इंटीग्रल की सूची

This article is about mostly indefinite integrals in calculus. For a list of definite integrals, see List of definite integrals.

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अभिन्न कैलकुलस में इंटीग्रल बेसिक ऑपरेशन है। जबकि व्युत्पत्ति के सरल अवकलन नियम होते हैं जिसके द्वारा एक जटिल फलन (गणित) के अवकलज को इसके सरल घटक कार्यों में अंतर करके पाया जा सकता है, एकीकरण नहीं होता है, इसलिए ज्ञात समाकलों की तालिकाएँ अक्सर उपयोगी होती हैं। यह पृष्ठ कुछ सबसे आम [[ antiderivative ]]्स को सूचीबद्ध करता है।

इंटीग्रल का ऐतिहासिक विकास

इंटीग्रल (इंटीग्रेल्टाफेलन) की सूची और इंटीग्रल कैलकुलस की तकनीकों का संकलन जर्मन गणितज्ञ द्वारा प्रकाशित किया गया था Meier Hirsch (उर्फ Meyer Hirsch) 1810 में। इन तालिकाओं को 1823 में यूनाइटेड किंगडम में पुनर्प्रकाशित किया गया था। 1858 में डच गणितज्ञ डेविड बिएरेन्स डी हान द्वारा उनकी टेबल्स डी'इंटेग्रेलेस डेफिनिस के लिए अधिक व्यापक तालिकाओं को संकलित किया गया था, पूरक औक्स टेबल्स डी'इंटेग्रेलेस डेफिनिस सीए द्वारा पूरक . 1864. एक नया संस्करण 1867 में नोवेल्स टेबल्स डी'इंटेग्रेलेस डेफिनीज शीर्षक के तहत प्रकाशित हुआ था। ये टेबल, जिनमें मुख्य रूप से प्रारंभिक कार्यों के अभिन्न अंग होते हैं, 20वीं शताब्दी के मध्य तक उपयोग में रहे। इसके बाद उन्हें ग्राडशेटिन और रेज़िक की अधिक व्यापक तालिकाओं से बदल दिया गया। ग्रैडशटेन और रेज़िक में, बीरेन्स डी हान की पुस्तक से उत्पन्न होने वाले इंटीग्रल को बीआई द्वारा निरूपित किया जाता है।

सभी बंद-रूप अभिव्यक्तियों में बंद-रूप प्रतिपक्षी नहीं होते हैं; यह अध्ययन डिफरेंशियल गैलोज़ सिद्धांत का विषय है, जिसे शुरू में 1830 और 1840 के दशक में जोसेफ लिउविल द्वारा विकसित किया गया था, जो लिउविल के प्रमेय (अंतर बीजगणित) के लिए अग्रणी था। एक बंद फॉर्म के बिना एक फ़ंक्शन का एक सरल उदाहरण एंटीडेरिवेटिव है e^−x2, जिसका एंटीडेरिवेटिव (स्थिरांक तक) त्रुटि समारोह है।

1968 के बाद से अनिश्चित समाकलन निर्धारित करने के लिए Risch एल्गोरिथम है, जिसे प्राथमिक कार्यों की अवधि में व्यक्त किया जा सकता है, आमतौर पर कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का उपयोग करते हुए। इंटीग्रल जिन्हें प्रारंभिक कार्यों का उपयोग करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है, उन्हें सामान्य कार्यों जैसे कि मेजर जी-फ़ंक्शन का उपयोग करके प्रतीकात्मक रूप से हेरफेर किया जा सकता है।

इंटीग्रल की सूची

इंटीग्रल की सूची के लिए अधिक विवरण निम्न पृष्ठों पर पाया जा सकता है:

• तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची
• तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची
• त्रिकोणमितीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची
• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची
• अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के इंटीग्रल की सूची
• व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्यों के इंटीग्रल की सूची
• घातीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची
• लॉगरिदमिक कार्यों के इंटीग्रल की सूची
• गाऊसी कार्यों के अभिन्न अंग की सूची

