बीजगणितीय कार्य

गणित में, एक बीजगणितीय फलन एक फलन (गणित) है जिसे परिभाषित किया जा सकता है एक बहुपद समीकरण के एक समारोह के शून्य के रूप में। अक्सर बीजगणितीय कार्य बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ होती हैं, जिनमें शब्दों की एक सीमित संख्या का उपयोग किया जाता है, जिसमें केवल बीजगणितीय संक्रियाएँ जोड़, घटाव, गुणा, भाग और एक भिन्नात्मक शक्ति तक उठाना शामिल होता है। ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं:

• $f(x)=1/x$
• $f(x)={\sqrt {x}}$
• $f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

हालाँकि, कुछ बीजगणितीय कार्यों को ऐसे परिमित भावों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है (यह एबेल-रफ़िनी प्रमेय है)। यह मामला है, उदाहरण के लिए, कट्टरपंथी लाओ के लिए, जो कि फ़ंक्शन निहित फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित है

$f(x)^{5}+f(x)+x=0$.

अधिक सटीक शब्दों में, डिग्री का एक बीजगणितीय कार्य n एक चर में x एक कार्य है $y=f(x),$ वह एक फलन के अपने क्षेत्र में सतत फलन है और एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0$

जहां गुणांक a_i(x) के बहुपद फलन हैं x, पूर्णांक गुणांक के साथ। यह दिखाया जा सकता है कि के गुणांकों के लिए बीजगणितीय संख्याओं को स्वीकार करने पर कार्यों का एक ही वर्ग प्राप्त होता है a_i(x)'एस। यदि गुणांक में पारलौकिक संख्याएँ होती हैं, तो फ़ंक्शन सामान्य रूप से बीजगणितीय नहीं होता है, लेकिन यह इन गुणांकों द्वारा उत्पन्न फ़ील्ड (गणित) पर बीजगणितीय होता है।

एक परिमेय संख्या पर एक बीजीय फलन का मान, और अधिक सामान्यतः, एक बीजगणितीय संख्या पर हमेशा एक बीजगणितीय संख्या होती है। कभी-कभी, गुणांक $a_{i}(x)$ जो एक रिंग (गणित) पर बहुपद हैं R पर विचार किया जाता है, और फिर बीजगणितीय कार्यों के बारे में बात करता है R .

एक फलन जो बीजगणितीय नहीं है उसे अनुवांशिक फलन कहा जाता है, जैसा कि उदाहरण के लिए है $\exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)$. पारलौकिक कार्यों की संरचना एक बीजगणितीय कार्य दे सकती है: $f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}$.

एक बहुपद n की डिग्री के एक बहुपद समीकरण के रूप में n जड़ें हैं (और एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर ठीक n जड़ें, जैसे कि जटिल संख्याएं), एक बहुपद समीकरण एक एकल कार्य को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है, लेकिन n तक कार्य, जिसे कभी-कभी शाखा कट भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए यूनिट सर्कल के समीकरण पर विचार करें: $y^{2}+x^{2}=1.\,$ यह y को निर्धारित करता है, केवल एक समग्र चिह्न तक को छोड़कर; तदनुसार, इसकी दो शाखाएँ हैं: $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,$ एम वेरिएबल्स में एक बीजगणितीय फ़ंक्शन समान रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है $y=f(x_{1},\dots ,x_{m})$ जो m + 1 चरों में एक बहुपद समीकरण को हल करता है:

$p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.$

यह सामान्य रूप से माना जाता है कि p एक अलघुकरणीय बहुपद होना चाहिए। एक बीजगणितीय फलन के अस्तित्व की गारंटी निहित फलन प्रमेय द्वारा दी जाती है।

औपचारिक रूप से, क्षेत्र K पर m चरों में एक बीजगणितीय फलन परिमेय फलन K(x) के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन का एक तत्व है।₁, ..., एक्स_m).

एक चर में बीजगणितीय कार्य

परिचय और सिंहावलोकन

एक बीजगणितीय फलन की अनौपचारिक परिभाषा उनके गुणों के बारे में कई संकेत प्रदान करती है। एक सहज ज्ञान प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय कार्यों को ऐसे कार्यों के रूप में माना जाना सहायक हो सकता है जो सामान्य बीजगणितीय संचालनों द्वारा गठित किए जा सकते हैं: जोड़, गुणा, भाग (गणित), और nवां मूल लेना। यह कुछ अतिसरलीकरण है; गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय के कारण, बीजगणितीय कार्यों को रेडिकल्स द्वारा अभिव्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है।

