रचनात्मक सेट सिद्धांत

रचनात्मक सेट सिद्धांत स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के कार्यक्रम के बाद रचनावाद (गणित) के लिए एक दृष्टिकोण है। वही प्रथम-क्रम तर्क | प्रथम-क्रम भाषा के साथ$=$और$\in$शास्त्रीय सेट सिद्धांत का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, इसलिए इसे रचनात्मक प्रकार के सिद्धांत के दृष्टिकोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए। दूसरी ओर, कुछ रचनात्मक सिद्धांत वास्तव में टाइप थ्योरी में उनकी व्याख्या से प्रेरित हैं।

बहिष्कृत मध्य के सिद्धांत को अस्वीकार करने के अलावा (${\mathrm {PEM} }$), रचनात्मक सेट सिद्धांतों को अक्सर अपने स्वयंसिद्धों में कुछ तार्किक क्वांटिफायर की आवश्यकता होती है, जो सेट थ्योरी में बाउंडेड क्वांटिफायर # बाउंडेड क्वांटिफायर होते हैं, जो कि अनिश्चितता से बंधे परिणामों से प्रेरित होते हैं।

परिचय

रचनात्मक दृष्टिकोण

अंतर्ज्ञानवादी तर्क का प्रयोग

यहां चर्चा किए गए सेट सिद्धांतों का तर्क रचनात्मक तर्क है जिसमें यह अस्वीकार करता है ${\mathrm {PEM} }$, यानी कि संयोजन $\phi \lor \neg \phi$ स्वचालित रूप से सभी प्रस्तावों के लिए धारण करता है। एक नियम के रूप में, एक प्रस्ताव के लिए बहिष्कृत मध्य सिद्ध करने के लिए $P$, यानी विशेष संयोजन साबित करने के लिए $P\lor \neg P$, या $P$ या $\neg P$ स्पष्ट रूप से सिद्ध करने की आवश्यकता है। जब कोई भी ऐसा प्रमाण स्थापित हो जाता है, तो कोई कहता है कि प्रस्ताव निर्णायक है, और तब तार्किक रूप से इसका अर्थ है कि वियोग धारण करता है। इसी प्रकार, एक विधेय $Q(x)$ एक डोमेन पर $X$ अधिक जटिल बयान जब निर्णायक होने के लिए कहा जाता है $\forall (x\in X).{\big (}Q(x)\lor \neg Q(x){\big )}$ साध्य है। गैर-रचनात्मक सिद्धांत उन सबूतों को सक्षम कर सकते हैं जो औपचारिक रूप से ऐसा तय करते हैं $P$ (और/या $Q$) इस अर्थ में कि वे मध्य के लिए बहिष्कृत साबित होते हैं $P$ (उत्तर उपरोक्त क्वांटिफायर का उपयोग करते हुए बयान) किसी भी असंगतता की सच्चाई का प्रदर्शन किए बिना, जैसा कि शास्त्रीय तर्क में अक्सर होता है। इसके विपरीत, रचनात्मक सिद्धांत गुणों के कई शास्त्रीय प्रमाणों की अनुमति नहीं देते हैं जो सिद्ध रूप से कम्प्यूटेशनल रूप से अनिर्णीत समस्या हैं। इसी तरह, एक प्रति-उदाहरण अस्तित्व का दावा $\exists (x\in X).\neg R(x)$ आमतौर पर अस्वीकृति के दावे की तुलना में रचनात्मक रूप से अधिक मजबूत होता है $\neg \forall (x\in X).R(x)$.

अधिक रूढ़िवादी न्यूनतम तर्क के विपरीत, यहां चर्चा किए गए सेट सिद्धांतों के अंतर्निहित अंतर्ज्ञानवादी तर्क , अभी भी व्यक्तिगत प्रस्तावों के लिए दोहरे निषेध को समाप्त करने की अनुमति देता है, जिसके लिए मध्य धारण को छोड़ दिया जाता है, और बदले में परिमित वस्तुओं के बारे में प्रमेय सूत्रीकरण उनके शास्त्रीय समकक्षों से भिन्न नहीं होते हैं। सभी संख्याओं के एक मॉडल को देखते हुए, विधेय के समतुल्य, अर्थात् मार्कोव का सिद्धांत, स्वचालित रूप से धारण नहीं करता है, लेकिन इसे एक अतिरिक्त सिद्धांत के रूप में माना जा सकता है।

के लिए उदाहरण व्यक्त करना $\neg P$ गैर-विरोधाभास के वैध कानून और वैध डी मॉर्गन के कानून का उपयोग करके, पहले से ही न्यूनतम तर्क सिद्ध होता है $\neg \neg (P\lor \neg P)$ किसी दिए गए प्रस्ताव के लिए $P$. तो शब्दों में, अंतर्ज्ञानवादी तर्क अभी भी प्रस्तुत करता है: एक प्रस्ताव को रद्द करना और उसकी अस्वीकृति दोनों को एक साथ खारिज करना असंभव है, और इस प्रकार एक व्यक्तिगत प्रस्ताव के लिए किसी भी तात्कालिक बहिष्कृत मध्य कथन की अस्वीकृति असंगत है। अधिक आम तौर पर, रचनात्मक गणितीय सिद्धांत शास्त्रीय प्रमेयों के दोहरे-निषेध अनुवाद को सिद्ध करते हैं। उदाहरण के लिए, रचनात्मक विश्लेषण में, कोई अपनी पाठ्यपुस्तक के निर्माण में मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय को सिद्ध नहीं कर सकता है, लेकिन एल्गोरिथम सामग्री के साथ प्रमेयों को सिद्ध कर सकता है, जैसे ही दोहरे निषेध उन्मूलन और इसके परिणामों को कानूनी मान लिया जाता है, शास्त्रीय रूप से शास्त्रीय समकक्ष बयान। अंतर यह है कि रचनात्मक प्रमाणों को खोजना कठिन है।

लगाए गए प्रतिबंध

अस्तित्व apriori के रचनात्मक पढ़ने के लिए एक प्रतिबंध कठोर आवश्यकताओं की ओर जाता है जिसके बारे में एक सेट की विशेषता है $f\subset X\times Y$ असीमित संग्रह शामिल करना एक (गणितीय, और इसलिए हमेशा आंशिक कार्य लागू करना) कार्य करता है। ऐसा अक्सर इसलिए होता है क्योंकि केस-वार परिभाषा में विधेय निर्णायक नहीं हो सकता है। शास्त्रीय समकक्ष की तुलना में, आमतौर पर उन संबंधों के अस्तित्व को साबित करने की संभावना कम होती है जिन्हें महसूस नहीं किया जा सकता है। विस्तार के माध्यम से सेट समानता की मानक परिभाषा को अपनाना, पसंद का पूर्ण स्वयंसिद्ध एक ऐसा गैर-रचनात्मक सिद्धांत है जिसका अर्थ है ${\mathrm {PEM} }$ Diaconescu के प्रमेय द्वारा किसी की अपनाई गई पृथक्करण स्कीमा में अनुमत फ़ार्मुलों के लिए। इसी तरह के परिणाम अपने मानक रूप में नियमितता के स्वयंसिद्ध के लिए मान्य हैं, जैसा कि नीचे दिखाया गया है। तो बहुत कम से कम, रचनात्मक सेट सिद्धांत के विकास के लिए मजबूत विकल्प सिद्धांतों को अस्वीकार करने और कुछ मानक स्वयंसिद्धों को शास्त्रीय रूप से समकक्ष करने की आवश्यकता है। वियोजनों की अनिर्वचनीयता भी कुल आदेशों के बारे में दावों को प्रभावित करती है जैसे कि सभी क्रमवाचक संख्याएँ, जो वियोग को परिभाषित करने वाले क्रम में उपवाक्य की उपयोगिता और अस्वीकृति द्वारा व्यक्त की जाती हैं। $(\alpha \in \beta )\lor (\alpha =\beta )\lor (\beta \in \alpha )$. यह निर्धारित करता है कि संबंध ट्राइकोटॉमी का कानून है या नहीं। और यह बदले में क्रमिक विश्लेषण में परिभाषित प्रमाण सिद्धांत शक्ति को प्रभावित करता है।

मेटालॉजिक

जैसा कि रचनात्मक अंकगणितीय सिद्धांतों के अध्ययन में, रचनात्मक सेट सिद्धांत आकर्षक संयोजन और अस्तित्व गुण प्रदर्शित कर सकते हैं। ये एक निश्चित सिद्धांत की विशेषताएं हैं जो धातु संबंधी निर्णयों और सिद्धांत में सिद्ध होने वाले प्रस्तावों से संबंधित हैं। विशेष रूप से अच्छी तरह से अध्ययन की जाने वाली ऐसी विशेषताएं हैं जिन्हें हेटिंग अंकगणित में व्यक्त किया जा सकता है, संख्याओं पर क्वांटिफायर के साथ और जो सबूत सिद्धांत में औपचारिक रूप से अंकों द्वारा वास्तविकता हो सकती है। विशेष रूप से, वे संख्यात्मक अस्तित्व संपत्ति और निकटता से संबंधित वियोगात्मक संपत्ति हैं, साथ ही साथ चर्च की थीसिस (रचनात्मक गणित) के तहत बंद हैं।

समुच्चय सिद्धांत न केवल संख्याओं के बारे में प्रमेयों को व्यक्त करता है। इसके अलावा, एक अधिक सामान्य मजबूत अस्तित्व संपत्ति पर विचार किया जा सकता है जो कि आने के लिए कठिन है, जैसा कि चर्चा की जाएगी। सिद्धांत में संपत्ति है अगर निम्नलिखित स्थापित किया जा सकता है: किसी भी संपत्ति के लिए $\phi$, अगर सिद्धांत यह साबित करता है कि एक सेट मौजूद है जिसमें वह संपत्ति है, यानी अगर सिद्धांत अस्तित्व के बयान का दावा करता है, तो एक संपत्ति भी है $\psi$ अद्वितीयता परिमाणीकरण इस तरह के एक सेट उदाहरण का वर्णन करता है। अधिक औपचारिक रूप से, किसी भी विधेय के लिए $\phi$ एक विधेय है $\psi$ ताकि

${\mathsf {T}}\vdash \exists x.\phi (x)\implies {\mathsf {T}}\vdash \exists !x.\phi (x)\land \psi (x)$

वास्तविक अंक की समान भूमिका सिद्धांत के अनुसार मौजूद परिभाषित सेटों द्वारा निभाई जाती है, और इसलिए यह शब्द निर्माण और सिद्धांतों की ताकत से संबंधित एक सूक्ष्म प्रश्न है। जबकि चर्चा किए गए कई सिद्धांतों में सभी विभिन्न संख्यात्मक गुण होते हैं, अस्तित्व संपत्ति आसानी से खराब हो सकती है, जैसा कि चर्चा की जाएगी। अस्तित्व गुणों के कमजोर रूप तैयार किए गए हैं।

कुछ शास्त्रीय सिद्धांत वास्तव में मजबूत अस्तित्व संपत्ति को प्रदर्शित करने के लिए भी विवश हो सकते हैं। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत ${\mathsf {ZF}}$ रचनात्मक ब्रह्मांड अभिधारणा के साथ, ${\mathsf {ZF}}+({\mathrm {V} }={\mathrm {L} })$, या ${\mathsf {ZF}}$ सेट के साथ सभी को साधारण निश्चित सेट माना जाता है | क्रमिक-परिभाषा योग्य, ${\mathsf {ZF}}+({\mathrm {V} }={\mathrm {OD} })$, अस्तित्व संपत्ति है। इसके विपरीत, सिद्धांत पर विचार करें ${\mathsf {ZFC}}$ के द्वारा दिया गया ${\mathsf {ZF}}$ साथ ही चुनाव अस्तित्व अभिधारणा का पूर्ण स्वयंसिद्ध। याद करें कि अभिगृहीतों के इस समुच्चय का तात्पर्य सुक्रम प्रमेय से है, जिसका विशेष रूप से अर्थ है कि के लिए संबंध ${\mathbb {R} }$ जो इसकी सुव्यवस्थितता स्थापित करते हैं, औपचारिक रूप से अस्तित्व में साबित होते हैं (और सभी उपसमुच्चय के लिए कम से कम तत्व के अस्तित्व का दावा करते हैं ${\mathbb {R} }$ उन संबंधों के संबंध में)। यह इस तथ्य के बावजूद है कि इस तरह के आदेश की निश्चितता ZFC से स्वतंत्र होने वाले बयानों की सूची है (गणितीय तर्क) ${\mathsf {ZFC}}$. उत्तरार्द्ध का तात्पर्य है कि किसी विशेष सूत्र के लिए नहीं $\psi$ सिद्धांत की भाषा में सिद्धांत यह साबित करता है कि संबंधित सेट वास्तविकताओं का एक सुव्यवस्थित संबंध है। इसलिए ${\mathsf {ZFC}}$ औपचारिक रूप से एक उपसमुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध करता है $x\subset {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }$ एक सुव्यवस्थित संबंध होने की संपत्ति के साथ, लेकिन एक ही समय में कोई विशेष सेट नहीं $x$ जिसके लिए संपत्ति को मान्य किया जा सकता है संभवतः परिभाषित किया जा सकता है।

