साइन समारोह

"Sgn" redirects here. For the capitalized abbreviation SGN, see SGN (disambiguation).

For the signature sgn(σ) of a permutation, see even and odd permutations.

Not to be confused with Sine function.

सिग्नल समारोह y = sgn x

गणित में, साइन फ़ंक्शन या साइनम फ़ंक्शन ('विकट: साइनम # लैटिन' से, साइन के लिए लैटिन भाषा) एक सम और विषम फ़ंक्शन फ़ंक्शन (गणित) है जो एक वास्तविक संख्या के चिह्न (गणित) को निकालता है। गणितीय अभिव्यक्तियों में साइन फ़ंक्शन को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है sgn. साइन फ़ंक्शन के साथ भ्रम से बचने के लिए, इस फ़ंक्शन को आमतौर पर साइनम फ़ंक्शन कहा जाता है।

परिभाषा

एक वास्तविक संख्या का साइनम फ़ंक्शन x एक टुकड़ावार कार्य है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$$

गुण

साइन फ़ंक्शन निरंतर कार्य नहीं है x = 0.

किसी भी वास्तविक संख्या को उसके निरपेक्ष मान और उसके चिह्न फलन के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$x=|x|\operatorname {sgn} x.$$

यह इस प्रकार है कि जब भी x हमारे पास 0 के बराबर नहीं है

$$\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.$$

इसी प्रकार, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए x,

$$|x|=x\operatorname {sgn} x.$$

हम यह भी पता लगा सकते हैं:

$$\operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}.$$

साइनम फ़ंक्शन शून्य पर अनिश्चितता तक (लेकिन शामिल नहीं) निरपेक्ष मान फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। अधिक औपचारिक रूप से, एकीकरण सिद्धांत में यह एक कमजोर व्युत्पन्न है, और उत्तल कार्य सिद्धांत में 0 पर निरपेक्ष मान का उपविभेद अंतराल है [−1, 1], साइन फ़ंक्शन भरना (पूर्ण मान का उपविभेदक 0 पर एकल-मूल्यवान नहीं है)। ध्यान दें, की परिणामी शक्ति x 0 है, के साधारण व्युत्पन्न के समान x. संख्याएँ रद्द हो जाती हैं और हमारे पास जो कुछ बचा है, वह है x.

$${\frac {d|x|}{dx}}=\operatorname {sgn} x{\text{ for }}x\neq 0\,.$$

साइनम फ़ंक्शन 0 को छोड़कर हर जगह व्युत्पन्न 0 के साथ अलग-अलग है। यह सामान्य अर्थों में 0 पर अलग-अलग नहीं है, लेकिन वितरण (गणित) में भेदभाव की सामान्यीकृत धारणा के तहत, साइनम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न डिराक डेल्टा समारोह का दो गुना है, जिसे पहचान का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है

$$\operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,$$

कहां H(x) मानक का प्रयोग करते हुए हैवीसाइड स्टेप फंक्शन है H(0) = 1/2 औपचारिकता। इस पहचान का उपयोग करते हुए, वितरण व्युत्पन्न करना आसान है:

$${\frac {d\operatorname {sgn} x}{dx}}=2{\frac {dH(x)}{dx}}=2\delta (x)\,.$$

साइनम फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण है

$$\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}dx=\mathrm {p.v.} {\frac {2}{ik}},$$

कहां p. v. मतलब कॉची प्रिंसिपल वैल्यू।

साइनम को आइवरसन ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$$\operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.$$

साइनम को फर्श और छत के कार्य और निरपेक्ष मान फ़ंक्शंस का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$$\operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|-x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.$$

साइनम फ़ंक्शन की बहुत सरल परिभाषा है यदि 0^0 को 1 के बराबर स्वीकार किया जाता है। तब साइनम को सभी वास्तविक संख्याओं के लिए लिखा जा सकता है

$$\operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.$$

साइनम फ़ंक्शन सीमा के साथ मेल खाता है

$$\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.$$

और

$$\operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.$$

के लिए k ≫ 1, साइन फ़ंक्शन का एक सहज सन्निकटन है

$$\operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.$$

एक और अनुमान है

$$\operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.$$

जो उतना ही तेज हो जाता है ε → 0; ध्यान दें कि यह व्युत्पन्न है √x² + ε². यह इस तथ्य से प्रेरित है कि उपरोक्त सभी अशून्य के लिए बिल्कुल बराबर है x यदि ε = 0, और साइन फ़ंक्शन के उच्च-आयामी एनालॉग्स के लिए सरल सामान्यीकरण का लाभ है (उदाहरण के लिए, आंशिक डेरिवेटिव √x² + y²).

