व्याख्या (तर्क)

For other uses, see Interpretation (disambiguation).

एक व्याख्या एक औपचारिक भाषा के प्रतीक (औपचारिक) के लिए अर्थ (दर्शन) का एक असाइनमेंट है। गणित, तर्क और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग की जाने वाली कई औपचारिक भाषाओं को केवल वाक्यविन्यास शब्दों में परिभाषित किया गया है, और जब तक उन्हें कुछ व्याख्या नहीं दी जाती तब तक उनका कोई अर्थ नहीं होता है। औपचारिक भाषाओं की व्याख्याओं के सामान्य अध्ययन को औपचारिक शब्दार्थ (तर्क) कहा जाता है।

सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले औपचारिक तर्क प्रस्तावात्मक तर्क, विधेय तर्क और उनके मोडल तर्क एनालॉग हैं, और इनके लिए व्याख्या प्रस्तुत करने के मानक तरीके हैं। इन संदर्भों में व्याख्या एक फ़ंक्शन (गणित) है जो किसी वस्तु भाषा के प्रतीकों और प्रतीकों की स्ट्रिंग का विस्तार (विधेय तर्क) प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, एक व्याख्या फ़ंक्शन विधेय टी (लंबा के लिए) ले सकता है और इसे विस्तार {ए} (अब्राहम लिंकन के लिए) निर्दिष्ट कर सकता है। ध्यान दें कि हमारी सभी व्याख्या गैर-तार्किक स्थिरांक टी के लिए विस्तार {ए} निर्दिष्ट करती है, और इस बारे में कोई दावा नहीं करती है कि क्या टी लंबा और 'ए' अब्राहम लिंकन के लिए है। . न ही तार्किक व्याख्या में 'और', 'या' और 'नहीं' जैसे तार्किक संयोजकों के बारे में कुछ कहा जा सकता है। यद्यपि हम इन प्रतीकों को कुछ चीज़ों या अवधारणाओं के लिए मान सकते हैं, लेकिन यह व्याख्या फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित नहीं होता है।

एक व्याख्या अक्सर (लेकिन हमेशा नहीं) किसी भाषा में वाक्य (गणितीय तर्क) के सत्य मूल्यों को निर्धारित करने का एक तरीका प्रदान करती है। यदि दी गई व्याख्या किसी वाक्य या सिद्धांत (गणितीय तर्क) के लिए सत्य मान निर्दिष्ट करती है, तो व्याख्या को उस वाक्य या सिद्धांत का मॉडल (मॉडल सिद्धांत) कहा जाता है।

औपचारिक भाषाएँ

Main article: Formal language

एक औपचारिक भाषा में अक्षरों या प्रतीकों के एक निश्चित सेट से निर्मित वाक्यों का संभवतः अनंत सेट (विभिन्न रूप से शब्द या सुगठित सूत्र कहा जाता है) होता है। जिस सूची से ये अक्षर लिए जाते हैं उसे वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) कहा जाता है जिसके आधार पर भाषा को परिभाषित किया जाता है। औपचारिक भाषा में मौजूद प्रतीकों की स्ट्रिंग को प्रतीकों की मनमानी स्ट्रिंग से अलग करने के लिए, पूर्व को कभी-कभी वेल-फॉर्म्ड फॉर्मूला|वेल-फॉर्मेड फॉर्मूला (डब्ल्यूएफएफ) कहा जाता है। औपचारिक भाषा की अनिवार्य विशेषता यह है कि इसके वाक्यविन्यास को व्याख्या के संदर्भ के बिना परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि (पी या क्यू) एक सुगठित सूत्र है, भले ही यह जाने बिना कि यह सही है या गलत।

उदाहरण

एक औपचारिक भाषा ${\mathcal {W}}$ से परिभाषित किया जा सकता है वर्णमाला $\alpha =\{\triangle ,\square \}$, और एक शब्द के अंदर होने के साथ ${\mathcal {W}}$ अगर इसकी शुरुआत होती है $\triangle$ और केवल प्रतीकों से बना है $\triangle$ और $\square$.

की संभावित व्याख्या ${\mathcal {W}}$ को दशमलव अंक '1' निर्दिष्ट कर सकता है $\triangle$ और '0' से $\square$. तब $\triangle \square \triangle$ की इस व्याख्या के तहत 101 को दर्शाया जाएगा ${\mathcal {W}}$.

तार्किक स्थिरांक

प्रस्तावात्मक तर्क और विधेय तर्क के विशिष्ट मामलों में, मानी जाने वाली औपचारिक भाषाओं में अक्षर होते हैं जिन्हें दो सेटों में विभाजित किया जाता है: तार्किक प्रतीक (तार्किक स्थिरांक) और गैर-तार्किक प्रतीक। इस शब्दावली के पीछे विचार यह है कि तार्किक प्रतीकों का अध्ययन किए जा रहे विषय वस्तु की परवाह किए बिना एक ही अर्थ होता है, जबकि गैर-तार्किक प्रतीकों का अर्थ जांच के क्षेत्र के आधार पर बदल जाता है।

मानक प्रकार की प्रत्येक व्याख्या द्वारा तार्किक स्थिरांक को हमेशा एक ही अर्थ दिया जाता है, जिससे केवल गैर-तार्किक प्रतीकों के अर्थ बदल जाते हैं। तार्किक स्थिरांक में क्वांटिफायर प्रतीक ∀ (सभी) और ∃ (कुछ), तार्किक संयोजकों के लिए प्रतीक ∧ (और), ∨ (या), ¬ (नहीं), कोष्ठक और अन्य समूह प्रतीक, और (कई उपचारों में) समानता प्रतीक शामिल हैं = .