इज़राइल सोलोमोनोविच ग्रैडस्टीन, जोसेफ़ मोइसेविच रयज़िक, यूरी वेनीमिनोविच गेरोनिमस, मिखाइल यूलिविच ज़िटलिन, जेफरी, ज़्विलिंगर, और विक्टर ह्यूगो मोल (जीआर) इंटीग्रल्स, सीरीज़ और उत्पादों की तालिका में परिणामों का एक बड़ा संग्रह है। अनातोली प्रुडनिकोव, यूरी अलेक्जेंड्रोविच ब्रुचकोव, और ओलेग इगोरविच मिशेव द्वारा एक और भी बड़ी, मल्टीवॉल्यूम टेबल इंटीग्रल्स एंड सीरीज़ है (वॉल्यूम 1–3 लिस्टिंग इंटीग्रल और प्राथमिक फ़ंक्शन और विशेष फ़ंक्शन की श्रृंखला के साथ, वॉल्यूम 4–5 लाप्लास रूपांतरण की टेबल हैं) . अधिक कॉम्पैक्ट संग्रह उदा में पाए जा सकते हैं। ब्रायचकोव, मारीचेव, प्रुडनिकोव्स टेबल्स ऑफ इंडेफिनिट इंटीग्रल्स, या ज्विलिंगर के सीआरसी स्टैंडर्ड मैथमेटिकल टेबल्स एंड फॉर्मूले में चैप्टर के रूप में या ब्रोंशेटिन और सेमेन्डयेव की गणित के लिए एक गाइड बुक, गणित की पुस्तिका या ऑक्सफोर्ड यूजर्स गाइड टू मैथमैटिक्स। यूजर्स गाइड टू मैथमैटिक्स, और अन्य गणितीय हैंडबुक।

अन्य उपयोगी संसाधनों में अब्रामोवित्ज़ और स्टेगुन और बेटमैन पांडुलिपि परियोजना शामिल हैं। दोनों कार्यों में विशिष्ट अभिन्नताओं से संबंधित कई पहचान शामिल हैं, जो एक अलग तालिका में एकत्रित होने के बजाय सबसे अधिक प्रासंगिक विषय के साथ व्यवस्थित हैं। बेटमैन पाण्डुलिपि के दो खंड अभिन्न रूपांतरणों के लिए विशिष्ट हैं।

ऐसी कई वेबसाइटें हैं जिनमें माँग पर समाकलों और समाकलों की तालिकाएँ हैं। वोल्फरम अल्फा परिणाम दिखा सकता है, और कुछ सरल अभिव्यक्तियों के लिए, एकीकरण के मध्यवर्ती चरण भी। वोल्फ्राम रिसर्च एक अन्य ऑनलाइन सेवा, मैथमैटिका ऑनलाइन इंटीग्रेटर भी संचालित करता है।

सरल कार्यों का इंटीग्रल

सी का उपयोग एकीकरण के एक मनमाना स्थिरांक के लिए किया जाता है जिसे केवल तभी निर्धारित किया जा सकता है जब किसी बिंदु पर अभिन्न के मूल्य के बारे में कुछ ज्ञात हो। इस प्रकार, प्रत्येक फ़ंक्शन में अनंत संख्या में प्रतिपक्षी होते हैं।

ये सूत्र केवल दूसरे रूप में डेरिवेटिव की तालिका में दावा करते हैं।

विलक्षणता के साथ समाकलन

जब समारोह में एक विलक्षणता (गणित) इस तरह से एकीकृत हो रही है कि एंटीडेरिवेटिव अपरिभाषित हो जाता है या किसी बिंदु पर (सिंगुलेरिटी), तो सी को विलक्षणता के दोनों पक्षों पर समान होने की आवश्यकता नहीं है। नीचे दिए गए प्रपत्र सामान्य रूप से C के मान में एक विलक्षणता के आसपास कौशी प्रमुख मान ग्रहण करते हैं लेकिन यह सामान्य रूप से आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए में

$$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$$

वहाँ 0 पर एक विलक्षणता है और प्रतिपक्षी वहाँ अनंत हो जाता है। यदि उपरोक्त इंटीग्रल का उपयोग -1 और 1 के बीच एक निश्चित इंटीग्रल की गणना करने के लिए किया जाता है, तो एक को गलत उत्तर 0 मिलेगा। हालांकि यह सिंगुलैरिटी के आसपास इंटीग्रल का कॉची प्रिंसिपल वैल्यू है। यदि समाकलन जटिल समतल में किया जाता है तो परिणाम उत्पत्ति के आसपास के पथ पर निर्भर करता है, इस मामले में विलक्षणता का योगदान होता है -iπ मूल के ऊपर एक पथ का उपयोग करते समय और iπ मूल के नीचे एक पथ के लिए। वास्तविक रेखा पर एक कार्य मूल के दोनों तरफ सी के एक पूरी तरह से अलग मूल्य का उपयोग कर सकता है:

$$\int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

तर्कसंगत कार्य

See also: List of integrals of rational functions

• $\int a\,dx=ax+C$

निम्नलिखित फ़ंक्शन में 0 के लिए एक गैर-पूर्णांक विलक्षणता है n ≤ −1:

• $\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$ (कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र)
• $\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$
• $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$
  • आम तौर पर अधिक,
    $$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$$
• $\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

घातीय कार्य

See also: List of integrals of exponential functions

• $\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$
• $\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$
• $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$
• $\int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\,dx}=e^{x}f\left(x\right)+C$
• $\int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$
  (अगर $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है)
• $\int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C$
  (अगर $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है)

