स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य

गणित में, एक स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन (कभी-कभी इसे स्थानीय रूप से सारांशित फ़ंक्शन भी कहा जाता है) एक फ़ंक्शन (गणित) है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फ़ंक्शंस का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका कार्य स्थान Lp स्पेस के समान हैL^p रिक्त स्थान, लेकिन इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है तो अनंत पर): दूसरे शब्दों में, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य डोमेन सीमा पर मनमाने ढंग से तेजी से बढ़ सकते हैं, लेकिन अभी भी सामान्य एकीकृत कार्यों के समान ही प्रबंधनीय हैं।

परिभाषा

मानक परिभाषा

Definition 1. होने देना Ω यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक खुला सेट बनें $\mathbb {R} ^{n}$ और f : Ω → $\mathbb {C}$ एक लेब्सेग माप मापने योग्य फ़ंक्शन बनें। अगर f पर Ω इस प्रकार कि

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

यानी इसका लेब्सग इंटीग्रल सभी कॉम्पैक्ट सेट पर सीमित है K का Ω, तब f को स्थानीय रूप से एकीकृत कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है L_1,loc(Ω):

$L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},$

कहाँ ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$ के एक कार्य के प्रतिबंध को दर्शाता है f सेट पर K.

स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन की शास्त्रीय परिभाषा में केवल माप सिद्धांत और टोपोलॉजिकल स्पेस शामिल है अवधारणाओं और एक टोपोलॉजिकल माप स्थान पर जटिल संख्या | जटिल-मूल्यवान कार्यों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है (X, Σ, μ): हालाँकि, चूँकि ऐसे फ़ंक्शंस का सबसे आम अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर वितरण (गणित) के लिए है,इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण मामले से संबंधित हैं।

एक वैकल्पिक परिभाषा

Definition 2. होने देना Ω यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक खुला सेट बनें $\mathbb {R} ^{n}$. फिर एक फ़ंक्शन (गणित) f : Ω → $\mathbb {C}$ ऐसा है कि

$\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

प्रत्येक परीक्षण फ़ंक्शन के लिए φ ∈ C ∞
c (Ω) को स्थानीय रूप से एकीकृत कहा जाता है, और ऐसे कार्यों के सेट को इसके द्वारा दर्शाया जाता है L_1,loc(Ω). यहाँ C ∞
c (Ω) सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय को दर्शाता है φ : Ω → $\mathbb {R}$ समर्थन (गणित)#कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ शामिल है Ω.

इस परिभाषा की जड़ें माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं, जो निकोलस बॉर्बकी स्कूल द्वारा विकसित एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर सतत रैखिक कार्यात्मक # सतत रैखिक कार्यात्मक की अवधारणा पर आधारित है: यह वह भी है जिसे अपनाया गया है Strichartz (2003) और तक Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 34). यह वितरण सिद्धांत संबंधी परिभाषा मानक परिभाषा के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध करता है:

Lemma 1. एक दिया गया फ़ंक्शन f : Ω → $\mathbb {C}$ के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है Definition 1 यदि और केवल यदि यह स्थानीय रूप से एकीकृत है Definition 2, अर्थात।

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).$

का प्रमाण Lemma 1

यदि भाग: चलो φ ∈ C ∞
c (Ω) एक परीक्षण फ़ंक्शन बनें। यह अपने सर्वोच्च मानदंड से चरम मूल्य प्रमेय है ||φ||_∞, मापने योग्य, और इसमें एक समर्थन (गणित)#कॉम्पैक्ट समर्थन है, आइए इसे कॉल करें K. इस तरह

$\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty$

द्वारा Definition 1.

केवल यदि भाग: चलो K खुले समुच्चय का एक संहत उपसमुच्चय बनें Ω. हम पहले एक परीक्षण फ़ंक्शन का निर्माण करेंगे φ_K ∈ C ∞
c (Ω) जो संकेतक फ़ंक्शन को प्रमुखता देता है χ_K का K. दूरी#सेट के बीच और एक बिंदु और सेट के बीच की दूरी बीच में K और सीमा (टोपोलॉजी) ∂Ω पूर्णतया शून्य से बड़ा है, अर्थात

