Antiderivative

This article is about antiderivatives in real analysis. For complex functions, see Antiderivative (complex analysis). For lists of antiderivatives of primitive functions, see Lists of integrals.

का ढाल क्षेत्र $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c$, असीमित रूप से कई समाधानों में से तीन को दिखा रहा है जो एकीकरण के स्थिरांक को अलग-अलग करके उत्पन्न किया जा सकता है c.

कलन में, एक प्रतिपक्षी, व्युत्क्रम व्युत्पन्न, आदिम कार्य, आदिम अभिन्न या अनिश्चितकालीन अभिन्न एक समारोह के (गणित) f एक अवकलनीय फलन है F जिसका व्युत्पन्न मूल कार्य के बराबर है f. इसे प्रतीकात्मक रूप में कहा जा सकता है F' = f. एंटीडेरिवेटिव्स के लिए हल करने की प्रक्रिया को एंटीडिफेरेंटेशन (या अनिश्चितकालीन एकीकरण) कहा जाता है, और इसके विपरीत ऑपरेशन को 'डिफरेंशिएशन' कहा जाता है, जो कि डेरिवेटिव खोजने की प्रक्रिया है। एंटीडेरिवेटिव्स को अक्सर बड़े रोमन अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जैसे F और G.

एंटीडेरिवेटिव्स कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के माध्यम से अभिन्न से संबंधित हैं: एक अंतराल (गणित) पर एक फ़ंक्शन का निश्चित इंटीग्रल जहां फ़ंक्शन रीमैन इंटीग्रेबल है, अंतराल के अंत बिंदुओं पर मूल्यांकन किए गए एंटीडेरिवेटिव के मूल्यों के बीच अंतर के बराबर है।

भौतिकी में, प्रतिपक्षी सीधीरेखीय गति के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, स्थिति (भौतिकी), वेग (भौतिकी) और त्वरण (भौतिकी) के बीच संबंध को समझाने में)। असतत गणित प्रतिपक्षी की धारणा के समकक्ष प्रतिपक्ष है।

उदाहरण

कार्यक्रम $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$ का प्रतिपक्षी है $f(x)=x^{2}$, के व्युत्पन्न के बाद से ${\tfrac {x^{3}}{3}}$ है $x^{2}$, और चूँकि एक स्थिर फलन का अवकलज 0 (संख्या) है, $x^{2}$ एंटीडेरिवेटिव्स की एक अनंत सेट संख्या होगी, जैसे ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$, आदि। इस प्रकार, के सभी प्रतिपक्षी $x^{2}$ के मान को बदलकर प्राप्त किया जा सकता है c में $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$, कहां c एक मनमाना स्थिरांक है जिसे एकीकरण के स्थिरांक के रूप में जाना जाता है। अनिवार्य रूप से, किसी दिए गए फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक दूसरे के लंबवत अनुवाद होते हैं, प्रत्येक ग्राफ़ के लंबवत स्थान मान (गणित) के आधार पर c.

अधिक आम तौर पर, ऊर्जा समीकरण $f(x)=x^{n}$ प्रति-व्युत्पन्न है $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ यदि n ≠ −1, और $F(x)=\ln |x|+c$ यदि n = −1.

भौतिकी में, त्वरण के एकीकरण से वेग और एक स्थिरांक प्राप्त होता है। स्थिरांक प्रारंभिक वेग शब्द है जो वेग का व्युत्पन्न लेने पर खो जाएगा, क्योंकि स्थिर शब्द का व्युत्पन्न शून्य है। यही पैटर्न आगे के एकीकरण और गति के डेरिवेटिव (स्थिति, वेग, त्वरण, और इसी तरह) पर लागू होता है।इस प्रकार, एकीकरण त्वरण, वेग और विस्थापन (ज्यामिति) के संबंध उत्पन्न करता है:

$\int a\ \mathrm {d} t=v+C$

$\int v\ \mathrm {d} t=d+C$

उपयोग और गुण

समाकलन के लिए प्रतिअवकलजों का उपयोग समाकलन के लिए किया जा सकता है F रीमैन इंटीग्रल फ़ंक्शन का एक एंटीडेरिवेटिव है f अंतराल पर $[a,b]$, तब:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$

इस वजह से, किसी दिए गए फलन के अपरिमित रूप से अनेक प्रति-अवकलजों में से प्रत्येक f f का अनिश्चित समाकल कहा जा सकता है और बिना किसी सीमा के अभिन्न प्रतीक का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

