उत्पाद टोपोलॉजी

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टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक उत्पाद स्थान एक प्राकृतिक टोपोलॉजी से लैस टोपोलॉजिकल स्पेस के परिवार का कार्टेशियन उत्पाद है जिसे उत्पाद टोपोलॉजी कहा जाता है। यह टोपोलॉजी दूसरे, शायद अधिक प्राकृतिक दिखने वाली टोपोलॉजी से भिन्न होती है, जिसे बॉक्स टोपोलॉजी कहा जाता है, जिसे एक उत्पाद स्थान भी दिया जा सकता है और जो उत्पाद टोपोलॉजी के साथ टोपोलॉजी की तुलना करता है, जब उत्पाद केवल कई स्थानों पर होता है। हालाँकि, उत्पाद टोपोलॉजी इस मायने में सही है कि यह उत्पाद स्थान को उसके कारकों का उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) बनाता है, जबकि बॉक्स टोपोलॉजी भी टोपोलॉजी की तुलना है; इस अर्थ में उत्पाद टोपोलॉजी कार्टेशियन उत्पाद पर प्राकृतिक टोपोलॉजी है।

परिभाषा

हर जगह, $I$ कुछ गैर-खाली सूचकांक सेट होंगे और प्रत्येक इंडेक्स के लिए $i\in I,$ होने देना $X_{i}$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस हो। सेट के कार्टेशियन उत्पाद को निरूपित करें $X_{i}$ द्वारा

$$X:=\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}$$

और हर सूचकांक के लिए $i\in I,$ निरूपित करें $i$-वांcanonical projectionद्वारा

$${\begin{alignedat}{4}p_{i}:\;&&\prod _{j\in I}X_{j}&&\;\to \;&X_{i}\\[0.3ex]&&\left(x_{j}\right)_{j\in I}&&\;\mapsto \;&x_{i}\\\end{alignedat}}$$

product topology, जिसे कभी-कभी कहा जाता हैTychonoff topology, पर ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ सबसे मोटे टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है (अर्थात, सबसे कम खुले सेट वाली टोपोलॉजी) जिसके लिए सभी अनुमान ${\textstyle p_{i}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$ निरंतर (टोपोलॉजी) हैं। कार्टेशियन उत्पाद ${\textstyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$ उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न को कहा जाता हैproduct space. उत्पाद टोपोलॉजी में खुले सेट फॉर्म के सेटों के मनमाना संघ (परिमित या अनंत) हैं ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ जहां प्रत्येक $U_{i}$ में खुला है $X_{i}$ तथा $U_{i}\neq X_{i}$ केवल बहुत से लोगों के लिए $i.$ विशेष रूप से, एक परिमित उत्पाद के लिए (विशेष रूप से, दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के उत्पाद के लिए), प्रत्येक से एक आधार तत्व के बीच सभी कार्टेशियन उत्पादों का सेट $X_{i}$ के उत्पाद टोपोलॉजी के लिए एक आधार देता है ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ यानी एक परिमित उत्पाद के लिए, सभी का सेट ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ कहाँ पे $U_{i}$ के (चुने हुए) आधार का एक तत्व है $X_{i},$ के उत्पाद टोपोलॉजी का आधार है ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ उत्पाद टोपोलॉजी चालू ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ फॉर्म के सेट आधार (टोपोलॉजी) बेस (टोपोलॉजी) है $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),$ कहाँ पे $i\in I$ तथा $U_{i}$ का खुला उपसमुच्चय है $X_{i}.$ दूसरे शब्दों में, सेट

$$\left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)~:~i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}$$

टोपोलॉजी के लिए एक उप-आधार बनाएँ $X.$ का एक उपसमुच्चय $X$ खुला है अगर और केवल अगर यह एक (संभावित रूप से अनंत) संघ (सेट सिद्धांत) है, जो अंतःक्रियात्मक रूप से कई सेटों के चौराहे (सेट सिद्धांत) का है $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).$ $p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)$ h> को कभी-कभी खुला सिलेंडर कहा जाता है, और उनके इंटरसेक्शन सिलेंडर सेट होते हैं।

उत्पाद टोपोलॉजी को भी कहा जाता है topology of pointwise convergence क्योंकि एक अनुक्रम (या अधिक सामान्यतः, एक नेट (गणित)) में ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ अभिसरण करता है अगर और केवल अगर इसके सभी अनुमान रिक्त स्थान पर हैं $X_{i}$ अभिसरण। स्पष्ट रूप से, एक क्रम ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ (क्रमशः, एक नेट ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$) दिए गए बिंदु पर अभिसरण करता है ${\textstyle x\in \prod _{i\in I}X_{i}}$ अगर और केवल अगर $p_{i}\left(s_{\bullet }\right)\to p_{i}(x)$ में $X_{i}$ प्रत्येक सूचकांक के लिए $i\in I,$ कहाँ पे $p_{i}\left(s_{\bullet }\right):=p_{i}\circ s_{\bullet }$ अर्थ है $\left(p_{i}\left(s_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty }$ (क्रमशः दर्शाता है $\left(p_{i}\left(s_{a}\right)\right)_{a\in A}$). विशेष रूप से, अगर $X_{i}=\mathbb {R}$ सभी के लिए प्रयोग किया जाता है $i$ तो कार्टेशियन उत्पाद अंतरिक्ष है ${\textstyle \prod _{i\in I}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{I}}$ सभी वास्तविक संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) चालू हैं $I,$ और उत्पाद टोपोलॉजी में अभिसरण कार्य के बिंदुवार अभिसरण के समान है।

