प्रकार (मॉडल सिद्धांत)

मॉडल सिद्धांत और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक प्रकार एक वस्तु है जो वर्णन करता है कि संरचना (गणितीय तर्क) में तत्वों का एक (वास्तविक या संभव) तत्व या परिमित संग्रह कैसे व्यवहार कर सकता है। अधिक सटीक रूप से, यह प्रथम-क्रम तर्क का एक सेट है | मुक्त चर x के साथ L भाषा में प्रथम-क्रम सूत्र₁, एक्स₂,…, एक्स_n जो एल-संरचना के n-tuple|n-tuples के सेट के लिए सत्य हैं ${\mathcal {M}}$. संदर्भ के आधार पर, प्रकार पूर्ण या आंशिक हो सकते हैं और वे संरचना से स्थिरांक, ए के एक निश्चित सेट का उपयोग कर सकते हैं। ${\mathcal {M}}$. किस प्रकार के प्रश्न के वास्तविक तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं ${\mathcal {M}}$ संतृप्त मॉडल और छोड़ने वाले प्रकारों के विचारों की ओर जाता है।

औपचारिक परिभाषा

एक संरचना पर विचार करें (गणितीय तर्क) ${\mathcal {M}}$ एक औपचारिक भाषा एल के लिए। एम को संरचना (गणितीय तर्क) # संरचना का डोमेन होने दें। प्रत्येक A ⊆ M के लिए, L(A) को एक स्थिरांक c जोड़कर L से प्राप्त भाषा होने दें_a प्रत्येक a ∈ A के लिए। दूसरे शब्दों में,

$L(A)=L\cup \{c_{a}:a\in A\}.$

एक 1-प्रकार (का ${\mathcal {M}}$) ओवर A L(A) में फार्मूलों का एक सेट p(x) है जिसमें अधिक से अधिक एक फ्री वेरिएबल x (इसलिए 1-प्रकार) जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय p के लिए₀(x) ⊆ p(x) कुछ b ∈ M है, जो p पर निर्भर करता है₀(एक्स), साथ ${\mathcal {M}}\models p_{0}(b)$ (यानी पी में सभी सूत्र₀(एक्स) में सच हैं ${\mathcal {M}}$ जब x को b से बदल दिया जाता है)।

इसी प्रकार एक 'एन-टाइप (का ${\mathcal {M}}$) A के ऊपर एक सेट p(x) के रूप में परिभाषित किया गया है₁,…,एक्स_n) = L(A) में सूत्रों का p('x'), प्रत्येक के नि: शुल्क चर हैं जो केवल दिए गए n मुक्त चर x के बीच होते हैं₁,…,एक्स_n, जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय p के लिए₀(x) ⊆ p(x) कुछ तत्व b हैं₁,…,बी_n∈ एम के साथ ${\mathcal {M}}\models p_{0}(b_{1},\ldots ,b_{n})$.

का एक पूर्ण प्रकार ${\mathcal {M}}$ ओवर ए वह है जो सेट समावेशन के संबंध में अधिकतम सुसंगत सेट है। समान रूप से, प्रत्येक के लिए $\phi ({\boldsymbol {x}})\in L(A,{\boldsymbol {x}})$ दोनों में से एक $\phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})$ या $\lnot \phi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}})$. किसी भी गैर-पूर्ण प्रकार को आंशिक प्रकार कहा जाता है। इसलिए, शब्द प्रकार सामान्य रूप से किसी भी n-प्रकार, आंशिक या पूर्ण, पैरामीटर के किसी भी चुने हुए सेट (संभवतः खाली सेट) को संदर्भित करता है।

एक एन-टाइप पी(एक्स) कहा जाता है में एहसास हुआ ${\mathcal {M}}$अगर कोई तत्व बी ∈ एम हैⁿ ऐसा कि ${\mathcal {M}}\models p({\boldsymbol {b}})$. इस तरह के अहसास के अस्तित्व को कॉम्पैक्टनेस प्रमेय द्वारा किसी भी प्रकार के लिए गारंटी दी जाती है, हालांकि यह अहसास कुछ प्राथमिक विस्तार में हो सकता है ${\mathcal {M}}$, बजाय अंदर ${\mathcal {M}}$ अपने आप। यदि 'बी' द्वारा एक पूर्ण प्रकार का एहसास होता है ${\mathcal {M}}$, तो प्रकार को आमतौर पर निरूपित किया जाता है $tp_{n}^{\mathcal {M}}({\boldsymbol {b}}/A)$ और ए के ऊपर बी के पूर्ण प्रकार के रूप में जाना जाता है।

