उलटा कार्य नियम

गाढ़ा नीला वक्र और गाढ़ा लाल वक्र एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं। एक पतला वक्र उसी रंग के थिंक कर्व का व्युत्पन्न है। उलटा कार्य नियम:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}$

मनमानी के लिए उदाहरण $x_{0}\approx 5.8$:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}$
${\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~$

कलन में, व्युत्क्रम फलन नियम एक सूत्र है जो एक विशेषण और अवकलनीय फलन के व्युत्क्रम फलन के व्युत्पन्न को व्यक्त करता है। f के व्युत्पन्न के संदर्भ में f. अधिक सटीक, अगर का उलटा $f$ के रूप में दर्शाया गया है $f^{-1}$, कहाँ $f^{-1}(y)=x$ अगर और केवल अगर $f(x)=y$, तो व्युत्क्रम फलन नियम है, Lagrange के अंकन में,

$\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}$.

यह सूत्र सामान्य रूप से जब भी मान्य होता है $f$ एक अंतराल पर निरंतर कार्य और अंतःक्रियात्मक कार्य है I, साथ $f$ पर अवकलनीय होना $f^{-1}(a)$($\in I$) और कहाँ$f'(f^{-1}(a))\neq 0$. यही सूत्र भी व्यंजक के तुल्य है

${\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},$

कहाँ ${\mathcal {D}}$ यूनरी डेरिवेटिव ऑपरेटर (कार्यों के स्थान पर) को दर्शाता है और $\circ$ फ़ंक्शन संरचना को दर्शाता है।

ज्यामितीय रूप से, एक फ़ंक्शन और व्युत्क्रम फ़ंक्शन में एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ होता है जो रेखा में परावर्तन (गणित) होते हैं $y=x$. यह परावर्तन ऑपरेशन किसी भी रेखा के ढलान को उसके गुणात्मक व्युत्क्रम में बदल देता है। ये मानते हुए $f$ के पड़ोस (गणित) में व्युत्क्रम होता है $x$ और उस बिंदु पर इसकी व्युत्पत्ति गैर-शून्य है, इसके व्युत्क्रम को अलग-अलग होने की गारंटी है $x$ और उपरोक्त सूत्र द्वारा दिया गया व्युत्पन्न है।

व्युत्क्रम फलन नियम को लाइबनिज संकेतन में भी व्यक्त किया जा सकता है। जैसा कि संकेतन बताता है,

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.$

यह संबंध समीकरण को अवकलित करके प्राप्त किया जाता है $f^{-1}(y)=x$ के अनुसार x और श्रृंखला नियम को लागू करते हुए, यह बताते हुए कि:

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}$

यह मानते हुए कि व्युत्पन्न x इसके संबंध मेंx 1 है।

व्युत्पत्ति

होने देना $f$ एक उलटा (विशेषण) कार्य हो, चलो $x$ के अधिकार क्षेत्र में हो $f$, और जाने $y$ के कोडोमेन में हो $f$. चूँकि f एक आच्छादक फलन है, $y$ के दायरे में है $f$. इसका मतलब यह भी है $y$ के अधिकार क्षेत्र में है $f^{-1}$, ओर वो $x$ के कोडोमेन में है $f^{-1}$. तब से $f$ एक उलटा कार्य है, हम जानते हैं कि $f(f^{-1}(y))=y$. इस समीकरण का अवकलज लेकर व्युत्क्रम फलन नियम प्राप्त किया जा सकता है।

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}f(f^{-1}(y))={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}y$

दायां पक्ष 1 के बराबर है और श्रृंखला नियम को बाईं ओर लागू किया जा सकता है:

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f(f^{-1}(y))\right)}{\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}{\mathrm {d} y}}&=1\\{\dfrac {\mathrm {d} f(f^{-1}(y))}{\mathrm {d} f^{-1}(y)}}{\dfrac {\mathrm {d} f^{-1}(y)}{\mathrm {d} y}}&=1\\f^{\prime }(f^{-1}(y))(f^{-1})^{\prime }(y)&=1\end{aligned}}$

फिर से व्यवस्थित करना देता है

$(f^{-1})^{\prime }(y)={\frac {1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}}$

उपयोग करने के बजाय $y$ चर के रूप में, हम इस समीकरण का उपयोग करके फिर से लिख सकते हैं $a$ के लिए इनपुट के रूप में $f^{-1}$, और हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

$(f^{-1})^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }\left(f^{-1}(a)\right)}}$

उदाहरण

• $y=x^{2}$ (सकारात्मक के लिए x) उलटा है $x={\sqrt {y}}$.