उदाहरण

अगर असली लाइन $\mathbb {R}$ इसके मानक टोपोलॉजी के साथ संपन्न है तो उत्पाद पर उत्पाद टोपोलॉजी $n$ की प्रतियां $\mathbb {R}$ पर साधारण यूक्लिडियन टोपोलॉजी के बराबर है $\mathbb {R} ^{n}.$ (इसलिये $n$ परिमित है, यह भी बॉक्स टोपोलॉजी ऑन के समतुल्य है $\mathbb {R} ^{n}.$)

कैंटर सेट असतत स्थान की गणनीय प्रतियों के उत्पाद के लिए होमियोमॉर्फिक है $\{0,1\}$ और अपरिमेय संख्याओं का स्थान प्राकृतिक संख्याओं की अनगिनत प्रतियों के गुणनफल के लिए होमियोमॉर्फिक है, जहाँ फिर से प्रत्येक प्रति असतत टोपोलॉजी को वहन करती है।

प्रारंभिक टोपोलॉजी पर आलेख में कई अतिरिक्त उदाहरण दिए गए हैं।

गुण

प्रत्येक के टोपोलॉजी के खुले सेट के बीच कार्टेशियन उत्पादों का सेट $X_{i}$ बॉक्स टोपोलॉजी ऑन कहलाने के लिए एक आधार बनाता है $X.$ सामान्य तौर पर, बॉक्स टोपोलॉजी उत्पाद टोपोलॉजी की तुलना में बेहतर टोपोलॉजी है, लेकिन परिमित उत्पादों के लिए वे मेल खाते हैं।

उत्पाद स्थान $X,$ एक साथ विहित अनुमानों के साथ, निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता हो सकती है: यदि $Y$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, और हर किसी के लिए $i\in I,$ $f_{i}:Y\to X_{i}$ एक सतत नक्शा है, तो वहां मौजूद है precisely one निरंतर नक्शा $f:Y\to X$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $i\in I$ निम्नलिखित आरेख कम्यूटेटिव आरेख।

इससे पता चलता है कि उत्पाद स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी में एक उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) है। उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति से यह अनुसरण करता है कि एक मानचित्र $f:Y\to X$ निरंतर है अगर और केवल अगर $f_{i}=p_{i}\circ f$ सभी के लिए निरंतर है $i\in I.$ कई मामलों में यह जांचना आसान होता है कि घटक कार्य करता है $f_{i}$ निरंतर हैं। जाँच कर रहा है कि क्या एक नक्शा $X\to Y$ निरंतर है आमतौर पर अधिक कठिन होता है; एक इस तथ्य का उपयोग करने की कोशिश करता है कि $p_{i}$ किसी न किसी रूप में निरंतर हैं।

निरंतर होने के अलावा, विहित अनुमान $p_{i}:X\to X_{i}$ खुले नक्शे हैं। इसका मतलब यह है कि उत्पाद स्थान का कोई भी खुला उपसमुच्चय नीचे की ओर प्रक्षेपित होने पर खुला रहता है $X_{i}.$ विलोम सत्य नहीं है: यदि $W$ उत्पाद स्थान का एक उप-क्षेत्र (टोपोलॉजी) है जिसका अनुमान सभी के नीचे है $X_{i}$ खुले हैं, तो $W$ में खुला नहीं होना चाहिए $X$ (उदाहरण के लिए विचार करें ${\textstyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$) विहित प्रक्षेपण आम तौर पर बंद नक्शे नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए बंद सेट पर विचार करें ${\textstyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$ जिसका प्रक्षेप दोनों अक्षों पर है $\mathbb {R} \setminus \{0\}$).