शास्त्रीय विरोधी सिद्धांत

आमतौर पर अध्ययन की जाने वाली स्थिति एक निश्चित सिद्धांत की होती है ${\mathsf {T}}$ निम्नलिखित मेटा-सैद्धांतिक संपत्ति का प्रदर्शन: सूत्रों के कुछ संग्रह से उदाहरण के लिए, यहां के माध्यम से कब्जा कर लिया गया $\phi$ और $\psi$, एक ने अंक स्थिरांक के अस्तित्व को स्थापित किया $e$ ताकि ${\mathsf {T}}\vdash \phi \implies {\mathsf {T}}\vdash \psi (e)$. इस तरह के एक स्कीमा को एक अनुमान नियम के रूप में अपनाने पर और कुछ भी नया साबित नहीं किया जा सकता है, एक सिद्धांत कहता है ${\mathsf {T}}$ उस नियम के तहत बंद है। आसन्न बहिष्कृत मध्य ${\mathrm {PEM} }$ को ${\mathsf {T}}$, नया सिद्धांत तब के लिए नए, सख्ती से शास्त्रीय कथन साबित कर सकता है $\phi$ और यह मेटा-सैद्धांतिक संपत्ति को खराब कर सकता है जिसे पहले स्थापित किया गया था ${\mathsf {T}}$. इसके बजाय मेटा-सैद्धांतिक संपत्ति के अनुरूप नियम को एक निहितार्थ के रूप में माना जा सकता है ${\mathsf {T}}$, एक स्वयंसिद्ध स्कीमा के रूप में या मात्रात्मक रूप में। कहने का मतलब यह है कि किसी भी तरह का अनुमान लगाना $\phi$ तात्पर्य $\exists (e\in {\mathbb {N} })$ ऐसा है कि $\psi (e)$ रखता है, जहां बाध्य है $e$ सिद्धांत की भाषा में एक संख्या चर है। जोड़े गए सिद्धांत के साथ नया सिद्धांत शास्त्रीय विरोधी हो सकता है, जिसमें यह भी अपनाने के लिए संगत नहीं हो सकता है ${\mathrm {PEM} }$. उदाहरण के लिए, हेटिंग अंकगणित में चर्च का नियम एक स्वीकार्य नियम है ${\mathsf {HA}}$ और चर्च की थीसिस (रचनात्मक गणित) | इसी चर्च के थीसिस सिद्धांत को अपनाया जा सकता है, लेकिन यह संभव नहीं है ${\mathsf {HA}}+{\mathrm {PEM} }$, जिसे पीनो अंकगणित के रूप में भी जाना जाता है ${\mathsf {PA}}$.

अब एक अनंत अनुक्रम स्थान, यानी फ़ंक्शन रिक्त स्थान की पूरी तरह से औपचारिक धारणा पर परिमाण के साथ सेट सिद्धांतों के संदर्भ के लिए, जैसा कि नीचे परिभाषित किया जाएगा। चर्च के नियम का सिद्धांत की भाषा में अनुवाद तब ही पढ़ा जा सकता है

$\forall (f\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }).\exists (e\in {\mathbb {N} }).{\Big (}\forall (n\in {\mathbb {N} }).\exists (w\in {\mathbb {N} }).T(e,n,w)\land U(w,f(n)){\Big )}$

परिणाम निष्कर्षण के साथ क्लेन का टी विधेय किसी भी इनपुट संख्या को व्यक्त करता है $n$ नंबर पर मैप किया जा रहा है $f(n)$ के माध्यम से है $w$, एक संगणनीय मानचित्रण के रूप में देखा गया। यहां ${\mathbb {N} }$ अब मानक प्राकृतिक संख्याओं के सेट थ्योरी मॉडल को दर्शाता है और $e$ एक निश्चित कार्यक्रम गणना के संबंध में एक सूचकांक है। मजबूत रूपों का उपयोग किया गया है, जो इस सिद्धांत को कार्यों तक विस्तारित करते हैं $f\in {\mathbb {N} }^{X}$ डोमेन पर परिभाषित $X\subset {\mathbb {N} }$ कम जटिलता का। सिद्धांत विधेय के लिए निर्णायकता को अस्वीकार करता है $Q(e)$ के रूप में परिभाषित $\exists (w\in {\mathbb {N} }).T(e,e,w)$, व्यक्त करते हुए $e$ एक संगणनीय फलन की अनुक्रमणिका है अपनी स्वयं की अनुक्रमणिका पर हॉल्टिंग समस्या। सिद्धांत के कमजोर, दोहरे अस्वीकृत रूपों पर भी विचार किया जा सकता है, जिन्हें प्रत्येक के लिए एक पुनरावर्ती कार्यान्वयन के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है $f$, लेकिन जो अभी भी सिद्धांतों को असंगत बनाते हैं जो ऐसे कार्यों के अस्तित्व का दावा करते हैं जिनमें सिद्ध रूप से कोई पुनरावर्ती प्राप्ति नहीं है। सिद्धांत के रूप में चर्च की थीसिस के कुछ रूप उल्टे गणित के अनुरूप भी हैं ${\mathsf {RCA}}_{0}$.

कुल, संगणनीय कार्यों का संग्रह शास्त्रीय रूप से उपगणनीय है, जो शास्त्रीय रूप से गणनीय होने के समान है। लेकिन शास्त्रीय सेट सिद्धांत आम तौर पर इसका दावा करेंगे ${\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }$ संगणनीय के अलावा अन्य कार्य भी करता है। उदाहरण के लिए में एक सबूत है ${\mathsf {ZF}}$ कुल कार्य मौजूद हैं जिन्हें ट्यूरिंग मशीन द्वारा कैप्चर नहीं किया जा सकता है। संगणनीय दुनिया को ऑन्कोलॉजी के रूप में गंभीरता से लेते हुए, मार्कोवियन स्कूल से संबंधित एक विरोधी-शास्त्रीय अवधारणा का एक प्रमुख उदाहरण विभिन्न बेशुमार संग्रहों की अनुमत उपगणनीयता है। प्राकृतिक संख्याओं के सभी अंतहीन अनुक्रमों के संग्रह की उपगणनीयता को अपनाना (${\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }$) एक स्वयंसिद्ध के रूप में, एक सेट सिद्धांत के कुछ अहसासों में इस संग्रह की लघुता (शास्त्रीय शब्दों में) पहले से ही उस सिद्धांत द्वारा कब्जा कर ली गई है। एक रचनात्मक सिद्धांत न तो शास्त्रीय और न ही शास्त्रीय-विरोधी स्वयंसिद्धों को अपना सकता है और इसलिए किसी भी संभावना के प्रति अज्ञेय बना रहता है।

रचनात्मक सिद्धांत पहले से ही साबित होते हैं $\forall (x\in X).\neg \neg {\big (}Q(x)\lor \neg Q(x){\big )}$ और इसलिए किसी दिए गए तत्व के लिए $x$ का $X$, प्रस्ताव के लिए संबंधित बहिष्कृत मध्य कथन को नकारा नहीं जा सकता। दरअसल, किसी दिए गए के लिए $x$, गैर-विरोधाभास से इंकार करना असंभव है $Q(x)$ और इसके नकार दोनों को एक ही बार में समाप्त कर दें। लेकिन एक सिद्धांत कुछ मामलों में अस्वीकृति के दावे की अनुमति भी दे सकता है $\neg \forall (x\in X).{\big (}Q(x)\lor \neg Q(x){\big )}$. इसे अपनाने के लिए कोई विशेष प्रदान करने की आवश्यकता नहीं है $t\in X$ विशेष प्रस्ताव के लिए बहिष्कृत मध्य की विफलता का गवाह $Q(t)$, अर्थात असंगत साक्षी होना $\neg {\big (}Q(t)\lor \neg Q(t){\big )}$. कोई किसी विधेय की निर्णायकता की संभावना को अस्वीकार कर सकता है $Q(x)$ अनंत डोमेन पर $X$ अस्तित्व का दावा किए बिना $X$. एक अन्य उदाहरण के रूप में, ऐसी स्थिति को L. E. J. Brouwer अंतर्ज्ञानवादी विश्लेषण में लागू किया जाता है, ऐसे मामले में जहां क्वांटिफायर असीम रूप से कई पसंद का क्रम पर होता है और $Q(x)$ बताता है कि एक क्रम $x$ हर जगह शून्य है। इस संपत्ति के संबंध में, ब्रोवर के निरंतरता सिद्धांत को अपनाते हुए निर्णायक रूप से अनुक्रम के रूप में पहचाना जा रहा है, जो हमेशा के लिए स्थिर है, यह नियम बताता है कि यह सभी अनुक्रमों के लिए निर्णायक साबित हो सकता है।

तो एक तथाकथित गैर-शास्त्रीय तर्क के साथ एक रचनात्मक संदर्भ में, जैसा कि यहां इस्तेमाल किया गया है, कोई भी लगातार सिद्धांतों को अपना सकता है जो दोनों बहिष्कृत मध्य के मात्रात्मक रूपों के विरोधाभासी हैं, लेकिन गणना योग्य अर्थ में गैर-रचनात्मक भी हैं या मेटा- तार्किक अस्तित्व गुणों पर पहले चर्चा की गई। इस तरह, एक रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत भी गैर-शास्त्रीय सिद्धांतों का अध्ययन करने के लिए रूपरेखा प्रदान कर सकता है।

इतिहास और सिंहावलोकन

ऐतिहासिक रूप से, रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत का विषय (अक्सर भी${\mathsf {CST}}$) जॉन मायहिल के सिद्धांतों पर काम के साथ शुरू हुआ जिसे भी कहा जाता है ${\mathsf {IZF}}$ और ${\mathsf {CST}}$. 1973 में, उन्होंने पूर्व को अंतर्ज्ञानवादी तर्क के आधार पर प्रथम-क्रम सेट सिद्धांत के रूप में प्रस्तावित किया था, जो कि सबसे सामान्य आधार था। ${\mathsf {ZFC}}$ और पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ-साथ बहिष्कृत मध्य के सिद्धांत को फेंक देते हैं, शुरू में बाकी सब कुछ छोड़ देते हैं। हालाँकि, कुछ के विभिन्न रूप ${\mathsf {ZFC}}$ सिद्धांत जो शास्त्रीय सेटिंग में समतुल्य हैं रचनात्मक सेटिंग में असमान हैं, और कुछ रूपों का अर्थ है ${\mathrm {PEM} }$, जैसा दिखाया जाएगा। उन मामलों में, सहज रूप से कमजोर योगों को अपनाया गया। कहीं अधिक रूढ़िवादी प्रणाली ${\mathsf {CST}}$ एक प्रथम-क्रम का सिद्धांत भी है, लेकिन कई प्रकार और परिबद्ध मात्रा का ठहराव है, जिसका उद्देश्य बिशप बचाओ के रचनात्मक गणित के कार्यक्रम के लिए एक औपचारिक आधार प्रदान करना है।

