस्टम के ऑप्टिकल अक्ष के साथ छोटे कोण बनाती हैं, पर विचार किया जाता है। इस सन्निकटन में, त्रिकोणमितीय फलनों को कोणों के रैखिक फलनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। गाऊसी प्रकाशिकी उन प्रणालियों पर लागू होती है जिनमें सभी ऑप्टिकल सतह या तो सपाट होती हैं या एक गोले के हिस्से होते हैं। इस मामले में, घटक तत्वों के ज्यामितीय आकार और भौतिक गुणों के संदर्भ में, फोकल दूरी, आवर्धन और चमक जैसे इमेजिंग सिस्टम के पैरामीटर के लिए सरल स्पष्ट सूत्र दिए जा सकते हैं।

दोलन की अवधि

Main article: Pendulum

एक पेंडुलम (गणित) के झूलने की अवधि # सरल गुरुत्वाकर्षण पेंडुलम इसकी लंबाई , स्थानीय गुरुत्वाकर्षण त्वरण , और कुछ हद तक अधिकतम कोण पर निर्भर करता है कि पेंडुलम ऊर्ध्वाधर से दूर झूलता है, θ₀, आयाम कहा जाता है। यह गोलक के द्रव्यमान से स्वतंत्र है। एक साधारण पेंडुलम की सही अवधि टी, एक आदर्श सरल गुरुत्वाकर्षण पेंडुलम के पूर्ण चक्र के लिए लिया गया समय, कई अलग-अलग रूपों में लिखा जा सकता है (पेंडुलम (गणित) देखें), एक उदाहरण अनंत श्रृंखला है:

$$T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)$$

जहां L लोलक की लंबाई है और g स्थानीय गुरुत्वीय त्वरण है।

हालाँकि, यदि कोई रैखिक सन्निकटन लेता है (अर्थात यदि आयाम छोटे झूलों तक सीमित है, ) आवृत्ति है:

$$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1$$

(1)

रैखिक सन्निकटन में, विभिन्न आकार के झूलों के लिए झूले की अवधि लगभग समान होती है: अर्थात, अवधि आयाम से स्वतंत्र होती है। यह गुण, जिसे समकालिकता कहा जाता है, यही कारण है कि पेंडुलम टाइमकीपिंग के लिए इतने उपयोगी हैं। पेंडुलम के क्रमिक झूलों, भले ही आयाम में परिवर्तन हो, उतना ही समय लगता है।

विद्युत प्रतिरोधकता

Main article: Electrical resistivity

अधिकांश सामग्रियों की विद्युत प्रतिरोधकता तापमान के साथ बदलती है। यदि तापमान T बहुत अधिक भिन्न नहीं होता है, तो आमतौर पर एक रैखिक सन्निकटन का उपयोग किया जाता है:

$$\rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]$$

कहाँ पे $\alpha$ प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक कहलाता है, $T_{0}$ एक निश्चित संदर्भ तापमान है (आमतौर पर कमरे का तापमान), और $\rho _{0}$ तापमान पर प्रतिरोधकता है $T_{0}$. पैरामीटर $\alpha$ माप डेटा से लगाया गया एक अनुभवजन्य पैरामीटर है। क्योंकि रैखिक सन्निकटन केवल एक सन्निकटन है, $\alpha$ विभिन्न संदर्भ तापमान के लिए अलग है। इस कारण से तापमान को निर्दिष्ट करना सामान्य है कि $\alpha$ एक प्रत्यय के साथ मापा गया था, जैसे कि $\alpha _{15}$, और संबंध केवल संदर्भ के आस-पास के तापमान की एक सीमा में रहता है। जब तापमान एक बड़ी तापमान सीमा में भिन्न होता है, तो रैखिक सन्निकटन अपर्याप्त होता है और अधिक विस्तृत विश्लेषण और समझ का उपयोग किया जाना चाहिए।

यह भी देखें

• द्विपद सन्निकटन
• यूलर की विधि
• परिमित मतभेद
• परिमित अंतर विधियाँ
• न्यूटन की विधि
• बिजली की श्रृंखला
• टेलर श्रृंखला

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

• रैखिक प्रकार्य
• सीमित अंतर
• अंक शास्त्र
• समारोह (गणित)
• अवतल नीचे
• ऊपर की ओर अवतल
• बनच स्पेस
• पैराएक्सियल सन्निकटन
• वृत्त
• परिमित अंतर विधियां

अग्रिम पठन

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Calculus III. Berlin: Springer-Verlag. p. 775. ISBN 0-387-90985-0.
• Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley College. p. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
• Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. p. 118. ISBN 0-7641-2382-3.