सत्य-कार्यात्मक व्याख्याओं के सामान्य गुण

आम तौर पर अध्ययन की जाने वाली कई व्याख्याएँ औपचारिक भाषा में प्रत्येक वाक्य को एक ही सत्य मान के साथ जोड़ती हैं, या तो सही या गलत। इन व्याख्याओं को सत्य कार्यात्मक कहा जाता है; उनमें प्रस्तावात्मक और प्रथम-क्रम तर्क की सामान्य व्याख्याएँ शामिल हैं। जो वाक्य किसी विशेष असाइनमेंट द्वारा सत्य बनाए जाते हैं, उन्हें उस असाइनमेंट द्वारा संतुष्ट करने योग्य कहा जाता है।

शास्त्रीय तर्क में, किसी भी वाक्य को एक ही व्याख्या से सत्य और असत्य दोनों नहीं बनाया जा सकता है, हालाँकि एलपी जैसे ग्लूट तर्क के लिए यह सच नहीं है। हालाँकि, शास्त्रीय तर्क में भी, यह संभव है कि एक ही वाक्य का सत्य मान अलग-अलग व्याख्याओं के तहत भिन्न हो सकता है। एक वाक्य संगति है यदि यह कम से कम एक व्याख्या के तहत सत्य है; अन्यथा यह असंगत है. एक वाक्य φ को तार्किक रूप से वैध कहा जाता है यदि यह प्रत्येक व्याख्या से संतुष्ट होता है (यदि φ प्रत्येक व्याख्या से संतुष्ट होता है जो ψ को संतुष्ट करता है तो φ को ψ का तार्किक परिणाम कहा जाता है)।

तार्किक संयोजक

किसी भाषा के कुछ तार्किक प्रतीक (क्वांटिफायर के अलावा) तार्किक संयोजक हैं | सत्य-कार्यात्मक संयोजक जो सत्य कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं - ऐसे कार्य जो सत्य मानों को तर्क के रूप में लेते हैं और सत्य मानों को आउटपुट के रूप में लौटाते हैं (दूसरे शब्दों में, ये सत्य मूल्यों पर संचालन हैं) वाक्यों का)

सत्य-कार्यात्मक संयोजक सरल वाक्यों से मिश्रित वाक्यों का निर्माण करने में सक्षम बनाते हैं। इस प्रकार, संयुक्त वाक्य के सत्य मान को सरल वाक्यों के सत्य मान के एक निश्चित सत्य फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। संयोजकों को आमतौर पर तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया जाता है, जिसका अर्थ है कि संयोजकों का अर्थ हमेशा एक ही होता है, यह इस बात से स्वतंत्र होता है कि किसी सूत्र में अन्य प्रतीकों को क्या व्याख्या दी गई है।

इस प्रकार हम प्रस्तावात्मक तर्क में तार्किक संयोजकों को परिभाषित करते हैं:

• ¬Φ सत्य है यदि Φ असत्य है।
• (Φ ∧ Ψ) सत्य है यदि Φ सत्य है और Ψ सत्य है।
• (Φ ∨ Ψ) सत्य है यदि Φ सत्य है या Ψ सत्य है (या दोनों सत्य हैं)।
• (Φ → Ψ) सत्य है यदि ¬Φ सत्य है या Ψ सत्य है (या दोनों सत्य हैं)।
• (Φ ↔ Ψ) सत्य है यदि (Φ → Ψ) सत्य है और (Ψ → Φ) सत्य है।

तो सभी वाक्य अक्षरों Φ और Ψ की दी गई व्याख्या के तहत (यानी, प्रत्येक वाक्य अक्षर को सत्य-मान निर्दिष्ट करने के बाद), हम उन सभी सूत्रों के सत्य-मूल्यों को निर्धारित कर सकते हैं जिनमें वे तार्किक के एक कार्य के रूप में घटक के रूप में हैं संयोजक। निम्न तालिका दिखाती है कि इस प्रकार की चीज़ कैसी दिखती है। पहले दो कॉलम चार संभावित व्याख्याओं द्वारा निर्धारित वाक्य अक्षरों के सत्य-मूल्यों को दर्शाते हैं। अन्य कॉलम इन वाक्य अक्षरों से निर्मित सूत्रों के सत्य-मूल्यों को दर्शाते हैं, जिसमें सत्य-मूल्यों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित किया जाता है।

Logical connectives

Interpretation	Φ	Ψ	¬Φ	(Φ ∧ Ψ)	(Φ ∨ Ψ)	(Φ → Ψ)	(Φ ↔ Ψ)
#1	T	T	F	T	T	T	T
#2	T	F	F	F	T	F	F
#3	F	T	T	F	T	T	F
#4	F	F	T	F	F	T	T