$\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,$

इसलिए वास्तविक संख्या चुनना संभव है δ ऐसा है कि Δ > 2δ > 0 (अगर ∂Ω खाली सेट है, ले लो Δ = ∞). होने देना K_δ और K_2δ क्लोजर (टोपोलॉजी)#एक सेट नेबरहुड का क्लोजर (गणित)#मीट्रिक स्पेस में|δ-पड़ोस और 2δ-का पड़ोस K, क्रमश। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं

$K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.$

अब फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए कनवल्शन का उपयोग करें φ_K : Ω → $\mathbb {R}$ द्वारा

$\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,$

कहाँ φ_δ एक शांत करनेवाला है जिसका निर्माण मोलिफ़ायर#कंक्रीट उदाहरण का उपयोग करके किया गया है। ज़ाहिर तौर से φ_K इस अर्थ में गैर-नकारात्मक है φ_K ≥ 0, असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन निहित है K_2δ, विशेष रूप से यह एक परीक्षण फ़ंक्शन है। तब से φ_K(x) = 1 सभी के लिए x ∈ K, हमारे पास वह है χ_K ≤ φ_K.

होने देना f के अनुसार एक स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन बनें Definition 2. तब

$\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .$

चूँकि यह प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के लिए लागू होता है K का Ω, कार्यक्रम f के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है Definition 1. □

सामान्यीकरण: स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य

Definition 3. होने देना Ω यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक खुला सेट बनें $\mathbb {R} ^{n}$ और f : Ω → $\mathbb {C}$ एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य फ़ंक्शन बनें। यदि, किसी दिए गए के लिए p साथ 1 ≤ p ≤ +∞, f संतुष्ट करता है

$\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,$

यानी, यह का है L_p(K) सभी कॉम्पैक्ट सेट के लिए K का Ω, तब f को स्थानीय रूप से कहा जाता है p-अभिन्न या भी p-स्थानीय रूप से एकीकृत।ऐसे सभी फलनों का समुच्चय (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है L_p,loc(Ω):

$L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.$

स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के लिए दी गई एक वैकल्पिक परिभाषा, पूरी तरह से अनुरूप, स्थानीय रूप से भी दी जा सकती है p-अभिन्न कार्य: यह इस खंड के समतुल्य भी हो सकता है और सिद्ध भी हो सकता है। स्थानीय स्तर पर उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के बावजूद p-अभिन्न कार्य प्रत्येक के लिए स्थानीय रूप से पूर्ण करने योग्य कार्यों का एक उपसमूह बनाते हैं p ऐसा है कि 1 < p ≤ +∞.

संकेतन

विभिन्न ग्लिफ़ के अलावा जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के सेट के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं

• $L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Hörmander 1990, p. 37), (Strichartz 2003, pp. 12–13) और (Vladimirov 2002, p. 3).
• $L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) और Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44).
• $L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),$ के द्वारा ग्रहण किया गया (Maz'ja 1985, p. 6) और (Maz'ya 2011, p. 2).

गुण

===एल_p,loc सभी p ≥ 1=== के लिए एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है Theorem 1. L_p,loc एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:

$d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$

कहाँ {ω_k}_k≥1 ऐसे गैर खाली खुले सेटों का एक परिवार है

• ω_k ⊂⊂ ω_k+1, मतलब है कि ω_k को कॉम्पैक्ट रूप से शामिल किया गया है ω_k+1 यानी यह एक सेट है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के सेट में सख्ती से शामिल किया गया है।
• ∪_kω_k = Ω.
• $\scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}$, के ∈ $\mathbb {N}$ सेमिनोर्म का एक अनुक्रमित परिवार है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).$

सन्दर्भों में (Gilbarg & Trudinger 2001, p. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5), (Maz'ja 1985, p. 6) और (Maz'ya 2011, p. 2), यह प्रमेय बताया गया है लेकिन औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है: एक अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी शामिल है, पाया जाता है (Meise & Vogt 1997, p. 40).

