कोडोमेन

एक समारोह f से X प्रति Y. नीला अंडाकार Y का कोडोमेन है f. पीला अंडाकार अंदर Y की छवि (गणित) है f, और लाल अंडाकार X के एक कार्य का डोमेन है f.

गणित में, किसी फलन (गणित) का कोडोमेन या गंतव्य का समुच्चय वह समुच्चय (गणित) होता है जिसमें फलन के सभी आउटपुट गिरने के लिए विवश होते हैं। यह सेट है Y अंकन में f: X → Y. किसी फ़ंक्शन का शब्द रेंज कभी-कभी अस्पष्ट रूप से किसी फ़ंक्शन के कोडोमेन या छवि (गणित) को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

एक कोडोमेन एक फ़ंक्शन का हिस्सा है f यदि f त्रिगुण के रूप में परिभाषित किया गया है (X, Y, G) कहाँ पे X के कार्य का डोमेन कहा जाता है f, Y इसका कोडोमेन, और G एक समारोह का इसका ग्राफ। प्रपत्र के सभी तत्वों का सेट f(x), कहाँ पे x डोमेन के तत्वों से अधिक है Xकी छवि (गणित) कहलाती है f. किसी फ़ंक्शन की छवि उसके कोडोमेन का एक उपसमूह है, इसलिए यह इसके साथ मेल नहीं खा सकता है। अर्थात्, एक फ़ंक्शन जो विशेषण फ़ंक्शन नहीं है, उसमें तत्व होते हैं y इसके कोडोमेन में जिसके लिए समीकरण f(x) = y समाधान नहीं है।

एक कोडोमेन एक समारोह का हिस्सा नहीं है f यदि f केवल एक ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए समुच्चय सिद्धान्त में किसी फ़ंक्शन के डोमेन को क्लास (सेट थ्योरी) होने की अनुमति देना वांछनीय है। X, इस मामले में औपचारिक रूप से ट्रिपल जैसी कोई चीज़ नहीं है (X, Y, G). इस तरह की परिभाषा के साथ कार्यों में कोडोमेन नहीं होता है, हालांकि कुछ लेखक फॉर्म में फ़ंक्शन पेश करने के बाद भी अनौपचारिक रूप से इसका उपयोग करते हैं f: X → Y.

उदाहरण

एक समारोह के लिए

$f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

द्वारा परिभाषित

$f\colon \,x\mapsto x^{2},$ या समकक्ष $f(x)\ =\ x^{2},$

का कोडोमेन f है $\textstyle \mathbb {R}$, लेकिन f किसी ऋणात्मक संख्या के लिए मैप नहीं करता है। इस प्रकार की छवि f सेट है $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$; यानी, अंतराल (गणित) [0, ∞).

एक वैकल्पिक कार्य g इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$

$g\colon \,x\mapsto x^{2}.$

जबकि f तथा g मानचित्र दिया गया है x एक ही संख्या के लिए, वे, इस दृष्टि से, एक ही कार्य नहीं हैं क्योंकि उनके अलग-अलग कोडोमेन हैं। एक तीसरा कार्य h क्यों प्रदर्शित करने के लिए परिभाषित किया जा सकता है:

$h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.$

का डोमेन h नहीं हो सकता $\textstyle \mathbb {R}$ लेकिन परिभाषित किया जा सकता है $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$:

$h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .$

फ़ंक्शन संरचना को निरूपित किया जाता है

$h\circ f,$

$h\circ g.$

निरीक्षण पर, h ∘ f उपयोगी नहीं है। यह सच है, जब तक अन्यथा परिभाषित नहीं किया जाता है, कि की छवि f ज्ञात नहीं है; यह केवल ज्ञात है कि यह का एक उपसमुच्चय है $\textstyle \mathbb {R}$. इस कारण यह संभव है h, जब साथ बना f, एक तर्क प्राप्त कर सकता है जिसके लिए कोई आउटपुट परिभाषित नहीं है - ऋणात्मक संख्याएं डोमेन के तत्व नहीं हैं h, जो वर्गमूल फलन है।

अतः फलन रचना तभी उपयोगी धारणा है जब रचना के दायीं ओर फलन का कोडोमेन (उसकी छवि नहीं, जो फलन का परिणाम है और संघटन के स्तर पर अज्ञात हो सकता है) डोमेन का एक उपसमुच्चय है समारोह के बाईं ओर।

कोडोमेन इस बात को प्रभावित करता है कि कोई फ़ंक्शन एक विशेषण है या नहीं, इसमें फ़ंक्शन विशेषण है यदि और केवल अगर इसका कोडोमेन इसकी छवि के बराबर है। उदाहरण में, g जबकि एक अनुमान है f नहीं है। कोडोमेन इस बात को प्रभावित नहीं करता है कि कोई फलन एक अंतःक्षेपी फलन है या नहीं।

कोडोमेन और छवि के बीच अंतर का एक दूसरा उदाहरण दो वेक्टर रिक्त स्थान के बीच रैखिक परिवर्तनों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है - विशेष रूप से, सभी रैखिक परिवर्तनों से $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ स्वयं के लिए, जिसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है 2×2 मैट्रिक्स (गणित) वास्तविक गुणांकों के साथ। प्रत्येक मैट्रिक्स डोमेन के साथ एक मानचित्र का प्रतिनिधित्व करता है $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ और कोडोमेन $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$. हालाँकि, छवि अनिश्चित है। कुछ परिवर्तनों में छवि पूरे कोडोमेन के बराबर हो सकती है (इस मामले में रैंक के साथ मेट्रिसेस (रैखिक बीजगणित) 2) लेकिन बहुत से नहीं, इसके बजाय कुछ छोटे रैखिक उप-स्थान (रैंक के साथ मैट्रिसेस) में मैपिंग करते हैं 1 या 0). उदाहरण के लिए मैट्रिक्स लें T के द्वारा दिया गया

$T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$

जो एक रेखीय परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है जो बिंदु को मैप करता है (x, y) प्रति (x, x). बिंदु (2, 3) की छवि में नहीं है T, लेकिन रैखिक परिवर्तनों के बाद से कोडोमेन में अभी भी है $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ प्रति $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ स्पष्ट प्रासंगिकता के हैं। सभी की तरह 2×2 आव्यूह, T उस सेट के एक सदस्य का प्रतिनिधित्व करता है। प्रश्न में फ़ंक्शन के गुणों की खोज के लिए छवि और कोडोमेन के बीच अंतर की जांच करना अक्सर उपयोगी हो सकता है। उदाहरण के लिए, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है T इसकी पूरी रैंक नहीं है क्योंकि इसकी छवि पूरे कोडोमेन से छोटी है।

यह भी देखें

• Bijection
• आकृतिवाद # कोडोमेन

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• किसी फ़ंक्शन का डोमेन
• समारोह (गणित)
• सेट (गणित)
• अंक शास्त्र
• एक समारोह की सीमा
• किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
• विशेषण समारोह
• सबसेट
• वर्ग (सेट सिद्धांत)
• समारोह रचना
• अनुमान
• वर्गमूल समारोह
• सदिश स्थल
• इंजेक्शन समारोह
• रैंक (रैखिक बीजगणित)
• रैखिक उपस्थान

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.
• Eccles, Peter J. (1997), An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
• Forster, Thomas (2003), Logic, Induction and Sets, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the working mathematician (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
• Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic set theory, Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0245-8
• Sharma, A.K. (2004), Introduction To Set Theory, Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
• Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), The foundations of mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4