एक प्रकार p(x) को द्वारा अलग किया जाना कहा जाता है$\varphi$, के लिए $\varphi \in p(x)$, अगर सभी के लिए $\psi ({\boldsymbol {x}})\in p({\boldsymbol {x}}),$ अपने पास $\operatorname {Th} ({\mathcal {M}})\models \varphi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow \psi ({\boldsymbol {x}})$. चूंकि एक प्रकार के परिमित उपसमुच्चय हमेशा में महसूस किए जाते हैं ${\mathcal {M}}$, हमेशा एक तत्व बी ∈ एम होता हैⁿ ऐसा है कि φ('b') में सत्य है ${\mathcal {M}}$; अर्थात। ${\mathcal {M}}\models \varphi ({\boldsymbol {b}})$, इस प्रकार 'बी' पूरे पृथक प्रकार का एहसास करता है। इसलिए अलग-अलग प्रकारों को हर प्राथमिक उपसंरचना या विस्तार में महसूस किया जाएगा। इस वजह से, पृथक प्रकारों को कभी भी छोड़ा नहीं जा सकता (नीचे देखें)।

एक मॉडल जो अधिकतम संभव प्रकार के प्रकारों को महसूस करता है, उसे संतृप्त मॉडल कहा जाता है, और ultraproduct निर्माण संतृप्त मॉडल बनाने का एक तरीका प्रदान करता है।

प्रकारों के उदाहरण

एक बाइनरी संबंध प्रतीक वाली भाषा L पर विचार करें, जिसे हम इस रूप में निरूपित करते हैं $\in$. होने देना ${\mathcal {M}}$ संरचना हो $\langle \omega ,\in _{\omega }\rangle$ इस भाषा के लिए, जो क्रमिक संख्या है $\omega$ इसके मानक सुव्यवस्थित के साथ। होने देना ${\mathcal {T}}$ के प्रथम कोटि के सिद्धांत को निरूपित करते हैं ${\mathcal {M}}$.

L(ω)-सूत्रों के समुच्चय पर विचार करें $p(x):=\{n\in _{\omega }x\mid n\in \omega \}$. सबसे पहले, हम दावा करते हैं कि यह एक प्रकार है। होने देना $p_{0}(x)\subseteq p(x)$ का परिमित उपसमुच्चय हो $p(x)$. हमें एक खोजने की जरूरत है $b\in \omega$ जो सभी सूत्रों को संतुष्ट करता है $p_{0}$. ठीक है, हम सूत्रों के सेट में उल्लिखित सबसे बड़े क्रमसूचक के उत्तराधिकारी को ले सकते हैं $p_{0}(x)$. तब इसमें स्पष्ट रूप से उल्लिखित सभी अध्यादेश शामिल होंगे $p_{0}(x)$. इस प्रकार हमारे पास वह है $p(x)$ एक प्रकार है। अगला, ध्यान दें $p(x)$ में साकार नहीं हुआ है ${\mathcal {M}}$. के लिए, अगर यह होता तो कुछ होता $n\in \omega$ जिसमें हर तत्व शामिल है $\omega$. यदि हम प्रकार को महसूस करना चाहते हैं, तो हम संरचना पर विचार करने के लिए ललचा सकते हैं $\langle \omega +1,\in _{\omega +1}\rangle$, जो वास्तव में का विस्तार है ${\mathcal {M}}$ जो प्रकार का बोध कराता है। दुर्भाग्य से, यह विस्तार प्राथमिक नहीं है, उदाहरण के लिए, यह संतुष्ट नहीं करता है ${\mathcal {T}}$. विशेष रूप से, वाक्य $\exists x\forall y(y\in x\lor y=x)$ इस संरचना से संतुष्ट है और द्वारा नहीं ${\mathcal {M}}$.

इसलिए, हम प्राथमिक विस्तार में प्रकार को महसूस करना चाहते हैं। हम इसे एक नई एल-संरचना को परिभाषित करके कर सकते हैं, जिसे हम निरूपित करेंगे ${\mathcal {M}}'$. संरचना का डोमेन होगा $\omega \cup \mathbb {Z} '$ कहाँ $\mathbb {Z} '$ इस तरह से सजाए गए पूर्णांकों का समूह है $\mathbb {Z} '\cap \omega =\emptyset$. होने देना $<$ के सामान्य क्रम को निरूपित करें $\mathbb {Z} '$. हम प्रतीक की व्याख्या करते हैं $\in$ द्वारा हमारी नई संरचना में $\in _{{\mathcal {M}}'}=\in _{\omega }\cup <\cup \,(\omega \times \mathbb {Z} ')$. विचार यह है कि हम एक जोड़ रहे हैं$\mathbb {Z}$-चैन, या पूर्णांकों की प्रतिलिपि, सभी परिमित क्रमों के ऊपर। स्पष्ट रूप से कोई तत्व $\mathbb {Z} '$ प्रकार का बोध कराता है $p(x)$. इसके अलावा, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि यह विस्तार प्राथमिक है।

