असतत स्थान

टोपोलॉजी में, एक असतत स्थान एक टोपोलॉजिकल स्पेस या समान संरचना का एक विशेष रूप से सरल उदाहरण है, जिसमें बिंदु एक discontinuous sequence, जिसका अर्थ है कि वे एक निश्चित अर्थ में एक दूसरे से पृथक बिंदु हैं। असतत टोपोलॉजी टोपोलॉजी टोपोलॉजी की तुलना है जो एक सेट पर दी जा सकती है। असतत टोपोलॉजी में प्रत्येक उपसमुच्चय खुला सेट है ताकि विशेष रूप से, प्रत्येक सिंगलटन (गणित) असतत टोपोलॉजी में एक खुला सेट हो।

परिभाषाएँ

एक सेट दिया $X$:

• the discrete topology on $X$ is defined by letting every subset of $X$ be open (and hence also closed), and $X$ is a discrete topological space if it is equipped with its discrete topology;
• the discrete uniformity on $X$ is defined by letting every superset of the diagonal $\{(x,x):x\in X\}$ in $X\times X$ be an entourage, and $X$ is a discrete uniform space if it is equipped with its discrete uniformity.
• the discrete metric $\rho$ on $X$ is defined by
  $$\rho (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x\neq y,\\0&{\text{if}}\ x=y\end{cases}}$$
  for any $x,y\in X.$ In this case $(X,\rho )$ is called a discrete metric space or a space of isolated points.
• a discrete subspace of some given topological space $(Y,\tau )$ refers to a topological subspace of $(Y,\tau )$ (a subset of $Y$ together with the subspace topology that $(Y,\tau )$ induces on it) whose topology is equal to the discrete topology. For example, if $Y:=\mathbb {R}$ has its usual Euclidean topology then $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ (endowed with the subspace topology) is a discrete subspace of $\mathbb {R}$ but $S\cup \{0\}$ is not.
• a set $S$ is discrete in a metric space $(X,d),$ for $S\subseteq X,$ if for every $x\in S,$ there exists some $\delta >0$ (depending on $x$) such that $d(x,y)>\delta$ for all $y\in S\setminus \{x\}$; such a set consists of isolated points. A set $S$ is uniformly discrete in the metric space $(X,d),$ for $S\subseteq X,$ if there exists $\varepsilon >0$ such that for any two distinct $x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .$

एक मीट्रिक स्थान $(E,d)$ कहा जाता है कि एक समान रूप से असतत सेट मौजूद है यदि कोई मौजूद हैpacking radius $r>0$ ऐसा कि, किसी के लिए $x,y\in E,$ एक या तो है $x=y$ या $d(x,y)>r.$ एक मीट्रिक स्थान के नीचे स्थित टोपोलॉजी असतत हो सकती है, बिना मीट्रिक समान रूप से असतत: उदाहरण के लिए सेट पर सामान्य मीट्रिक $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$

Proof that a discrete space is not necessarily uniformly discrete

Let ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ consider this set using the usual metric on the real numbers. Then, $X$ is a discrete space, since for each point $x_{n}=2^{-n}\in X,$ we can surround it with the open interval $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ where $\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.$ The intersection $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ is therefore trivially the singleton $\{x_{n}\}.$ Since the intersection of an open set of the real numbers and $X$ is open for the induced topology, it follows that $\{x_{n}\}$ is open so singletons are open and $X$ is a discrete space.

However, $X$ cannot be uniformly discrete. To see why, suppose there exists an $r>0$ such that $d(x,y)>r$ whenever $x\neq y.$ It suffices to show that there are at least two points $x$ and $y$ in $X$ that are closer to each other than $r.$ Since the distance between adjacent points $x_{n}$ and $x_{n+1}$ is $2^{-(n+1)},$ we need to find an $n$ that satisfies this inequality:

$${\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}$$

Since there is always an $n$ bigger than any given real number, it follows that there will always be at least two points in $X$ that are closer to each other than any positive $r,$ therefore $X$ is not uniformly discrete.

गुण

असतत मीट्रिक स्थान पर अंतर्निहित एकरूपता असतत एकरूपता है, और असतत समान स्थान पर अंतर्निहित टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी है। इस प्रकार, असतत स्थान की विभिन्न धारणाएँ एक दूसरे के अनुकूल हैं। दूसरी ओर, एक गैर-असतत वर्दी या मीट्रिक स्थान की अंतर्निहित टोपोलॉजी असतत हो सकती है; एक उदाहरण मीट्रिक स्थान है $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ (मीट्रिक के साथ वास्तविक रेखा से विरासत में मिला है और इसके द्वारा दिया गया है $d(x,y)=\left|x-y\right|$). यह असतत मीट्रिक नहीं है; साथ ही, यह स्थान पूर्ण (टोपोलॉजी) नहीं है और इसलिए एक समान स्थान के रूप में असतत नहीं है। फिर भी, यह एक सामयिक स्थान के रूप में असतत है। हम कहते हैं $X$ स्थैतिक रूप से असतत है लेकिन समान रूप से असतत या मीट्रिक रूप से असतत नहीं है।