अब यह देखना आसान हो गया है कि कौन सी चीज़ किसी सूत्र को तार्किक रूप से वैध बनाती है। सूत्र F लें: (Φ ∨ ¬Φ)। यदि हमारा व्याख्या फलन Φ को सत्य बनाता है, तो निषेध संयोजक द्वारा ¬Φ को असत्य बना दिया जाता है। चूँकि उस व्याख्या के तहत F का विच्छेद Φ सत्य है, F सत्य है। अब Φ की एकमात्र अन्य संभावित व्याख्या इसे गलत बनाती है, और यदि ऐसा है, तो ¬Φ को निषेध समारोह द्वारा सत्य बना दिया जाता है। यह F को फिर से सत्य बना देगा, क्योंकि Fs विभक्तियों में से एक, ¬Φ, इस व्याख्या के तहत सत्य होगा। चूँकि F के लिए ये दो व्याख्याएँ ही एकमात्र संभावित तार्किक व्याख्याएँ हैं, और चूँकि F दोनों के लिए सत्य है, हम कहते हैं कि यह तार्किक रूप से वैध या अनुवर्ती है।

एक सिद्धांत की व्याख्या

Main article: Theory (mathematical logic)

किसी सिद्धांत की व्याख्या एक सिद्धांत और कुछ विषय वस्तु के बीच का संबंध है जब सिद्धांत के कुछ प्रारंभिक कथनों और विषय वस्तु से संबंधित कुछ कथनों के बीच कई-से-एक पत्राचार होता है। यदि सिद्धांत में प्रत्येक प्रारंभिक कथन का एक संवाददाता हो तो इसे पूर्ण व्याख्या कहा जाता है, अन्यथा इसे आंशिक व्याख्या कहा जाता है।

प्रस्तावात्मक तर्क के लिए व्याख्या

प्रस्तावात्मक तर्क के लिए औपचारिक भाषा में प्रस्तावात्मक प्रतीकों (जिन्हें भावात्मक प्रतीक, भावात्मक चर, प्रस्तावात्मक चर भी कहा जाता है) और तार्किक संयोजकों से निर्मित सूत्र शामिल होते हैं। प्रस्तावात्मक तर्क के लिए औपचारिक भाषा में एकमात्र गैर-तार्किक प्रतीक प्रस्तावात्मक प्रतीक हैं, जिन्हें अक्सर बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। औपचारिक भाषा को सटीक बनाने के लिए, प्रस्तावात्मक प्रतीकों का एक विशिष्ट सेट तय किया जाना चाहिए।

इस सेटिंग में मानक प्रकार की व्याख्या एक ऐसा फ़ंक्शन है जो प्रत्येक प्रस्तावित प्रतीक को सत्य और गलत मानों में से एक पर मैप करता है। इस फ़ंक्शन को सत्य असाइनमेंट या मूल्यांकन फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। कई प्रस्तुतियों में, यह वस्तुतः एक सत्य मान है जिसे निर्दिष्ट किया गया है, लेकिन कुछ प्रस्तुतियाँ इसके बजाय सत्यवाहकों को निर्दिष्ट करती हैं।

n विशिष्ट प्रस्तावात्मक चर वाली भाषा के लिए 2 हैंⁿअलग-अलग संभावित व्याख्याएँ। उदाहरण के लिए, किसी विशेष चर a के लिए 2 हैं¹=2 संभावित व्याख्याएँ: 1) a को 'T' सौंपा गया है, या 2) a को 'F' सौंपा गया है। जोड़ी ए, बी के लिए 2 हैं²=4 संभावित व्याख्याएं: 1) दोनों को टी सौंपा गया है, 2) दोनों को एफ सौंपा गया है, 3) ए को टी सौंपा गया है और बी को एफ सौंपा गया है, या 4) ए सौंपा गया है को F सौंपा गया है और b को T सौंपा गया है।

प्रस्तावित प्रतीकों के एक सेट के लिए किसी भी सत्य असाइनमेंट को देखते हुए, उन चरों से निर्मित सभी प्रस्ताव सूत्रों के लिए एक व्याख्या का एक अनूठा विस्तार होता है। इस विस्तारित व्याख्या को ऊपर चर्चा किए गए तार्किक संयोजकों की सत्य-तालिका परिभाषाओं का उपयोग करके आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है।

प्रथम-क्रम तर्क

प्रस्तावात्मक तर्क के विपरीत, जहां प्रस्तावात्मक चर के एक अलग सेट की पसंद के अलावा हर भाषा एक जैसी होती है, वहां कई अलग-अलग प्रथम-क्रम भाषाएं होती हैं। प्रत्येक प्रथम-क्रम भाषा को एक हस्ताक्षर (गणितीय तर्क) द्वारा परिभाषित किया गया है। हस्ताक्षर में गैर-तार्किक प्रतीकों का एक सेट होता है और इनमें से प्रत्येक प्रतीक की एक स्थिर प्रतीक, एक फ़ंक्शन प्रतीक या एक विधेय प्रतीक के रूप में पहचान होती है। फ़ंक्शन और विधेय प्रतीकों के मामले में, एक प्राकृतिक संख्या भी निर्दिष्ट की जाती है। औपचारिक भाषा की वर्णमाला में तार्किक स्थिरांक, समानता संबंध प्रतीक =, हस्ताक्षर से सभी प्रतीक, और प्रतीकों का एक अतिरिक्त अनंत सेट होता है जिसे चर के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, रिंग (गणित) की भाषा में, स्थिर प्रतीक 0 और 1, दो बाइनरी फ़ंक्शन प्रतीक + और · हैं, और कोई बाइनरी संबंध प्रतीक नहीं हैं। (यहां समानता संबंध को तार्किक स्थिरांक के रूप में लिया गया है।)

