सिलेंडर सेट

गणित में, सिलेंडर सेट सेट के उत्पाद पर उत्पाद टोपोलॉजी का आधार (टोपोलॉजी) बनाते हैं; वे सिलेंडर σ-बीजगणित का एक उत्पादक परिवार भी हैं।

सामान्य परिभाषा

एक संग्रह दिया $S$ सेटों के, कार्टेशियन उत्पाद पर विचार करें ${\textstyle X=\prod _{Y\in S}Y}$ संग्रह के सभी सेटों में से। कुछ के अनुरूप विहित प्रक्षेपण $Y\in S$ फ़ंक्शन (गणित) है $p_{Y}:X\to Y$ जो उत्पाद के प्रत्येक तत्व को उसके अनुरूप मैप करता है $Y$ अवयव। एक सिलेंडर सेट एक विहित प्रक्षेपण या ऐसी पूर्वछवियों के परिमित प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) की एक पूर्वछवि है। स्पष्ट रूप से, यह प्रपत्र का एक सेट है,

$$\bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(A_{i}\right)=\left\{\left(x\right)\in X\mid x_{Y_{1}}\in A_{1},\dots ,x_{Y_{n}}\in A_{n}\right\}$$

किसी भी विकल्प के लिए $n$, सेट का परिमित अनुक्रम $Y_{1},...Y_{n}\in S$ और उपसमुच्चय $A_{i}\subseteq Y_{i}$ के लिए $1\leq i\leq n$. यहाँ $x_{Y}\in Y$ को दर्शाता है $Y$ का घटक $x\in X$.

फिर, जब सब ठीक हो जाए $S$ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, उत्पाद टोपोलॉजी घटकों के खुले सेट के अनुरूप सिलेंडर सेट द्वारा आधार (टोपोलॉजी) है। वह फॉर्म का सिलेंडर है ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$ प्रत्येक के लिए कहाँ $i$, $U_{i}$ में खुला है $Y_{i}$. उसी तरह, मापने योग्य स्थानों के मामले में, सिलेंडर σ-बीजगणित वह है जो घटकों के मापने योग्य सेटों के अनुरूप सिलेंडर सेटों द्वारा एक मनमाना परिवार द्वारा उत्पन्न सिग्मा-बीजगणित#σ-बीजगणित है।

यह प्रतिबंध कि सिलेंडर सेट खुले सिलेंडरों की एक सीमित संख्या का प्रतिच्छेदन हो, महत्वपूर्ण है; अनंत चौराहों की अनुमति देने से आम तौर पर टोपोलॉजी टोपोलॉजी की तुलना होती है। बाद वाले मामले में, परिणामी टोपोलॉजी बॉक्स टोपोलॉजी है; सिलेंडर सेट कभी भी हिल्बर्ट क्यूब नहीं होते हैं।

असतत सेट के उत्पादों में सिलेंडर सेट

होने देना $S=\{1,2,\ldots ,n\}$ एक परिमित समुच्चय हो, जिसमें n वस्तुएँ या 'अक्षर' हों। इन अक्षरों में सभी द्वि-अनंत तारों का संग्रह द्वारा दर्शाया गया है

$$S^{\mathbb {Z} }=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.$$

प्राकृतिक टोपोलॉजी चालू $S$ असतत टोपोलॉजी है. असतत टोपोलॉजी में बुनियादी खुले सेट में अलग-अलग अक्षर होते हैं; इस प्रकार, उत्पाद टोपोलॉजी के खुले सिलेंडर चालू हैं $S^{\mathbb {Z} }$ हैं

$$C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a\}.$$

खुले सिलेंडरों की एक सीमित संख्या के प्रतिच्छेदन सिलेंडर सेट हैं

$${\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1}[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aligned}}.$$

सिलेंडर सेट क्लोपेन सेट हैं। टोपोलॉजी के तत्वों के रूप में, सिलेंडर सेट परिभाषा के अनुसार खुले सेट होते हैं। एक खुले सेट का पूरक एक बंद सेट है, लेकिन एक सिलेंडर सेट का पूरक सिलेंडर का एक संघ (सेट सिद्धांत) है, और इसलिए सिलेंडर सेट भी बंद हैं, और इस प्रकार क्लॉपेन हैं।

सदिश स्थानों के लिए परिभाषा

एक परिमित या अनंत-[[आयाम (सदिश स्थल)]] वेक्टर स्थान दिया गया है $V$ फ़ील्ड (गणित) K (जैसे कि वास्तविक संख्या या जटिल संख्या) पर, सिलेंडर सेट को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है

$$C_{A}[f_{1},\ldots ,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x))\in A\}$$

कहाँ $A\subset K^{n}$ एक बोरेल स्थापित है $K^{n}$, और प्रत्येक $f_{j}$ पर एक रैखिक कार्यात्मक है $V$; वह है, $f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}$, दोहरा स्थान#बीजगणितीय दोहरा स्थान $V$. टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस से निपटते समय, परिभाषा तत्वों के बजाय बनाई जाती है $f_{j}\in (V')^{\otimes n}$, दोहरी जगह#सतत दोहरी जगह। यानी कार्यात्मकता $f_{j}$ निरंतर रैखिक कार्यात्मकता के रूप में लिया जाता है।

अनुप्रयोग

सिलेंडर सेट का उपयोग अक्सर उन सेटों पर टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जो इसके सबसेट होते हैं $S^{\mathbb {Z} }$ और प्रतीकात्मक गतिशीलता के अध्ययन में अक्सर होता है; उदाहरण के लिए, परिमित प्रकार का उपशिफ्ट देखें। कोलमोगोरोव विस्तार प्रमेय का उपयोग करके माप सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए अक्सर सिलेंडर सेट का उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए, लंबाई m के एक सिलेंडर सेट का माप इसके द्वारा दिया जा सकता है 1/m या द्वारा 1/2^m.

सिलेंडर सेट का उपयोग अंतरिक्ष पर मीट्रिक (गणित) को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, कोई कहता है कि दो स्ट्रिंग ε-बंद हैं यदि स्ट्रिंग में अक्षरों का अंश 1-ε मेल खाता है।

चूँकि तार अंदर हैं $S^{\mathbb {Z} }$ पी-एडिक संख्या|पी-एडिक संख्याएं मानी जा सकती हैं, पी-एडिक संख्याओं के कुछ सिद्धांत सिलेंडर सेट पर लागू किए जा सकते हैं, और विशेष रूप से, पी-एडिक माप|पी-एडिक माप और पी- की परिभाषा एडिक मेट्रिक|पी-एडिक मेट्रिक्स सिलेंडर सेट पर लागू होते हैं। इस प्रकार के माप स्थान गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में दिखाई देते हैं और इन्हें नॉनसिंगुलर ओडोमीटर कहा जाता है। इन प्रणालियों का एक सामान्यीकरण मार्कोव ओडोमीटर है।

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर सिलेंडर सेट मुख्य घटक हैं क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के फेनमैन पथ अभिन्न या कार्यात्मक अभिन्न अंग की औपचारिक परिभाषा, और सांख्यिकीय यांत्रिकी के विभाजन फ़ंक्शन (गणित)।

यह भी देखें

• Filter (set theory)
• Filters in topology
• Cylinder set measure
• Cylindrical σ-algebra
• Projection (set theory)
• Ultraproduct

संदर्भ

• R.A. Minlos (2001) [1994], "Cylinder Set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press