सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल

सेट सिद्धांत में, एक सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल एक प्रकार का बड़ा कार्डिनल है जिसे सोलोवे और रेनहार्ड्ट द्वारा स्वतंत्र रूप से पेश किया गया था। वे विभिन्न प्रकार के प्रतिबिंब गुण प्रदर्शित करते हैं।

औपचारिक परिभाषा

अगर $\lambda$ क्या कोई क्रमिक संख्या है, $\kappa$ है$\lambda$-सुपरकॉम्पैक्ट का मतलब है कि प्राथमिक एम्बेडिंग मौजूद है $j$ ब्रह्मांड से $V$ एक सकर्मक आंतरिक मॉडल में $M$ महत्वपूर्ण बिंदु के साथ (सेट सिद्धांत) $\kappa$, $j(\kappa )>\lambda$ और

${}^{\lambda }M\subseteq M\,.$

वह है, $M$ इसमें उसका सब कुछ शामिल है $\lambda$-अनुक्रम. तब $\kappa$ सुपरकॉम्पैक्ट है इसका मतलब है कि यह है $\lambda$-सभी ऑर्डिनल्स के लिए सुपरकॉम्पैक्ट $\lambda$.

वैकल्पिक रूप से, एक बेशुमार कार्डिनल $\kappa$ यदि प्रत्येक के लिए सुपरकॉम्पैक्ट है $A$ ऐसा है कि $\vert A\vert \geq \kappa$ वहाँ एक सामान्य माप मौजूद है $[A]^{<\kappa }$, निम्नलिखित अर्थ में.

$[A]^{<\kappa }$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$[A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}$.

एक अल्ट्राफ़िल्टर $U$ ऊपर $[A]^{<\kappa }$ अगर ऐसा है तो ठीक है $\kappa$-पूर्ण तथा $\{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U$, हरएक के लिए $a\in A$. एक सामान्य उपाय ख़त्म $[A]^{<\kappa }$ एक बढ़िया अल्ट्राफिल्टर है $U$ ऊपर $[A]^{<\kappa }$ अतिरिक्त संपत्ति के साथ जो प्रत्येक कार्य करता है $f:[A]^{<\kappa }\to A$ ऐसा है कि $\{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U$ एक सेट पर स्थिर है $U$. यहाँ एक सेट पर स्थिर है $U$इसका मतलब है कि वहाँ है $a\in A$ ऐसा है कि $\{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U$.

गुण

सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल्स में प्रतिबिंब गुण होते हैं। यदि कुछ संपत्ति वाला एक कार्डिनल (3-विशाल कार्डिनल कहें) जो कि सीमित रैंक की संरचना द्वारा देखा जाता है, एक सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल के ऊपर मौजूद है $\kappa$, तो उस संपत्ति वाला एक कार्डिनल नीचे मौजूद है $\kappa$. उदाहरण के लिए, यदि $\kappa$ सुपरकॉम्पैक्ट है और सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना (जीसीएच) नीचे है $\kappa$ तब यह हर जगह धारण करता है क्योंकि शक्तियों के बीच एक आक्षेप होता है $\nu$ और कम से कम एक कार्डिनल $\nu ^{++}$ जीसीएच की विफलता के लिए सीमित रैंक का गवाह होगा $\nu$ तो इसे नीचे भी मौजूद रहना होगा $\nu$.

सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल्स के लिए एक विहित आंतरिक मॉडल ढूंढना आंतरिक मॉडल सिद्धांत की प्रमुख समस्याओं में से एक है।

सबसे कम सुपरकॉम्पैक्ट कार्डिनल सबसे कम है $\kappa$ ऐसा कि हर संरचना के लिए $(M,R_{1},\ldots ,R_{n})$ डोमेन की कार्डिनैलिटी के साथ $\vert M\vert \geq \kappa$, और हर किसी के लिए $\Pi _{1}^{1}$ वाक्य $\phi$ ऐसा है कि $(M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi$, वहाँ एक उपसंरचना मौजूद है $(M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)$ छोटे डोमेन के साथ (अर्थात्) $\vert M'\vert <\vert M\vert$) जो संतुष्ट करता है $\phi$. सुपरकॉम्पैक्टनेस में अप्रभावी कार्डिनल होने की संपत्ति के समान एक संयोजक लक्षण वर्णन है। होने देना $P_{\kappa }(A)$ के सभी अरिक्त उपसमुच्चयों का समुच्चय हो $A$ जिसमें प्रमुखता है $<\kappa$. एक कार्डिनल $\kappa$ प्रत्येक सेट के लिए सुपरकॉम्पैक्ट आईएफएफ है $A$ (समान रूप से प्रत्येक कार्डिनल $\alpha$), प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए $f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)$, अगर $f(X)\subseteq X$ सभी के लिए $X\in P_{\kappa }(A)$, तो कुछ है $B\subseteq A$ ऐसा है कि $\{X\mid f(X)=B\cap X\}$ स्थिर है.

यह भी देखें

• अविनाशीता
• दृढ़ता से कॉम्पैक्ट कार्डिनल
• बड़ी कार्डिनल संपत्तियों की सूची

संदर्भ

• Drake, F. R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.