जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक

"Jacobian matrix" redirects here. For the operator, see Jacobi matrix (operator).

वेक्टर कैलकुलस में, जैकोबियन मैट्रिक्स (/dʒəˈkoʊbiən/, /dʒɪ-, jɪ-/) कई चरों के एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन का मैट्रिक्स (गणित) इसके सभी प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव का मैट्रिक्स (गणित) है। जब यह मैट्रिक्स वर्गाकार मैट्रिक्स होता है, यानी, जब फ़ंक्शन इनपुट के रूप में अपने आउटपुट के यूक्लिडियन_वेक्टर#डीकंपोजिशन की संख्या के समान चर लेता है, तो इसके निर्धारक को जैकोबियन निर्धारक के रूप में जाना जाता है। मैट्रिक्स और (यदि लागू हो) निर्धारक दोनों को अक्सर साहित्य में जैकोबियन के रूप में संदर्भित किया जाता है।

उदाहरण

कल्पना करना f : Rⁿ → R^m एक फ़ंक्शन ऐसा है कि इसके प्रत्येक प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न मौजूद हैं Rⁿ. यह फ़ंक्शन एक बिंदु लेता है x ∈ Rⁿ इनपुट के रूप में और वेक्टर उत्पन्न करता है f(x) ∈ R^m आउटपुट के रूप में। फिर जैकोबियन मैट्रिक्स f को एक के रूप में परिभाषित किया गया है m×n मैट्रिक्स, द्वारा निरूपित J, किसका (i,j)वीं प्रविष्टि है ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$, या स्पष्ट रूप से

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

कहाँ $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ के ग्रेडियेंट का ट्रांसपोज़ (पंक्ति वेक्टर) है $i$ अवयव।

जैकोबियन मैट्रिक्स, जिसकी प्रविष्टियाँ के कार्य हैं x, विभिन्न तरीकों से दर्शाया गया है; सामान्य संकेतन में शामिल हैं Df, J_f, $\nabla \mathbf {f}$, और ${\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}$. कुछ लेखक जैकोबियन को ऊपर दिए गए रूप के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित करते हैं।

जैकोबियन मैट्रिक्स Matrix_(mathematics)#Linear_transformations का कुल व्युत्पन्न f हर बिंदु पर जहां f अवकलनीय है. विस्तार से, यदि h एक विस्थापन वेक्टर है जो एक स्तंभ मैट्रिक्स, मैट्रिक्स उत्पाद द्वारा दर्शाया जाता है J(x) ⋅ h एक अन्य विस्थापन वेक्टर है, जो कि परिवर्तन का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है f के एक पड़ोस में (गणित)। x, अगर f(x) अवकलनीय फलन है x. इसका मतलब यह है कि जो फ़ंक्शन मैप करता है y को f(x) + J(x) ⋅ (y – x) का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है f(y) सभी बिंदुओं के लिए y के करीब x. रेखीय मानचित्र h → J(x) ⋅ h को व्युत्पन्न या कुल व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है f पर x.

कब m = n, जैकोबियन मैट्रिक्स वर्गाकार है, इसलिए इसका निर्धारक एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य है x, जैकोबियन निर्धारक के रूप में जाना जाता है f. इसमें स्थानीय व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी होती है f. विशेष रूप से, समारोह f का एक बिंदु के पड़ोस में एक अवकलनीय व्युत्क्रम कार्य होता है x यदि और केवल यदि जैकोबियन निर्धारक शून्येतर है x (वैश्विक परिवर्तनशीलता की संबंधित समस्या के लिए जैकोबियन अनुमान देखें)। जैकोबियन निर्धारक कई अभिन्नों में चर बदलते समय भी प्रकट होता है (देखें Integration_by_substitution#Substitution_for_multiple_variables)।

कब m = 1, तभी f : Rⁿ → R एक अदिश क्षेत्र है | अदिश-मूल्यवान फ़ंक्शन, जैकोबियन मैट्रिक्स पंक्ति वेक्टर तक कम हो जाता है $\nabla ^{\mathrm {T} }f$; सभी प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्नों की यह पंक्ति वेक्टर f के ग्रेडिएंट का स्थानान्तरण है f, अर्थात। $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f$. आगे विशेषज्ञता, कब m = n = 1, तभी f : R → R एक अदिश क्षेत्र है|एक एकल चर का अदिश-मूल्यवान फ़ंक्शन, जैकोबियन मैट्रिक्स में एक एकल प्रविष्टि है; यह प्रविष्टि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है f.