मुख्य चर्चा सिद्धांतों के अनुक्रम को उसी भाषा में प्रस्तुत करती है जैसे ${\mathsf {ZF}}$, जिसके कारण पीटर एक्ज़ेल ने अच्छी तरह से अध्ययन किया${\mathsf {CZF}}$, और इसके बाद में। कई आधुनिक परिणाम राथजेन और उनके छात्रों के बारे में बताते हैं। ${\mathsf {CZF}}$ माईहिल के सिद्धांत में मौजूद दो विशेषताओं की भी विशेषता है: एक ओर, यह पूर्ण, अबाधित पृथक्करण स्कीमा के बजाय विधेय पृथक्करण के स्वयंसिद्ध स्कीमा का उपयोग कर रहा है, लेवी पदानुक्रम भी देखें। सीमाबद्धता को एक वाक्यात्मक संपत्ति के रूप में नियंत्रित किया जा सकता है या, वैकल्पिक रूप से, सिद्धांतों को रूढ़िवादी रूप से एक उच्च सीमाबद्धता विधेय और इसके स्वयंसिद्धों के साथ विस्तारित किया जा सकता है। दूसरे, आम तौर पर संबंधित लेकिन कमजोर स्वयंसिद्धों के पक्ष में, अप्रतिबंधित पावरसेट स्वयंसिद्ध को त्याग दिया जाता है। शास्त्रीय गणित सामान्य टोपोलॉजी में मजबूत रूप का उपयोग बहुत आकस्मिक रूप से किया जाता है। जोड़ा जा रहा है ${\mathrm {PEM} }$ एक सिद्धांत से भी कमजोर ${\mathsf {CZF}}$ ठीक हो जाए ${\mathsf {ZF}}$, जैसा नीचे विस्तृत रूप में दिया गया है। प्रणाली, जिसे अंतर्ज्ञानवादी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के रूप में जाना जाता है (${\mathsf {IZF}}$), बिना एक मजबूत सेट सिद्धांत है ${\mathrm {PEM} }$. यह समान है ${\mathsf {CZF}}$, लेकिन कम रूढ़िवादी या अव्यावहारिकता। सिद्धांत को निरूपित किया ${\mathsf {IKP}}$ का रचनात्मक संस्करण है ${\mathsf {KP}}$, क्लासिकल क्रिप्के-प्लेटेक सेट सिद्धांत बिना किसी प्रकार के पावरसेट के और जहां संग्रह का एक्सिओम भी सीमित है।

मॉडल

जहाँ तक रचनात्मक अहसासों की बात है तो एक प्रासंगिक वास्तविकता सिद्धांत है। संबंधित रूप से, एक्सेल का सिद्धांत रचनात्मक ज़र्मेलो-फ्रेंकेल ${\mathsf {CZF}}$ एक अंतर्ज्ञानवादी प्रकार के सिद्धांत में व्याख्या की गई है। मार्टिन-लोफ प्रकार के सिद्धांत, जैसा कि नीचे वर्णित है। इस तरह, सेट थ्योरी प्रमेय में सिद्ध होता है ${\mathsf {CZF}}$ और कमजोर सिद्धांत कंप्यूटर प्राप्ति के लिए उम्मीदवार हैं।

अनंत समुच्चयों के बिना एक निर्धारित सिद्धांत संदर्भ के लिए, रचनात्मक प्रथम-क्रम अंकगणित को भी अधिकांश स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के लिए क्षमा याचना के रूप में लिया जा सकता है। ${\mathsf {CZF}}$: अंकगणितीय सिद्धांत ${\mathsf {HA}}$ is Interpretation_(model_theory)#Bi-interpretability|bi-interpretable एक कमजोर रचनात्मक सेट सिद्धांत के साथ, जैसा कि हेटिंग अंकगणित पर लेख में वर्णित है। कोई सदस्यता संबंध को अंकगणित रूप से चिह्नित कर सकता है$\in$और इसके साथ साबित करें - प्राकृतिक संख्याओं के एक सेट के अस्तित्व के बजाय $\omega$ - कि इसके सिद्धांत में सभी समुच्चय प्राकृतिक संख्याओं की एक (परिमित) समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषा के साथ आक्षेप में हैं, एक सिद्धांत निरूपित ${\mathrm {V} }={\mathrm {Fin} }$. यह संदर्भ विस्तारशीलता, युग्मन, संघ, बाइनरी इंटरसेक्शन (जो भविष्यवाणिय पृथक्करण के स्वयंसिद्ध स्कीमा से संबंधित है) और एप्सिलॉन-प्रेरण को मान्य करता है। स्वयंसिद्ध के रूप में लिया गया, उपरोक्त सिद्धांत एक सेट सिद्धांत का गठन करते हैं जो पहले से ही दिए गए सिद्धांत के समान है ${\mathsf {CZF}}$ शून्य से अस्तित्व $\omega$ अधिक निशाना लगाओ ${\mathrm {V} }={\mathrm {Fin} }$ स्वयंसिद्ध के रूप में। उन सभी स्वयंसिद्धों पर नीचे विस्तार से चर्चा की गई है। संबंधित, ${\mathsf {CZF}}$ यह भी सिद्ध करता है कि आनुवंशिक रूप से परिमित समुच्चय पिछले सभी अभिगृहीतों को पूरा करते हैं। यह एक परिणाम है जो पास होने पर बना रहता है ${\mathsf {PA}}$ और ${\mathsf {ZF}}$ माइनस इन्फिनिटी।

रचनात्मक सेट सिद्धांत में अध्ययन किए गए कई सिद्धांत ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के प्रतिबंध मात्र हैं। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (${\mathsf {ZF}}$) उनके स्वयंसिद्ध के साथ-साथ उनके अंतर्निहित तर्क के संबंध में। इस तरह के सिद्धांतों की व्याख्या किसी भी मॉडल में भी की जा सकती है ${\mathsf {ZF}}$.

हाल ही में, रचनात्मक सेट सिद्धांतों के लिए प्रेसीफ (श्रेणी सिद्धांत) मॉडल पेश किए गए हैं। ये 1980 के दशक में दाना स्कॉट द्वारा विकसित इंट्यूशनिस्टिक सेट थ्योरी के लिए प्रीशेफ मॉडल के अनुरूप हैं।

== ZF == की उपसिद्धांत

अंकन

भाषा

वाक्य-विन्यास सूत्र बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले तार्किक संयोजी प्रतीक मानक हैं। समुच्चय सिद्धांत के अभिगृहीत समानता सिद्ध करने का एक साधन देते हैं$=$समुच्चयों का और वह प्रतीक, अंकन के दुरुपयोग द्वारा, वर्गों के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। नकार$\neg$तत्व का$\in$प्राय: लिखा जाता है$\notin$, और आमतौर पर वही गैर-समानता के लिए जाता है$\neq$, हालांकि रचनात्मक गणित में बाद वाले प्रतीक का उपयोग अलगाव संबंध ों के संदर्भ में भी किया जाता है।

चर

ग्रीक के नीचे $\phi$ स्वयंसिद्ध स्कीमा में एक विधेय चर को दर्शाता है और $P$ या $Q$ विशेष विधेय के लिए प्रयोग किया जाता है। विधेय शब्द का प्रयोग अक्सर सूत्रों के साथ-साथ, यहाँ तक कि धर्मार्थ में भी किया जाता है।

क्वांटिफायर सेट से अधिक होते हैं और जिन्हें लोअर केस लेटर्स द्वारा दर्शाया जाता है। जैसा कि सामान्य है, विधेय को अभिव्यक्त करने के लिए तर्क कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है, विशेष रूप से उनकी वाक्यात्मक अभिव्यक्ति में मुक्त चर को उजागर करने के लिए, जैसा कि$P(z)$.

एक संक्षिप्त करता है $\forall z.{\big (}z\in A\to P(z){\big )}$ द्वारा $\forall (z\in A).P(z)$ और $\exists z.{\big (}z\in A\land P(z){\big )}$ द्वारा $\exists (z\in A).P(z)$. इस अर्थ में परिबद्ध परिमाणीकरण की वाक्यात्मक धारणा स्वयंसिद्ध स्कीमा के निर्माण में एक भूमिका निभा सकती है, जैसा कि नीचे देखा गया है।

उपवर्ग के दावे को व्यक्त करें $\forall (z\in A).z\in B$, अर्थात। $\forall z.(z\in A\to z\in B)$, द्वारा $A\subset B$. उपसमुच्चय-बद्ध परिमाणकों की समान धारणा, जैसा कि में है $\forall (z\subset A).z\in B$, सेट सैद्धांतिक जांच में भी इस्तेमाल किया गया है, लेकिन यहां आगे हाइलाइट नहीं किया जाएगा।

विशिष्टता मात्रा का ठहराव $\exists !x.P(x)$ यहाँ मतलब है $\exists x.\forall y.{\big (}y=x\leftrightarrow P(y){\big )}$.

कक्षाएं

जैसा कि पहले क्रम के सिद्धांतों की सूची#सेट सिद्धांतों के अध्ययन में भी आम है, एक क्लास (सेट सिद्धांत) के लिए सेट बिल्डर नोटेशन का उपयोग करता है, जो कि ज्यादातर संदर्भों में वस्तु भाषा का हिस्सा नहीं है लेकिन संक्षिप्त चर्चा के लिए उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, कोई संबंधित वर्ग की संकेतन घोषणाओं को प्रस्तुत कर सकता है$A=\{z\mid P(z)\}$, व्यक्त करने के उद्देश्य से $P(a)$ जैसा $a\in A$. समान वर्ग का परिचय कराने के लिए तार्किक रूप से समतुल्य विधेय का उपयोग किया जा सकता है। एक लिखता भी है $\{z\in B\mid P(z)\}$ के लिए आशुलिपि के रूप में $\{z\mid z\in B\land P(z)\}$. एक संपत्ति के लिए $P$, तुच्छ रूप से $\forall z.{\big (}(z\in B\land P(z))\to z\in B{\big )}$. और इसलिए उसका अनुसरण करता है $\{z\in B\mid P(z)\}\subset B$.

समानता

द्वारा निरूपित करें $A\simeq B$ बयान व्यक्त करता है कि दो वर्गों में बिल्कुल वही तत्व हैं, यानी। $\forall z.(z\in A\leftrightarrow z\in B)$, या समकक्ष $(A\subset B)\land (B\subset A)$. इसे समतुल्यता की अवधारणा से जोड़ा नहीं जाना चाहिए।

निम्नलिखित अभिगृहीत समानता सिद्ध करने का एक साधन देता है$=$दो सेटों का, ताकि प्रतिस्थापन के माध्यम से, किसी भी विधेय के बारे में $x$ में से एक में अनुवाद करता है $y$.

Extensionality $\forall x.\forall y.\ \ x\simeq y\to x=y$

समानता के तार्किक गुणों के अनुसार, विपरीत दिशा स्वतः ही धारण करती है।

एक रचनात्मक व्याख्या में, एक उपवर्ग के तत्व $A=\{z\in B\mid Q(z)\lor \neg Q(z)\}$ का $B$ की तुलना में अधिक जानकारी से लैस हो सकते हैं $B$, इस अर्थ में कि न्याय करने में सक्षम होना $b\in A$ न्याय करने में सक्षम हो रहा है $Q(b)\lor \neg Q(b)$. और (जब तक कि संपूर्ण वियोजन स्वयंसिद्धों से न हो) Brouwer–Heyting–Kolmogorov व्याख्या में, इसका अर्थ सिद्ध होना है $Q(b)$ या इसे अस्वीकार कर दिया। जैसा $Q$ में सभी तत्वों के लिए अनिर्णीत समस्या $B$, दो वर्गों को एक प्राथमिकता से अलग किया जाना चाहिए।

एक संपत्ति पर विचार करें $P$ जो एक सेट के सभी तत्वों के लिए सिद्ध होता है $y$, ताकि $\{z\in y\mid P(z)\}\simeq y$, और मान लें कि बायीं ओर का वर्ग एक समुच्चय के रूप में स्थापित है। ध्यान दें कि, भले ही बाईं ओर यह सेट अनौपचारिक रूप से की वैधता के बारे में सबूत-प्रासंगिक जानकारी से भी जुड़ा हो $P$ सभी तत्वों के लिए, विस्तारात्मक स्वयंसिद्ध यह मानता है कि, हमारे समुच्चय सिद्धांत में, बायीं ओर के समुच्चय को दायीं ओर के समुच्चय के बराबर आंका जाता है। जबकि अक्सर अपनाया जाता है, रचनात्मक विचारों में इस सिद्धांत की आलोचना की गई है, क्योंकि यह अलग-अलग परिभाषित गुणों को प्रभावी ढंग से ध्वस्त कर देता है, या कम से कम सेट इन गुणों के विस्तार के रूप में देखा जाता है, एक गॉटलॉब फ्रेज # तर्कशास्त्री धारणा के रूप में काम करता है।

आधुनिक प्रकार के सिद्धांत इसके बजाय मांग की गई समानता को परिभाषित करने का लक्ष्य रख सकते हैं$\simeq$कार्यों के संदर्भ में, उदाहरण के लिए देखें होमोटोपी प्रकार का सिद्धांत#प्रकार तुल्यता। फ़ंक्शन विस्तार की संबंधित अवधारणा को अक्सर टाइप थ्योरी में नहीं अपनाया जाता है।

रचनात्मक गणित के लिए अन्य ढांचे इसके बजाय तत्वों के लिए समानता या अलगाव संबंध के लिए एक विशेष नियम की मांग कर सकते हैं $z\in x$ प्रत्येक सेट का $x$ चर्चा की। फिर भी, उपरोक्त परिभाषा का उपयोग सबसेट की समानता को दर्शाने के लिए किया जा सकता है $u\subset x$ और $v\subset x$. ध्यान दें कि अपनाने$=$एक विधेय तर्क सिद्धांत में एक प्रतीक के रूप में दो शब्दों की समानता को क्वांटिफायर-मुक्त अभिव्यक्ति बनाता है।

विलय सेट

दो अन्य मूल अभिगृहीत इस प्रकार हैं। पहले तो,

Pairing $\forall x.\forall y.\ \ \exists p.\forall z.{\big (}(z=x\lor z=y)\to z\in p{\big )}$

यह कहते हुए कि किन्हीं दो सेटों के लिए $x$ और $y$, कम से कम एक सेट है $p$, जिसमें कम से कम वे दो सेट हों ($z$).