लघुगणक

See also: List of integrals of logarithmic functions

• $\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$
• $\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x\ln x-x}{\ln a}}+C$

त्रिकोणमितीय कार्य

See also: List of integrals of trigonometric functions

• $\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$
• $\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$
• $\int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$
• $\int \cot {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}\right|}+C=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$
• $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$
  • (सिकेंट फ़ंक्शन का इंटीग्रल देखें। यह परिणाम 17वीं शताब्दी में एक प्रसिद्ध अनुमान था।)
• $\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C$
• $\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
• $\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
• $\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$
• $\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$
• $\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
• $\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$
• $\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C$
• $\int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C$
• $\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C$
  • (सेकेंट क्यूब का इंटीग्रल देखें।)
• $\int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C$
• $\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$
• $\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

See also: List of integrals of inverse trigonometric functions

• $\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
• $\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
• $\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$
• $\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

See also: List of integrals of hyperbolic functions

• $\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$
• $\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$
• $\int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C$
• $\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
• $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$
• $\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln |\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
• $\int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C$
• $\int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C$
• $\int \operatorname {sech} {x}\,\operatorname {tanh} {x}\,dx=-\operatorname {sech} {x}+C$
• $\int \operatorname {csch} {x}\,\operatorname {coth} {x}\,dx=-\operatorname {csch} {x}+C$

उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य

See also: List of integrals of inverse hyperbolic functions

• $\int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$
• $\int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$
• $\int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$
• $\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$
• $\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$
• $\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\vert \operatorname {arcsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0$

उनके दूसरे डेरिवेटिव्स के आनुपातिक कार्यों के उत्पाद

• $\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$
• $\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$
• $\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$
• $\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

निरपेक्ष-मूल्य कार्य

होने देना f एक सतत फलन हो, जिसमें किसी फलन का अधिक से अधिक एक शून्य हो। अगर f में शून्य है, चलो g का अद्वितीय प्रतिपक्षी हो f जो की जड़ में शून्य है f; अन्यथा, चलो g का कोई भी प्रतिपक्षी हो f. तब

$$\int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,$$

कहाँ sgn(x) साइन समारोह है, जो मान लेता है -1, 0, 1 जब x क्रमशः ऋणात्मक, शून्य या धनात्मक है।

यह सूत्र के दाहिने हाथ के व्युत्पन्न की गणना करके सिद्ध किया जा सकता है, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि स्थिति चालू है g यहां अभिन्न की निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए है।

यह निम्नलिखित सूत्र देता है (जहाँ a ≠ 0), जो किसी भी अंतराल पर मान्य हैं f निरंतर है (बड़े अंतराल पर, स्थिर C को टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए):

• $\int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C$
  कब n विषम है, और $n\neq -1$.
• $\int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C$
  कब ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ कुछ पूर्णांक के लिए n.
• $\int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C$
  कब $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ कुछ पूर्णांक के लिए n.
• $\int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C$
  कब ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ कुछ पूर्णांक के लिए n.
• $\int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C$
  कब $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ कुछ पूर्णांक के लिए n.

यदि समारोह f के पास कोई निरंतर प्रतिपक्षी नहीं है जो के शून्य पर मान शून्य लेता है f (यह ज्या और कोसाइन कार्यों के लिए मामला है), फिर sgn(f(x)) ∫ f(x) dx का अवकलज है f प्रत्येक अंतराल (गणित) पर जिस पर f शून्य नहीं है, लेकिन उन बिंदुओं पर विच्छिन्न हो सकता है जहां f(x) = 0. एक निरंतर प्रतिपक्षी होने के लिए, इस प्रकार एक अच्छी तरह से चुने हुए कदम समारोह को जोड़ना होगा। यदि हम इस तथ्य का भी उपयोग करें कि ज्या और कोसाइन के निरपेक्ष मान आवर्त के साथ आवर्ती होते हैं π, तो हमें मिलता है:

• $\int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C$
• $\int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C$

विशेष कार्य

Ci, Si: त्रिकोणमितीय समाकल, Ei: घातीय अभिन्न, li: लघुगणकीय समाकल फलन, erf: त्रुटि समारोह

• $\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x$
• $\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x$
• $\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}$
• $\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)$
• $\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x$
• $\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)$

== क्लोज-फॉर्म एंटीडेरिवेटिव == की कमी वाले निश्चित इंटीग्रल

कुछ ऐसे कार्य हैं जिनके प्रतिपक्षी को बंद-रूप अभिव्यक्ति में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। तथापि, कुछ सामान्य अंतरालों पर इनमें से कुछ फलनों के निश्चित समाकलों के मानों की गणना की जा सकती है। नीचे कुछ उपयोगी समाकल दिए गए हैं।

