कमजोर व्युत्पन्न

गणित में, एक कमजोर व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन (गणित) (मजबूत व्युत्पन्न) के व्युत्पन्न की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, उन कार्यों के लिए जिन्हें अलग-अलग फ़ंक्शन नहीं माना जाता है, लेकिन केवल एकीकृत कार्य, यानी, एलपी स्पेस में झूठ बोलना। एल^पीस्पेस $L^{1}([a,b])$.

भागों द्वारा एकीकरण की विधि अलग-अलग कार्यों के लिए इसे धारण करती है $u$ और $\varphi$ अपने पास

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx.\\[6pt]\end{aligned}}$$

एक फ़ंक्शन u' जो u का कमजोर व्युत्पन्न है, अनिवार्य रूप से इस आवश्यकता से परिभाषित किया गया है कि इस समीकरण को सीमा बिंदुओं पर लुप्त होने वाले सभी असीम रूप से भिन्न कार्यों φ के लिए धारण करना चाहिए ($\varphi (a)=\varphi (b)=0$).

परिभाषा

होने देना $u$ एलपी स्पेस में एक फ़ंक्शन बनें $L^{1}([a,b])$. हम ऐसा कहते हैं $v$ में $L^{1}([a,b])$ का एक कमजोर व्युत्पन्न है $u$ अगर

$\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt$

सभी असीम रूप से भिन्न कार्यों के लिए $\varphi$ साथ $\varphi (a)=\varphi (b)=0$.

सामान्यीकरण करना $n$ आयाम, यदि $u$ और $v$ अंतरिक्ष में हैं $L_{\text{loc}}^{1}(U)$ कुछ खुले सेट के लिए स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, और अगर $\alpha$ एक बहु-सूचकांक है, हम ऐसा कहते हैं $v$ है $\alpha ^{\text{th}}$- का कमजोर व्युत्पन्न $u$ अगर

$\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi ,$

सभी के लिए $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$, अर्थात्, सभी असीम रूप से भिन्न कार्यों के लिए $\varphi$ में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ $U$. यहाँ $D^{\alpha }\varphi$ परिभाषित किया जाता है

$$D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$$

अगर $u$ इसका व्युत्पन्न कमजोर है, यह अक्सर लिखा जाता है $D^{\alpha }u$ चूँकि कमज़ोर डेरिवेटिव अद्वितीय होते हैं (कम से कम, माप शून्य के सेट तक, नीचे देखें)।

उदाहरण

• पूर्ण मान फ़ंक्शन $u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)=|t|$, जो भिन्न नहीं है $t=0$ एक कमजोर व्युत्पन्न है $v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ साइन फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, और इसके द्वारा दिया जाता है
  $$v(t)={\begin{cases}1&{\text{if }}t>0;\\[6pt]0&{\text{if }}t=0;\\[6pt]-1&{\text{if }}t<0.\end{cases}}$$
  यह यू के लिए एकमात्र कमजोर व्युत्पन्न नहीं है: कोई भी डब्ल्यू जो लगभग हर जगह वी के बराबर है वह भी यू के लिए एक कमजोर व्युत्पन्न है। (विशेष रूप से, उपरोक्त v(0) की परिभाषा अनावश्यक है और इसे किसी वांछित वास्तविक संख्या r से बदला जा सकता है।) आमतौर पर, यह कोई समस्या नहीं है, क्योंकि Lp space|L के सिद्धांत में^पी रिक्त स्थान और सोबोलेव रिक्त स्थान, ऐसे कार्यों की पहचान की जाती है जो लगभग हर जगह समान होते हैं।
• तर्कसंगत संख्याओं का सूचक कार्य $1_{\mathbb {Q} }$ कहीं भी भिन्न नहीं है फिर भी इसका व्युत्पन्न कमजोर है। चूँकि परिमेय संख्याओं का लेब्सेग माप शून्य है,
  $$\int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.$$
  इस प्रकार $v(t)=0$ का एक कमजोर व्युत्पन्न है $1_{\mathbb {Q} }$. ध्यान दें कि यह हमारे अंतर्ज्ञान से सहमत है क्योंकि जब से इसे एलपी स्पेस का सदस्य माना जाता है, $1_{\mathbb {Q} }$ शून्य फ़ंक्शन से पहचाना जाता है।
• लगभग हर जगह भिन्न होने के बावजूद, कैंटर फ़ंक्शन सी में कमजोर व्युत्पन्न नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि c का कोई भी कमजोर व्युत्पन्न लगभग हर जगह c के शास्त्रीय व्युत्पन्न के बराबर होगा, जो लगभग हर जगह शून्य है। लेकिन शून्य फ़ंक्शन सी का कमजोर व्युत्पन्न नहीं है, जैसा कि उचित परीक्षण फ़ंक्शन के विरुद्ध तुलना करके देखा जा सकता है $\varphi$. अधिक सैद्धांतिक रूप से, सी में कमजोर व्युत्पन्न नहीं है क्योंकि इसका वितरण व्युत्पन्न, अर्थात् कैंटर वितरण, एक विलक्षण माप है और इसलिए इसे किसी फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है।

गुण

यदि दो फ़ंक्शन एक ही फ़ंक्शन के कमजोर व्युत्पन्न हैं, तो वे लेबेस्ग माप शून्य वाले सेट को छोड़कर समान हैं, यानी, वे लगभग हर जगह समान हैं। यदि हम कार्यों के समतुल्य वर्गों पर विचार करते हैं जैसे कि दो कार्य समतुल्य हैं यदि वे लगभग हर जगह समान हैं, तो कमजोर व्युत्पन्न अद्वितीय है।

साथ ही, यदि u पारंपरिक अर्थों में भिन्न है तो इसका कमजोर व्युत्पन्न इसके पारंपरिक (मजबूत) व्युत्पन्न के समान (ऊपर दिए गए अर्थ में) है। इस प्रकार कमजोर व्युत्पन्न मजबूत व्युत्पन्न का सामान्यीकरण है। इसके अलावा, योगों के व्युत्पन्न और कार्यों के उत्पादों के लिए शास्त्रीय नियम भी कमजोर व्युत्पन्न के लिए लागू होते हैं।

एक्सटेंशन

यह अवधारणा सोबोलेव रिक्त स्थान में कमजोर समाधानों की परिभाषा को जन्म देती है, जो अंतर समीकरणों की समस्याओं और कार्यात्मक विश्लेषण में उपयोगी होते हैं।

यह भी देखें

• उपअव्युत्पत्तियाँ
• वेइल्स लेम्मा (लाप्लास समीकरण)

संदर्भ

• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer. p. 149. ISBN 3-540-41160-7.
• Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society. p. 242. ISBN 0-8218-0772-2.
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. New York: Springer. p. 53. ISBN 0-387-95449-X.