===एल_p L का एक उपस्थान है_1,loc सभी p ≥ 1=== के लिए Theorem 2. हर समारोह f से संबंधित L_p(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, कहाँ Ω का एक खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$, स्थानीय रूप से एकीकृत है।

सबूत। मामला p = 1 तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है 1 < p ≤ +∞. संकेतक फ़ंक्शन पर विचार करें χ_K एक सघन उपसमुच्चय का K का Ω: फिर, के लिए p ≤ +∞,

$\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,$

कहाँ

• q एक धनात्मक संख्या है जैसे कि 1/p + 1/q = 1 किसी प्रदत्त के लिए 1 ≤ p ≤ +∞
• |K| कॉम्पैक्ट सेट का लेबेस्ग माप है K

फिर किसी के लिए f से संबंधित L_p(Ω), होल्डर की असमानता से, उत्पाद (गणित) fχ_K एकीकृत कार्य है यानी संबंधित है L₁(Ω) और

${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,$

इसलिए

$f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).$

ध्यान दें कि चूँकि निम्नलिखित असमानता सत्य है

${\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,$

प्रमेय कार्यों के लिए भी सत्य है f केवल स्थानीय स्तर के स्थान से संबंधित p-अभिन्न कार्य, इसलिए प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित परिणाम से भी है।

Corollary 1. हर समारोह $f$ में $L_{p,loc}(\Omega )$, $1<p\leq \infty$, स्थानीय रूप से एकीकृत है, i. इ। से संबंधित $L_{1,loc}(\Omega )$.

नोट: यदि $\Omega$ का एक खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$ वह भी परिबद्ध है, तो एक में मानक समावेशन होता है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है $L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$. लेकिन इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि $\Omega$ परिबद्ध नहीं है; तो यह अभी भी सच है $L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ किसी के लिए $p$, लेकिन ऐसा नहीं $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$. इसे देखने के लिए, आमतौर पर फ़ंक्शन पर विचार किया जाता है $u(x)=1$, जो इसमें है $L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ लेकिन अंदर नहीं $L_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ किसी भी परिमित के लिए $p$.

एल_1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है

Theorem 3. एक समारोह f पूर्ण निरंतरता का घनत्व फ़ंक्शन (माप सिद्धांत) है # उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि $f\in L_{1,loc}$.

इस परिणाम का प्रमाण रेखाचित्र द्वारा दिया गया है (Schwartz 1998, p. 18). अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय फ़ंक्शन एक बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय एक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय फ़ंक्शन को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।

उदाहरण

• निरंतर कार्य 1 वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थानीय रूप से एकीकृत है लेकिन विश्व स्तर पर एकीकृत नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, स्थिरांक (गणित), निरंतर कार्य और एकीकृत कार्य स्थानीय रूप से एकीकृत होते हैं।
• कार्यक्रम $f(x)=1/x$ x ∈ (0, 1) के लिए स्थानीय रूप से है लेकिन वैश्विक रूप से (0, 1) पर एकीकृत नहीं है। यह स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट सेट K ⊆ (0, 1) की 0 से सकारात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाहरण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
• कार्यक्रम

$f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R}$

स्थानीय रूप से एकीकृत नहीं है x = 0: यह वास्तव में इस बिंदु के निकट स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि इसे शामिल किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट सेट पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, 1/x ∈ L_1,loc($\mathbb {R}$ \ 0): हालाँकि, इस फ़ंक्शन को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है $\mathbb {R}$ कॉची प्रमुख मूल्य के रूप में।

• पिछला उदाहरण एक प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक फ़ंक्शन जो स्थानीय रूप से एकीकृत है Ω ⊊ $\mathbb {R}$ संपूर्ण के लिए एक विस्तार स्वीकार करें $\mathbb {R}$ वितरण के रूप में? उत्तर नकारात्मक है, और एक प्रतिउदाहरण निम्नलिखित फ़ंक्शन द्वारा प्रदान किया गया है:

$f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}$

किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है $\mathbb {R}$. * निम्नलिखित उदाहरण, पिछले उदाहरण के समान, एक फ़ंक्शन से संबंधित है L_1,loc($\mathbb {R}$\ 0) जो अनियमित विलक्षणता वाले विभेदक ऑपरेटरों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में एक प्राथमिक प्रति-उदाहरण के रूप में कार्य करता है:

$f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}$

कहाँ k₁ और k₂ जटिल संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण

$x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.$

फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है $\mathbb {R}$, अगर k₁ या k₂ शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।

अनुप्रयोग

स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन वितरण (गणित) में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं और वे फ़ंक्शन (गणित) और फ़ंक्शन स्पेस के विभिन्न वर्गों की परिभाषा में होते हैं, जैसे कि बाध्य भिन्नता। इसके अलावा, वे रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में प्रत्येक माप के बिल्कुल निरंतर भाग को चिह्नित करके प्रकट होते हैं।