फिर से, हम प्रथम-क्रम भाषा एल को परिभाषित कर सकते हैं, जिसमें अलग-अलग प्रतीक ए, बी और सी शामिल हैं; प्रतीकों F, G, H, I और J को विधेय बनाएं; चर x, y, z; कोई फ़ंक्शन पत्र नहीं; कोई भावनात्मक प्रतीक नहीं.

प्रथम-क्रम तर्क के लिए औपचारिक भाषाएँ

एक हस्ताक्षर σ दिया गया है, संबंधित औपचारिक भाषा को σ-सूत्रों के सेट के रूप में जाना जाता है। प्रत्येक σ-सूत्र तार्किक संयोजकों के माध्यम से परमाणु सूत्रों से निर्मित होता है; परमाणु सूत्र विधेय प्रतीकों का उपयोग करके शब्दों से निर्मित होते हैं। σ-सूत्रों के सेट की औपचारिक परिभाषा दूसरी दिशा में आगे बढ़ती है: सबसे पहले, शब्दों को चर के साथ स्थिरांक और फ़ंक्शन प्रतीकों से इकट्ठा किया जाता है। फिर, हस्ताक्षर से एक विधेय प्रतीक (संबंध प्रतीक) या समानता के लिए विशेष विधेय प्रतीक = का उपयोग करके शब्दों को एक परमाणु सूत्र में जोड़ा जा सकता है (नीचे #समानता की व्याख्या|समानता की व्याख्या अनुभाग देखें)। अंत में, भाषा के सूत्रों को तार्किक संयोजकों और परिमाणकों का उपयोग करके परमाणु सूत्रों से इकट्ठा किया जाता है।

प्रथम-क्रम भाषा की व्याख्या

See also: Interpretation function

प्रथम-क्रम की भाषा के सभी वाक्यों का अर्थ बताने के लिए निम्नलिखित जानकारी की आवश्यकता होती है।

• प्रवचन का एक क्षेत्र डी, आमतौर पर गैर-रिक्त होना आवश्यक है (नीचे देखें)।
• प्रत्येक स्थिर प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में डी का एक तत्व।
• प्रत्येक एन-एरी फ़ंक्शन प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में डी से डी तक एक एन-एरी फ़ंक्शन (यानी, एक फ़ंक्शन डी)ⁿ → D).
• प्रत्येक एन-एरी विधेय प्रतीक के लिए, इसकी व्याख्या के रूप में डी पर एक एन-एरी संबंध (यानी, डी का एक उपसमूह)ⁿ).

इस जानकारी को रखने वाली वस्तु को एक संरचना (गणितीय तर्क) के रूप में जाना जाता है (of हस्ताक्षर σ), या σ-संरचना, या एल-संरचना (भाषा एल की), या एक मॉडल के रूप में।

व्याख्या में निर्दिष्ट जानकारी किसी भी परमाणु सूत्र को सत्य मान देने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान करती है, इसके प्रत्येक मुक्त चर, यदि कोई हो, को डोमेन के एक तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। एक मनमाना वाक्य का सत्य मूल्य तब टी-स्कीमा का उपयोग करके आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जाता है, जो अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा विकसित प्रथम-क्रम शब्दार्थ की परिभाषा है। जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, टी-स्कीमा सत्य तालिकाओं का उपयोग करके तार्किक संयोजकों की व्याख्या करता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, φ ∧ ψ तभी संतुष्ट होता है जब φ और ψ दोनों संतुष्ट होते हैं।

इससे यह मुद्दा छूट जाता है कि प्रपत्र के सूत्रों की व्याख्या कैसे की जाए ∀ x φ(x) और ∃ x φ(x). प्रवचन का क्षेत्र इन क्वांटिफायरों के लिए क्वांटिफायर (तर्क)#परिमाण की सीमा बनाता है। विचार यह है कि वाक्य ∀ x φ(x) एक व्याख्या के तहत बिल्कुल सही है जब φ(x) का प्रत्येक प्रतिस्थापन उदाहरण, जहां x को डोमेन के कुछ तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, संतुष्ट होता है। सूत्र ∃ x φ(x) संतुष्ट है यदि डोमेन का कम से कम एक तत्व d ऐसा है कि φ(d) संतुष्ट है।