एक अन्य उदाहरण: खाली सेट पर संख्या 2 का पूर्ण प्रकार, जिसे प्राकृतिक संख्याओं के सदस्य के रूप में माना जाता है, सभी प्रथम-क्रम कथनों का सेट होगा (पीनो अंकगणित की भाषा में), एक चर x का वर्णन करते हुए, जो हैं सत्य जब x = 2। इस सेट में सूत्र शामिल होंगे जैसे $\,\!x\neq 1+1+1$, $x\leq 1+1+1+1+1$, और $\exists y(y<x)$. यह एक पृथक प्रकार का एक उदाहरण है, क्योंकि, नेचुरल के सिद्धांत पर काम करते हुए, सूत्र $x=1+1$ अन्य सभी सूत्रों का तात्पर्य है जो संख्या 2 के बारे में सत्य हैं।

एक और उदाहरण के रूप में, बयान

$\forall y(y^{2}<2\implies y<x)$

और

$\forall y((y>0\land y^{2}>2)\implies y>x)$

2 के वर्गमूल का वर्णन आदेशित क्षेत्रों के स्वयंसिद्धों के अनुरूप है, और इसे एक पूर्ण प्रकार तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार को तर्कसंगत संख्याओं के आदेशित क्षेत्र में महसूस नहीं किया जाता है, लेकिन वास्तविकताओं के आदेशित क्षेत्र में महसूस किया जाता है। इसी तरह, सूत्रों का अनंत सेट (खाली सेट पर) {x>1, x>1+1, x>1+1+1, ...} वास्तविक संख्याओं के आदेशित क्षेत्र में महसूस नहीं किया जाता है, लेकिन महसूस किया जाता है hyperreal के आदेशित क्षेत्र में। इसी तरह, हम एक प्रकार निर्दिष्ट कर सकते हैं $\{0<x<1/n\mid n\in \mathbb {N} \}$ यह एक अतिसूक्ष्म हाइपररियल द्वारा महसूस किया जाता है जो आर्किमिडीज़ संपत्ति का उल्लंघन करता है।

पैरामीटर को मॉडल के एक निश्चित सबसेट तक सीमित करने का कारण यह है कि यह उन प्रकारों को अलग करने में मदद करता है जो उन लोगों से संतुष्ट हो सकते हैं जो संतुष्ट नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट को मापदंडों के रूप में उपयोग करके कोई भी अनगिनत रूप से अनंत सूत्रों का सेट उत्पन्न कर सकता है $x\neq 1$, $x\neq \pi$, ... जो स्पष्ट रूप से x के लिए हर संभव वास्तविक मान को खारिज कर देगा, और इसलिए वास्तविक संख्याओं के भीतर कभी भी महसूस नहीं किया जा सकता है।

स्टोन स्पेस

ए पर एक सामयिक स्थान के रूप में पूर्ण एन-प्रकार के सेट पर विचार करना उपयोगी है। मुक्त चर x में सूत्रों पर निम्नलिखित तुल्यता संबंध पर विचार करें₁,…, एक्स_n ए में मापदंडों के साथ:

$\psi \equiv \phi \Leftrightarrow {\mathcal {M}}\models \forall x_{1},\ldots ,x_{n}(\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\leftrightarrow \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})).$

कोई यह दिखा सकता है $\psi \equiv \phi$ अगर और केवल अगर वे बिल्कुल उसी पूर्ण प्रकार में समाहित हैं।

मुक्त चर x में सूत्रों का सेट₁,…,एक्स_n इस तुल्यता संबंध तक एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है (और एम के ए-परिभाषित उपसमुच्चय के सेट के लिए कैनोनिक रूप से समरूप है^एन). पूर्ण एन-प्रकार इस बूलियन बीजगणित के ultrafilter के अनुरूप हैं। एक आधार (टोपोलॉजी) के रूप में दिए गए सूत्र वाले प्रकारों के सेट लेकर पूर्ण एन-प्रकारों के सेट को एक टोपोलॉजिकल स्पेस में बनाया जा सकता है। यह बूलियन बीजगणित से जुड़े पत्थर की जगह का निर्माण करता है, जो एक कॉम्पैक्ट जगह , हॉसडॉर्फ स्पेस और पूरी तरह पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया स्थान स्पेस है।