यह भी देखें

• कॉम्पैक्ट सेट
• वितरण (गणित)
• लेब्सग्यू का घनत्व प्रमेय
• लेब्सेग विभेदन प्रमेय
• लेब्सग इंटीग्रल
• एलपी स्पेस

संदर्भ

• Cafiero, Federico (1959), Misura e integrazione, Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (in italiano), vol. 5, Roma: Edizioni Cremonese, pp. VII+451, MR 0215954, Zbl 0171.01503. Measure and integration (as the English translation of the title reads) is a definitive monograph on integration and measure theory: the treatment of the limiting behavior of the integral of various kind of sequences of measure-related structures (measurable functions, measurable sets, measures and their combinations) is somewhat conclusive.
• Gel'fand, I. M.; Shilov, G. E. (1964) [1958], Generalized functions. Vol. I: Properties and operations, New York–London: Academic Press, pp. xviii+423, ISBN 978-0-12-279501-5, MR 0166596, Zbl 0115.33101. Translated from the original 1958 Russian edition by Eugene Saletan, this is an important monograph on the theory of generalized functions, dealing both with distributions and analytic functionals.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001) [1998], Elliptic partial differential equations of second order, Classics in Mathematics (Revised 3rd printing of 2nd ed.), Berlin – Heidelberg – New York: Springer Verlag, pp. xiv+517, ISBN 3-540-41160-7, MR 1814364, Zbl 1042.35002.
• Hörmander, Lars (1990), The analysis of linear partial differential operators I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2nd ed.), Berlin-Heidelberg-New York City: Springer-Verlag, pp. xii+440, ISBN 0-387-52343-X, MR 1065136, Zbl 0712.35001 (available also as ISBN 3-540-52343-X).
• Maz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolev Spaces, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp. xix+486, ISBN 3-540-13589-8, MR 0817985, Zbl 0692.46023 (available also as ISBN 0-387-13589-8).
• Maz'ya, Vladimir G. (2011) [1985], Sobolev Spaces. With Applications to Elliptic Partial Differential Equations., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (2nd revised and augmented ed.), Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, pp. xxviii+866, ISBN 978-3-642-15563-5, MR 2777530, Zbl 1217.46002.
• Maz'ya, Vladimir G.; Poborchi, Sergei V. (1997), Differentiable Functions on Bad Domains, Singapore–New Jersey–London–Hong Kong: World Scientific, pp. xx+481, ISBN 981-02-2767-1, MR 1643072, Zbl 0918.46033.
• Maz'ya, Vladimir G.; Shaposhnikova, Tatyana O. (2009), Theory of Sobolev multipliers. With applications to differential and integral operators, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 337, Heidelberg: Springer-Verlag, pp. xiii+609, ISBN 978-3-540-69490-8, MR 2457601, Zbl 1157.46001.
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997), Introduction to Functional Analysis, Oxford Graduate Texts in Mathematics, vol. 2, Oxford: Clarendon Press, pp. x+437, ISBN 0-19-851485-9, MR 1483073, Zbl 0924.46002.
• Saks, Stanisław (1937), Theory of the Integral, Monografie Matematyczne, vol. 7 (2nd ed.), Warszawa-Lwów: G.E. Stechert & Co., pp. VI+347, JFM 63.0183.05, MR 0167578, Zbl 0017.30004. English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach: the Mathematical Reviews number refers to the Dover Publications 1964 edition, which is basically a reprint.
• Schwartz, Laurent (1998) [1966], Théorie des distributions, Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (in français), vol. No. IX–X (Nouvelle ed.), Paris: Hermann Éditeurs, pp. xiii+420, ISBN 2-7056-5551-4, MR 0209834, Zbl 0149.09501.
• Strichartz, Robert S. (2003), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms (2nd printing ed.), River Edge, NJ: World Scientific Publishers, pp. x+226, ISBN 981-238-430-8, MR 2000535, Zbl 1029.46039.
• Vladimirov, V. S. (2002), Methods of the theory of generalized functions, Analytical Methods and Special Functions, vol. 6, London–New York: Taylor & Francis, pp. XII+353, ISBN 0-415-27356-0, MR 2012831, Zbl 1078.46029. A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.

बाहरी संबंध

• Rowland, Todd. "Locally integrable". MathWorld.
• Vinogradova, I.A. (2001) [1994], "Locally integrable function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

This article incorporates material from Locally integrable function on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.