यूक्लिडियन टोपोलॉजी

गणित और विशेष रूप से सामान्य टोपोलॉजी में, यूक्लिडियन टोपोलॉजी प्राकृतिक टोपोलॉजी से प्रेरित है $n$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ यूक्लिडियन दूरी द्वारा।

परिभाषा

यूक्लिडियन मानदंड पर $\mathbb {R} ^{n}$ गैर-नकारात्मक कार्य है $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित

$$\left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.$$

सभी नॉर्म (गणित) की तरह, यह द्वारा परिभाषित एक विहित मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है $d(p,q)=\|p-q\|.$ मीट्रिक $d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ यूक्लिडियन मानदंड से प्रेरित यूक्लिडियन मीट्रिक या यूक्लिडियन दूरी और बिंदुओं के बीच की दूरी कहलाती है $p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)$ और $q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)$ है

$$d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.$$

किसी भी मीट्रिक स्थान में, गेंद (गणित) उस स्थान पर एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) बनाती है। यूक्लिडियन टोपोलॉजी ऑन $\mathbb {R} ^{n}$ टोपोलॉजी है generated इन गेंदों से। दूसरे शब्दों में, यूक्लिडियन टोपोलॉजी के खुले सेट $\mathbb {R} ^{n}$ खुली गेंदों के (मनमानी) संघों द्वारा दिए गए हैं $B_{r}(p)$ के रूप में परिभाषित किया गया है $B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\},$ सभी वास्तविक के लिए $r>0$ और सभी $p\in \mathbb {R} ^{n},$ कहाँ पे $d$ यूक्लिडियन मीट्रिक है।

गुण

इस टोपोलॉजी के साथ संपन्न होने पर, वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ एक T5 स्थान है|T₅ अंतरिक्ष। दो उपसमुच्चयों को कहते हैं $A$ और $B$ का $\mathbb {R}$ साथ ${\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing ,$ कहाँ पे ${\overline {A}}$ के क्लोजर (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $A,$ वहाँ खुले सेट मौजूद हैं $S_{A}$ और $S_{B}$ साथ $A\subseteq S_{A}$ और $B\subseteq S_{B}$ ऐसा है कि $S_{A}\cap S_{B}=\varnothing .$

यह भी देखें

• Hilbert space
• List of Banach spaces
• List of topologies