बड़ा कार्डिनल

सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक बड़ी कार्डिनल संपत्ति बुनियादी संख्या कार्डिनल संख्याओं की एक निश्चित प्रकार की संपत्ति है। ऐसे गुणों वाले कार्डिनल, जैसा कि नाम से पता चलता है, आम तौर पर बहुत बड़े होते हैं (उदाहरण के लिए, कम से कम α से बड़े जैसे कि α=ω_α). यह प्रस्ताव कि ऐसे कार्डिनल मौजूद हैं, सेट सिद्धांत के सबसे सामान्य स्वयंसिद्धीकरण, अर्थात् ZFC में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, और ऐसे प्रस्तावों को यह मापने के तरीकों के रूप में देखा जा सकता है कि ZFC से परे, किसी को कुछ वांछित परिणामों को साबित करने में सक्षम होने के लिए कितना मान लेने की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, उन्हें दाना स्कॉट के वाक्यांश में, इस तथ्य को मापने के रूप में देखा जा सकता है कि यदि आप अधिक चाहते हैं तो आपको और अधिक ग्रहण करना होगा। एक मोटी परंपरा है कि अकेले ZFC से सिद्ध होने वाले परिणाम बिना किसी परिकल्पना के बताए जा सकते हैं, लेकिन यदि प्रमाण के लिए अन्य मान्यताओं की आवश्यकता होती है (जैसे कि बड़े कार्डिनल्स का अस्तित्व), तो इन्हें बताया जाना चाहिए। क्या यह केवल एक भाषाई सम्मेलन है, या कुछ और, विभिन्न दार्शनिक विद्यालयों के बीच एक विवादास्पद बिंदु है (नीचे #प्रेरणा और ज्ञानमीमांसीय स्थिति देखें)।

एlarge cardinal axiom एक स्वयंसिद्ध कथन है कि कुछ निर्दिष्ट बड़ी कार्डिनल संपत्ति के साथ एक कार्डिनल (या शायद उनमें से कई) मौजूद हैं।

अधिकांश कार्यशील सेट सिद्धांतकारों का मानना ​​है कि वर्तमान में जिन बड़े कार्डिनल सिद्धांतों पर विचार किया जा रहा है, वे ZFC के अनुरूप हैं। ये सिद्धांत ZFC की स्थिरता को दर्शाने के लिए पर्याप्त मजबूत हैं। इसका परिणाम यह है (गोडेल की अपूर्णता प्रमेय के माध्यम से | गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय) कि ZFC के साथ उनकी स्थिरता ZFC में सिद्ध नहीं की जा सकती है (यह मानते हुए कि ZFC सुसंगत है)।

बड़ी कार्डिनल संपत्ति क्या है, इसकी कोई आम तौर पर सहमत सटीक परिभाषा नहीं है, हालांकि अनिवार्य रूप से हर कोई इस बात से सहमत है कि बड़ी कार्डिनल संपत्तियों की सूची में वे बड़ी कार्डिनल संपत्तियां हैं।

आंशिक परिभाषा

कार्डिनल संख्याओं की एक संपत्ति के लिए एक बड़ी कार्डिनल संपत्ति होने के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि ऐसे कार्डिनल का अस्तित्व ZFC के साथ असंगत नहीं माना जाता है और ऐसा कार्डिनल Κ किस रचनात्मक ब्रह्मांड के लिए एक बेशुमार प्रारंभिक क्रमसूचक होगा|एल_Κ ZFC का एक मॉडल है. यदि ZFC सुसंगत है, तो ZFC का अर्थ यह नहीं है कि ऐसे कोई बड़े कार्डिनल मौजूद हैं।

संगति शक्ति का पदानुक्रम

बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के बारे में एक उल्लेखनीय अवलोकन यह है कि वे स्थिरता शक्ति के आधार पर सख्त रैखिक क्रम में घटित होते प्रतीत होते हैं। अर्थात्, निम्नलिखित में कोई अपवाद ज्ञात नहीं है: दो बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध ए दिए गए हैं₁ और ए₂, बिल्कुल तीन चीज़ों में से एक घटित होता है:

1. जब तक ZFC असंगत न हो, ZFC+A₁ सुसंगत है यदि और केवल यदि ZFC+A₂ संगत है;
2. जेडएफसी+ए₁ साबित करता है कि ZFC+A₂ संगत है; या
3. जेडएफसी+ए₂ साबित करता है कि ZFC+A₁ संगत है।

ये परस्पर अनन्य हैं, जब तक कि प्रश्न में कोई एक सिद्धांत वास्तव में असंगत न हो।

मामले 1 में, हम कहते हैं कि ए₁ और ए₂ समसंगति हैं। केस 2 में, हम कहते हैं कि ए₁ संगति की दृष्टि से A से अधिक मजबूत है₂ (केस 3 के लिए इसके विपरीत)। यदि एक₂ A से अधिक मजबूत है₁, फिर ZFC+A₁ ZFC+A सिद्ध नहीं कर सकता₂ ZFC+A की अतिरिक्त परिकल्पना के साथ भी सुसंगत है₁ स्वयं सुसंगत है (बशर्ते कि यह वास्तव में हो)। यह गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय से अनुसरण करता है।

यह अवलोकन कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों को स्थिरता शक्ति द्वारा रैखिक रूप से क्रमबद्ध किया जाता है, केवल एक अवलोकन है, प्रमेय नहीं। (बड़ी कार्डिनल संपत्ति की स्वीकृत परिभाषा के बिना, यह सामान्य अर्थों में प्रमाण के अधीन नहीं है।) इसके अलावा, यह हर मामले में ज्ञात नहीं है कि तीन मामलों में से कौन सा सही है। सहारों शेलाह ने पूछा है, [i] क्या इसकी व्याख्या करने वाला कोई प्रमेय है, या क्या हमारी दृष्टि हमारे एहसास से कहीं अधिक समान है? हालाँकि, डब्ल्यू ह्यू वुडिन ने इसे Ω-अनुमान से निकाला है, जो उनके Ω-तर्क की मुख्य अनसुलझी समस्या है। यह भी उल्लेखनीय है कि कई संयुक्त कथन किसी बड़े कार्डिनल के साथ बिल्कुल समरूप होते हैं, न कि कहें तो, उनके बीच मध्यवर्ती होते हैं।

संगति शक्ति का क्रम आवश्यक रूप से एक बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध के सबसे छोटे गवाह के आकार के क्रम के समान नहीं है। उदाहरण के लिए, एक विशाल कार्डिनल का अस्तित्व, एक सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल के अस्तित्व की तुलना में, स्थिरता शक्ति के संदर्भ में, बहुत अधिक मजबूत है, लेकिन यह मानते हुए कि दोनों मौजूद हैं, पहला विशाल पहले सुपरकॉम्पैक्ट से छोटा है।

प्रेरणाएँ और ज्ञानमीमांसीय स्थिति

बड़े कार्डिनल्स को वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड V के संदर्भ में समझा जाता है, जो अनंत प्रेरण सत्ता स्थापित ऑपरेशन द्वारा निर्मित होता है, जो किसी दिए गए सेट के सभी सबसेट को एक साथ इकट्ठा करता है। आमतौर पर, मॉडल सिद्धांत जिसमें बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध विफल हो जाते हैं, उन्हें कुछ प्राकृतिक तरीके से उन उपमॉडल के रूप में देखा जा सकता है जिनमें स्वयंसिद्ध सिद्धांत मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई दुर्गम कार्डिनल है, तो पहले ऐसे कार्डिनल की ऊंचाई पर ब्रह्मांड को काटने से एक ब्रह्मांड (गणित) प्राप्त होता है जिसमें कोई दुर्गम कार्डिनल नहीं होता है। या यदि कोई मापने योग्य कार्डिनल है, तो पूर्ण के बजाय निश्चित पॉवरसेट ऑपरेशन को दोहराने से गोडेल का रचनात्मक ब्रह्मांड, एल प्राप्त होता है, जो इस कथन को संतुष्ट नहीं करता है कि एक मापने योग्य कार्डिनल है (भले ही इसमें एक क्रमिक के रूप में मापने योग्य कार्डिनल शामिल हो)।