इन अवधारणाओं का नाम गणितज्ञ कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी (1804-1851) के नाम पर रखा गया है।

जैकोबियन मैट्रिक्स

कई चर में एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन का जैकोबियन कई चर में एक स्केलर (गणित)-मूल्यवान फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट को सामान्यीकृत करता है, जो बदले में एक एकल चर के स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को सामान्यीकृत करता है। दूसरे शब्दों में, एक स्केलर-वैल्यू बहुभिन्नरूपी कार्य का जैकोबियन मैट्रिक्स इसका ग्रेडिएंट (स्थानांतरण) है और एकल वेरिएबल के स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट इसका व्युत्पन्न है।

प्रत्येक बिंदु पर जहां एक फ़ंक्शन भिन्न होता है, इसके जैकोबियन मैट्रिक्स को उस बिंदु के पास स्थानीय रूप से लगाए गए खिंचाव, घूर्णन या परिवर्तन की मात्रा का वर्णन करने के रूप में भी सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि (x′, y′) = f(x, y) का उपयोग किसी छवि को सुचारू रूप से बदलने के लिए किया जाता है, जैकोबियन मैट्रिक्स J_f(x, y), वर्णन करता है कि पड़ोस में छवि कैसी है (x, y) रूपांतरित हो गया है।

यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो इसका अंतर जैकोबियन मैट्रिक्स द्वारा निर्देशांक में दिया गया है। हालाँकि, किसी फ़ंक्शन को उसके जैकोबियन मैट्रिक्स को परिभाषित करने के लिए भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि केवल इसके प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न का अस्तित्व आवश्यक है।

अगर f एक बिंदु पर व्युत्पन्न है p में Rⁿ, तो इसके कुल व्युत्पन्न#कुल व्युत्पन्न को एक रेखीय मानचित्र के रूप में दर्शाया जाता है J_f(p). इस मामले में, रैखिक परिवर्तन द्वारा दर्शाया गया है J_f(p) का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है f बिंदु के निकट p, इस अर्थ में कि

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$

कहाँ o(‖x − p‖) एक Big_O_notation#Little-o_notation है जो यूक्लिडियन दूरी की तुलना में बहुत तेजी से शून्य तक पहुंचता है x और p जैसा करता है x दृष्टिकोण p. यह सन्निकटन एक एकल चर के अदिश फलन को उसके डिग्री एक के टेलर बहुपद द्वारा सन्निकटन करने में माहिर है, अर्थात्

$f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)$.

इस अर्थ में, जैकोबियन को एक प्रकार के व्युत्पन्न के रूप में माना जा सकता है | कई चर के वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन का प्रथम-क्रम व्युत्पन्न। विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि कई चर के स्केलर-मूल्य वाले फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट को इसके प्रथम-क्रम व्युत्पन्न के रूप में भी माना जा सकता है।

कंपोजिटेबल डिफरेंशियल फ़ंक्शंस f : Rⁿ → R^m और g : R^m → R^k अर्थात् चेन_नियम#सामान्य_नियम को संतुष्ट करें $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ के लिए x में Rⁿ.

कई चरों वाले एक अदिश फलन के ग्रेडिएंट के जैकोबियन का एक विशेष नाम होता है: हेस्सियन मैट्रिक्स , जो एक अर्थ में प्रश्न में फलन का दूसरा व्युत्पन्न है।

जैकोबियन निर्धारक

एक अरेखीय मानचित्र $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ एक विकृत समांतर चतुर्भुज (दाएं, लाल रंग में) में एक छोटा वर्ग (बाएं, लाल रंग में) भेजता है। एक बिंदु पर जैकोबियन उस बिंदु के निकट विकृत समांतर चतुर्भुज का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन देता है (दाएं, पारभासी सफेद रंग में), और जैकोबियन निर्धारक अनुमानित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का मूल वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात देता है।

अगर m = n, तब f से एक फ़ंक्शन है Rⁿ अपने आप में और जैकोबियन मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है। फिर हम इसका निर्धारक बना सकते हैं, जिसे जैकोबियन निर्धारक के रूप में जाना जाता है। जैकोबियन निर्धारक को कभी-कभी केवल जैकोबियन कहा जाता है।

किसी दिए गए बिंदु पर जैकोबियन निर्धारक के व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी देता है f उस बिंदु के निकट. उदाहरण के लिए, निरंतर भिन्न कार्य f एक बिंदु के निकट व्युत्क्रमणीय है p ∈ Rⁿ यदि जैकोबियन निर्धारक पर p गैर-शून्य है. यह व्युत्क्रम फलन प्रमेय है। इसके अलावा, यदि जैकोबियन निर्धारक पर p तो फिर धनात्मक संख्या है f अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) को पास में सुरक्षित रखता है p; यदि यह ऋणात्मक संख्या है, fअभिविन्यास को उलट देता है। जैकोबियन निर्धारक का पूर्ण मूल्य p हमें वह कारक देता है जिसके द्वारा कार्य होता है f आयतन को पास में फैलाता या सिकोड़ता है p; यही कारण है कि यह सामान्य प्रतिस्थापन नियम में होता है।

