तार्किक समानता

तर्क और गणित में, कथन $p$ और $q$ तार्किक रूप से समतुल्य कहा जाता है यदि उनके पास प्रत्येक मॉडल (तर्क) में समान सत्य मान हो। की तार्किक समानता $p$ और $q$ कभी-कभी व्यक्त किया जाता है $p\equiv q$, $p::q$, ${\textsf {E}}pq$, या $p\iff q$, उपयोग किए जा रहे संकेतन के आधार पर। हालाँकि, इन प्रतीकों का उपयोग भौतिक तुल्यता के लिए भी किया जाता है, इसलिए उचित व्याख्या संदर्भ पर निर्भर करेगी। तार्किक तुल्यता भौतिक तुल्यता से अलग है, हालांकि दोनों अवधारणाएं आंतरिक रूप से संबंधित हैं।

तार्किक समानताएं

तर्कशास्त्र में, कई सामान्य तार्किक तुल्यताएं मौजूद हैं और उन्हें अक्सर कानूनों या गुणों के रूप में सूचीबद्ध किया जाता है। निम्नलिखित तालिकाएँ इनमें से कुछ को दर्शाती हैं।

सामान्य तार्किक तुल्यता

Equivalence	Name
$p\wedge \top \equiv p$ $p\vee \bot \equiv p$	Identity laws
$p\vee \top \equiv \top$ $p\wedge \bot \equiv \bot$	Domination laws
$p\vee p\equiv p$ $p\wedge p\equiv p$	Idempotent or tautology laws
$\neg (\neg p)\equiv p$	Double negation law
$p\vee q\equiv q\vee p$ $p\wedge q\equiv q\wedge p$	Commutative laws
$(p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)$ $(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$	Associative laws
$p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$ $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$	Distributive laws
$\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$	De Morgan's laws
$p\vee (p\wedge q)\equiv p$ $p\wedge (p\vee q)\equiv p$	Absorption laws
$p\vee \neg p\equiv \top$ $p\wedge \neg p\equiv \bot$	Negation laws

तार्किक तुल्यता जिसमें सशर्त बयान शामिल हैं

1. $p\implies q\equiv \neg p\vee q$
2. $p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p$
3. $p\vee q\equiv \neg p\implies q$
4. $p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)$
5. $\neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q$
6. $(p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)$
7. $(p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)$
8. $(p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r$
9. $(p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r$

द्विप्रतिबंधों से संबंधित तार्किक तुल्यताएं

1. $p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)$
2. $p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q$
3. $p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)$
4. $\neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q$

उदाहरण

तर्क में

निम्नलिखित कथन तार्किक रूप से समतुल्य हैं:

1. अगर लिसा डेनमार्क में है, तो वह यूरोप में है (फॉर्म का एक बयान $d\implies e$).
2. अगर लिसा यूरोप में नहीं है, तो वह डेनमार्क में नहीं है (फॉर्म का एक बयान $\neg e\implies \neg d$).

सांकेतिक रूप से, (1) और (2) एक दूसरे से प्रतिरूपण और दोहरे निषेध के नियमों के माध्यम से व्युत्पन्न होते हैं। शब्दार्थ की दृष्टि से, (1) और (2) ठीक उसी मॉडल (व्याख्या, मूल्यांकन) में सत्य हैं; अर्थात्, जिनमें या तो लिसा डेनमार्क में है या लिसा यूरोप में है वह सच है।

(ध्यान दें कि इस उदाहरण में, शास्त्रीय तर्क को मान लिया गया है। कुछ गैर शास्त्रीय तर्क (1) और (2) को तार्किक रूप से समतुल्य नहीं मानते हैं।)

भौतिक तुल्यता से संबंध

तार्किक तुल्यता भौतिक तुल्यता से भिन्न है। सूत्रों $p$ और $q$ तार्किक रूप से समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके भौतिक तुल्यता का कथन ($p\iff q$) एक टॉटोलॉजी है। की भौतिक समानता $p$ और $q$ (अक्सर लिखा जाता है $p\leftrightarrow q$) अपने आप में उसी औपचारिक प्रणाली में एक और बयान है $p$ और $q$. यह कथन विचार व्यक्त करता है '$p$ अगर और केवल अगर $q$'। विशेष रूप से, का सत्य मान $p\leftrightarrow q$ एक मॉडल से दूसरे मॉडल में बदल सकते हैं।

दूसरी ओर, यह दावा कि दो सूत्र तार्किक रूप से समतुल्य हैं, धातुभाषा में एक कथन है, जो दो कथनों के बीच संबंध को व्यक्त करता है। $p$ और $q$. बयान तार्किक रूप से समतुल्य हैं यदि, प्रत्येक मॉडल में, उनका सत्य मूल्य समान है।

यह भी देखें

• तार्किक परिणाम
• समानता
• अगर और केवल अगर
• तार्किक द्विशर्त
• तार्किक समानता
• गणितीय ऑपरेटर्स (यूनिकोड ब्लॉक)#ब्लॉक|≡ आईएफ़ प्रतीक (यू+2261 आइडेंटिकल टू)
• गणितीय ऑपरेटर्स (यूनिकोड ब्लॉक)#ब्लॉक|∷ a से b 'as' c is to d प्रतीक (U+2237 PROPORTION)
• एरो (यूनिकोड_ब्लॉक)#ब्लॉक|⇔ ब्लैकबोर्ड बोल्ड बाइकंडीशनल (U+21D4 लेफ्ट राइट डबल एरो)
• तीर (प्रतीक)#Arrows_in_Unicode|↔ द्विदिश तीर (U+2194 बाएँ दाएँ तीर)

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