इस प्रकार, कई सेट सिद्धांतकारों (विशेष रूप से कैबल (सेट सिद्धांत) की परंपरा से प्रेरित) के एक निश्चित दृष्टिकोण से, बड़े कार्डिनल सिद्धांतों का कहना है कि हम उन सभी सेटों पर विचार कर रहे हैं जिन पर हमें विचार करना चाहिए, जबकि उनके निषेध प्रतिबंधात्मक हैं और कहते हैं कि हम उनमें से केवल कुछ सेटों पर विचार कर रहे हैं। इसके अलावा बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के परिणाम प्राकृतिक पैटर्न में आते प्रतीत होते हैं (देखें मैडी, बिलीविंग द एक्सिओम्स, II)। इन कारणों से, ऐसे सेट सिद्धांतकार बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों को ZFC के विस्तारों के बीच एक पसंदीदा स्थिति मानते हैं, जो कम स्पष्ट प्रेरणा (जैसे मार्टिन के स्वयंसिद्ध) या अन्य के स्वयंसिद्धों द्वारा साझा नहीं किए जाते हैं जिन्हें वे सहज रूप से असंभावित मानते हैं (जैसे वी =) एल|वी=एल). इस समूह में गणित का कट्टर दर्शन#गणितीय यथार्थवाद, अधिक सरलता से, यह बताएगा कि बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध सत्य हैं।

सेट सिद्धांतकारों के बीच यह दृष्टिकोण किसी भी तरह से सार्वभौमिक नहीं है। गणित के कुछ दर्शन#औपचारिकता इस बात पर जोर देंगे कि मानक सेट सिद्धांत परिभाषा के अनुसार ZFC के परिणामों का अध्ययन है, और हालांकि वे अन्य प्रणालियों के परिणामों का अध्ययन करने के सिद्धांत में विरोध नहीं कर सकते हैं, लेकिन उन्हें बड़े कार्डिनल्स को अलग करने का कोई कारण नहीं दिखता है पसंदीदा। ऐसे यथार्थवादी भी हैं जो इस बात से इनकार करते हैं कि ऑन्टोलॉजिकल अधिकतमवाद एक उचित प्रेरणा है, और यहां तक ​​कि मानते हैं कि बड़े कार्डिनल सिद्धांत झूठे हैं। और अंत में, ऐसे कुछ लोग हैं जो इस बात से इनकार करते हैं कि बड़े कार्डिनल सिद्धांतों की अस्वीकृति प्रतिबंधात्मक है, यह इंगित करते हुए कि (उदाहरण के लिए) एल में एक सकर्मक समुच्चय मॉडल हो सकता है जो मानता है कि एक मापने योग्य कार्डिनल मौजूद है, भले ही एल स्वयं इसे संतुष्ट नहीं करता है प्रस्ताव.

यह भी देखें

• बड़ी कार्डिनल संपत्तियों की सूची

संदर्भ

• Drake, F. R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Kanamori, Akihiro; Magidor, M. (1978), "The evolution of large cardinal axioms in set theory" (PDF), Higher Set Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 669, Springer Berlin / Heidelberg, pp. 99–275, doi:10.1007/BFb0103104, ISBN 978-3-540-08926-1, retrieved September 25, 2022
• Maddy, Penelope (1988). "Believing the Axioms, I". Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520. JSTOR 2274520.
• Maddy, Penelope (1988). "Believing the Axioms, II". Journal of Symbolic Logic. 53 (3): 736–764. doi:10.2307/2274569. JSTOR 2274569. S2CID 16544090.
• Shelah, Saharon (2002). "The Future of Set Theory". arXiv:math/0211397.
• Solovay, Robert M.; William N. Reinhardt; Akihiro Kanamori (1978). "Strong axioms of infinity and elementary embeddings" (PDF). Annals of Mathematical Logic. 13 (1): 73–116. doi:10.1016/0003-4843(78)90031-1.
• Woodin, W. Hugh (2001). "The continuum hypothesis, part II". Notices of the American Mathematical Society. 48 (7): 681–690.

बाहरी संबंध

• "Large Cardinals and Determinacy" at the Stanford Encyclopedia of Philosophy