कड़ाई से बोलते हुए, एक प्रतिस्थापन उदाहरण जैसे कि ऊपर उल्लिखित सूत्र φ(d) φ की मूल औपचारिक भाषा में एक सूत्र नहीं है, क्योंकि d डोमेन का एक तत्व है। इस तकनीकी समस्या से निपटने के दो तरीके हैं। सबसे पहले एक बड़ी भाषा में जाना है जिसमें डोमेन के प्रत्येक तत्व को एक स्थिर प्रतीक द्वारा नामित किया गया है। दूसरा, व्याख्या में एक फ़ंक्शन जोड़ना है जो प्रत्येक चर को डोमेन के एक तत्व को निर्दिष्ट करता है। फिर टी-स्कीमा प्रतिस्थापन उदाहरणों पर मात्रा निर्धारित करने के बजाय, मूल व्याख्या की विविधताओं को माप सकता है जिसमें इस चर असाइनमेंट फ़ंक्शन को बदल दिया जाता है।

कुछ लेखक प्रथम-क्रम तर्क में प्रस्तावात्मक चर को भी स्वीकार करते हैं, जिसकी बाद में व्याख्या भी की जानी चाहिए। एक प्रस्तावात्मक चर अपने आप में एक परमाणु सूत्र के रूप में खड़ा हो सकता है। एक प्रस्तावित चर की व्याख्या दो सत्य मूल्यों (सत्य और असत्य) में से एक है। क्योंकि यहां वर्णित प्रथम-क्रम की व्याख्याएं सेट सिद्धांत में परिभाषित की गई हैं, वे प्रत्येक विधेय प्रतीक को किसी संपत्ति के साथ नहीं जोड़ते हैं (या संबंध), बल्कि उस संपत्ति (या संबंध) के विस्तार के साथ। दूसरे शब्दों में, ये प्रथम-क्रम व्याख्याएँ विस्तारित परिभाषा हैं गहन परिभाषा नहीं.

प्रथम-क्रम व्याख्या का उदाहरण

व्याख्या का एक उदाहरण ${\mathcal {I}}$ ऊपर वर्णित भाषा L इस प्रकार है।

• डोमेन: एक शतरंज सेट
• व्यक्तिगत स्थिरांक: ए: सफेद राजा, बी: काली रानी, ​​सी: सफेद राजा का मोहरा
• F(x): x एक टुकड़ा है
• G(x): x एक मोहरा है
• H(x): x काला है
• I(x): x सफेद है
• J(x, y): x, y को कैप्चर कर सकता है

व्याख्या में ${\mathcal {I}}$ एल का:

• निम्नलिखित सत्य वाक्य हैं: एफ(ए), जी(सी), एच(बी), आई(ए), जे(बी, सी),
• निम्नलिखित गलत वाक्य हैं: जे(ए, सी), जी(ए)।

गैर-रिक्त डोमेन आवश्यकता

जैसा कि ऊपर कहा गया है, प्रवचन के क्षेत्र के रूप में एक गैर-रिक्त सेट को निर्दिष्ट करने के लिए आमतौर पर प्रथम-क्रम व्याख्या की आवश्यकता होती है। इस आवश्यकता का कारण यह सुनिश्चित करना है कि समतुल्यताएँ जैसे

$$(\phi \lor \exists x\psi )\leftrightarrow \exists x(\phi \lor \psi ),$$

जहां x φ का एक मुक्त चर नहीं है, तार्किक रूप से मान्य हैं। यह समतुल्यता गैर-रिक्त डोमेन के साथ प्रत्येक व्याख्या में लागू होती है, लेकिन खाली डोमेन की अनुमति होने पर यह हमेशा लागू नहीं होती है। उदाहरण के लिए, समतुल्यता

$$[\forall y(y=y)\lor \exists x(x=x)]\equiv \exists x[\forall y(y=y)\lor x=x]$$

खाली डोमेन के साथ किसी भी संरचना में विफल रहता है। इस प्रकार जब खाली संरचनाओं की अनुमति दी जाती है तो प्रथम-क्रम तर्क का प्रमाण सिद्धांत अधिक जटिल हो जाता है। हालाँकि, उन्हें अनुमति देने में लाभ नगण्य है, क्योंकि लोगों द्वारा अध्ययन किए गए सिद्धांतों की इच्छित व्याख्याओं और दिलचस्प व्याख्याओं दोनों में गैर-रिक्त डोमेन हैं। खाली संबंध प्रथम-क्रम व्याख्याओं के लिए कोई समस्या पैदा नहीं करते हैं, क्योंकि किसी संबंध प्रतीक को तार्किक संयोजक में पारित करने, प्रक्रिया में इसके दायरे को बढ़ाने की कोई समान धारणा नहीं है। इस प्रकार यह स्वीकार्य है कि संबंध प्रतीकों की व्याख्या समान रूप से गलत के रूप में की जाए। हालाँकि, किसी फ़ंक्शन प्रतीक की व्याख्या में हमेशा प्रतीक को एक अच्छी तरह से परिभाषित और संपूर्ण फ़ंक्शन निर्दिष्ट करना चाहिए।

समानता की व्याख्या

समानता संबंध को अक्सर प्रथम क्रम तर्क और अन्य विधेय तर्क में विशेष रूप से व्यवहार किया जाता है। दो सामान्य दृष्टिकोण हैं.