और तब,

Union $\forall x.\ \ \exists u.\forall y.{\big (}(\exists z.y\in z\land z\in x)\to y\in u{\big )}$

कह रही है कि किसी भी सेट के लिए $x$, कम से कम एक सेट है $u$, जो सभी सदस्यों को रखता है $y$, का $x$के सदस्य $z$.

के संदर्भ में दो स्वयंसिद्धों को भी मजबूत बनाया जा सकता है$\leftrightarrow$. के संदर्भ में ${\mathsf {BCST}}$ पृथक्करण के साथ, यह आवश्यक नहीं है।

साथ में, पिछले दो स्वयंसिद्ध दो वर्गों के द्विआधारी संघ के अस्तित्व को दर्शाते हैं $a$ और $b$ जब उन्हें सेट होने के लिए स्थापित किया गया है, और इसे इसके द्वारा दर्शाया गया है $\bigcup \{a,b\}$ या $a\cup b$. एक निश्चित सेट के लिए $y$, सदस्यता मान्य करने के लिए $y\in a\cup b$ दो दिए गए सेट के मिलन में $z=a$ और $z=b$, को मान्य करने की आवश्यकता है $y\in z$ अभिगृहीत का भाग, जो समुच्चय को परिभाषित करने वाले विधेय के संयोजन को मान्य करके किया जा सकता है $a$ और $b$, के लिए $y$.

कुछ दिए गए तत्वों के लिए वर्गीकरण के माध्यम से वर्ग संकेतन को परिभाषित करें, उदा। $c\in \{a,b\}$ कहते हैं $(c=a)\lor (c=b)$. द्वारा निरूपित करें $\langle x,y\rangle$ मानक आदेशित जोड़ी मॉडल $\{\{x\},\{x,y\}\}$.

अस्तित्व निर्धारित करें

संपत्ति जो किसी भी सेट के लिए गलत है, खाली वर्ग से मेल खाती है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया गया है $\{\}$ या शून्य, 0। कि खाली वर्ग एक सेट है जो अन्य स्वयंसिद्धों से आसानी से अनुसरण करता है, जैसे कि नीचे अनंतता का अभिगृहीत। लेकिन अगर, उदाहरण के लिए, किसी के अध्ययन में अनंत सेटों को बाहर करने में कोई स्पष्ट रूप से रुचि रखता है, तो वह इस बिंदु को अपना सकता है

Axiom of empty set: $\exists x.\forall y.\,\neg (y\in x)$

यह स्वयंसिद्ध भी आसानी से स्वीकार किया जाएगा, लेकिन नीचे दिए गए मजबूत स्वयंसिद्धों के संदर्भ में प्रासंगिक नहीं है। प्रतीक का परिचय $\{\}$ (चरित्र गुणों को शामिल करने में अभिव्यक्तियों के लिए संक्षिप्त संकेतन के रूप में) इस सेट के लिए विशिष्टता के रूप में उचित है सिद्ध किया जा सकता है। अगर वहाँ सिद्ध रूप से एक सेट मौजूद है $t\in s$ एक सेट के अंदर $s$, फिर हम कॉल करते हैं $s$ बसा हुआ है और यह तब साबित होता है कि खाली सेट नहीं है। शास्त्रीय रूप से समतुल्य होने पर, रचनात्मक रूप से गैर-खाली दो निषेधों के साथ एक कमजोर धारणा है। दुर्भाग्य से, 'बसे हुए' की अधिक उपयोगी धारणा के लिए शब्द शास्त्रीय गणित में शायद ही कभी प्रयोग किया जाता है।

एक सेट के लिए $x$, उत्तराधिकारी समारोह को परिभाषित करें $Sx$ जैसा $x\cup \{x\}$, जिसके लिए $x\in Sx$. जोड़ी और संघ के बीच एक प्रकार का मिश्रण, उत्तराधिकारी से अधिक आसानी से संबंधित एक स्वयंसिद्ध है, संधि का स्वयंसिद्ध है। यह प्राकृतिक संख्याओं की व्यक्तिगत सेट-सैद्धांतिक परिभाषा के मानक मॉडलिंग के लिए प्रासंगिक है।

उदाहरण के लिए, एक सरल और सिद्ध झूठा प्रस्ताव है, $\{\}\in \{\}$, तदनुसार $0<0$ मानक अंकगणितीय मॉडल में। फिर से, यहाँ प्रतीक जैसे $\{\}$ सुविधाजनक संकेतन के रूप में माना जाता है और कोई भी प्रस्ताव वास्तव में केवल का उपयोग करके अभिव्यक्ति में अनुवाद करता है$\in$और क्वांटिफायर सहित तार्किक प्रतीक। एक मेटामैथमैटिकल विश्लेषण के साथ कि नए सिद्धांतों की क्षमताएं एक प्रभावी तरीके से समतुल्य हैं, प्रतीकों द्वारा परिभाषाओं द्वारा विस्तार जैसे कि $0$ भी विचार किया जा सकता है।

बीसीएसटी

निम्नलिखित एक्सिओम स्कीमा का उपयोग करता है, अर्थात विधेय के कुछ संग्रह के लिए स्वयंसिद्ध। ध्यान दें कि बताए गए स्वयंसिद्ध स्कीमाओं में से कुछ अक्सर निर्धारित मापदंडों के साथ प्रस्तुत किए जाते हैं $v$ साथ ही, यानी अतिरिक्त यूनिवर्सल क्लोजर वाले वेरिएंट $\forall v$ ऐसा कि $\phi$के मापदंडों पर निर्भर हो सकता है।

जुदाई

बुनियादी रचनात्मक सेट सिद्धांत ${\mathsf {BCST}}$ मानक सेट सिद्धांत का हिस्सा भी कई सिद्धांतों के होते हैं, विनिर्देश स्वयंसिद्ध के स्वयंसिद्ध स्कीमा को कमजोर कर दिया जाता है। उपरोक्त चार स्वयंसिद्धों से परे, यह विधेय पृथक्करण और साथ ही प्रतिस्थापन स्कीमा है।

Axiom schema of predicative separation: For any bounded predicate $\phi$ with set variable $y$ not free in it, $\forall y.\,\exists s.\forall x.{\big (}x\in s\,\leftrightarrow \,(x\in y\land \phi (x)){\big )}$

यह अभिगृहीत एक समुच्चय के अस्तित्व की परिकल्पना करता है $s$ किसी भी सेट के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त किया गया $y$ और कोई भी अनुमानित रूप से वर्णित वर्ग $\{x\mid \phi (x)\}$. जब विधेय के रूप में लिया जाता है $x\in z$ के लिए $z$ एक सेट साबित होने पर, कोई सेट के बाइनरी इंटरसेक्शन को प्राप्त करता है और लिखता है $s=y\cap z$. इंटरसेक्शन एक अनुरूप तरीके से संयोजन से मेल खाता है कि कैसे संघ संयोजन से मेल खाता है।

जैसा कि उल्लेख किया गया है, पृथक्करण से और कम से कम एक सेट का अस्तित्व (उदाहरण के लिए नीचे अनंतता) और एक विधेय जो किसी भी सेट का झूठा है, जैसे $\neg (x=x)$, खाली सेट के अस्तित्व का अनुसरण करेगा। इस रूढ़िवादी संदर्भ में ${\mathsf {BCST}}$, बाउंडेड सेपरेशन स्कीमा वास्तव में Empty Set के बराबर है और किन्हीं भी दो सेटों के लिए बाइनरी इंटरसेक्शन का अस्तित्व है। स्वयंसिद्धकरण का बाद वाला संस्करण सूत्र स्कीमा का उपयोग नहीं करता है।

स्वयंसिद्ध स्कीमा को बाउंडेड सेपरेशन भी कहा जाता है, जैसा कि सेट-बाउंडेड क्वांटिफायर # बाउंडेड क्वांटिफायर के लिए सेपरेशन में केवल सेट थ्योरी में होता है। यह एक स्कीमा है जो विधेय के वाक्यात्मक पहलुओं को ध्यान में रखता है। कानूनी फ़ार्मुलों का दायरा आगे के सेट अस्तित्व के सिद्धांतों से समृद्ध होता है। बंधे हुए सूत्रों को भी निरूपित किया जाता है $\Delta _{0}$ सेट सैद्धांतिक लेवी पदानुक्रम में, सादृश्य में $\Delta _{0}^{0}$ अंकगणितीय पदानुक्रम में। (ध्यान दें कि अंकगणितीय वर्गीकरण को कभी-कभी वाक्यात्मक रूप से नहीं बल्कि नैचुरल के उपवर्गों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। साथ ही, अंकगणितीय पदानुक्रम के निचले स्तर की कई सामान्य परिभाषाएँ हैं, कुछ कुल कार्यों के उपयोग की अनुमति नहीं देती हैं। भेद प्रासंगिक नहीं है। स्तर पर $\Sigma _{1}^{0}$ या उच्चतर।) स्कीमा वह तरीका भी है जिसमें मैक लेन ज़र्मेलो सेट सिद्धांत के करीब एक प्रणाली को कमजोर करता है ${\mathsf {Z}}$, टोपोस सिद्धांत से संबंधित गणितीय नींव के लिए।

कोई सार्वभौमिक सेट नहीं

निम्नलिखित किसी भी संबंध के लिए मान्य है $E$, विशुद्ध रूप से तार्किक स्थिति जिसके द्वारा दो पद दिए गए हैं $s$ और $y$ गैर-भरोसेमंद

$\forall x.{\big (}xEs\leftrightarrow (xEy\land \neg xEx){\big )}\to \neg (yEs\lor sEs\lor sEy)$

भाव $\neg (x\in x)$ एक घिरा हुआ है और इस प्रकार अलग होने की अनुमति है। उपरोक्त अंतिम संयोजन की अस्वीकृति के आधार पर, $\neg sEy$, रसेल का विरोधाभास | रसेल का निर्माण यह दर्शाता है $\{x\in y\mid x\notin x\}\notin y$. तो किसी भी सेट के लिए $y$, केवल विधेय पृथक्करण का तात्पर्य है कि एक ऐसा समुच्चय मौजूद है जो इसका सदस्य नहीं है $y$. विशेष रूप से, इस सिद्धांत में कोई सार्वभौमिक समुच्चय मौजूद नहीं हो सकता है। एक सिद्धांत में नियमितता के स्वयंसिद्ध के साथ, जैसे ${\mathsf {ZF}}$, बेशक वह उपसमुच्चय $\{x\in y\mid x\notin x\}$ के बराबर सिद्ध हो सकता है $y$ अपने आप। एक तरफ के रूप में, स्तरीकरण (गणित) के साथ एक सिद्धांत में # एक विशिष्ट सेट सिद्धांत में, एक सार्वभौमिक सेट मौजूद हो सकता है क्योंकि वाक्य-विन्यास अभिव्यक्ति का उपयोग $x\in x$ अनिवार्य रूप से, अलगाव द्वारा अस्तित्व के प्रमाणों में अस्वीकृत किया जा सकता है।

भविष्यवाणी

स्वयंसिद्ध में प्रतिबंध भी गेटकीपिंग इंप्रेडिकैटिविटी परिभाषाएँ हैं: अस्तित्व का दावा उन वस्तुओं के लिए नहीं किया जाना चाहिए जो स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं हैं, या जिनकी परिभाषा में खुद को शामिल किया गया है या एक उचित वर्ग के संदर्भ में, जैसे कि जब एक संपत्ति की जाँच की जानी है जिसमें एक सार्वभौमिक क्वांटिफायर शामिल है . तो एक रचनात्मक सिद्धांत में शक्ति सेट के स्वयंसिद्ध के बिना, कब $Q$ कुछ 2-एरी विधेय को दर्शाता है, आमतौर पर एक उपवर्ग की अपेक्षा नहीं करनी चाहिए $s$ का $y$ एक सेट होने के लिए, यदि यह परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए, जैसा कि में

