सिंगलटन (गणित)

For a sequence with one member, see 1-tuple.

गणित में, एक सिंगलटन, जिसे यूनिट सेट के रूप में भी जाना जाता है या एक-बिन्दु समुच्चय, विशिष्ट परिमाणीकरण तत्व (गणित) के साथ एक समुच्चय (गणित) है। उदाहरण के लिए, सेट $\{0\}$ एक सिंगलटन है जिसका एकल तत्व है $0$.

गुण

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के ढांचे के भीतर, नियमितता का स्वयंसिद्ध गारंटी देता है कि कोई सेट स्वयं का एक तत्व नहीं है। इसका तात्पर्य है कि एक सिंगलटन आवश्यक रूप से उस तत्व से अलग है जिसमें यह शामिल है,इस प्रकार 1 और {1} एक ही चीज़ नहीं हैं, और खाली सेट केवल खाली सेट वाले सेट से अलग है। एक सेट जैसे $\{\{1,2,3\}\}$ एक सिंगलटन है क्योंकि इसमें एक एकल तत्व होता है (जो स्वयं एक सेट है, हालांकि, सिंगलटन नहीं है)।

एक सेट एक सिंगलटन है अगर और केवल अगर इसकी कार्डिनैलिटी है 1. प्राकृतिक संख्याओं की सेट-सैद्धांतिक परिभाषा में | वॉन न्यूमैन के प्राकृतिक संख्याओं के सेट-सैद्धांतिक निर्माण में, संख्या 1 को सिंगलटन के रूप में परिभाषित किया गया है $\{0\}.$ स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, सिंगलटन का अस्तित्व युग्मन के स्वयंसिद्ध का परिणाम है: किसी भी सेट ए के लिए, ए और ए पर लागू स्वयंसिद्ध के अस्तित्व का दावा करता है $\{A,A\},$ जो सिंगलटन के समान है $\{A\}$ (चूंकि इसमें ए है, और कोई अन्य सेट नहीं है, एक तत्व के रूप में)।

यदि A कोई सेट है और S कोई सिंगलटन है, तो A से S तक ठीक एक फंक्शन (गणित) मौजूद है, फ़ंक्शन A के प्रत्येक तत्व को S के एकल तत्व में भेजता है। इस प्रकार प्रत्येक सिंगलटन की श्रेणी में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है सेट।

एक सिंगलटन में यह गुण होता है कि इसमें से लेकर किसी भी मनमाने सेट तक का प्रत्येक कार्य इंजेक्शन होता है। इस संपत्ति के साथ एकमात्र गैर-सिंगलटन सेट खाली सेट है।

हर सिंगलटन सेट एक अल्ट्रा प्रीफिल्टर है। यदि $X$ एक सेट है और $x\in X$ फिर ऊपर की ओर $\{x\}$ में $X,$ जो सेट है $\{S\subseteq X:x\in S\},$ एक अल्ट्राफिल्टर (सेट थ्योरी) #प्रिंसिपल अल्ट्राफिल्टर (सेट थ्योरी) है $X.$ इसके अलावा, हर प्रिंसिपल अल्ट्राफिल्टर ऑन $X$ अनिवार्य रूप से इस रूप का है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का तात्पर्य है कि गैर-अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत)#प्रिंसिपल अल्ट्राफिल्टर हर अनंत सेट पर मौजूद होते हैं (इन्हें कहा जाता है) free ultrafilters). प्रत्येक नेट (गणित) का मूल्य एक सिंगलटन सबसेट में है $X$ of एक अल्ट्रानेट (गणित) है $X.$ बेल संख्या पूर्णांक अनुक्रम एक सेट के विभाजन की संख्या की गणना करता है (OEIS: A000110), यदि सिंगलटन को बाहर कर दिया जाता है तो संख्याएँ छोटी होती हैं (OEIS: A000296).

श्रेणी सिद्धांत में

सिंगलटन पर निर्मित संरचनाएं अक्सर टर्मिनल ऑब्जेक्ट या विभिन्न श्रेणी (श्रेणी सिद्धांत) की शून्य वस्तुओं के रूप में काम करती हैं:

• ऊपर दिए गए कथन से पता चलता है कि सिंगलटन सेट ठीक सेट (गणित) के सेट की श्रेणी श्रेणी में टर्मिनल ऑब्जेक्ट हैं। कोई अन्य सेट टर्मिनल नहीं है।
• कोई भी सिंगलटन एक अद्वितीय टोपोलॉजिकल स्पेस स्ट्रक्चर को स्वीकार करता है (दोनों सबसेट खुले हैं)। ये सिंगलटन टोपोलॉजिकल स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतर फ़ंक्शंस की श्रेणी में टर्मिनल ऑब्जेक्ट हैं। उस श्रेणी में कोई अन्य स्थान टर्मिनल नहीं है।
• कोई भी सिंगलटन एक अद्वितीय समूह (गणित) संरचना (पहचान तत्व के रूप में सेवारत अद्वितीय तत्व) को स्वीकार करता है। ये सिंगलटन समूह समूह और समूह समरूपता की श्रेणी में प्रारंभिक वस्तुएँ हैं। उस श्रेणी में कोई अन्य समूह टर्मिनल नहीं है।

सूचक कार्यों द्वारा परिभाषा

होने देना S एक सूचक समारोह द्वारा परिभाषित एक वर्ग (सेट सिद्धांत) हो

$$b:X\to \{0,1\}.$$

फिर S सिंगलटन कहा जाता है अगर और केवल अगर कुछ है $y\in X$ ऐसा कि सभी के लिए $x\in X,$

$$b(x)=(x=y).$$

== प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका == में परिभाषा निम्नलिखित परिभाषा अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड और बर्ट्रेंड रसेल द्वारा पेश की गई थी :$\iota$‘$x={\hat {y}}(y=x)$ डीएफ। प्रतीक $\iota$‘$x$ सिंगलटन को दर्शाता है $\{x\}$ तथा ${\hat {y}}(y=x)$ के समान वस्तुओं के वर्ग को दर्शाता है $x$ उर्फ $\{y:y=x\}$. यह प्रस्तावना में एक परिभाषा के रूप में होता है, जो, स्थानों पर, मुख्य पाठ में तर्क को सरल करता है, जहां यह प्रस्ताव 51.01 (पृ.357 ibid.) के रूप में होता है। प्रस्ताव बाद में कार्डिनल नंबर 1 को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है

$1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota$‘$x)$ डीएफ।

यानी 1 सिंगलटन का वर्ग है। यह परिभाषा 52.01 है (पृष्ठ 363 उक्त।)

यह भी देखें

• Class (set theory)
• Uniqueness quantification

संदर्भ

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.