$\int f(x)\,\mathrm {d} x.$

यदि F का प्रतिपक्षी है f, और समारोह f कुछ अंतराल पर परिभाषित किया गया है, फिर हर दूसरे प्रतिपक्षी G का f से भिन्न है F एक स्थिरांक द्वारा: एक संख्या मौजूद है c ऐसा है कि $G(x)=F(x)+c$ सबके लिए x. c एकीकरण का स्थिरांक कहा जाता है। यदि का डोमेन F दो या दो से अधिक (खुले) अंतरालों का एक असंयुक्त संघ है, तो प्रत्येक अंतराल के लिए एकीकरण का एक अलग स्थिरांक चुना जा सकता है। उदाहरण के लिए

$F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+c_{1}\quad x<0\\-{\frac {1}{x}}+c_{2}\quad x>0\end{cases}}$

का सबसे सामान्य प्रतिकारक है $f(x)=1/x^{2}$ इसके प्राकृतिक डोमेन पर $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$ प्रत्येक निरंतर कार्य f एक प्रतिपक्षी है, और एक प्रतिपक्षी है F के निश्चित समाकल द्वारा दिया जाता है f परिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ:

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t.$

निचली सीमा को बदलने से अन्य प्रतिपक्षी उत्पन्न होते हैं (लेकिन जरूरी नहीं कि सभी संभावित प्रतिपक्षी हों)। यह कलन की मूलभूत प्रमेय का एक और सूत्रीकरण है।

ऐसे कई कार्य हैं जिनके प्रतिपक्षी, भले ही वे मौजूद हैं, प्राथमिक कार्यों (जैसे बहुपद, घातीय कार्य, लघुगणक, त्रिकोणमितीय कार्य, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य और उनके संयोजन) के संदर्भ में व्यक्त नहीं किए जा सकते हैं। इनके उदाहरण हैं

$\int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int \sin x^{2}\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int x^{x}\,\mathrm {d} x.$

बाएं से दाएं, कार्य त्रुटि फ़ंक्शन, फ्रेस्नेल समारोह, साइन अभिन्न, लॉगरिदमिक इंटीग्रल फ़ंक्शन और सोफोमोर का सपना हैं। अधिक विस्तृत चर्चा के लिए, डिफरेंशियल गैलोज़ सिद्धांत भी देखें।

एकीकरण की तकनीकें

प्रारंभिक कार्यों के प्रतिपक्षी को खोजना अक्सर उनके डेरिवेटिव को खोजने की तुलना में काफी कठिन होता है (वास्तव में, अनिश्चित समाकल की गणना के लिए कोई पूर्व-निर्धारित विधि नहीं है)। कुछ प्राथमिक कार्यों के लिए, अन्य प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में एक प्रतिपक्षी खोजना असंभव है। अधिक जानने के लिए, प्रारंभिक कार्य (अंतर बीजगणित) और गैर-प्राथमिक अभिन्न देखें।

एंटीडेरिवेटिव खोजने के लिए कई गुण और तकनीकें मौजूद हैं। इनमें शामिल हैं, दूसरों के बीच में:

• एकीकरण की रैखिकता (जो जटिल अभिन्न को सरल में तोड़ती है)
• प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण, अक्सर त्रिकोणमितीय पहचान या प्राकृतिक लघुगणक के साथ संयुक्त
• व्युत्क्रम श्रृंखला नियम विधि (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण का एक विशेष मामला)
• भागों द्वारा एकीकरण (कार्यों के उत्पादों को एकीकृत करने के लिए)
• उलटा कार्य एकीकरण (एक सूत्र जो व्युत्क्रम के प्रतिपक्षी को व्यक्त करता है f⁻¹ एक उलटा और निरंतर कार्य f, के प्रतिपक्षी के संदर्भ में f और का f⁻¹).
• एकीकरण में आंशिक अंशों की विधि (जो हमें सभी तर्कसंगत कार्यों को एकीकृत करने की अनुमति देती है - दो बहुपदों के अंश)
• रिस्क एल्गोरिथम
• एकाधिक एकीकरण के लिए अतिरिक्त तकनीकें (उदाहरण के लिए दोहरा अभिन्न, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली, जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक और स्टोक्स प्रमेय देखें)
• संख्यात्मक एकीकरण (एक निश्चित अभिन्न का अनुमान लगाने की तकनीक जब कोई प्राथमिक प्रतिपक्षी मौजूद नहीं है, जैसा कि मामले में है exp(−x²))
• पूर्णांक का बीजगणितीय हेरफेर (ताकि अन्य एकीकरण तकनीकों, जैसे प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण, का उपयोग किया जा सके)
• बार-बार एकीकरण के लिए कौशी सूत्र (गणना करने के लिए n-टाइम्स एक फ़ंक्शन का एंटीडेरिवेटिव)
  $$\int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.$$

कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का उपयोग उपरोक्त प्रतीकात्मक तकनीकों में शामिल कुछ या सभी कार्यों को स्वचालित करने के लिए किया जा सकता है, जो विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब शामिल बीजगणितीय जोड़-तोड़ बहुत जटिल या लंबा हो। इंटीग्रल जो पहले से ही प्राप्त किए जा चुके हैं, उन्हें इंटीग्रल की तालिका में देखा जा सकता है।

गैर-निरंतर कार्यों का

गैर-निरंतर कार्यों में प्रतिपक्षी हो सकते हैं। जबकि इस क्षेत्र में अभी भी खुले प्रश्न हैं, यह ज्ञात है कि:

• कुछ अत्यधिक पैथोलॉजिकल (गणित) बड़े पैमाने पर असंततताओं के साथ फिर भी एंटीडेरिवेटिव हो सकते हैं।
• कुछ मामलों में, इस तरह के पैथोलॉजिकल फ़ंक्शंस के एंटीडेरिवेटिव रीमैन इंटीग्रल द्वारा पाए जा सकते हैं, जबकि अन्य मामलों में ये फ़ंक्शंस रीमैन इंटेग्रेबल नहीं हैं।

यह मानते हुए कि कार्यों के डोमेन खुले अंतराल हैं:

• एक समारोह के लिए एक आवश्यक, लेकिन पर्याप्त नहीं, शर्त f एक प्रतिपक्षी होना वह है f मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय है। यानी अगर [a, b] के डोमेन का उपअंतराल है f और y के बीच कोई वास्तविक संख्या है f(a) और f(b), तो वहाँ एक मौजूद है c के बीच a और b ऐसा है कि f(c) = y. यह डार्बौक्स प्रमेय (विश्लेषण) का परिणाम है|डार्बौक्स प्रमेय।
• की निरंतरता का सेट f एक अल्प सेट होना चाहिए। यह सेट भी एक एफ-सिग्मा सेट होना चाहिए (चूंकि किसी भी फ़ंक्शन की असंततता का सेट इस प्रकार का होना चाहिए)। इसके अलावा, किसी भी अल्प एफ-सिग्मा सेट के लिए, कोई कुछ फ़ंक्शन बना सकता है f एक एंटीडेरिवेटिव है, जिसमें दिए गए सेट को अपने असंतोष के सेट के रूप में रखा गया है।
• यदि f एक एंटीडेरिवेटिव है, डोमेन के बंद परिमित सबइंटरवल्स पर परिबद्ध समारोह है और लेबेसेग माप 0 की असांतत्यता का एक सेट है, तो एक एंटीडेरिवेटिव को लेबेसेग के अर्थ में एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है। वास्तव में, हेनस्टॉक-कुर्ज़वील इंटीग्रल जैसे अधिक शक्तिशाली इंटीग्रल का उपयोग करते हुए, प्रत्येक कार्य जिसके लिए एक एंटीडेरिवेटिव मौजूद है, इंटीग्रेटेड है, और इसका सामान्य इंटीग्रल इसके एंटीडेरिवेटिव के साथ मेल खाता है।
• यदि f एक प्रतिकारक है F एक बंद अंतराल पर $[a,b]$, फिर विभाजन के किसी भी विकल्प के लिए $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,$ यदि कोई नमूना बिंदु चुनता है $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$ जैसा कि औसत मूल्य प्रमेय द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, फिर मूल्य के अनुरूप रीमैन योग टेलीस्कोपिंग श्रृंखला $F(b)-F(a)$.