सबसे पहले, ध्यान दें कि कोई भी बहुपद कार्य $y=p(x)$ एक बीजगणितीय फलन है, क्योंकि यह केवल समीकरण का हल y है

$y-p(x)=0.\,$

अधिक सामान्यतः, कोई तर्कसंगत कार्य $y={\frac {p(x)}{q(x)}}$ बीजगणितीय है, इसका समाधान है

$q(x)y-p(x)=0.$

इसके अलावा, किसी भी बहुपद की n वीं जड़ ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$ एक बीजगणितीय कार्य है, समीकरण को हल करना

$y^{n}-p(x)=0.$

आश्चर्यजनक रूप से, एक बीजगणितीय फलन का व्युत्क्रम फलन एक बीजगणितीय फलन होता है। यह मानने के लिए कि y इसका समाधान है

$a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,$

x के प्रत्येक मान के लिए, तो x भी y के प्रत्येक मान के लिए इस समीकरण का एक हल है। वास्तव में, x और y की भूमिकाओं को बदलने और शर्तों को इकट्ठा करने से,

$b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.$

x को y के फलन के रूप में लिखने पर प्रतिलोम फलन मिलता है, बीजगणितीय फलन भी।

हालाँकि, प्रत्येक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, y = x² क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल रहता है: यह एक-से-एक कार्य करने में विफल रहता है|एक-से-एक। व्युत्क्रम बीजगणितीय कार्य है $x=\pm {\sqrt {y}}$. इसे समझने का दूसरा तरीका यह है कि हमारे बीजगणितीय फलन को परिभाषित करने वाले बहुपद समीकरण की शाखाओं का समुच्चय (गणित) एक बीजगणितीय वक्र का आलेख है।

जटिल संख्या की भूमिका

बीजगणितीय दृष्टिकोण से, जटिल संख्याएं बीजगणितीय कार्यों के अध्ययन में काफी स्वाभाविक रूप से प्रवेश करती हैं। सबसे पहले, बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा, सम्मिश्र संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं। इसलिए किसी भी बहुपद संबंध p(y, x) = 0 को प्रत्येक बिंदु x पर y के लिए कम से कम एक समाधान (और सामान्य रूप से y में p की डिग्री से अधिक नहीं होने वाले समाधानों की संख्या) की गारंटी दी जाती है, बशर्ते हम y को मानने की अनुमति दें जटिल और साथ ही वास्तविक संख्या मान। इस प्रकार, एक बीजगणितीय फलन के फलन के प्रांत के साथ होने वाली समस्याओं को सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है।

चित्र:y^3-xy+1=0.png|thumb| बीजगणितीय फ़ंक्शन y की तीन शाखाओं का ग्राफ़, जहाँ y³ − xy + 1 = 0, डोमेन 3/2 पर^2/3 <x <50। इसके अलावा, भले ही कोई अंततः वास्तविक बीजगणितीय कार्यों में रुचि रखता हो, जटिल संख्याओं का सहारा लिए बिना योग, गुणन, विभाजन और nth मूल लेने के संदर्भ में कार्य को व्यक्त करने का कोई साधन नहीं हो सकता है (एक अपरिवर्तनीय मौका देखें)। उदाहरण के लिए, समीकरण द्वारा निर्धारित बीजीय फलन पर विचार करें

$y^{3}-xy+1=0.\,$

घन सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.$

के लिए $x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},$ वर्गमूल वास्तविक है और घनमूल इस प्रकार अच्छी तरह से परिभाषित है, अद्वितीय वास्तविक जड़ प्रदान करता है। दूसरी ओर, के लिए $x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},$ वर्गमूल वास्तविक नहीं है, और वर्गमूल के लिए या तो अवास्तविक वर्गमूल को चुनना होगा। इस प्रकार घनमूल को तीन अवास्तविक संख्याओं में से चुनना होता है। यदि सूत्र के दो पदों में समान विकल्प किए जाते हैं, तो क्यूबिक रूट के लिए तीन विकल्प संलग्न छवि में दिखाई गई तीन शाखाएं प्रदान करते हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके nवें मूल के रूप में इस फ़ंक्शन को व्यक्त करने का कोई तरीका नहीं है, भले ही परिणामी फ़ंक्शन दिखाए गए ग्राफ़ के डोमेन पर वास्तविक-मूल्यवान हो।

अधिक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक स्तर पर, जटिल संख्याओं का उपयोग करने से बीजगणितीय कार्यों पर चर्चा करने के लिए जटिल विश्लेषण की शक्तिशाली तकनीकों का उपयोग करने की अनुमति मिलती है। विशेष रूप से, तर्क सिद्धांत का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय कार्य वास्तव में एक विश्लेषणात्मक कार्य है, कम से कम बहु-मूल्यवान अर्थों में।