'उदाहरण'। विशेषता (बीजगणित) 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों का पूरा सिद्धांत क्वांटिफायर उन्मूलन है, जो किसी को यह दिखाने की अनुमति देता है कि संभावित पूर्ण 1-प्रकार (खाली सेट पर) इसके अनुरूप हैं:

• किसी दिए गए इरेड्यूसिबल बहुपद के फलन की जड़| अग्रणी गुणांक 1 वाले परिमेय पर इर्रिड्यूसिबल गैर-निरंतर बहुपद। उदाहरण के लिए, 2 के वर्गमूल का प्रकार। इनमें से प्रत्येक प्रकार स्टोन स्पेस का एक पृथक बिंदु है।
• अनुवांशिक तत्व, जो किसी गैर-शून्य बहुपद की जड़ें नहीं हैं। यह प्रकार स्टोन स्पेस में एक बिंदु है जो बंद है लेकिन पृथक नहीं है।

दूसरे शब्दों में, 1-प्रकार, परिमेय 'Q' पर बहुपद वलय 'Q' [x] के प्रमुख आदर्शों के बिल्कुल अनुरूप हैं: यदि r प्रकार p के मॉडल का एक तत्व है, तो p के अनुरूप आदर्श है मूल के रूप में r वाले बहुपदों का समुच्चय (जो केवल शून्य बहुपद है यदि r अनुवांशिक है)। अधिक आम तौर पर, पूर्ण एन-प्रकार बहुपद अंगूठी 'क्यू' [एक्स के प्रमुख आदर्शों के अनुरूप होते हैं₁,...,एक्स_n], दूसरे शब्दों में इस वलय के प्रधान स्पेक्ट्रम के बिंदुओं के लिए। (स्टोन स्पेस टोपोलॉजी को वास्तव में बूलियन बीजगणित से प्राकृतिक तरीके से प्रेरित बूलियन रिंग के जरिस्की टोपोलॉजी के रूप में देखा जा सकता है। जबकि ज़ारिस्की टोपोलॉजी सामान्य हौसडॉर्फ में नहीं है, यह बूलियन रिंग्स के मामले में है।) उदाहरण के लिए , यदि q(x,y) दो चरों में एक अलघुकरणीय बहुपद है, तो एक 2-प्रकार है जिसका अहसास q(x,y)=0 वाले तत्वों के (अनौपचारिक रूप से) जोड़े (x,y) हैं।

ओमिटिंग प्रकार प्रमेय

एक पूर्ण एन-टाइप पी दिया गया है, कोई भी पूछ सकता है कि सिद्धांत का कोई मॉडल है जो 'पी' को छोड़ देता है, दूसरे शब्दों में मॉडल में कोई एन-ट्यूपल नहीं है जो पी को महसूस करता है। यदि p स्टोन स्पेस में एक पृथक बिंदु है, अर्थात यदि {p} एक खुला सेट है, तो यह देखना आसान है कि प्रत्येक मॉडल p को महसूस करता है (कम से कम यदि सिद्धांत पूर्ण है)। 'छोड़ने वाले प्रकार प्रमेय' का कहना है कि इसके विपरीत यदि पी को अलग नहीं किया जाता है तो पी को छोड़ने वाला एक गणनीय मॉडल है (बशर्ते कि भाषा गणनीय हो)।

'उदाहरण': विशेषता 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत में, 1-प्रकार का प्रतिनिधित्व तत्वों द्वारा किया जाता है जो क्षेत्र (गणित) #उपक्षेत्रों और प्रमुख क्षेत्रों पर पारलौकिक हैं। यह स्टोन स्पेस का एक गैर-पृथक बिंदु है (वास्तव में, केवल गैर-पृथक बिंदु)। बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र इस प्रकार को छोड़ने वाला मॉडल है, और किसी का बीजगणितीय समापन है परिमेय का अनुभवातीत विस्तार इस प्रकार को साकार करने वाला एक मॉडल है।

अन्य सभी प्रकार बीजगणितीय संख्याएँ हैं (अधिक सटीक रूप से, वे किसी दिए गए बीजगणितीय संख्या से संतुष्ट प्रथम-क्रम के कथनों के समुच्चय हैं), और ऐसे सभी प्रकार विशेषता 0 के सभी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों में महसूस किए जाते हैं।

संदर्भ

• Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1.
• Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome (1989). Model Theory (3rd ed.). Elsevier. ISBN 0-7204-0692-7.
• Marker, David (2002). Model Theory: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.