• $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (गामा समारोह भी देखें)
• $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ के लिए a > 0 (गाऊसी समाकल)
• $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ के लिए a > 0
• $\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}$
  के लिए a > 0, n एक सकारात्मक पूर्णांक है और !! दोहरा भाज्य है।
• $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ कब a > 0
• $\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}$
  के लिए a > 0, n = 0, 1, 2, ....
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (बरनौली संख्या भी देखें)
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40$
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}$
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ (देखें sinc फलन और डिरिचलेट समाकल)
• $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$
• $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$
  (अगर n एक सकारात्मक पूर्णांक है और !! डबल फैक्टोरियल है)।
• $\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
  (के लिए α, β, m, n के साथ पूर्णांक β ≠ 0 और m, n ≥ 0, द्विपद गुणांक भी देखें)
• $\int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0$
  (के लिए α, β असली, n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, और m एक विषम, सकारात्मक पूर्णांक; चूंकि इंटीग्रैंड विषम कार्य है)
• $\int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
  (के लिए α, β, m, n के साथ पूर्णांक β ≠ 0 और m, n ≥ 0, द्विपद गुणांक भी देखें)
• $\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
  (के लिए α, β, m, n के साथ पूर्णांक β ≠ 0 और m, n ≥ 0, द्विपद गुणांक भी देखें)
• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
  (कहाँ exp[u] चरघातांकी फलन है e^u, और a > 0.)
• $\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$
  (कहाँ $\Gamma (z)$ गामा समारोह है)
• $\int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)$
• $\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$
  (के लिए Re(α) > 0 और Re(β) > 0, बीटा समारोह देखें)
• $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (कहाँ I₀(x) पहली तरह का संशोधित बेसेल कार्य है)
• $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}$
  (के लिए ν > 0 , यह विद्यार्थी के t-बंटन |छात्र के t-बंटन के प्रायिकता घनत्व फलन से संबंधित है)

यदि समारोह f अंतराल पर भिन्नता है [a,b], तो समाप्‍ति की विधि समाकलन के लिए एक सूत्र प्रदान करती है:

$$\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).$$

द्वितीय का सपना:

$${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}$$

जोहान बर्नौली को जिम्मेदार ठहराया।

यह भी देखें

• Differentiation rules
• Incomplete gamma function
• Indefinite sum
• Integration using Euler's formula
• Liouville's theorem (differential algebra)
• List of limits
• List of mathematical identities
• List of mathematical series
• Nonelementary integral
• Symbolic integration

अग्रिम पठन

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik (in German). Vol. 1. Translated by Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). ISBN 3-87144-492-8.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. (Several previous editions as well.)
• Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович); Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981−1986 (Russian)]. Integrals and Series. Vol. 1–5. Translated by Queen, N. M. (1 ed.). (Nauka) Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press. ISBN 2-88124-097-6.. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Many earlier editions as well.)
• Meyer Hirsch, Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Meyer Hirsch, Integral Tables Or A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)

बाहरी संबंध

इंटीग्रल की टेबल्स

• पॉल के ऑनलाइन मठ नोट्स
• ए डाइकमैन, टेबल ऑफ़ इंटीग्रल्स (एलिप्टिक फ़ंक्शंस, स्क्वायर रूट्स, इनवर्स टैंगेंट्स एंड मोर एक्सोटिक फ़ंक्शंस): अनिश्चितकालीन इंटीग्रल [ http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/IntegralsDefinite/DefInt.html निश्चित इंटीग्रल]
• मैथ मेजर: इंटीग्रल की तालिका
• O'Brien, Francis J. Jr. https://www.scribd.com/document/576062422/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions. {{cite web}}: Missing or empty |title= (help) चरघातांकी, लघुगणक फलन और विशेष फलन के व्युत्पन्न समाकल।
• एकीकरण.org नियम-आधारित एकीकरण एकीकरण की एक विस्तृत श्रेणी को कवर करने वाले अनिश्चितकालीन एकीकरण नियमों को सटीक रूप से परिभाषित किया गया है
• Mathar, Richard J. (2012). "फिर भी इंटीग्रल की एक और तालिका". arXiv:1207.5845 [math.CA].

व्युत्पत्ति

• विक्टर ह्यूगो मोल, द इंटीग्रल्स इन ग्रैडशटेन और रेज़िक

ऑनलाइन सेवा

• वोल्फ्राम अल्फा के लिए एकीकरण के उदाहरण

ओपन सोर्स प्रोग्राम

• wxmaxima gui कई गणितीय समस्याओं के सांकेतिक और संख्यात्मक समाधान के लिए

वीडियो

• अस्तित्व में सबसे शक्तिशाली एकीकरण तकनीक। समरूपता पर ज्वलनशील गणित द्वारा YouTube वीडियो

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