औपचारिक रूप से, p(x,-y) को जटिल चर x और y में एक जटिल बहुपद होने दें। लगता है कि एक्स₀∈ C ऐसा है कि बहुपद p(x₀,-y) के y में n विशिष्ट शून्य हैं। हम दिखाएंगे कि बीजगणितीय फलन x के पड़ोस (गणित) में विश्लेषणात्मक है।₀. n गैर-अतिव्यापी डिस्क Δ की एक प्रणाली चुनें_i इन शून्यों में से प्रत्येक युक्त। फिर तर्क सिद्धांत द्वारा

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.$

निरंतरता से, यह x के पड़ोस में सभी x के लिए भी लागू होता है₀. विशेष रूप से, p(x,-y) का Δ में केवल एक मूल है_i, अवशेष प्रमेय द्वारा दिया गया:

$f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy$

जो एक विश्लेषणात्मक कार्य है।

मोनोड्रोमी

ध्यान दें कि विश्लेषणात्मकता के पूर्वगामी प्रमाण ने n विभिन्न 'फ़ंक्शन एलिमेंट्स' f की एक प्रणाली के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त की_i(एक्स), बशर्ते कि एक्स पी (एक्स, -वाई) का 'महत्वपूर्ण बिंदु' नहीं है। एक महत्वपूर्ण बिंदु एक बिंदु है जहां अलग-अलग शून्यों की संख्या p की डिग्री से कम होती है, और यह केवल वहीं होता है जहां p का उच्चतम डिग्री शब्द गायब हो जाता है, और जहां विवेचक गायब हो जाता है। इसलिए ऐसे बहुत से बिंदु c हैं₁, ..., सी_m.

फ़ंक्शन तत्वों के गुणों का एक करीबी विश्लेषण च_i महत्वपूर्ण बिंदुओं के पास यह दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि प्रमेय मोनोड्रोम महत्वपूर्ण बिंदुओं (और संभवतः रीमैन क्षेत्र) पर रामीकरण (गणित) है। इस प्रकार f का होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन विस्तार_i महत्वपूर्ण बिंदुओं पर सबसे खराब बीजगणितीय ध्रुव और साधारण बीजगणितीय शाखाएँ हैं।

ध्यान दें कि, महत्वपूर्ण बिंदुओं से दूर, हमारे पास है

$p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))$

एफ के बाद से_i परिभाषा के अनुसार पी के विशिष्ट शून्य हैं। मोनोड्रोमी समूह कारकों की अनुमति देकर कार्य करता है, और इस प्रकार पी के गैलोज़ समूह के 'मोनोड्रोमी प्रतिनिधित्व' का निर्माण करता है। (सार्वभौमिक आवरण स्थान पर मोनोड्रोमी क्रिया संबंधित है लेकिन रीमैन सतहों के सिद्धांत में अलग धारणा है।)

इतिहास

बीजगणितीय कार्यों के आसपास के विचार कम से कम रेने डेसकार्टेस तक वापस जाते हैं। बीजगणितीय कार्यों की पहली चर्चा एडवर्ड वारिंग के 1794 मानव ज्ञान के सिद्धांतों पर एक निबंध में हुई है जिसमें वे लिखते हैं:

कोर्डिनेट को दर्शाने वाली एक मात्रा, एब्सिस्सा x का एक बीजगणितीय कार्य हो, विभाजन और जड़ों के निष्कर्षण के सामान्य तरीकों से, इसे x के आयामों के अनुसार आरोही या अवरोही एक अनंत श्रृंखला में कम करें, और फिर का अभिन्न अंग खोजें परिणामी शर्तों में से प्रत्येक।

यह भी देखें

• बीजगणतीय अभिव्यक्ति
• विश्लेषणात्मक कार्य
• जटिल कार्य
• प्राथमिक कार्य
• समारोह (गणित)
• सामान्यीकृत कार्य
• विशेष कार्यों और नामों की सूची
• कार्यों के प्रकारों की सूची
• बहुपद
• तर्कसंगत कार्य
• विशेष कार्य
• ट्रान्सेंडैंटल फंक्शन

संदर्भ

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
• van der Waerden, B.L. (1931). Modern Algebra, Volume II. Springer.

बाहरी संबंध

• Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math
• Weisstein, Eric W. "Algebraic Function". MathWorld.
• Algebraic Function at PlanetMath.
• Definition of "Algebraic function" Archived 2020-10-26 at the Wayback Machine in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science