पहला दृष्टिकोण समानता को किसी भी अन्य द्विआधारी संबंध से अलग नहीं मानना ​​है। इस मामले में, यदि हस्ताक्षर में एक समानता प्रतीक शामिल है, तो आमतौर पर स्वयंसिद्ध प्रणालियों में समानता के बारे में विभिन्न सिद्धांतों को जोड़ना आवश्यक होता है (उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन सिद्धांत कहता है कि यदि ए = बी और आर (ए) रखता है तो आर (बी) ) भी धारण करता है)। समानता के लिए यह दृष्टिकोण उन हस्ताक्षरों का अध्ययन करते समय सबसे उपयोगी होता है जिनमें समानता संबंध शामिल नहीं होता है, जैसे सेट सिद्धांत के लिए हस्ताक्षर या दूसरे क्रम के अंकगणित के लिए हस्ताक्षर जिसमें केवल संख्याओं के लिए समानता संबंध होता है, लेकिन समानता संबंध नहीं होता है संख्याओं का सेट.

दूसरा दृष्टिकोण समानता संबंध प्रतीक को एक तार्किक स्थिरांक के रूप में मानना ​​है जिसे किसी भी व्याख्या में वास्तविक समानता संबंध द्वारा व्याख्या किया जाना चाहिए। एक व्याख्या जो इस तरह से समानता की व्याख्या करती है उसे एक सामान्य मॉडल के रूप में जाना जाता है, इसलिए यह दूसरा दृष्टिकोण केवल उन व्याख्याओं का अध्ययन करने के समान है जो सामान्य मॉडल होते हैं। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि समानता से संबंधित सिद्धांत प्रत्येक सामान्य मॉडल से स्वचालित रूप से संतुष्ट होते हैं, और इसलिए जब समानता को इस तरह से व्यवहार किया जाता है तो उन्हें प्रथम-क्रम सिद्धांतों में स्पष्ट रूप से शामिल करने की आवश्यकता नहीं होती है। इस दूसरे दृष्टिकोण को कभी-कभी समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क कहा जाता है, लेकिन कई लेखक बिना किसी टिप्पणी के प्रथम-क्रम तर्क के सामान्य अध्ययन के लिए इसे अपनाते हैं।

प्रथम-क्रम तर्क के अध्ययन को सामान्य मॉडलों तक सीमित रखने के कुछ अन्य कारण हैं। सबसे पहले, यह ज्ञात है कि कोई भी प्रथम-क्रम व्याख्या जिसमें समानता की व्याख्या एक तुल्यता संबंध द्वारा की जाती है और समानता के लिए प्रतिस्थापन सिद्धांतों को संतुष्ट करती है, उसे मूल डोमेन के उपसमूह पर प्राथमिक उप-संरचना व्याख्या में काटा जा सकता है। इस प्रकार गैर-सामान्य मॉडलों के अध्ययन में थोड़ी अतिरिक्त व्यापकता है। दूसरा, यदि गैर-सामान्य मॉडल पर विचार किया जाए, तो प्रत्येक सुसंगत सिद्धांत का एक अनंत मॉडल होता है; यह लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय जैसे परिणामों के बयानों को प्रभावित करता है, जो आमतौर पर इस धारणा के तहत कहा जाता है कि केवल सामान्य मॉडल पर विचार किया जाता है।

कई-क्रमबद्ध प्रथम-क्रम तर्क

प्रथम क्रम तर्क का सामान्यीकरण एक से अधिक प्रकार के चर वाली भाषाओं पर विचार करता है। विचार यह है कि विभिन्न प्रकार के चर विभिन्न प्रकार की वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। हर प्रकार के चर को परिमाणित किया जा सकता है; इस प्रकार एक बहु-क्रमबद्ध भाषा की व्याख्या में प्रत्येक प्रकार के चर के लिए एक अलग डोमेन होता है (प्रत्येक अलग-अलग प्रकार के चर का एक अनंत संग्रह होता है)। कार्य और संबंध प्रतीक, गुणधर्मों के अलावा, निर्दिष्ट किए गए हैं ताकि उनका प्रत्येक तर्क एक निश्चित प्रकार से आना चाहिए।

बहु-क्रमबद्ध तर्क का एक उदाहरण समतल यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए है. ये दो प्रकार के होते हैं; बिंदु और रेखाएँ. बिंदुओं के लिए एक समानता संबंध प्रतीक है, रेखाओं के लिए एक समानता संबंध प्रतीक है, और एक द्विआधारी घटना संबंध ई है जो एक बिंदु चर और एक रेखा चर लेता है। इस भाषा की इच्छित व्याख्या में यूक्लिडियन विमान पर सभी बिंदुओं पर बिंदु चर की सीमा होती है, विमान पर सभी रेखाओं पर रेखा चर की सीमा होती है, और घटना संबंध ई (पी, एल) तभी मान्य होता है जब बिंदु पी लाइन पर हो एल