$\{x\in y\mid \forall t.{\big (}(t\subset y)\to Q(x,t){\big )}\}$,

या इसी तरह की परिभाषाओं के माध्यम से सेट पर किसी भी मात्रा का ठहराव शामिल है $t\subset y$. ध्यान दें कि यदि यह उपवर्ग $s$ का $y$ सिद्ध रूप से एक समुच्चय है, तो यह उपसमुच्चय स्वयं भी समुच्चय चर के असीमित दायरे में है $t$. दूसरे शब्दों में, उपवर्ग संपत्ति के रूप में $s\subset y$ पूरा हो गया है, यह सटीक सेट $s$, अभिव्यक्ति का उपयोग करके परिभाषित किया गया $Q(x,s)$, अपने चरित्र चित्रण में एक भूमिका निभाएगा।

जबकि विधेयात्मक पृथक्करण कम दी गई वर्ग परिभाषाओं की ओर ले जाता है, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि कई वर्ग परिभाषाएँ जो शास्त्रीय रूप से समतुल्य हैं, ऐसा नहीं है जब वे स्वयं को रचनात्मक तर्क तक सीमित रखते हैं। तो इस तरह, रचनात्मक रूप से एक व्यापक सिद्धांत प्राप्त होता है। सामान्य विधेय की संभावित अनिर्णीत समस्या के कारण, उपसमुच्चय और उपवर्ग की धारणा शास्त्रीय सिद्धांतों की तुलना में रचनात्मक सेट सिद्धांतों में अधिक विस्तृत है। सिद्धांत के रूप में पूर्ण पृथक्करण को अपनाया जाने पर यह सच रहता है ${\mathsf {IZF}}$, जो हालांकि अस्तित्व की संपत्ति के साथ-साथ मानक प्रकार की सैद्धांतिक व्याख्याओं को खराब करता है, और इस तरह रचनात्मक सेटों के नीचे-ऊपर के दृश्य को खराब करता है। एक तरफ के रूप में, जैसा कि उपप्रकार रचनात्मक प्रकार के सिद्धांत की एक आवश्यक विशेषता नहीं है, रचनात्मक सेट सिद्धांत को उस ढांचे से काफी भिन्न कहा जा सकता है।

प्रतिस्थापन

आगे विचार करें

Axiom schema of Replacement: For any predicate $\phi$ with set variable $r$ not free in it, $\forall d.\ \ \forall (x\in d).\exists !y.\phi (x,y)\to \exists r.\forall y.{\big (}y\in r\leftrightarrow \exists (x\in d).\phi (x,y){\big )}$

यह अस्तित्व प्रदान कर रहा है, सेट के रूप में, उनके डोमेन के माध्यम से प्राप्त फ़ंक्शन-जैसे विधेय की श्रेणी का। उपरोक्त सूत्रीकरण में, विधेय पृथक्करण स्कीमा के समान प्रतिबंधित नहीं है, लेकिन इस स्वयंसिद्ध में पहले से ही पूर्ववर्ती में एक अस्तित्वगत परिमाणक शामिल है। बेशक, कमजोर स्कीमाओं पर भी विचार किया जा सकता है।

रिप्लेसमेंट स्कीमा के साथ, यह सिद्धांत साबित करता है कि समतुल्यता वर्ग या आश्रित प्रकार # Σ प्रकार सेट हैं। विशेष रूप से, कार्टेशियन उत्पाद, दो सेटों के सभी जोड़े तत्वों को धारण करता है, एक सेट है। एक सेट के अंदर तत्वों की समानता $x$ यदि संबंधित संबंध एक उपसमुच्चय के रूप में निर्णायक है $x\times x$ निर्णायक है।

एक कमजोर रचनात्मक सेट सिद्धांत के डिजाइन में प्रतिस्थापन आवश्यक नहीं है जो व्याख्या_(मॉडल_सिद्धांत)#द्वि-व्याख्यात्मकता है।हेटिंग अंकगणित के साथ द्वि-व्याख्या योग्य है ${\mathsf {HA}}$. हालाँकि, प्रेरण का कुछ रूप है। एप्सिलॉन-इंडक्शन (नीचे पेश किया गया) के साथ प्रतिस्थापन भी रचनात्मक रूप से परिमित सेटों को स्वयंसिद्ध करने के लिए पर्याप्त है और उस सिद्धांत का अध्ययन अनंत के बिना भी किया जाता है। तुलना के लिए, बहुत कमजोर शास्त्रीय सिद्धांत पर विचार करें जिसे सामान्य सेट सिद्धांत कहा जाता है जो प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग और उनके अंकगणित को केवल विस्तार, संयोजन और पूर्ण पृथक्करण के माध्यम से व्याख्या करता है।

प्रतिस्थापन को समझ के रूप में देखा जा सकता है। केवल मानते समय ${\mathrm {PEM} }$ क्या प्रतिस्थापन पहले से ही पूर्ण पृथक्करण का अर्थ है। में ${\mathsf {ZF}}$उच्च वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड के सेट के अस्तित्व को साबित करने के लिए प्रतिस्थापन ज्यादातर महत्वपूर्ण है, अर्थात् स्वयंसिद्ध स्कीमा के उदाहरणों के माध्यम से जहां $\phi (x,y)$ अपेक्षाकृत छोटे सेट से संबंधित है $x$ बड़े लोगों को, $y$.

रचनात्मक समुच्चय सिद्धांतों में आमतौर पर प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध स्कीमा होती है, जो कभी-कभी सीमित सूत्रों तक सीमित होती है। हालांकि, जब अन्य सिद्धांतों को छोड़ दिया जाता है, तो यह स्कीमा वास्तव में अक्सर मजबूत होती है - परे नहीं ${\mathsf {ZF}}$, बल्कि इसके बजाय केवल कुछ प्रवीणता शक्ति वापस पाने के लिए। इस तरह के मजबूत सिद्धांत मौजूद हैं जो सिद्धांत की मजबूत अस्तित्व संपत्ति को खराब नहीं करते हैं, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

चर्चा अब वस्तुओं के अस्तित्व को प्रदान करने वाले सिद्धांतों के साथ आगे बढ़ती है जो निर्भर प्रकार के सिद्धांत, अर्थात् प्राकृतिक संख्या और निर्भर प्रकार में पाई जाती हैं।

ईसीएसटी

द्वारा निरूपित करें $\mathrm {Ind} (A)$ आगमनात्मक संपत्ति, $0\in A\land \forall (n\in A).Sn\in A$. यहां $n$ एक सामान्य सेट चर को दर्शाता है। एक विधेय के संदर्भ में $P$ वर्ग को अंतर्निहित करें ताकि $\forall n.(n\in A)\leftrightarrow P(n)$, यह अनुवाद करता है $P(0)\land \forall n.{\big (}P(n)\to P(Sn){\big )}$.

कुछ निश्चित विधेय के लिए $Q$, कथन $Q(a)\land {\big (}\forall x.Q(x)\to a\subset x{\big )}$ व्यक्त करता है $a$ सबसे छोटा है (के अर्थ में$\subset$) सभी सेटों के बीच सेट करें $x$ जिसके लिए $Q(x)$ सच धारण करता है।

प्राथमिक रचनात्मक सेट थ्योरी ${\mathsf {ECST}}$ का स्वयंसिद्ध है ${\mathsf {BCST}}$ साथ ही साथ सबसे छोटे आगमनात्मक सेट के अस्तित्व का अभिधारणा

Strong Infinity $\exists w.{\Big (}\mathrm {Ind} (w)\,\land \,{\big (}\forall x.\mathrm {Ind} (x)\to w\subset x{\big )}{\Big )}$

लिखना $\bigcap B$ के लिए $\{x\mid \forall (y\in B).x\in y\}$, सामान्य चौराहा। एक वर्ग को परिभाषित कीजिए $\omega =\bigcap \{x\mid \mathrm {Ind} (x)\}$, सभी आगमनात्मक सेटों का प्रतिच्छेदन। उपरोक्त स्वयंसिद्ध के साथ, $\omega$ एक विशिष्ट विशेषता वाला सेट है, सबसे छोटा अनंत वॉन न्यूमैन क्रमसूचक। इसके तत्वों में खाली सेट और, प्रत्येक सेट के लिए शामिल हैं $\omega$, एक और सेट में $\omega$ जिसमें एक तत्व अधिक हो। पीआनो अंकगणित के सिद्धांत के हस्ताक्षर (तर्क) में शून्य और उत्तराधिकारी कहे जाने वाले प्रतीक हैं। में ${\mathsf {BCST}}$, किसी भी संख्या का उपरोक्त परिभाषित उत्तराधिकारी भी वर्ग में है $\omega$ हमारे वॉन न्यूमैन मॉडल द्वारा प्राकृतिक भीलों के लक्षण वर्णन से सीधे अनुसरण करें। चूंकि इस तरह के एक सेट के उत्तराधिकारी में खुद को शामिल किया गया है, यह भी पता चलता है कि कोई भी उत्तराधिकारी शून्य के बराबर नहीं है। तो दो पीआनो सिद्धांतों में शून्य के प्रतीक के बारे में और एक की बंदता के बारे में है $S$ आसानी से आओ चौथा, में ${\mathsf {ECST}}$, कहां $\omega$ एक सेट है, $S$ एक इंजेक्शन ऑपरेशन साबित हो सकता है।

जोड़ीदार क्रम$<$नैचुरल पर उनके सदस्यता संबंध द्वारा कब्जा कर लिया जाता है$\in$. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत इस सेट पर आदेश के साथ-साथ समानता के संबंध को भी निर्णायक साबित करता है। आगमनात्मक गुण का उपयोग करके अभिगृहीत को सूत्रबद्ध करने के महत्व को अंकगणित पर चर्चा में समझाया गया है। अनन्तता के स्वयंसिद्धों के कमजोर रूपों को तैयार किया जा सकता है, सभी मानते हैं कि सामान्य प्राकृतिक संख्या गुणों वाले कुछ सेट वाले तत्व मौजूद हैं। तब विरल ऐसे सेट, प्राकृतिक संख्याओं के सेट को प्राप्त करने के लिए पूर्ण पृथक्करण का उपयोग किया जा सकता है। अन्यथा कमजोर अभिगृहीत प्रणालियों के संदर्भ में, अनन्तता की एक कसौटी को मजबूत किया जाना चाहिए ताकि इस तरह के विरल समुच्चय का अपने आप में अस्तित्व समझा जा सके। इन्फिनिटी का एक कमजोर रूप है

$\exists w.\forall m.{\big (}m\in w\leftrightarrow (m=0\lor (\exists p\in w).E(p,m)){\big )}$,

कहां $E(p,m)$ वॉन न्यूमैन मॉडल में पूर्ववर्ती सदस्यता संबंध को दर्शाता है

$\forall n.(n\in m\leftrightarrow (n=p\lor n\in p))$.

यह कमजोर स्वयंसिद्ध सभी तत्वों को व्यक्त करके अनंत सेट को दर्शाता है $m$ इसके या तो बराबर हैं $0$ या स्वयं एक पूर्ववर्ती सेट रखते हैं जो अन्य सभी सदस्यों के साथ साझा करता है $m$. इस फॉर्म को उत्तराधिकारी संकेतन का उपयोग करके अधिक संक्षिप्त रूप से भी लिखा जा सकता है $S$.

संख्या सीमा

संख्याओं के वर्ग के लिए $I\subset \omega$, कथन

$\exists (m\in \omega ).\forall (n\in \omega ).(n\in I\to n<m)$ या कमजोर गर्भनिरोधक संस्करण

$\exists (m\in \omega ).\forall (n\in \omega ).(m\leq n\to n\notin I)$ परिमितता के कथन हैं। निर्णायक गुणों के लिए, ये हैं $\Sigma _{2}^{0}$अंकगणित में कथन, लेकिन इन्फिनिटी के स्वयंसिद्ध के साथ, दो क्वांटिफायर सेट-बाउंड हैं। प्राकृतिक संख्याओं के प्रारंभिक खंड को निरूपित करें, अर्थात

$\{n\in \omega \mid n<m\}$ किसी के लिए $m\in \omega$ और खाली सेट सहित, द्वारा
$\{0,1,\dots ,m-1\}$.

यह सेट बराबर है $m$ और इसलिए इस बिंदु पर$m-1$अपने पूर्ववर्ती के लिए मात्र संकेतन है (अर्थात घटाव कार्य शामिल नहीं है)। नीचे दिए गए कार्यों की चर्चा को और अधिक बारीकी से दर्शाने के लिए, उपरोक्त शर्त को इस प्रकार लिखें

$\exists (m\in \omega ).\forall (n\in I).(n<m)$.

