कमजोर सूत्रीकरण

कमजोर सूत्रीकरण गणितीय समीकरणों के विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो आंशिक अंतर समीकरणों जैसे अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक बीजगणित की अवधारणाओं के हस्तांतरण की अनुमति देते हैं। एक कमजोर फॉर्मूलेशन में, समीकरणों या शर्तों को अब पूरी तरह से धारण करने की आवश्यकता नहीं है (और यह अच्छी तरह से परिभाषित भी नहीं है) और इसके बजाय केवल कुछ परीक्षण वैक्टर या परीक्षण कार्यों के संबंध में कमजोर समाधान हैं। एक मजबूत सूत्रीकरण में, समाधान स्थान का निर्माण इस तरह किया जाता है कि ये समीकरण या शर्तें पहले से ही पूरी हो जाती हैं।

लैक्स-मिलग्राम प्रमेय, जिसका नाम पीटर लैक्स और आर्थर मिलग्राम के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1954 में सिद्ध किया था, हिल्बर्ट स्थानों पर कुछ प्रणालियों के लिए कमजोर फॉर्मूलेशन प्रदान करता है।

सामान्य अवधारणा

होने देना $V$ एक बानाच स्थान बनें, चलो $V'$ का दोहरा स्थान हो $V$, होने देना $A\colon V\to V'$, और जाने $f\in V'$. एक सदिश $u\in V$ समीकरण का एक समाधान है

$$Au=f$$

यदि और केवल यदि सभी के लिए $v\in V$,

$$[Au](v)=f(v).$$

यहाँ, $v$ इसे परीक्षण वेक्टर (सामान्य तौर पर) या परीक्षण फ़ंक्शन (यदि) कहा जाता है $V$ एक फ़ंक्शन स्पेस है)।

इसे कमजोर फॉर्मूलेशन के सामान्य रूप में लाने के लिए, खोजें $u\in V$ ऐसा है कि

$$a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,$$

द्विरेखीय रूप को परिभाषित करके

$$a(u,v):=[Au](v).$$

उदाहरण 1: समीकरणों की रैखिक प्रणाली

अब चलो $V=\mathbb {R} ^{n}$ और $A:V\to V$ एक रेखीय मानचित्रण हो. फिर, समीकरण का कमजोर सूत्रीकरण

$$Au=f$$

खोजना शामिल है $u\in V$ ऐसा कि सभी के लिए $v\in V$ निम्नलिखित समीकरण धारण करता है:

$$\langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,$$

कहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ एक आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है.

तब से $A$ एक रेखीय मानचित्रण है, यह आधार वैक्टर के साथ परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है, और हमें मिलता है

$$\langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.$$

दरअसल, विस्तार $u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}$, हमें समीकरण का मैट्रिक्स (गणित) रूप प्राप्त होता है

$$\mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,$$

कहाँ $a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle$ और $f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle$.

इस कमजोर सूत्रीकरण से जुड़ा द्विरेखीय रूप है

$$a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .$$

उदाहरण 2: पॉइसन का समीकरण

पॉइसन के समीकरण को हल करने के लिए

$$-\nabla ^{2}u=f,$$

एक डोमेन पर $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ साथ $u=0$ इसकी सीमा (टोपोलॉजी) पर, और समाधान स्थान निर्दिष्ट करने के लिए $V$ बाद में, कोई इसका उपयोग कर सकता है $L^{2}$-अदिश उत्पाद

$$\langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx$$

कमजोर सूत्रीकरण प्राप्त करने के लिए. फिर, अलग-अलग कार्यों के साथ परीक्षण $v$ पैदावार

$$-\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.$$

इस समीकरण के बाईं ओर को ग्रीन की पहचान का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण करके अधिक सममित बनाया जा सकता है|ग्रीन की पहचान और यह मानते हुए कि $v=0$ पर $\partial \Omega$:

$$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.$$

इसे ही आमतौर पर पॉइसन समीकरण का कमजोर सूत्रीकरण कहा जाता है। समाधान स्थान में फ़ंक्शन (गणित)। $V$ सीमा पर शून्य होना चाहिए, और वर्ग-अभिन्न व्युत्पन्न होना चाहिए। इन आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए उपयुक्त स्थान सोबोलेव स्थान है $H_{0}^{1}(\Omega )$ कमजोर व्युत्पन्न वाले कार्यों का $L^{2}(\Omega )$ और शून्य सीमा शर्तों के साथ, इसलिए $V=H_{0}^{1}(\Omega )$.

सामान्य प्रपत्र असाइन करके प्राप्त किया जाता है

$$a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx$$

और

$$f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.$$

लैक्स-मिलग्राम प्रमेय

यह लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का एक सूत्रीकरण है जो द्विरेखीय रूप के सममित भाग के गुणों पर निर्भर करता है। यह सबसे सामान्य रूप नहीं है.

होने देना $V$ एक हिल्बर्ट स्थान बनें और $a(\cdot ,\cdot )$ एक द्विरेखीय रूप पर $V$, जो है

1. द्विरेखीय रूप#मानक सदिश स्थानों पर: $|a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;$ और
2. जबरदस्ती कार्य#जबरदस्ती संचालक और रूप: $a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.$

फिर, किसी के लिए $f\in V'$, एक अनोखा उपाय है $u\in V$ समीकरण के लिए

$$a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V$$

और यह कायम है

$$\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.$$

===उदाहरण 1=== पर आवेदन यहां, लैक्स-मिलग्राम प्रमेय का अनुप्रयोग आवश्यकता से अधिक मजबूत परिणाम है।

• सीमाबद्धता: सभी द्विरेखीय रूप $\mathbb {R} ^{n}$ बंधे हुए हैं. विशेष रूप से, हमारे पास है
  $$|a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|$$
• जबरदस्ती: इसका वास्तव में मतलब है कि eigenvalues ​​​​की जटिल संख्या $A$ से छोटे नहीं हैं $c$. चूँकि इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि कोई भी eigenvalue शून्य नहीं है, सिस्टम हल करने योग्य है।

इसके अतिरिक्त, इससे अनुमान प्राप्त होता है

$$\|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,$$

कहाँ $c$ के एक eigenvalue का न्यूनतम वास्तविक भाग है $A$.

===उदाहरण 2=== पर अनुप्रयोग यहाँ, चुनें $V=H_{0}^{1}(\Omega )$ आदर्श के साथ

$$\|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,$$

जहां दाहिनी ओर मानक है $L^{2}$-आदर्श चालू $\Omega$ (यह एक सच्चा मानदंड प्रदान करता है $V$ पोंकारे असमानता द्वारा)। लेकिन, हम ऐसा देखते हैं $|a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}$ और कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा, $|a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|$.

इसलिए, किसी के लिए $f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'$, एक अनोखा उपाय है $u\in V$ पॉइसन के समीकरण का और हमारे पास अनुमान है

$$\|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.$$

यह भी देखें

• बाबुस्का-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय
• लायंस-लैक्स-मिलग्राम प्रमेय

संदर्भ

• Lax, Peter D.; Milgram, Arthur N. (1954), "Parabolic equations", Contributions to the theory of partial differential equations, Annals of Mathematics Studies, vol. 33, Princeton, N. J.: Princeton University Press, pp. 167–190, doi:10.1515/9781400882182-010, ISBN 9781400882182, MR 0067317, Zbl 0058.08703

बाहरी संबंध

• MathWorld page on Lax–Milgram theorem