मान लीजिए ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ मनमाना उपसमुच्चय का एक उत्पाद है, जहाँ $S_{i}\subseteq X_{i}$ हरएक के लिए $i\in I.$ मैं गिरा $S_{i}$ हैं non-empty फिर ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ उत्पाद स्थान का एक बंद उपसमुच्चय है $X$ अगर और केवल अगर हर $S_{i}$ का बंद उपसमुच्चय है $X_{i}.$ अधिक आम तौर पर, उत्पाद का बंद होना ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ उत्पाद स्थान में मनमाना उपसमुच्चय $X$ क्लोजर के उत्पाद के बराबर है:

$$\operatorname {Cl} _{X}\left(\prod _{i\in I}S_{i}\right)=\prod _{i\in I}\left(\operatorname {Cl} _{X_{i}}S_{i}\right).$$

हॉसडॉर्फ स्पेस का कोई भी उत्पाद फिर से हॉसडॉर्फ स्पेस है।

टाइकोनॉफ़ का प्रमेय, जो पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है, कहता है कि कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान का कोई भी उत्पाद एक कॉम्पैक्ट स्थान है। टायकोनॉफ के प्रमेय की विशेषज्ञता जिसके लिए केवल अल्ट्राफिल्टर लेम्मा की आवश्यकता होती है (और पसंद के स्वयंसिद्ध की पूरी ताकत नहीं) बताती है कि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस स्पेस का कोई भी उत्पाद कॉम्पैक्ट जगह है।

यदि ${\textstyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$ तय है तो सेट

$$\left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\colon x_{i}=z_{i}{\text{ for all except at most finitely many }}i\right\}$$

उत्पाद स्थान का एक घना सेट है $X$.

अन्य सामयिक धारणाओं से संबंध

पृथक्करण

• T0 स्पेस का हर उत्पाद|T₀ रिक्त स्थान टी है₀.
• टी1 स्पेस का हर उत्पाद|टी₁ रिक्त स्थान टी है₁.
• हॉउसडॉर्फ स्पेस का हर उत्पाद हॉसडॉर्फ है।
• नियमित रिक्त स्थान का प्रत्येक उत्पाद नियमित है।
• Tychonoff रिक्त स्थान का प्रत्येक उत्पाद Tychonoff है।
• सामान्य रिक्त स्थान का एक उत्पाद need not सामान्य हो।

सघनता

• कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान का प्रत्येक उत्पाद कॉम्पैक्ट (टाइकोनॉफ प्रमेय) है।
• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान का एक उत्पाद need not स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रहें। हालांकि, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान का एक मनमाना उत्पाद जहां सभी लेकिन निश्चित रूप से कई कॉम्पैक्ट हैं is स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट (यह स्थिति पर्याप्त और आवश्यक है)।

संयुक्तता

• कनेक्टेडनेस (प्रतिक्रिया पथ से जुड़े) रिक्त स्थान का प्रत्येक उत्पाद जुड़ा हुआ है (उत्तर पथ से जुड़ा हुआ)।
• वंशानुगत रूप से डिस्कनेक्ट किए गए रिक्त स्थान के प्रत्येक उत्पाद को वंशानुगत रूप से डिस्कनेक्ट किया गया है।

मीट्रिक रिक्त स्थान

• मीट्रिक रिक्त स्थान के गणनीय उत्पाद मेट्रिजेबल स्पेस हैं।

पसंद का स्वयंसिद्ध

पसंद के स्वयंसिद्ध को व्यक्त करने के कई तरीकों में से एक यह कहना है कि यह कथन के बराबर है कि गैर-खाली सेटों के संग्रह का कार्टेशियन उत्पाद गैर-खाली है। सबूत है कि यह पसंद कार्यों के संदर्भ में स्वयंसिद्ध कथन के बराबर है: उत्पाद में एक प्रतिनिधि को खोजने के लिए प्रत्येक सेट से एक तत्व को चुनने की जरूरत है। इसके विपरीत, उत्पाद का एक प्रतिनिधि एक सेट है जिसमें प्रत्येक घटक से बिल्कुल एक तत्व होता है।

(टोपोलॉजिकल) उत्पाद रिक्त स्थान के अध्ययन में पसंद का स्वयंसिद्ध फिर से होता है; उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्ट सेट पर टायकोनॉफ का प्रमेय एक बयान का एक अधिक जटिल और सूक्ष्म उदाहरण है जिसे पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है और इसके सबसे सामान्य सूत्रीकरण में इसके बराबर है, और दिखाता है कि उत्पाद टोपोलॉजी को कार्टेशियन उत्पाद पर डालने के लिए अधिक उपयोगी टोपोलॉजी क्यों माना जा सकता है।

यह भी देखें

• Disjoint union (topology)
• Final topology
• Initial topology - कभी-कभी प्रोजेक्टिव लिमिट टोपोलॉजी कहा जाता है
• Inverse limit
• Pointwise convergence
• Quotient space (topology)
• Subspace (topology)
• Weak topology

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• अंक शास्त्र
• कार्तीय गुणन
• सब बेस
• सबसेट
• चौराहा (सेट सिद्धांत)
• समारोह (गणित)
• वास्तविक रेखा
• क्रमविनिमेय आरेख
• टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी
• खुला नक्शा
• सबस्पेस (टोपोलॉजी)
• बंद नक्शा
• पसंद का स्वयंसिद्ध
• सामान्य स्थान
• नियमित स्थान
• टायचोनॉफ स्पेस
• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान
• मीट्रिक स्थान

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Retrieved 13 February 2013.