${\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.$

पर $x=0$, हालाँकि, एक समस्या है: वर्गमूल फ़ंक्शन का ग्राफ़ लंबवत हो जाता है, जो वर्ग फ़ंक्शन के लिए क्षैतिज स्पर्शरेखा के अनुरूप होता है।

• $y=e^{x}$ (वास्तव में x) उलटा है $x=\ln {y}$ (सकारात्मक के लिए $y$)

${\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}=e^{-x}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot e^{-x}=1.$

अतिरिक्त गुण

• यह रिश्ता अभिन्न देता है

${f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+C.$

यह केवल तभी उपयोगी है जब अभिन्न मौजूद हो। विशेष रूप से हमें चाहिए $f'(x)$ एकीकरण की सीमा में गैर-शून्य होना।

यह इस प्रकार है कि एक फ़ंक्शन जिसमें निरंतर फ़ंक्शन डेरिवेटिव होता है, प्रत्येक बिंदु के पड़ोस (गणित) में एक व्युत्क्रम होता है जहां व्युत्पन्न गैर-शून्य होता है। यदि व्युत्पन्न निरंतर नहीं है तो यह सत्य नहीं है।

• एक और बहुत ही रोचक और उपयोगी संपत्ति निम्नलिखित है:

$\int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C$

कहाँ $F$ के प्रतिपक्षी को दर्शाता है $f$.

• एफ (एक्स) के व्युत्पन्न का व्युत्क्रम भी रुचि का है, क्योंकि इसका उपयोग लीजेंड्रे परिवर्तन की उत्तलता दिखाने में किया जाता है।

होने देना $z=f'(x)$ तो हमारे पास है, मानते हुए $f''(x)\neq 0$:

$${\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f''(x)}}$$

इसे पिछले अंकन का उपयोग करके दिखाया जा सकता है $y=f(x)$. तो हमारे पास हैं:

$$f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {dy}{dz}}f''(x)\Rightarrow {\frac {dy}{dz}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}$$

इसलिए:

${\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {dx}{dz}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dx}{dy}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}{\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{f''(x)}}$

प्रेरण द्वारा, हम इस परिणाम को किसी भी पूर्णांक के लिए सामान्यीकृत कर सकते हैं $n\geq 1$, साथ $z=f^{(n)}(x)$, f(x) का nवाँ अवकलज, और $y=f^{(n-1)}(x)$, मानते हुए $f^{(i)}(x)\neq 0{\text{ for }}0<i\leq n+1$:

${\frac {d(f^{(n)})^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f^{(n+1)}(x)}}$

उच्च डेरिवेटिव्स

ऊपर दिया गया श्रृंखला नियम सर्वसमिका को अवकलित करके प्राप्त किया जाता है $f^{-1}(f(x))=x$ इसके संबंध में x. कोई उच्च डेरिवेटिव के लिए समान प्रक्रिया जारी रख सकता है। के संबंध में पहचान को दो बार अलग करनाx, एक प्राप्त करता है

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,$

श्रृंखला नियम द्वारा इसे और सरल बनाया गया है

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.$

पहले प्राप्त सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, पहले अवकलज को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.$

इसी प्रकार तीसरे व्युत्पन्न के लिए:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$

या दूसरे व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करके,

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}$

इन सूत्रों को फा डि ब्रूनो के सूत्र द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।

इन सूत्रों को लैग्रेंज के संकेतन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है। अगरf औरg तो व्युत्क्रम हैं

$g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}$

उदाहरण

• $y=e^{x}$ उलटा है $x=\ln y$. प्रतिलोम फलन के द्वितीय अवकलज के सूत्र का प्रयोग करने पर,

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};$

ताकि

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}$,

जो प्रत्यक्ष गणना से सहमत है।

यह भी देखें

• Calculus
• Chain rule
• Differentiation of trigonometric functions
• Differentiation rules
• Implicit function theorem
• Integration of inverse functions
• Inverse function
• Inverse function theorem
• Table of derivatives
• Vector calculus identities

संदर्भ

• Marsden, Jerrold E.; Weinstein, Alan (1981). "Chapter 8: Inverse Functions and the Chain Rule". Calculus unlimited (PDF). Menlo Park, Calif.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-6932-5.