अब एक सामान्य सेट के लिए, परिमित रूप से गणना करने योग्य होने का अर्थ यह होगा कि वॉन न्यूमैन प्राकृतिक संख्या से उस पर एक अनुमान लगाया गया है, जो एक कार्य अस्तित्व का दावा है। इसके अलावा, परिमित होने का अर्थ है कि प्राकृतिक के लिए एक विशेषण कार्य है। उपपरिमित होने का अर्थ परिमित समुच्चय का उपसमुच्चय होना है। यह दावा कि एक परिमित समुच्चय उपसमित होने के समतुल्य है, समतुल्य है ${\mathrm {PEM} }$. परिमितता की स्थितियों के लिए शब्दावली लेखकों के साथ भिन्न होती है और डेडेकिंड-अनंत सेट संबंधित परिभाषाएँ हैं।

एक वर्ग के लिए $C$, कथन

$\forall (m\in \omega ).\exists (n\in \omega ).(m\leq n\land n\in C)$ अनंत में से एक है। यह है $\Pi _{2}^{0}$ निर्णायक अंकगणितीय मामले में। एक सेट की अनंतता को मान्य करने के लिए, यह गुण तब भी काम करता है जब सेट में अन्य तत्वों के अलावा असीम रूप से कई सदस्य होते हैं $\omega$. लेकिन अधिक आम तौर पर, अगर कोई इंजेक्शन लगा सकता है तो एक सेट अनंत पर कॉल करें $\omega$ इसमें, जो फिर से एक कार्यात्मक अस्तित्व का दावा है।

इस बिंदु पर कार्य अवधारणा पर चर्चा करना उचित है।

कार्य

कार्यों पर सामान्य नोट्स

स्वाभाविक रूप से, अस्तित्व के दावों का तार्किक अर्थ अंतर्ज्ञानवादी तर्क में रुचि का विषय है, चाहे वह सेट के सिद्धांत या किसी अन्य गणितीय ढांचे के लिए हो। एक रचनात्मक सबूत कैलकुलेशन उपरोक्त कथनों को मान्य कर सकता है,

$\forall (a\in A).\exists (c\in C).P(a,c)$,

प्रतिनिधित्व डोमेन पर कार्यक्रमों के संदर्भ में। उदाहरण के लिए करी-हावर्ड पत्राचार | प्रकार- या प्राप्ति के माध्यम से प्रमाण की धारणाओं पर विचार करें। मोटे तौर पर, कार्य एक मानचित्रण प्रदान करना है $a\mapsto c_{a}$ और साक्षी (गणित) स्कोलेम सामान्य रूप $\forall (a\in A).P(a,c_{a})$.

यह एक प्रमेय है जो पहले से ही रॉबिन्सन अंकगणित है ${\mathsf {Q}}$ विशेष विधेय के संदर्भ में बिल्कुल सामान्य पुनरावर्ती कार्य का प्रतिनिधित्व करता है $P$, जो तब कार्यात्मक संबंध भी सिद्ध होते हैं,

$\forall (a\in {\mathbb {N} }).\exists !(c\in {\mathbb {N} }).P(a,c)$.

कमजोर शास्त्रीय अंकगणितीय सिद्धांत ${\mathsf {Q}}$ अंकगणितीय सूत्रों के लिए पूर्ण गणितीय प्रेरण स्कीमा का उपयोग करने के बजाय, यह मानता है कि प्रत्येक संख्या या तो शून्य है या इसके लिए एक पूर्ववर्ती संख्या मौजूद है।

अंत में, पुनरावर्तन सिद्धांत पर संबंधित ग्रंथों में एक सामान्य अस्पष्टता से सावधान रहें, जहां फ़ंक्शन को संगणनीय अर्थों में समझने की आवश्यकता होती है, जो आम तौर पर नीचे चर्चा की तुलना में संकीर्ण होती है। इसी तरह, नीचे कुल कार्यों के बारे में बात करने की भी आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह एक निर्धारित सैद्धांतिक कार्य की परिभाषा का हिस्सा है।

कुल कार्यात्मक संबंध

अब वर्तमान सेट सैद्धांतिक दृष्टिकोण में, समारोह आवेदन ब्रैकेट से जुड़े गुण को परिभाषित करें, $f(a)=c$, जैसा $\langle a,c\rangle \in f$ और एक समारोह की बात करें $f\subset A\times C$ जब सिद्ध

$\forall (a\in A).\,\exists !(c\in C).f(a)=c$,

अर्थात।

$\forall (a\in A).\,\exists (c\in C).\,\forall (d\in C).{\big (}d=c\leftrightarrow \langle a,d\rangle \in f{\big )}$,

जिसमें विशेष रूप से क्वांटिफायर शामिल है जो स्पष्ट रूप से अस्तित्व के लिए पूछ रहा है। तो एक अध्ययन विशेष कुल संबंध ों को कैप्चर करने के लिए सेट करता है। एक उपवर्ग को एक कार्य के रूप में आंका जा सकता है या नहीं, यह सिद्धांत की ताकत पर निर्भर करेगा, जिसका कहना है कि स्वयंसिद्धों को अपनाना है। विशेष रूप से, एक सामान्य वर्ग उत्पाद के उपवर्ग के बिना उपरोक्त विधेय को पूरा कर सकता है $A\times C$, यानी संपत्ति कार्यक्षमता w.r.t से अधिक या कम नहीं व्यक्त कर रही है। से इनपुट्स $A$. यदि डोमेन एक सेट है, तो फ़ंक्शन के प्रत्येक तत्व के लिए एक जोड़ी है और इसलिए सेट के रूप में मौजूद है। यदि डोमेन और कोडोमेन सेट हैं, तो उपरोक्त विधेय में केवल परिबद्ध क्वांटिफायर शामिल हैं। होने देना $C^{A}$ (लिखा भी है $^{A}C$) सेट कार्यों के वर्ग को निरूपित करें। जब फ़ंक्शंस को ऊपर दिए गए फ़ंक्शन ग्राफ़ के रूप में समझा जाता है, तो सदस्यता प्रस्ताव $f\in C^{A}$ भी लिखा है $f\colon A\to C$. नीचे लिख सकते हैं $x\to y$ के लिए $y^{x}$ इसे क्रमिक घातांक से अलग करने के लिए।

प्रक्षेप्यता और इंजेक्शन जैसी सामान्य धारणाओं को एक सीमित तरीके से भी व्यक्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इंजेक्शन को सकारात्मक रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए, न कि इसके विपरीत, जो शास्त्रीय गणित में सामान्य अभ्यास है।

इस तरह के निर्धारित कार्यों की सीमा के संदर्भ में प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना भी तैयार की जा सकती है। यह युक्त सिद्धांतों के लिए एक मेटाथोरम है ${\mathsf {BCST}}$ सिद्ध रूप से कुल वर्ग फ़ंक्शन के लिए एक फ़ंक्शन प्रतीक जोड़ना एक रूढ़िवादी विस्तार है, इसके बावजूद विधेय पृथक्करण के स्वयंसिद्ध स्कीमा का दायरा बदल रहा है।

पृथक्करण से हम उत्पादों के सबसेट को काट सकते हैं $A\times C$, कम से कम जब उनका वर्णन सीमित तरीके से किया जाता है। लिखना $1$ के लिए $S0$. कोई दिया $B\subset A$, एक अब जैसे वर्गों के बारे में तर्क करने के लिए नेतृत्व किया है

$\{\langle x,y\rangle \in A\times \{0,1\}\mid (x\in B\land y=1)\lor (\neg (x\in B)\land y=0)\}.$

बूलियन-मूल्यवान विशेषता कार्य $\chi _{B}\colon A\to \{0,1\}$ ऐसे वर्गों में हैं। लेकिन ध्यान रहे कि $a\in B$ आम तौर पर अनिर्णीत समस्या हो सकती है। कहने का मतलब यह है कि किसी भी अरचनात्मक अभिगृहीत के अभाव में वियोजन $a\in B\lor a\notin B$ साबित नहीं हो सकता है, क्योंकि किसी को अलग होने के स्पष्ट सबूत की आवश्यकता होती है। रचनात्मक रूप से, कब

$\exists (y\in \{0,1\}).f(a)=y$ कैनॉट बी विटनेस (गणित) एड फॉर ऑल $a\in A$, या किसी शब्द की विशिष्टता $y$ के साथ जुड़े $a$ सिद्ध नहीं किया जा सकता है, तो कोई संकलित संग्रह को कुल कार्यात्मक होने का न्याय नहीं कर सकता है।

सेटोइड्स पर अलग-अलग संबंधों का उपयोग करते हुए कार्यात्मक विधेय परिभाषा के रूपों को भी परिभाषित किया गया है। यदि इसकी सीमा है तो एक फ़ंक्शन एक सेट होगा। नामकरण फ़ंक्शन के साथ देखभाल की जानी चाहिए, जो कि अधिकांश गणितीय रूपरेखाओं में उपयोग देखता है, क्योंकि कुछ एक फ़ंक्शन शब्द को एक विशेष कोडोमेन से जोड़ते हैं।

संगणनीय सेट

अनंतता और किसी भी प्रस्ताव को देखते हुए $Q$, होने देना $I=\{k\in \omega \mid Q(k)\}$. किसी भी प्राकृतिक को देखते हुए $n\in \omega$, तब

${\big (}Q(n)\lor \neg Q(n){\big )}\to {\big (}n\in I\lor n\notin I{\big )}$.

शास्त्रीय सेट सिद्धांत में, जैसा $Q$ द्वारा औपचारिक रूप से निर्णायक है ${\mathrm {PEM} }$, तो उपवर्ग सदस्यता है। यदि वर्ग $I$ परिमित नहीं है, तो क्रमिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं से गुजर रहा है $n$, और इस प्रकार सभी नंबरों को सूचीबद्ध करता है $I$ बस उनको छोड़ कर $n\notin I$, शास्त्रीय रूप से एक बढ़ते हुए विशेषण अनुक्रम का गठन करता है $a:\omega \twoheadrightarrow I$. वहाँ, एक विशेषण फलन प्राप्त कर सकते हैं। इस तरह, कार्यों का शास्त्रीय वर्ग सिद्ध रूप से समृद्ध है, क्योंकि इसमें ऐसी वस्तुएं भी शामिल हैं जो उस सीमा से परे हैं जिसे हम प्रभावी रूप से गणना करने योग्य या प्रैक्सिस में प्रोग्रामेटिक रूप से सूचीबद्ध करने के लिए जानते हैं।

संगणनीयता सिद्धांत में, संगणनीय सेट स्तर पर पुनरावर्ती अर्थ में गैर-घटते कुल कार्यों की श्रेणी हैं $\Sigma _{1}^{0}\cap \Pi _{1}^{0}=\Delta _{1}^{0}$ अंकगणितीय पदानुक्रम का, और उच्चतर नहीं। उस स्तर पर एक विधेय का निर्णय करना अंततः एक प्रमाणपत्र (जटिलता) खोजने के कार्य को हल करने के लिए है जो या तो सदस्यता को मान्य या अस्वीकार करता है। जैसा कि प्रत्येक विधेय नहीं है $Q$ कम्प्यूटेशनल रूप से निर्णायक है, सिद्धांत ${\mathsf {CZF}}$ अकेला यह दावा (साबित) नहीं करेगा कि सब अनंत हैं $I\subset \omega$ डोमेन के साथ कुछ विशेषण फ़ंक्शन की श्रेणी हैं $\omega$. क्रिप्के की स्कीमा भी देखें।

लेकिन संगत होना ${\mathsf {ZF}}$, इस खंड में विकास अभी भी हमेशा कार्य करने की अनुमति देता है $\omega$एक वस्तु के रूप में व्याख्या करने के लिए जरूरी नहीं कि पसंद अनुक्रम अनुक्रम के रूप में दिया गया हो। संभाव्यता के दावों के लिए सामान्य मॉडलों में आवेदन मिल सकते हैं, उदा। सिक्का फ़्लिप के एक अंतहीन यादृच्छिक क्रम दिए जाने की धारणा से जुड़े बयान।