उच्च-क्रम विधेय तर्क

उच्च-क्रम तर्क के लिए एक औपचारिक भाषा|उच्च-क्रम विधेय तर्क प्रथम-क्रम तर्क के लिए एक औपचारिक भाषा के समान ही दिखती है। अंतर यह है कि अब कई अलग-अलग प्रकार के चर हैं। कुछ चर डोमेन के तत्वों से मेल खाते हैं, जैसा कि प्रथम-क्रम तर्क में होता है। अन्य चर उच्च प्रकार की वस्तुओं के अनुरूप होते हैं: डोमेन के सबसेट, डोमेन से फ़ंक्शन, फ़ंक्शन जो डोमेन का सबसेट लेते हैं और डोमेन से डोमेन के सबसेट में फ़ंक्शन लौटाते हैं, आदि। इन सभी प्रकार के चर हो सकते हैं परिमाणित।

उच्च-क्रम तर्क के लिए आमतौर पर दो प्रकार की व्याख्याएँ नियोजित होती हैं। पूर्ण शब्दार्थ के लिए आवश्यक है कि, एक बार प्रवचन का क्षेत्र संतुष्ट हो जाए, तो उच्च-क्रम वाले चर सही प्रकार के सभी संभावित तत्वों (डोमेन के सभी उपसमूह, डोमेन से स्वयं तक के सभी कार्य, आदि) पर आधारित होते हैं। इस प्रकार पूर्ण व्याख्या की विशिष्टता प्रथम-क्रम व्याख्या की विशिष्टता के समान है। हेनकिन शब्दार्थ, जो अनिवार्य रूप से बहु-क्रमबद्ध प्रथम-क्रम शब्दार्थ हैं, प्रत्येक प्रकार के उच्च-क्रम चर के लिए एक अलग डोमेन निर्दिष्ट करने के लिए व्याख्या की आवश्यकता होती है। इस प्रकार हेनकिन सिमेंटिक्स में एक व्याख्या में एक डोमेन डी, डी के सबसेट का संग्रह, डी से डी तक कार्यों का संग्रह आदि शामिल है। इन दो सिमेंटिक्स के बीच संबंध उच्च क्रम तर्क में एक महत्वपूर्ण विषय है।

गैर-शास्त्रीय व्याख्याएँ

ऊपर वर्णित प्रस्तावात्मक तर्क और विधेय तर्क की व्याख्याएँ ही एकमात्र संभावित व्याख्याएँ नहीं हैं। विशेष रूप से, अन्य प्रकार की व्याख्याएं हैं जिनका उपयोग गैर-शास्त्रीय तर्क (जैसे अंतर्ज्ञानवादी तर्क) के अध्ययन में और मोडल लॉजिक के अध्ययन में किया जाता है।

गैर-शास्त्रीय तर्क का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली व्याख्याओं में टोपोलॉजिकल मॉडल, बूलियन-मूल्यवान मॉडल और क्रिप्के मॉडल शामिल हैं। क्रिपके मॉडल का उपयोग करके मोडल लॉजिक का भी अध्ययन किया जाता है।

इच्छित व्याख्याएँ

कई औपचारिक भाषाएँ एक विशेष व्याख्या से जुड़ी होती हैं जिसका उपयोग उन्हें प्रेरित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, सेट सिद्धांत के लिए प्रथम-क्रम हस्ताक्षर में केवल एक बाइनरी संबंध शामिल है, ∈, जिसका उद्देश्य सेट सदस्यता का प्रतिनिधित्व करना है, और प्राकृतिक संख्याओं के प्रथम-क्रम सिद्धांत में प्रवचन का क्षेत्र प्राकृतिक का सेट होना है नंबर.

इच्छित व्याख्या को मानक मॉडल (1960 में अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा प्रस्तुत एक शब्द) कहा जाता है। पीनो अंकगणित के संदर्भ में, इसमें प्राकृतिक संख्याएँ उनके सामान्य अंकगणितीय संक्रियाओं के साथ शामिल होती हैं। सभी मॉडल जो अभी दिए गए मॉडल के समरूपी हैं उन्हें मानक भी कहा जाता है; ये सभी मॉडल पीनो सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं। पीनो अभिगृहीत#गैरमानक मॉडल|पीनो एक्सिओम्स के (प्रथम-क्रम संस्करण) गैर-मानक मॉडल भी हैं, जिनमें ऐसे तत्व शामिल हैं जो किसी भी प्राकृतिक संख्या से संबंधित नहीं हैं।

