कमजोर समाधान

गणित में, एक साधारण अंतर समीकरण या आंशिक अंतर समीकरण के लिए एक कमजोर समाधान (जिसे सामान्यीकृत समाधान भी कहा जाता है) एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसके लिए सभी डेरिवेटिव मौजूद नहीं हो सकते हैं लेकिन फिर भी कुछ सटीक परिभाषित अर्थों में समीकरण को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है . कमजोर समाधान की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, जो समीकरणों के विभिन्न वर्गों के लिए उपयुक्त हैं। सबसे महत्वपूर्ण में से एक वितरण (गणित) की धारणा पर आधारित है।

वितरण की भाषा से बचते हुए, कोई एक अंतर समीकरण से शुरू करता है और इसे इस तरह से फिर से लिखता है कि समीकरण के समाधान का कोई व्युत्पन्न दिखाई नहीं देता है (नए रूप को कमजोर फॉर्मूलेशन कहा जाता है, और इसके समाधान को कमजोर समाधान कहा जाता है) . कुछ हद तक आश्चर्यजनक रूप से, एक विभेदक समीकरण में ऐसे समाधान हो सकते हैं जो अवकलनीय कार्य नहीं हैं; और कमजोर सूत्रीकरण किसी को ऐसे समाधान खोजने की अनुमति देता है।

कमजोर समाधान महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वास्तविक दुनिया की घटनाओं के मॉडलिंग में आने वाले कई अंतर समीकरण पर्याप्त रूप से सुचारू समाधानों को स्वीकार नहीं करते हैं, और ऐसे समीकरणों को हल करने का एकमात्र तरीका कमजोर फॉर्मूलेशन का उपयोग करना है। यहां तक ​​कि उन स्थितियों में भी जहां किसी समीकरण के अलग-अलग समाधान होते हैं, अक्सर पहले कमजोर समाधानों के अस्तित्व को साबित करना और बाद में यह दिखाना सुविधाजनक होता है कि वे समाधान वास्तव में काफी सहज हैं।

एक ठोस उदाहरण

अवधारणा के उदाहरण के रूप में, प्रथम-क्रम तरंग समीकरण पर विचार करें:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

(1)

जहाँ u = u(t, x) दो वास्तविक संख्या चरों का एक फलन है। किसी संभावित समाधान यू के गुणों की परोक्ष रूप से जांच करने के लिए, कोई इसे एक मनमाने ढंग से सुचारू फ़ंक्शन के विरुद्ध एकीकृत करता है $\varphi \,\!$ कॉम्पैक्ट समर्थन का, जिसे परीक्षण फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt$

उदाहरण के लिए, यदि $\varphi$ एक बिंदु के निकट केंद्रित एक सहज संभाव्यता वितरण है $(t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })$, अभिन्न लगभग है $u(t_{\circ },x_{\circ })$. ध्यान दें कि जबकि अभिन्न अंग चलते हैं $-\infty$ को $\infty$, वे अनिवार्य रूप से एक सीमित बॉक्स के ऊपर हैं $\varphi$ गैर-शून्य है.

इस प्रकार, मान लें कि एक समाधान यू यूक्लिडियन स्थान 'आर' पर लगातार भिन्न है², समीकरण को गुणा करें (1) एक परीक्षण फ़ंक्शन द्वारा $\varphi$ (कॉम्पैक्ट समर्थन का सुचारू), और एकीकृत:

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

फ़ुबिनी के प्रमेय का उपयोग करना जो किसी को एकीकरण के क्रम को बदलने की अनुमति देता है, साथ ही भागों द्वारा एकीकरण (पहले पद के लिए टी में और दूसरे पद के लिए एक्स में) यह समीकरण बन जाता है:

$-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.$

(2)

(तब से सीमा शर्तें गायब हो जाती हैं $\varphi$ एक परिमित बॉक्स के बाहर शून्य है।) हमने वह समीकरण दिखाया है (1) का तात्पर्य समीकरण (2) जब तक आप लगातार भिन्न हैं।

कमजोर समाधान की अवधारणा की कुंजी यह है कि ऐसे फ़ंक्शन मौजूद हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं (2) किसी के लिए $\varphi$, लेकिन ऐसा हो सकता है कि आप अवकलनीय न हों और इसलिए समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकते (1). एक उदाहरण है u(t, x) = |t − x|, जैसा कि कोई उन क्षेत्रों x ≥ t और x ≤ t पर इंटीग्रल्स को विभाजित करके जांच कर सकता है जहां u सुचारू है, और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके उपरोक्त गणना को उलट दिया गया है। समीकरण का एक कमजोर समाधान (1) का अर्थ है समीकरण का कोई भी हल (2) सभी परीक्षण कार्यों पर $\varphi$.