पसंद कार्य

पसंद के सिद्धांत कार्यों के अस्तित्व को मानते हैं। इसके बाद व्युत्क्रम, आदेश, और इसी तरह के अस्तित्व के दावों का अनुवाद किया जा सकता है। इसके अलावा पसंद का तात्पर्य विभिन्न सेटों की कार्डिनैलिटी के बारे में कथनों से है, उदा। वे समुच्चयों की गणनीयता का संकेत देते हैं या उसे खारिज करते हैं। यहां रचनात्मक विकास किसी भी चर्चा किए गए पसंद सिद्धांतों के लिए एक अज्ञेय फैशन में आगे बढ़ता है, लेकिन यहां अच्छी तरह से अध्ययन किए गए संस्करण हैं:

• गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध : यदि $g\colon \omega \to z$, कोई एक-से-अनेक संबंध-सेट बना सकता है $\{\langle n,u\rangle \mid n\in \omega \land u\in g(n)\}$. गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध अनुदान देगा कि जब भी $\forall (n\in \omega ).\exists u.u\in g(n)$, प्रत्येक नंबर को एक अद्वितीय मान के लिए एक फ़ंक्शन मैपिंग बना सकता है। गणनीय विकल्प को और भी कमजोर किया जा सकता है। एक सामान्य विचार की सीमा की संभावित कार्डिनैलिटी को प्रतिबंधित करना है $g$, कमजोर गणनीय विकल्प को गणनीय, परिमित या केवल बाइनरी सेट में देना। गणनीय पसंद को कमजोर करने का एक अन्य साधन शामिल परिभाषाओं को w.r.t. वाक्यात्मक पदानुक्रम में उनका स्थान। सामान्य topos के स्पष्ट तर्क में गणनीय विकल्प मान्य नहीं है, जिसे रचनात्मक सेट सिद्धांतों के मॉडल सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है।
• आश्रित विकल्प का अभिगृहीत: गणनीय विकल्प आश्रित विकल्प के अधिक सामान्य स्वयंसिद्ध द्वारा निहित है, एक आबाद सेट पर किसी भी बाइनरी संबंध से एक फ़ंक्शन निकालना। गणनीय विकल्प चर्च की थीसिस (रचनात्मक गणित) के समान है | रचनात्मक चर्च की थीसिस सिद्धांत और वास्तव में आश्रित पसंद कई वास्तविकता मॉडल में है और इस प्रकार इसे कई रचनात्मक स्कूलों में अपनाया जाता है।
• रिलेटिवाइज्ड डिपेंडेंट चॉइस: मजबूत रिलेटिवाइज्ड डिपेंडेंट चॉइस सिद्धांत इसका एक प्रकार है - एक स्कीमा जिसमें एक अतिरिक्त विधेय चर शामिल है। इसे सिर्फ बंधे हुए फॉर्मूलों के लिए अपनाना ${\mathsf {ECST}}$, सिद्धांत पहले से ही साबित करता है $\Sigma _{1}$-इंडक्शन, बाउंडिंग और कम से कम संख्या सिद्धांत।
• $\Pi \Sigma$-$AC$: सेट का एक परिवार बेहतर नियंत्रणीय होता है यदि यह किसी फ़ंक्शन द्वारा अनुक्रमित होता है। एक सेट $B$ एक आधार है अगर सेट के सभी अनुक्रमित परिवार $i_{S}\colon B\to S$ इसके ऊपर, एक विकल्प समारोह है $f_{S}$, अर्थात। $\forall (x\in B).f_{S}(x)\in i_{S}(x)$. होल्डिंग सेट का संग्रह $\omega$ और इसके तत्व और जो अनुक्रमित रकम और उत्पादों को लेकर बंद हो जाते हैं (आश्रित प्रकार देखें) कहा जाता है $\Pi \Sigma$-बंद किया हुआ। जबकि वह स्वयंसिद्ध जो सबसे छोटे में सेट करता है $\Pi \Sigma$-बंद वर्ग एक आधार है जिसे तैयार करने के लिए कुछ काम की जरूरत है, यह सबसे मजबूत सिद्धांत है ${\mathsf {CZF}}$ जो सैद्धांतिक व्याख्या के प्रकार में है ${\mathsf {ML_{1}V}}$.
• पसंद का स्वयंसिद्ध: बसे हुए सेटों के सामान्य सेटों पर कार्यों से संबंधित पसंद का स्वयंसिद्ध। यहाँ कोडोमेन समुच्चयों का सामान्य संघ है। इसका तात्पर्य निर्भर विकल्प से है। इसका तात्पर्य उदाहरणों से भी है ${\mathrm {PEM} }$ डायकोनेस्कु के प्रमेय के माध्यम से। बदले में, पूर्ण पसंद के साथ व्यापक सिद्धांत व्यापक रूप से रचनात्मक चर्च के नियम का खंडन करते हैं।

डायकोनेस्कु का प्रमेय

पूर्ण पसंद की ताकत और इरादे के मामलों से इसके संबंध को उजागर करने के लिए, कक्षाओं पर विचार करना चाहिए

$a=\{u\in \{0,1\}\mid (u=0)\lor P\}$

$b=\{u\in \{0,1\}\mid (u=1)\lor P\}$

डायकोनेस्कु के प्रमेय के प्रमाण से। इस तरह के सुविधाजनक वर्ग संकेतन के अर्थ के साथ-साथ वितरण के सिद्धांत पर परिचयात्मक विस्तार का उल्लेख करते हुए, $t\in a\leftrightarrow t=0\lor (t=1\land P)$. तो बिना शर्त, $0\in a$, $1\in b$. लेकिन अन्यथा, बेशुमार वर्ग $a$ और $b$ प्रस्ताव के रूप में आकस्मिक हैं $P$ उनकी परिभाषा में शामिल फिर भी, जब साबित करने योग्य मामले का निरीक्षण किया जाता है, तो सेटअप के कई परिणाम होते हैं $P\to (a=\{0,1\}\land b=\{0,1\})$. इसलिए $P\to a=b$ और वास्तव में समानता समतुल्य है और निर्णय लेती है $P$. जैसा $a$ हैं $b$ फिर भी सेट हैं $P\to \{a,b\}=\{a\}$. एक गर्भनिरोधक देता है $\neg (a=b)\leftrightarrow \neg P$, जो प्रमेय की उपपत्ति के लिए महत्वपूर्ण है। वास्तव में, जैसा $\neg P\to (a=\{0\}\land b=\{1\})$ और जैसे $\neg (0=1)$, कोई यह पाता है कि किस तरह से सेट अलग हैं। इसके अतिरिक्त, वियोगात्मक न्यायवाक्य का उपयोग करके तर्क दिया जा सकता है कि दोनों $0\in b$ और $1\in a$ प्रत्येक के समकक्ष हैं $P$.

निम्नलिखित में एक संदर्भ मान लीजिए जिसमें $a,b$ समुच्चय के रूप में स्थापित हैं, और इस प्रकार उपपरिमित समुच्चय हैं। फिर ऐसे सेटों के रहने के लिए, पसंद का सामान्य सिद्धांत एक समारोह के अस्तित्व का दावा करता है $f\colon \{a,b\}\to a\cup b$ साथ $f(z)\in z$. यह महत्वपूर्ण है कि तत्व $a,b$ फ़ंक्शन के डोमेन प्राकृतिक संख्याओं से अलग हैं $0,1$ इसमें पूर्व के बारे में एक प्राथमिकता कम ज्ञात है। बनते समय दो वर्गों का मिलन, $u=0\lor u=1$ एक आवश्यक लेकिन फिर पर्याप्त शर्त भी है। इस प्रकार $a\cup b=\{0,1\}$ और एक कार्यों से निपट रहा है $f$ दो अलग-अलग मूल्यों के एक सेट में। पसंद के साथ संयोजन आता है $f(a)\in a\land f(b)\in b$ फ़ंक्शन के कोडोमेन में। वितरण का उपयोग करते हुए, संभावित फ़ंक्शन रिटर्न मान, एक संयोजन पर स्थितियों की एक सूची उत्पन्न होती है। जो स्थापित है उसका विस्तार करने पर, कोई पाता है कि या तो दोनों $P$ साथ ही समानता सेट करता है, या वापसी मान अलग हैं और $P$ अस्वीकृत किया जा सकता है। निष्कर्ष यह है कि पसंद अभिधारणा वास्तव में निहित है $P\lor \neg P$ जब भी एक पृथक्करण स्वयंसिद्ध अनिर्णीत का उपयोग करके सेट समझ के लिए अनुमति देता है $P$. उदाहरण के लिए, किसी दिए गए सेट के अंदर एक अनिर्णीत सदस्यता दावा पर विचार करें।

अतः पूर्ण चयन सामान्यतः अरचनात्मक होता है। मुद्दा यह है कि वर्गों को अलग करने और परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाने वाली सेट समझ के हिस्से के रूप में प्रस्ताव $a$ और $b$ से $\{0,1\}$, सत्य मूल्यों को निर्धारित शर्तों में विभाजित करें। विस्तार के सेट सैद्धांतिक स्वयंसिद्ध द्वारा परिभाषित समानता, जो स्वयं कार्यों से संबंधित नहीं है, बदले में जोड़ों के ज्ञान के बारे में फ़ंक्शन मूल्यों के बारे में जानकारी के बारे में ज्ञान। कार्यात्मक मूल्यों के संदर्भ में बोली जाने वाली: एक ओर, साक्षी $f(a)=1$ तात्पर्य $P$ और $a=b$ और यह निष्कर्ष स्वतंत्र रूप से साक्षीभाव पर भी लागू होता है $f(b)=0$. दूसरी ओर, साक्षी $f(a)=0\land f(b)=1$ तात्पर्य है कि दो फ़ंक्शन तर्क बराबर नहीं हैं और यह नियम समाप्त करता है $P$. वास्तव में केवल तीन संयोजन हैं, जैसा कि दिए गए सेटअप में विस्तार का स्वयंसिद्ध बनाता है $f(a)=1\land f(b)=0$ असंगत। निष्कर्ष को वियोगों के पहले से ही औपचारिक रूप से व्युत्पन्न तुल्यता द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है $(1\in a)\lor (0\in b)\lor \neg (a=b)\leftrightarrow (P\lor \neg P)$. इसलिए यदि अस्तित्व के रचनात्मक पठन को संरक्षित करना है, तो समुच्चय सिद्धांत में पूर्ण विकल्प को नहीं अपनाया जा सकता है, क्योंकि कार्य के अस्तित्व का मात्र दावा किसी विशेष कार्य का एहसास नहीं करता है।

बेहतर ढंग से समझने के लिए कि हम एक निश्चित (कुल) फ़ंक्शन की अपेक्षा क्यों नहीं कर सकते हैं, भोले-भाले उम्मीदवारों पर विचार करें। गौरतलब है कि मामला यह है $0\in a$ और $1\in b$, निम्न पर ध्यान दिए बगैर $P$. तो आगे के विश्लेषण के बिना, ऐसा लगता है

$f=\{\langle a,0\rangle ,\langle b,1\rangle \}$ एक विकल्प समारोह के लिए एक दावेदार। दरअसल, अगर $P$ अस्वीकार किया जा सकता है, यही एकमात्र विकल्प है। लेकिन की provability के मामले में $P$, कब $\{a,b\}=\{a\}$, च्वाइस फंक्शन के लिए केवल एक संभावित फंक्शन इनपुट है। तो उस स्थिति में, एक च्वाइस फंक्शन में टाइप होगा $f\colon \{a\}\to \{0,1\}$, उदाहरण के लिए

$f=\{\langle a,0\rangle \}$ और यह शुरुआती दावेदार को बाहर कर देगा। सामान्य के लिए $P$, एक संभावित पसंद फ़ंक्शन का डोमेन ठोस नहीं है लेकिन आकस्मिक है $P$ और बेशुमार। उपरोक्त कार्यात्मक असाइनमेंट पर विचार करते समय $f(a)=0$, फिर न तो बिना शर्त घोषणा $f(b)=1$ और न $f(b)=0$ अनिवार्य रूप से सुसंगत है। पहचान करके $1$ साथ $\{0\}$, ऊपर वर्णित दो उम्मीदवारों को बेशुमार के माध्यम से एक साथ प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $f=\{\langle a,0\rangle ,\langle b,j\rangle \}$ प्राकृतिक होने के साथ $j=\{u\in \{0\}\mid \neg P\}$. में $j$, विनती $P$ अगर-क्लॉज द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $a=b$. जैसा $(P\to j=0)\land (\neg P\to j=1)$, शास्त्रीय पोस्टिंग $P\lor \neg P$ यहाँ वास्तव में इसका अर्थ यह होगा कि यह एक विकल्प कार्य है चाहे दो सत्य मूल्यों में से कोई भी हो $P$ लेता है। और जैसा कि रचनात्मक मामले में, एक विशेष विकल्प समारोह दिया गया - एक सेट जो बिल्कुल एक या बिल्कुल दो जोड़े रखता है - कोई वास्तव में अनुमान लगा सकता है कि क्या $P$ या कि $\neg P$ धारण करता है। इसके विपरीत, तीसरा और अंतिम उम्मीदवार