जबकि इच्छित व्याख्या का कड़ाई से औपचारिक निगमन प्रणाली में कोई स्पष्ट संकेत नहीं हो सकता है, यह स्वाभाविक रूप से औपचारिक व्याकरण और वाक्य-विन्यास प्रणाली के परिवर्तन नियमों की पसंद को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, आदिम धारणा को मॉडलिंग की जाने वाली अवधारणाओं की अभिव्यक्ति की अनुमति देनी चाहिए; वाक्यात्मक सूत्र इसलिए चुने जाते हैं ताकि इच्छित व्याख्या में उनके समकक्ष अर्थ (भाषाविज्ञान) घोषणात्मक वाक्य हों; व्याख्या में स्वयंसिद्ध को सत्य वाक्य (गणितीय तर्क) के रूप में सामने आने की आवश्यकता है; अनुमान के नियम ऐसे होने चाहिए, यदि वाक्य ${\mathcal {I}}_{j}$ एक वाक्य से सीधे तौर पर औपचारिक प्रमाण है ${\mathcal {I}}_{i}$, तब ${\mathcal {I}}_{i}\to {\mathcal {I}}_{j}$ के साथ एक सच्चा वाक्य बन जाता है $\to$ अर्थ सामग्री सशर्त, हमेशा की तरह। ये आवश्यकताएँ सुनिश्चित करती हैं कि सभी औपचारिक प्रमाण वाक्य भी सत्य हों। अधिकांश औपचारिक प्रणालियों में उनकी अपेक्षा से कहीं अधिक मॉडल होते हैं (गैर-मानक मॉडल का अस्तित्व एक उदाहरण है)। जब हम अनुभवजन्य विज्ञान में 'मॉडल' के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब है, अगर हम चाहते हैं कि वास्तविकता हमारे विज्ञान का एक मॉडल हो, तो एक इच्छित मॉडल के बारे में बात करें। अनुभवजन्य विज्ञान में एक मॉडल एक इच्छित तथ्यात्मक-सच्ची वर्णनात्मक व्याख्या है (या अन्य संदर्भों में: एक गैर-इच्छित मनमानी व्याख्या जिसका उपयोग ऐसी इच्छित तथ्यात्मक-सच्ची वर्णनात्मक व्याख्या को स्पष्ट करने के लिए किया जाता है।) सभी मॉडल ऐसी व्याख्याएं हैं जिनमें प्रवचन का एक ही डोमेन होता है। इच्छित एक के रूप में, लेकिन गैर-तार्किक स्थिरांक के लिए अन्य मूल्य असाइनमेंट।

उदाहरण

एक सरल औपचारिक प्रणाली को देखते हुए (हम इसे एक कहेंगे ${\mathcal {FS'}}$) जिसके वर्णमाला α में केवल तीन प्रतीक हैं $\{\blacksquare ,\bigstar ,\blacklozenge \}$ और सूत्रों के लिए किसका गठन नियम है:

'प्रतीकों की कोई भी स्ट्रिंग ${\mathcal {FS'}}$ जो कम से कम 6 प्रतीक लंबा है, और जो अनंत रूप से लंबा नहीं है, का एक सूत्र है ${\mathcal {FS'}}$. और कुछ का सूत्र नहीं है ${\mathcal {FS'}}$.'

की एकल स्वयंसिद्ध स्कीमा ${\mathcal {FS'}}$ है:

$\blacksquare \ \bigstar \ast \blacklozenge \ \blacksquare \ast$ (कहाँ $\ast$ एक मेटासिन्टैक्टिक वैरिएबल है जो एक परिमित स्ट्रिंग का प्रतिनिधित्व करता है $\blacksquare$ एस )

एक औपचारिक प्रमाण इस प्रकार बनाया जा सकता है:

1. $\blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare$
2. $\blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare$
3. $\blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare$

इस उदाहरण में प्रमेय का निर्माण हुआ $\blacksquare \ \bigstar \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacklozenge \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare \ \blacksquare$ इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि एक और तीन का अर्थ चार होता है। एक अलग व्याख्या यह होगी कि इसे पीछे की ओर पढ़ें क्योंकि चार घटा तीन एक के बराबर है।

व्याख्या की अन्य अवधारणाएँ

व्याख्या शब्द के अन्य उपयोग भी हैं जो आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं, जो औपचारिक भाषाओं को अर्थ देने का उल्लेख नहीं करते हैं।

मॉडल सिद्धांत में, एक संरचना ए को एक संरचना बी की व्याख्या करने के लिए कहा जाता है यदि ए का एक निश्चित उपसमुच्चय डी है, और डी पर निश्चित संबंध और कार्य हैं, जैसे कि बी डोमेन डी और इन कार्यों और संबंधों के साथ संरचना के लिए आइसोमोर्फिक है। कुछ सेटिंग्स में, डोमेन डी का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि डी मोडुलो ए में परिभाषित एक समतुल्य संबंध है। अतिरिक्त जानकारी के लिए, व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) देखें।

एक सिद्धांत T को दूसरे सिद्धांत S की व्याख्या करने के लिए कहा जाता है यदि T की परिभाषाओं T' द्वारा एक सीमित विस्तार है जैसे कि S, T' में समाहित है।

यह भी देखें

• संकल्पनात्मक निदर्श
• मुक्त चर और बाध्य चर और नाम बंधन
• औपचारिक शब्दार्थ (प्राकृतिक भाषा)
• हरब्रांड व्याख्या
• व्याख्या (मॉडल सिद्धांत)
• तार्किक प्रणाली
• लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
• मॉडल तर्क
• मॉडल सिद्धांत
• संतोषजनक
• सच

बाहरी संबंध

• Stanford Enc. Phil: Classical Logic, 4. Semantics
• mathworld.wolfram.com: FormalLanguage
• mathworld.wolfram.com: Connective
• mathworld.wolfram.com: Interpretation
• mathworld.wolfram.com: Propositional Calculus
• mathworld.wolfram.com: First Order Logic