इसके अतिरिक्त:

• असतत स्थान का सामयिक आयाम 0 के बराबर है।
• एक स्थलीय स्थान असतत है अगर और केवल अगर इसके सिंगलटन (गणित) खुले हैं, जो कि मामला है अगर और केवल अगर इसमें कोई संचय बिंदु नहीं है।
• असतत टोपोलॉजी के लिए सिंगलटन एक आधार (टोपोलॉजी) बनाते हैं।
• एक समान स्थान $X$ असतत है अगर और केवल अगर विकर्ण $\{(x,x):x\in X\}$ एक प्रतिवेश (टोपोलॉजी) है।
• प्रत्येक असतत टोपोलॉजिकल स्पेस प्रत्येक पृथक्करण स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है; विशेष रूप से, प्रत्येक असतत स्थान हौसडॉर्फ अंतरिक्ष है, जो कि अलग है।
• एक असतत स्थान कॉम्पैक्ट स्थान है यदि और केवल यदि यह परिमित सेट है।
• प्रत्येक असतत वर्दी या मीट्रिक स्थान पूर्ण स्थान है।
• उपरोक्त दो तथ्यों को मिलाकर, प्रत्येक असतत वर्दी या मीट्रिक स्थान पूरी तरह से घिरा हुआ स्थान है यदि और केवल यदि यह परिमित है।
• प्रत्येक असतत मीट्रिक स्थान परिबद्ध स्थान है।
• प्रत्येक असतत स्थान प्रथम-गणनीय स्थान है | प्रथम-गणनीय; इसके अलावा यह दूसरी-गिनने योग्य जगह है | दूसरी-गणना योग्य अगर और केवल अगर यह गणनीय है।
• प्रत्येक असतत स्थान पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है।
• हर गैर-खाली असतत स्थान दूसरी श्रेणी है।
• समान कार्डिनैलिटी वाले कोई भी दो असतत स्थान होमियोमॉर्फिक होते हैं।
• प्रत्येक असतत स्थान मेट्रिज़ेबल है (असतत मीट्रिक द्वारा)।
• एक परिमित स्थान मेट्रिजेबल तभी होता है जब वह असतत हो।
• यदि $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और $Y$ असतत टोपोलॉजी ले जाने वाला एक सेट है, तब $X$ द्वारा समान रूप से आच्छादित है $X\times Y$ (प्रक्षेपण मानचित्र वांछित आवरण है)
• वास्तविक रेखा के उप-स्थान के रूप में पूर्णांकों पर उप-स्थान टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी है।
• एक असतत स्थान वियोज्य है अगर और केवल अगर यह गणनीय है।
• किसी भी सामयिक उप-स्थान $\mathbb {R}$ (अपने सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ) जो असतत है, आवश्यक रूप से गणनीय सेट है।

असतत टोपोलॉजिकल स्पेस से दूसरे टोपोलॉजिकल स्पेस में कोई भी कार्य निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) होता है, और असतत समान स्थान से किसी अन्य समान स्थान पर कोई भी कार्य समान रूप से निरंतर होता है। यानी असतत स्थान $X$ सेट पर फ्री ऑब्जेक्ट है $X$ टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतर मानचित्रों के श्रेणी सिद्धांत में या समान रिक्त स्थान और समान रूप से निरंतर मानचित्रों की श्रेणी में। ये तथ्य एक बहुत व्यापक घटना के उदाहरण हैं, जिसमें असतत संरचनाएं आमतौर पर सेट पर मुक्त होती हैं।

मीट्रिक रिक्त स्थान के साथ, चीजें अधिक जटिल होती हैं, क्योंकि आकारिकी के लिए चुने गए के आधार पर मीट्रिक रिक्त स्थान की कई श्रेणियां होती हैं। निश्चित रूप से असतत मीट्रिक स्थान तब मुक्त होता है जब morphisms सभी समान रूप से निरंतर मानचित्र या सभी निरंतर मानचित्र होते हैं, लेकिन यह मीट्रिक गणितीय संरचना के बारे में कुछ भी दिलचस्प नहीं कहता है, केवल समान या सांस्थितिक संरचना। मेट्रिक संरचना के लिए अधिक प्रासंगिक श्रेणियों को लिप्सचिट्ज़ निरंतर मानचित्रों या लघु मानचित्रों के रूप में आकारिकी को सीमित करके पाया जा सकता है; हालाँकि, इन श्रेणियों में मुफ्त वस्तुएँ नहीं हैं (एक से अधिक तत्वों पर)। हालाँकि, असतत मीट्रिक स्थान बंधी हुई मीट्रिक रिक्त स्थान और लिप्सचिट्ज़ निरंतर मानचित्रों की श्रेणी में मुक्त है, और यह 1 और छोटे मानचित्रों से घिरे मीट्रिक रिक्त स्थान की श्रेणी में मुफ़्त है। अर्थात्, असतत मीट्रिक स्थान से किसी अन्य बंधे हुए मीट्रिक स्थान पर कोई भी कार्य लिप्सचिट्ज़ निरंतर है, और असतत मीट्रिक स्थान से किसी अन्य मीट्रिक स्थान पर 1 से घिरा कोई भी कार्य छोटा है।