सामान्य मामला

इस उदाहरण से जो सामान्य विचार निकलता है वह यह है कि, यू में एक अंतर समीकरण को हल करते समय, कोई परीक्षण फ़ंक्शन का उपयोग करके इसे फिर से लिख सकता है $\varphi$, जैसे कि यू में जो भी व्युत्पन्न समीकरण में दिखाई देता है, उन्हें भागों द्वारा एकीकरण के माध्यम से स्थानांतरित किया जाता है $\varphi$, जिसके परिणामस्वरूप यू के व्युत्पन्न के बिना एक समीकरण प्राप्त होता है। यह नया समीकरण उन समाधानों को शामिल करने के लिए मूल समीकरण का सामान्यीकरण करता है जो आवश्यक रूप से भिन्न नहीं होते हैं।

ऊपर दर्शाया गया दृष्टिकोण व्यापक रूप से काम करता है। दरअसल, 'आर' में एक खुले सेट डब्ल्यू में एक रैखिक अंतर ऑपरेटर पर विचार करेंⁿ:

$P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),$

जहां बहु-सूचकांक (α₁, ए₂, ..., ए_n) एन में कुछ परिमित सेट पर भिन्न होता हैⁿऔर गुणांक $a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ 'R' में x के पर्याप्त कार्य सुचारू हैंⁿ.

एक सहज परीक्षण फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए जाने के बाद अंतर समीकरण P(x, ∂)u(x) = 0 हो सकता है $\varphi$ डब्ल्यू में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ और भागों द्वारा एकीकृत, के रूप में लिखा जाएगा

$\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

जहां अंतर ऑपरेटर Q(x, ∂) सूत्र द्वारा दिया गया है

$Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].$

जो नंबर

$(-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

दिखाई देता है क्योंकि किसी को α की आवश्यकता होती है₁ + ए₂ + ⋯ + ए_n सभी आंशिक व्युत्पन्नों को यू से स्थानांतरित करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण $\varphi$ अवकल समीकरण के प्रत्येक पद में, और भागों द्वारा प्रत्येक एकीकरण में -1 से गुणा होता है।

डिफरेंशियल ऑपरेटर Q(x, ∂) P(x, ∂) (एक ऑपरेटर का cf एडजॉइंट) का 'औपचारिक एडजॉइंट' है।

संक्षेप में, यदि मूल (मजबूत) समस्या एक |α|-बार भिन्न फ़ंक्शन को ढूंढना था जिसे आपने खुले सेट W पर परिभाषित किया था जैसे कि

$P(x,\partial )u(x)=0{\text{ for all }}x\in W$

(एक तथाकथित मजबूत समाधान), तो एक पूर्णांक फ़ंक्शन यू को एक कमजोर समाधान कहा जाएगा यदि

$\int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

प्रत्येक सुचारु कार्य के लिए $\varphi$ डब्ल्यू में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ।

अन्य प्रकार के कमजोर समाधान

वितरण पर आधारित कमज़ोर समाधान की धारणा कभी-कभी अपर्याप्त होती है। हाइपरबोलिक प्रणालियों के मामले में, वितरण के आधार पर कमजोर समाधान की धारणा विशिष्टता की गारंटी नहीं देती है, और इसे एन्ट्रापी स्थितियों या किसी अन्य चयन मानदंड के साथ पूरक करना आवश्यक है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण जैसे पूरी तरह से गैर-रेखीय पीडीई में, कमजोर समाधान की एक बहुत अलग परिभाषा होती है जिसे चिपचिपापन समाधान कहा जाता है।

संदर्भ

• Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.