हैवीसाइड स्टेप फंक्शन#विश्लेषणात्मक सन्निकटन|हैवीसाइड स्टेप फंक्शन - विश्लेषणात्मक सन्निकटन देखें।

जटिल आंकड़े

साइनम फ़ंक्शन को जटिल संख्याओं के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है:

$$\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$$

किसी भी जटिल संख्या के लिए z के अलावा z = 0. दी गई सम्मिश्र संख्या का चिह्न z जटिल समतल के इकाई वृत्त पर वह बिंदु (ज्यामिति) है जो सबसे निकट है z. फिर, के लिए z ≠ 0,

$$\operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,$$

कहां arg तर्क (जटिल विश्लेषण) है।

समरूपता के कारणों के लिए, और इसे वास्तविक पर साइनम फ़ंक्शन का उचित सामान्यीकरण रखने के लिए, जटिल डोमेन में भी आमतौर पर परिभाषित किया जाता है, के लिए z = 0:

$$\operatorname {sgn}(0+0i)=0$$

वास्तविक और जटिल अभिव्यक्तियों के लिए साइन फ़ंक्शन का एक और सामान्यीकरण है csgn, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}$$

कहां Re(z) का वास्तविक भाग है z और Im(z) का काल्पनिक हिस्सा है z.

हमारे पास तब (के लिए z ≠ 0):

$$\operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.$$

सामान्यीकृत साइनम फ़ंक्शन

के वास्तविक मूल्यों पर x, साइनम फ़ंक्शन के सामान्यीकृत फ़ंक्शन-संस्करण को परिभाषित करना संभव है, ε(x) ऐसा है कि ε(x)² = 1 हर जगह, बिंदु सहित x = 0, विपरीत sgn, जिसके लिए (sgn 0)² = 0. यह सामान्यीकृत साइनम सामान्यीकृत कार्यों के बीजगणित के निर्माण की अनुमति देता है, लेकिन इस तरह के सामान्यीकरण की कीमत क्रमविनिमेयता का नुकसान है। विशेष रूप से, सामान्यीकृत साइनम डायराक डेल्टा फ़ंक्शन के साथ एंटीकॉम्यूट करता है

$$\varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;$$

के अतिरिक्त, ε(x) पर मूल्यांकन नहीं किया जा सकता x = 0; और विशेष नाम, ε इसे कार्य से अलग करना आवश्यक है sgn. (ε(0) परिभाषित नहीं है, लेकिन sgn 0 = 0.)

मेट्रिसेस का सामान्यीकरण

ध्रुवीय अपघटन प्रमेय, एक मैट्रिक्स के लिए धन्यवाद ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}$ ($n\in \mathbb {N}$ और $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$) को उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है ${\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}$ कहां ${\boldsymbol {Q}}$ एक एकात्मक मैट्रिक्स है और ${\boldsymbol {P}}$ दोनों में एक आत्म-संलग्न, या हर्मिटियन, सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है $\mathbb {K} ^{n\times n}$. यदि ${\boldsymbol {A}}$ उलटा है तो ऐसा अपघटन अद्वितीय है और ${\boldsymbol {Q}}$ की भूमिका अदा करता है ${\boldsymbol {A}}$का साइनम। अपघटन द्वारा एक दोहरी रचना दी जाती है ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}$ कहां ${\boldsymbol {R}}$ एकात्मक है, लेकिन आम तौर से अलग है ${\boldsymbol {Q}}$. यह प्रत्येक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स की ओर जाता है जिसमें एक अद्वितीय बायां-साइनम होता है ${\boldsymbol {Q}}$ और राइट-साइनम ${\boldsymbol {R}}$.

विशेष मामले में जहां $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,$ और (उलटा) मैट्रिक्स ${\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]$, जो (अशून्य) सम्मिश्र संख्या से पहचान करता है $a+\mathrm {i} b=c$, तब साइनम मैट्रिसेस संतुष्ट होते हैं ${\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|$ और के जटिल संकेत के साथ की पहचान करें $c$, $\operatorname {sgn} c=c/|c|$. इस अर्थ में, ध्रुवीय अपघटन जटिल संख्याओं के साइनम-मॉड्यूलस अपघटन को मेट्रिसेस के लिए सामान्यीकृत करता है।

यह भी देखें

• निरपेक्ष मूल्य
• भारी समारोह
• ऋणात्मक संख्या
• आयताकार समारोह
• सिग्मॉइड फ़ंक्शन (कठोर अवग्रह)
• चरण समारोह (टुकड़ावार निरंतर कार्य)
• तीन तरह की तुलना
• जीबरा क्रोससिंग
• ध्रुवीय अपघटन

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• समारोह (गणित)
• संकेत (गणित)
• सम और विषम कार्य
• अंक शास्त्र
• खंड अनुसार
• निरपेक्ष मूल्य
• उपभेद
• यौगिक
• जटिल विमान
• यूनिट सर्कल
• सामान्यीकृत समारोह
• सामान्यीकृत कार्यों का बीजगणित
• तीन तरफा तुलना
• समारोह की ओर कदम बढ़ाएं
• हेविसाइड फ़ंक्शन
• टुकड़ा-वार निरंतर कार्य

टिप्पणियाँ

श्रेणी:विशेष कार्य [[श्रेणी: एकात्मक संक्रिया