कार्य स्थान

गणित में, फ़ंक्शन स्पेस दो निश्चित सेटों के बीच फ़ंक्शन (गणित) का एक सेट (गणित) होता है। अक्सर, किसी फ़ंक्शन के डोमेन और/या कोडोमेन में अतिरिक्त गणितीय संरचना होती है जो फ़ंक्शन स्पेस द्वारा विरासत में मिलती है। उदाहरण के लिए, किसी भी सेट से फ़ंक्शंस का सेट X एक सदिश समष्टि में बिंदुवार जोड़ और अदिश गुणन द्वारा दी गई गणितीय शब्दजाल#प्राकृतिक सदिश समष्टि संरचना की एक सूची होती है। अन्य परिदृश्यों में, फ़ंक्शन स्पेस को टोपोलॉजिकल स्पेस या मीट्रिक स्थान संरचना विरासत में मिल सकती है, इसलिए इसे फ़ंक्शन स्पेस कहा जाता है।

रैखिक बीजगणित में

See also: Vector space § Function spaces

होने देना V फ़ील्ड पर एक सदिश समष्टि बनें (गणित) F और जाने X कोई भी सेट हो. कार्य X → F को एक सदिश समष्टि की संरचना दी जा सकती है F जहां संचालन को बिंदुवार परिभाषित किया गया है, अर्थात किसी के लिए f, g : X → F, कोई x में X, और कोई भी c में F, परिभाषित करना

$${\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}$$

जब डोमेन X में अतिरिक्त संरचना है, इसके बजाय कोई ऐसे सभी कार्यों के उपसमूह (या रैखिक उपस्थान) पर विचार कर सकता है जो उस संरचना का सम्मान करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि X भी एक सदिश समष्टि है F, रेखीय मानचित्र का सेट X → V ऊपर एक सदिश समष्टि बनाएं F बिंदुवार संचालन के साथ (अक्सर आदमी सेट को दर्शाया जाता है(X,V)). ऐसा ही एक स्थान है दोहरी जगह V: रैखिक रूप का सेट V → F जोड़ और अदिश गुणन के साथ बिंदुवार परिभाषित।

उदाहरण

गणित के विभिन्न क्षेत्रों में फ़ंक्शन स्पेस दिखाई देते हैं:

• सेट सिद्धांत में, X से Y तक फ़ंक्शंस के सेट को X → Y या Y दर्शाया जा सकता है^एक्स.
  • एक विशेष मामले के रूप में, सेट^एक्स.
• X से Y तक आक्षेपों के समुच्चय को दर्शाया गया है $X\leftrightarrow Y$. भाज्य संकेतन एक्स! एकल सेट X के क्रमपरिवर्तन के लिए उपयोग किया जा सकता है।
• कार्यात्मक विश्लेषण में, निरंतर फ़ंक्शन रैखिक परिवर्तनों के लिए भी यही देखा जाता है, जिसमें उपरोक्त में टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस भी शामिल है, और कई प्रमुख उदाहरण टोपोलॉजी ले जाने वाले फ़ंक्शन स्पेस हैं; सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में हिल्बर्ट स्थान और बनच स्थान शामिल हैं।
• कार्यात्मक विश्लेषण में, प्राकृतिक संख्याओं से लेकर कुछ सेट X तक सभी कार्यों के सेट को अनुक्रम स्थान कहा जाता है। इसमें X के तत्वों के सभी संभावित अनुक्रमों का सेट शामिल है।
• टोपोलॉजी में, कोई टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स से दूसरे वाई तक निरंतर कार्यों के स्थान पर टोपोलॉजी लगाने का प्रयास कर सकता है, जिसमें उपयोगिता रिक्त स्थान की प्रकृति पर निर्भर करती है। आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला उदाहरण कॉम्पैक्ट-ओपन टोपोलॉजी है, उदाहरण के लिए। लूप स्पेस. सेट सैद्धांतिक फ़ंक्शंस (यानी जरूरी नहीं कि निरंतर फ़ंक्शंस) वाई के स्थान पर उत्पाद टोपोलॉजी भी उपलब्ध है^एक्स. इस संदर्भ में, इस टोपोलॉजी को बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी भी कहा जाता है।
• बीजगणितीय टोपोलॉजी में, होमोटॉपी सिद्धांत का अध्ययन अनिवार्य रूप से फ़ंक्शन स्पेस के असतत अपरिवर्तनीयों का है;
• स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, मूल तकनीकी समस्या यह है कि प्रक्रिया के पथों (समय के कार्यों) के फ़ंक्शन स्थान पर संभाव्यता माप का निर्माण कैसे किया जाए;
• श्रेणी सिद्धांत में, फ़ंक्शन स्पेस को घातीय वस्तु या घातीय वस्तु कहा जाता है। यह एक तरह से प्रतिनिधित्व विहित द्विभाजक के रूप में प्रकट होता है; लेकिन [X, -] प्रकार के (एकल) फ़ंक्टर के रूप में, यह वस्तुओं पर (-×X) प्रकार के फ़ंक्टर के सहायक फ़ंक्टर के रूप में प्रकट होता है;
• कार्यात्मक प्रोग्रामिंग और लैम्ब्डा कैलकुलस में, उच्च-क्रम के कार्यों के विचार को व्यक्त करने के लिए फ़ंक्शन प्रकारों का उपयोग किया जाता है।
• डोमेन सिद्धांत में, मूल विचार आंशिक आदेशों से निर्माण ढूंढना है जो एक अच्छी तरह से व्यवहार वाली कार्टेशियन बंद श्रेणी बनाकर लैम्ब्डा कैलकुलस को मॉडल कर सकता है।
• परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, दो परिमित-आयामी निरूपण दिए गए हैं V और W एक समूह का G, कोई इसका प्रतिनिधित्व बना सकता है Gरेखीय मानचित्रों के सदिश समष्टि पर होम(V,W) होम प्रतिनिधित्व कहा जाता है।