जेकोबियन निर्धारक का उपयोग प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण करते समय किया जाता है#कई चर के लिए प्रतिस्थापन जब किसी फ़ंक्शन के डोमेन के भीतर एक क्षेत्र पर एकाधिक अभिन्न अंग का मूल्यांकन किया जाता है। निर्देशांक में परिवर्तन को समायोजित करने के लिए जैकोबियन निर्धारक का परिमाण अभिन्न के भीतर एक गुणक कारक के रूप में उत्पन्न होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि n-आयामी dVतत्व नई समन्वय प्रणाली में आम तौर पर एक समानांतर चतुर्भुज है, और n-समानांतर चतुर्भुज का आयतन उसके किनारे वाले सदिशों का निर्धारक होता है।

जैकोबियन का उपयोग संतुलन बिंदु के निकट व्यवहार का अनुमान लगाकर मैट्रिक्स अंतर समीकरण के लिए संतुलन बिंदु की स्थिरता निर्धारित करने के लिए भी किया जा सकता है।

उलटा

व्युत्क्रम फलन प्रमेय के अनुसार, एक व्युत्क्रमणीय फलन के जैकोबियन मैट्रिक्स का व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स, व्युत्क्रम फलन का जैकोबियन मैट्रिक्स है। यानी, यदि फ़ंक्शन का जैकोबियन f : Rⁿ → Rⁿ बिंदु पर सतत और निरर्थक है p में Rⁿ, तब f कुछ पड़ोस तक सीमित होने पर उलटा होता है p और

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }}^{-1}.$

दूसरे शब्दों में, यदि जैकोबियन निर्धारक किसी बिंदु पर शून्य नहीं है, तो फ़ंक्शन इस बिंदु के निकट स्थानीय रूप से उलटा होता है, यानी, इस बिंदु का एक पड़ोस (गणित) होता है जिसमें फ़ंक्शन उलटा होता है।

(अप्रमाणित) जैकोबियन अनुमान एक बहुपद फलन के मामले में वैश्विक व्युत्क्रमणता से संबंधित है, जो कि n चरों में n बहुपद द्वारा परिभाषित एक फलन है। यह दावा करता है कि, यदि जैकोबियन निर्धारक एक गैर-शून्य स्थिरांक है (या, समकक्ष, इसमें कोई जटिल शून्य नहीं है), तो फ़ंक्शन उलटा है और इसका व्युत्क्रम एक बहुपद फ़ंक्शन है।

महत्वपूर्ण बिंदु

Main article: Critical point

अगर f : Rⁿ → R^m एक अवकलनीय कार्य है, एक महत्वपूर्ण बिंदु है f एक बिंदु है जहां जैकोबियन मैट्रिक्स की रैंक (रैखिक बीजगणित) अधिकतम नहीं है। इसका मतलब यह है कि महत्वपूर्ण बिंदु पर रैंक किसी पड़ोसी बिंदु पर रैंक से कम है। दूसरे शब्दों में, चलो k की छवि में निहित खुली गेंदों का अधिकतम आयाम हो f; यदि सभी छोटे (रैखिक बीजगणित) रैंक के हैं तो एक बिंदु महत्वपूर्ण है k का fशून्य हैं.

मामले में जहां m = n = k, यदि जैकोबियन निर्धारक शून्य है तो एक बिंदु महत्वपूर्ण है।

उदाहरण

उदाहरण 1

फ़ंक्शन पर विचार करें f : R² → R², साथ (x, y) ↦ (f₁(x, y), f₂(x, y)), द्वारा दिए गए

$\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.$

तो हमारे पास हैं

$f_{1}(x,y)=x^{2}y$

और

$f_{2}(x,y)=5x+\sin y$

और जेकोबियन मैट्रिक्स f है

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}$

और जैकोबियन निर्धारक है

$\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.$

उदाहरण 2: ध्रुवीय-कार्टेशियन परिवर्तन

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली से परिवर्तन (r, φ) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (x, y) को, फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है F: R⁺ × [0, 2π) → R² घटकों के साथ:

${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}$

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$

जैकोबियन निर्धारक के बराबर है r. इसका उपयोग दो समन्वय प्रणालियों के बीच इंटीग्रल को बदलने के लिए किया जा सकता है:

$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$

उदाहरण 3: गोलाकार-कार्टेशियन परिवर्तन

गोलाकार समन्वय प्रणाली से परिवर्तन (ρ, φ, θ) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (x, y, z) को फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है F: R⁺ × [0, π) × [0, 2π) → R³ घटकों के साथ:

${\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}$

इस समन्वय परिवर्तन के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स है

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.$

निर्धारक है ρ² sin φ. तब से dV = dx dy dz एक आयताकार विभेदक आयतन तत्व का आयतन है (क्योंकि एक आयताकार प्रिज्म का आयतन उसकी भुजाओं का गुणनफल है), हम इसकी व्याख्या कर सकते हैं dV = ρ² sin φ dρ dφ dθगोलाकार विभेदक आयतन तत्व के आयतन के रूप में। आयताकार अंतर आयतन तत्व के आयतन के विपरीत, इस अंतर आयतन तत्व का आयतन स्थिर नहीं है, और निर्देशांक के साथ बदलता रहता है (ρ और φ). इसका उपयोग दो समन्वय प्रणालियों के बीच इंटीग्रल को बदलने के लिए किया जा सकता है:

$\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$

उदाहरण 4

फ़ंक्शन का जैकोबियन मैट्रिक्स F : R³ → R⁴घटकों के साथ

${\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}$

है

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.$

यह उदाहरण दिखाता है कि जैकोबियन मैट्रिक्स को एक वर्ग मैट्रिक्स होने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 5

फ़ंक्शन का जैकोबियन निर्धारक F : R³ → R³घटकों के साथ

${\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}$

है

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$

इससे हमें यह पता चलता है F उन बिंदुओं पर रिवर्स ओरिएंटेशन जहां x₁ और x₂ एक ही चिन्ह है; यह फ़ंक्शन निकट बिंदुओं को छोड़कर हर जगह स्थानीय रूप से उलटा है x₁ = 0 या x₂ = 0. सहज रूप से, यदि कोई बिंदु के चारों ओर एक छोटी वस्तु से शुरुआत करता है (1, 2, 3)और आवेदन करें F उस वस्तु के लिए, किसी को लगभग परिणामी वस्तु प्राप्त होगी 40 × 1 × 2 = 80 मूल आयतन के आयतन का गुना, अभिविन्यास विपरीत के साथ।

अन्य उपयोग

प्रतिगमन और न्यूनतम वर्ग फिटिंग

जैकोबियन सांख्यिकीय प्रतिगमन विश्लेषण और वक्र फिटिंग में एक रैखिक डिजाइन मैट्रिक्स के रूप में कार्य करता है; अरैखिक न्यूनतम वर्ग देखें. जैकोबियन का उपयोग स्थानीय संवेदनशीलता और सांख्यिकीय निदान में भी किया जाता है।

डायनामिकल सिस्टम

प्रपत्र की एक गतिशील प्रणाली पर विचार करें ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$, कहाँ ${\dot {\mathbf {x} }}$ (घटक-वार) का व्युत्पन्न है $\mathbf {x}$ विकास पैरामीटर के संबंध में $t$ (समय और $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ विभेदनीय है. अगर $F(\mathbf {x} _{0})=0$, तब $\mathbf {x} _{0}$ एक स्थिर बिंदु है (जिसे स्थिर अवस्था भी कहा जाता है)। हार्टमैन-ग्रोबमैन प्रमेय के अनुसार, एक स्थिर बिंदु के पास सिस्टम का व्यवहार eigenvalues ​​​​से संबंधित है $\mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)$, जैकोबियन का $F$ स्थिर बिंदु पर. विशेष रूप से, यदि सभी eigenvalues ​​​​में वास्तविक भाग हैं जो नकारात्मक हैं, तो सिस्टम स्थिर बिंदु के पास स्थिर है, यदि किसी eigenvalue में वास्तविक भाग है जो सकारात्मक है, तो बिंदु अस्थिर है। यदि आइगेनवैल्यू का सबसे बड़ा वास्तविक हिस्सा शून्य है, तो जैकोबियन मैट्रिक्स स्थिरता के मूल्यांकन की अनुमति नहीं देता है।

न्यूटन की विधि

युग्मित अरेखीय समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली को न्यूटन की विधि # समीकरणों की अरेखीय प्रणाली | न्यूटन की विधि द्वारा पुनरावृत्त रूप से हल किया जा सकता है। यह विधि समीकरणों की प्रणाली के जैकोबियन मैट्रिक्स का उपयोग करती है।

यह भी देखें

• केंद्र अनेक गुना
• हेस्सियन मैट्रिक्स
• पुशफ़ॉरवर्ड (अंतर)

अग्रिम पठन

• Gandolfo, Giancarlo (1996). "Comparative Statics and the Correspondence Principle". Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

बाहरी संबंध

• "Jacobian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mathworld A more technical explanation of Jacobians