दूसरी दिशा में जा रहे हैं, एक समारोह $f$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस से $Y$ एक असतत स्थान के लिए $X$ निरंतर है अगर और केवल अगर यह स्थानीय रूप से निरंतर कार्य करता है तो प्रत्येक बिंदु में $Y$ एक टोपोलॉजिकल पड़ोस है जिस पर $f$ स्थिर है।

प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) ${\mathcal {U}}$ एक गैर-खाली सेट पर $X$ टोपोलॉजी से जोड़ा जा सकता है $\tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}$ पर $X$ उस संपत्ति के साथ every गैर-खाली उचित सबसेट $S$ का $X$ है either एक खुला सेट या फिर एक बंद सेट, लेकिन दोनों कभी नहीं। अलग ढंग से कहा, every उपसमुच्चय खुला है तार्किक संयोजन बंद लेकिन (असतत टोपोलॉजी के विपरीत) the only उपसमुच्चय जो हैं both खुले और बंद (यानी क्लोपेन) हैं $\varnothing$ और $X$. तुलना में, every का भाग $X$ असतत टोपोलॉजी में खुला तार्किक संयोजन बंद है।

उदाहरण और उपयोग

एक असतत संरचना का उपयोग अक्सर एक सेट पर डिफ़ॉल्ट संरचना के रूप में किया जाता है जिसमें कोई अन्य प्राकृतिक टोपोलॉजी, एकरूपता या मीट्रिक नहीं होती है; असतत संरचनाओं को अक्सर विशेष अनुमानों का परीक्षण करने के लिए चरम उदाहरणों के रूप में उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी समूह (गणित) को असतत टोपोलॉजी देकर एक टोपोलॉजिकल समूह के रूप में माना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि टोपोलॉजिकल समूहों के बारे में प्रमेय सभी समूहों पर लागू होते हैं। दरअसल, विश्लेषक असतत समूहों के रूप में बीजगणितियों द्वारा अध्ययन किए गए सामान्य, गैर-स्थलीय समूहों का उल्लेख कर सकते हैं। कुछ मामलों में, यह उपयोगी रूप से लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए पोंट्रीगिन द्वंद्व के साथ संयोजन में। एक 0-डायमेंशनल मैनिफोल्ड (या डिफरेंशियल या एनालिटिकल मैनिफोल्ड) एक असतत और गणनीय टोपोलॉजिकल स्पेस के अलावा और कुछ नहीं है (एक बेशुमार असतत स्थान दूसरी-गणना योग्य नहीं है)। इसलिए हम किसी भी असतत गणनीय समूह को 0-आयामी झूठ समूह के रूप में देख सकते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के असतत स्थान की अनगिनत अनंत प्रतियों का एक उत्पाद टोपोलॉजी अपरिमेय संख्याओं के स्थान के लिए होमोमोर्फिक है, निरंतर अंश विस्तार द्वारा दिए गए होमोमोर्फिज्म के साथ। असतत स्थान 2 (संख्या) की अनगिनत अनंत प्रतियों का उत्पाद$\{0,1\}$कैंटर सेट के लिए होमियोमॉर्फिक है; और वास्तव में कैंटर सेट के लिए समान रूप से होमोमोर्फिक अगर हम उत्पाद पर उत्पाद की एकरूपता का उपयोग करते हैं। संख्याओं की त्रिअंकीय संख्या प्रणाली का उपयोग करके ऐसा होमियोमोर्फिज्म दिया जाता है। (कैंटर स्पेस देखें।) स्थानीय रूप से इंजेक्टिव फ़ंक्शन का प्रत्येक फाइबर (गणित) आवश्यक रूप से फ़ंक्शन के अपने डोमेन का असतत उप-स्थान है।

गणित की नींव में, के उत्पादों के कॉम्पैक्ट स्पेस गुणों का अध्ययन $\{0,1\}$ अल्ट्राफिल्टर लेम्मा (समकक्ष रूप से, बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय) के लिए सांस्थितिकीय दृष्टिकोण के लिए केंद्रीय है, जो पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है।

अविवेकपूर्ण स्थान

Main article: Trivial topology

कुछ मायनों में, असतत टोपोलॉजी के विपरीत तुच्छ टोपोलॉजी (जिसे अविवेकी टोपोलॉजी भी कहा जाता है) है, जिसमें सबसे कम संभव खुले सेट हैं (केवल खाली सेट और स्वयं स्थान)। जहाँ असतत टोपोलॉजी प्रारंभिक या मुक्त है, अविच्छिन्न टोपोलॉजी अंतिम या कोफ़्री है: एक टोपोलॉजिकल स्पेस से एक इंडिस्क्रीट स्पेस तक प्रत्येक कार्य निरंतर होता है, आदि।

यह भी देखें

• सिलेंडर सेट
• टोपोलॉजी की सूची
• टैक्सीकैब ज्यामिति

संदर्भ

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (2nd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90312-7. MR 0507446. Zbl 0386.54001.
• Wilansky, Albert (17 October 2008) [1970]. Topology for Analysis. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899.