कार्यात्मक विश्लेषण

कार्यात्मक विश्लेषण को उन विचारों की पहुंच के भीतर टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के रूप में फ़ंक्शन रिक्त स्थान लाने के लिए पर्याप्त तकनीकों के आसपास आयोजित किया जाता है जो परिमित आयाम के मानक स्थानों पर लागू होंगे। यहां हम उदाहरण डोमेन के रूप में वास्तविक रेखा का उपयोग करते हैं, लेकिन नीचे दिए गए रिक्त स्थान उपयुक्त खुले उपसमुच्चय पर मौजूद हैं $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$

• $C(\mathbb {R} )$ एकसमान मानदंड टोपोलॉजी से संपन्न निरंतर कार्य
• $C_{c}(\mathbb {R} )$ समर्थन (गणित)#कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्य
• $B(\mathbb {R} )$ बंधे हुए कार्य
• $C_{0}(\mathbb {R} )$ निरंतर कार्य जो अनंत पर लुप्त हो जाते हैं
• $C^{r}(\mathbb {R} )$ सतत फलन जिनमें सतत प्रथम r व्युत्पन्न होते हैं।
• $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ सुचारू कार्य
• $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ समर्थन (गणित)#कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सुचारू कार्य
• $C^{\omega }(\mathbb {R} )$ विश्लेषणात्मक कार्य
• $L^{p}(\mathbb {R} )$, के लिए $1\leq p\leq \infty$, एलपी स्पेस है|एल^{मापने योग्य फ़ंक्शन फ़ंक्शंस का p} स्थान जिसका p-मानदंड है ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$ परिमित है
• ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$, तेजी से घटते सुचारु कार्यों का श्वार्ट्ज स्थान और इसका निरंतर दोहरापन, ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ संयमित वितरण
• $D(\mathbb {R} )$ सीमा टोपोलॉजी में कॉम्पैक्ट समर्थन
• $W^{k,p}$ फ़ंक्शंस का सोबोलेव स्थान जिसका Weak_derivative ऑर्डर k तक है $L^{p}$
• ${\mathcal {O}}_{U}$ होलोमोर्फिक कार्य
• रैखिक कार्य
• टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य
• सतत कार्य, कॉम्पैक्ट ओपन टोपोलॉजी
• सभी कार्य, बिंदुवार अभिसरण का स्थान
• हार्डी स्पेस
• धारक स्थान
• कैडलैग फ़ंक्शंस, जिसे अनातोली स्कोरोखोद स्पेस के रूप में भी जाना जाता है
• ${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$, सभी लिप्सचिट्ज़ का स्थान निरंतर कार्य करता है $\mathbb {R}$ जो शून्य पर लुप्त हो जाता है।

आदर्श

अगर y फ़ंक्शन स्पेस का एक तत्व है ${\mathcal {C}}(a,b)$ सभी सतत कार्यों को एक बंद अंतराल पर परिभाषित किया गया है [a, b], नॉर्म (गणित) $\|y\|_{\infty }$पर परिभाषित ${\mathcal {C}}(a,b)$ का अधिकतम निरपेक्ष मान है y (x) के लिए a ≤ x ≤ b,

$$\|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)$$

एकसमान मानदंड या सर्वोच्च मानदंड ('सुपर नॉर्म') कहा जाता है।

ग्रन्थसूची

• Kolmogorov, A. N., & Fomin, S. V. (1967). Elements of the theory of functions and functional analysis. Courier Dover Publications.
• Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Functional Analysis: An Introduction to Further Topics in Analysis. Princeton University Press.

यह भी देखें

• गणितीय कार्यों की सूची
• क्लिफोर्ड बीजगणित
• टेंसर फ़ील्ड
• स्पेक्ट्रल सिद्धांत
• कार्यात्मक निर्धारक