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}$

हालांकि, यदि f असीमित है, या यदि f बंधा हुआ है लेकिन की असंततता का सेट है f सकारात्मक Lebesgue माप है, नमूना बिंदुओं का एक अलग विकल्प $x_{i}^{*}$ रीमैन राशि के लिए काफी अलग मूल्य दे सकता है, चाहे विभाजन कितना भी अच्छा क्यों न हो। नीचे उदाहरण 4 देखें।

कुछ उदाहरण

1. The function

   $f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)$

   with $f(0)=0$ is not continuous at $x=0$ but has the antiderivative

   $F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

   with $F(0)=0$. Since f is bounded on closed finite intervals and is only discontinuous at 0, the antiderivative F may be obtained by integration: $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.
2. The function

   $f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$

   with $f(0)=0$ is not continuous at $x=0$ but has the antiderivative

   $F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$

   with $F(0)=0$. Unlike Example 1, f(x) is unbounded in any interval containing 0, so the Riemann integral is undefined.
3. If f(x) is the function in Example 1 and F is its antiderivative, and $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ is a dense countable subset of the open interval $(-1,1),$ then the function

   $g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}$

   has an antiderivative

   $G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.$

   The set of discontinuities of g is precisely the set $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$. Since g is bounded on closed finite intervals and the set of discontinuities has measure 0, the antiderivative G may be found by integration.
4. Let $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ be a dense countable subset of the open interval $(-1,1).$ Consider the everywhere continuous strictly increasing function

   $F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.$

   It can be shown that

   $F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}$

   

   Figure 1.
   

   Figure 2.

   for all values x where the series converges, and that the graph of F(x) has vertical tangent lines at all other values of x. In particular the graph has vertical tangent lines at all points in the set $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$.

   Moreover $F(x)\geq 0$ for all x where the derivative is defined. It follows that the inverse function $G=F^{-1}$ is differentiable everywhere and that

   $g(x)=G'(x)=0$

   for all x in the set $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ which is dense in the interval $[F(-1),F(1)].$ Thus g has an antiderivative G. On the other hand, it can not be true that

   $\int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,$

   since for any partition of $[F(-1),F(1)]$, one can choose sample points for the Riemann sum from the set $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$, giving a value of 0 for the sum. It follows that g has a set of discontinuities of positive Lebesgue measure. Figure 1 on the right shows an approximation to the graph of g(x) where $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ and the series is truncated to 8 terms. Figure 2 shows the graph of an approximation to the antiderivative G(x), also truncated to 8 terms. On the other hand if the Riemann integral is replaced by the Lebesgue integral, then Fatou's lemma or the dominated convergence theorem shows that g does satisfy the fundamental theorem of calculus in that context.
5. In Examples 3 and 4, the sets of discontinuities of the functions g are dense only in a finite open interval $(a,b).$ However, these examples can be easily modified so as to have sets of discontinuities which are dense on the entire real line $(-\infty ,\infty )$. Let

   $\lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.$

   Then $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ has a dense set of discontinuities on $(-\infty ,\infty )$ and has antiderivative $G\cdot \lambda .$
6. Using a similar method as in Example 5, one can modify g in Example 4 so as to vanish at all rational numbers. If one uses a naive version of the Riemann integral defined as the limit of left-hand or right-hand Riemann sums over regular partitions, one will obtain that the integral of such a function g over an interval $[a,b]$ is 0 whenever a and b are both rational, instead of $G(b)-G(a)$. Thus the fundamental theorem of calculus will fail spectacularly.
7. A function which has an antiderivative may still fail to be Riemann integrable. The derivative of Volterra's function is an example.

मूल सूत्र

• यदि ${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)$, तब $\int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C$.

• $\int 1\ \mathrm {d} x=x+C$
• $\int a\ \mathrm {d} x=ax+C$
• $\int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1$
• $\int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C$
• $\int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C$
• $\int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C$
• $\int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C$
• $\int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C$
• $\int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C$
• $\int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C$
• $\int e^{x}\mathrm {d} x=e^{x}+C$
• $\int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1$

यह भी देखें

• एंटीडेरिवेटिव (जटिल विश्लेषण)
• औपचारिक शक्ति श्रृंखला#औपचारिक विरोध
• जैक्सन अभिन्न
• इंटीग्रल की सूची
• प्रतीकात्मक एकीकरण
• क्षेत्र

आगे की पढाई

• Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
• Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

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बाहरी कड़ियाँ

• Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows users to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
• Function Calculator from WIMS
• Integral at HyperPhysics
• Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy
• Integral calculator at Symbolab
• The Antiderivative at MIT
• Introduction to Integrals at SparkNotes
• Antiderivatives at Harvy Mudd College