$f=\{\langle b,1\rangle \}$ के भाग के रूप में ग्रहण किया जा सकता है $f=\{\langle a,i\rangle ,\langle b,1\rangle \}$, कहां $i=\{u\in \{0\}\mid P\}$. यह किसी भी तरह से क्लासिकल चॉइस फंक्शन भी है। रचनात्मक रूप से, डोमेन और इस तरह के मूल्य $P$-आश्रित-होने वाले कार्य अनिर्णीत होंगे और इस तरह एक कार्यात्मक समग्रता साबित करने में विफल रहता है।

संगणनीय व्याख्याओं में, सेट थ्योरी एक्सिओम्स पोस्टुलेटिंग (कुल) फ़ंक्शन अस्तित्व पुनरावर्ती कार्यों की आवश्यकता की ओर ले जाता है। एक कार्य प्राप्ति से शास्त्रीय समाधानों के अगर-खंडों द्वारा ली गई शाखाओं का अनुमान लगाया जा सकता है, जो कि व्याख्या किए गए सिद्धांत में अनिर्णीत थे।

==== नियमितता का तात्पर्य पीईएम ==== है नियमितता का स्वयंसिद्ध कहता है कि प्रत्येक बसे हुए सेट के लिए $s$, एक तत्व मौजूद है $t$ में $s$, जिसके साथ कोई तत्व साझा नहीं करता है $s$. पसंद के स्वयंसिद्ध के विपरीत, यह अस्तित्व का दावा हर बसे हुए सेट के एक तत्व तक पहुंचता है, यानी डोमेन सभी बसे हुए सेट हैं। इसके सूत्रीकरण में एक अद्वितीय अस्तित्व का दावा शामिल नहीं है, बल्कि एक विशिष्ट संपत्ति के साथ एक सेट की गारंटी देता है। चूंकि स्वयंसिद्ध अलग-अलग रैंक पर सदस्यता के दावों को सहसंबद्ध करता है, स्वयंसिद्ध का अर्थ भी समाप्त होता है ${\mathrm {PEM} }$:

उपरोक्त पसंद के प्रमाण ने एक विशेष सेट का उपयोग किया था $\{a,b\}$ ऊपर से। नीचे दिया गया प्रमाण भी इसका उपयोग करता है $b$, जिसके लिए यह पहले से ही स्थापित किया गया था $0\in b\leftrightarrow P$. यह भी याद रखें कि जब पृथक्करण लागू होता है $P$, सेट $b$ उपवाक्य द्वारा परिभाषित किया गया है $u\in \{0,1\}$, ताकि कोई भी दिया जा सके $u\in b$ है $u=0\lor u=\{0\}$. अब छोडो $t\in b$ रिक्त चौराहा संपत्ति के साथ अनुमानित सदस्य बनें, जिसका विशेष अर्थ है $t=\{0\}\to \neg (0\in b)$. एक साथ, पाता है $(0\in b)\lor \neg (0\in b)$, जो औपचारिक रूप से निर्णय भी करता है $P$.

अंकगणित

पियानों के चार अभिगृहीत $0$ और $S$, विशेषता $\omega$ में प्राकृतिक संख्या के एक मॉडल के रूप में ${\mathsf {ECST}}$, चर्चा की गई है। आदेश$<$सदस्यता द्वारा प्राकृतिक संख्या पर कब्जा कर लिया जाता है$\in$इस वॉन न्यूमैन मॉडल में और यह सेट असतत है, यानी समानता भी निर्णायक है। दरअसल, हेटिंग अंकगणित भी साबित करता है

${\mathsf {HA}}\vdash \forall n.\forall m.{\big (}(n=m)\lor \neg (n=m){\big )}$ प्रथम कोटि का सिद्धांत ${\mathsf {HA}}$ पियानो अंकगणित के समान गैर-तार्किक स्वयंसिद्ध हैं।

आगमन का विवरण अगले पैराग्राफ में दिया गया है। फिर, यह स्पष्ट किया जाता है कि द्विआधारी कार्यों के योग के अस्तित्व को साबित करने के लिए कौन सा सेट सिद्धांत स्वयं सिद्ध होना चाहिए$+$और गुणन$\times$शून्य और उत्तराधिकारी के उनके संबंधित संबंध के साथ।

ईसीएसटी में मध्यम प्रेरण

इन्फिनिटी के स्वयंसिद्ध में दूसरा सार्वभौमिक परिमाणित संयोजन सभी के लिए गणितीय आगमन को व्यक्त करता है $x$ प्रवचन के ब्रह्मांड में, यानी सेट के लिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि सेट $x$ विधेय और परिणामी के अनुरूप पढ़ा जा सकता है $\omega \subset x$ बताता है कि सभी $n\in \omega$ उक्त विधेय को पूरा करें। इसलिए ${\mathsf {ECST}}$ सभी विधेय के लिए आगमन सिद्ध करता है $\phi (n)$ केवल सेट-बाउंडेड क्वांटिफायर शामिल हैं। किसी भी विधेय के लिए गणितीय प्रेरण का अधिक मजबूत स्वयंसिद्ध हालांकि निर्धारित सिद्धांत भाषा को भी हमारे विकास में इस बिंदु पर अपनाया जा सकता है। वह इंडक्शन सिद्धांत पूर्ण (यानी अबाधित) पृथक्करण के साथ-साथ (पूर्ण) सेट इंडक्शन से अनुसरण करता है।

नोट: आगमन कथनों के नामकरण में, किसी को यह ध्यान रखना चाहिए कि शब्दावली को अंकगणितीय सिद्धांतों के साथ भ्रमित न करें। प्राकृतिक संख्या अंकगणित का प्रथम-क्रम इंडक्शन स्कीमा सभी विधेय के लिए इंडक्शन का दावा करता है, जो प्रथम-क्रम अंकगणित की भाषा में निश्चित है, अर्थात् केवल संख्याओं का विधेय। तो के स्वयंसिद्ध स्कीमा की व्याख्या करने के लिए ${\mathsf {HA}}$, कोई इन अंकगणितीय सूत्रों की व्याख्या करता है। कोई दूसरे क्रम के अंकगणित में शामिल होने के बारे में भी बोल सकता है, स्पष्ट रूप से प्राकृतिक के सबसेट के लिए व्यक्त किया गया। उपसमुच्चयों की श्रेणी को पहले क्रम के अंकगणित परिभाषित करने योग्य सूत्रों की तुलना में सूत्रों के एक समृद्ध संग्रह के अनुरूप लिया जा सकता है। विशिष्ट समुच्चय सिद्धांत जैसे कि यहां चर्चा की गई है, वे भी पहले क्रम के हैं, लेकिन वे सिद्धांत अंकगणित नहीं हैं और इसलिए सूत्र प्राकृतिक के उपसमुच्चय पर भी परिमाणित कर सकते हैं। अंत में, उस संदर्भ में परिबद्ध परिमाणीकरण का मतलब है कि जो कुछ भी सेट होने के लिए स्थापित किया गया है, उसके तत्वों पर मात्रा का ठहराव।

रिकर्सन

में ${\mathsf {ECST}}$, कई गणितीय कथनों को प्रति व्यक्तिगत सेट में सिद्ध किया जा सकता है, सार्वभौमिक परिमाणीकरण से जुड़े कई सूत्रों के विपरीत, जैसा कि संभव होगा, उदाहरण के लिए, कक्षाओं के लिए एक प्रेरण सिद्धांत के साथ। इसके साथ, बुनियादी गणित के एक अच्छे हिस्से के लिए औपचारिक रूपरेखा के रूप में अब तक सूचीबद्ध सेट थ्योरी एक्सिओम्स पर्याप्त हैं। उस ने कहा, रचनात्मक सेट सिद्धांत ${\mathsf {ECST}}$ वास्तव में क्या होगा की कार्य परिभाषाओं के लिए आदिम पुनरावर्तन को सक्षम नहीं करता है $h\colon (x\times \omega )\to y$. वास्तव में, प्रतिस्थापन स्वयंसिद्ध होने के बावजूद, सिद्धांत अतिरिक्त कार्य को सिद्ध नहीं करता है $+\colon (\omega \times \omega )\to \omega$ एक निर्धारित कार्य होना। उसके पार जाना ${\mathsf {ECST}}$ अंकगणित के संबंध में, पुनरावृत्ति-चरण सेट कार्यों के माध्यम से सेट कार्यों की पुनरावर्ती परिभाषा को जोड़ा जाना चाहिए: किसी भी सेट के लिए $y$, सेट $z\in y$ और $f\colon y\to y$, एक फ़ंक्शन भी मौजूद होना चाहिए $g\colon \omega \to y$ पूर्व का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात् ऐसा $g(0)=z$ और $g(Sn)=f(g(n))$. पुनरावर्तन # पुनरावर्तन प्रमेय ट्रांसफ़िनेट इंडक्शन # ट्रांसफ़िनेट रिकर्सन के समान है, सिवाय इसके कि यह सेट फ़ंक्शंस और परिमित क्रमों तक सीमित है, अर्थात सीमा अध्यादेश ों के बारे में कोई खंड नहीं है। यह श्रेणी सिद्धांत में एक प्राकृतिक संख्या वस्तु के सेट सैद्धांतिक समकक्ष के रूप में कार्य करता है। इसके बाद यह हेटिंग अंकगणित की पूर्ण व्याख्या को सक्षम बनाता है ${\mathsf {HA}}$ हमारे सेट सिद्धांत में, जोड़ और गुणन कार्यों सहित।

इसके साथ परिमेय संख्याओं का अंकगणित ${\mathbb {Q} }$ फिर भी परिभाषित किया जा सकता है और इसके गुण, जैसे विशिष्टता और गणनीयता, सिद्ध हो सकते हैं। इसके साथ एक सेट थ्योरी यह भी साबित करेगी कि, किसी भी नेचुरल के लिए $n$ और $m$, फ़ंक्शन रिक्त स्थान

${\{0,1,\dots ,n-1\}}\to {\{0,1,\dots ,m-1\}}$

सेट हैं। (एक तरफ के रूप में, ध्यान दें कि, इसके अलावा, इस पुनरावृति स्कीमा का एक बंधा हुआ संस्करण जो एक अद्वितीय के अस्तित्व को अनुदान देता है $g$, के संबंध में हर सेट के लिए एक सकर्मक बंद होने के अस्तित्व को साबित करता है $\in$.)

अब इसके विपरीत, वर्तनी का एक प्रमाण, ${\mathsf {HA}}$-मॉडल सक्षम करने वाला पुनरावृत्ति सिद्धांत उन कार्यों के संग्रह पर आधारित हो सकता है जिन्हें कोई संघ के रूप में लिखना चाहेगा $\cup _{n\in \omega }y^{\{0,1,\dots ,n-1\}}$. इसका अस्तित्व तब सिद्ध हो जाता है जब यह दावा किया जाता है कि अलग-अलग कार्य परिमित डोमेन पर सेट में स्थान बनाते हैं $y$ फॉर्म खुद सेट करता है। उस सिद्धांत को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\forall (n\in \omega ).\forall y.\ \ \exists h.h=y^{n}$

यह हमारे सिद्धांत में सीधे अंकगणितीय सिद्धांतों को सीधे एम्बेड करने के बजाय, अधिक सेट सैद्धांतिक स्वाद के एक और भी मजबूत स्वयंसिद्ध को अपनाने के लिए प्रेरित करना चाहिए। यह अधिक सेट सैद्धांतिक घातांक स्वयंसिद्ध, हालांकि, अभी भी सेट पर क्वांटिफायर वाले सूत्रों के लिए पूर्ण प्रेरण स्कीमा साबित नहीं करेगा।

अनंत के बिना प्रेरण

बेशुमार सेटों पर चर्चा करने से पहले (यहां तक ​​​​कि शास्त्रीय रूप से), यहां एक कदम पीछे हटते हैं ${\mathsf {BCST}}$, ध्यान दें कि इंडक्शन स्कीमा को बिना किसी धारणा के अपनाया जा सकता है कि नैचुरल का संग्रह एक सेट के रूप में मौजूद है। यह ध्यान देने योग्य है कि एडवर्ड नेल्सन#फाउंडेशन ऑफ मैथेमेटिक्स के कार्यक्रम में, गणितीय प्रेरण स्कीमा की आलोचना की गई है क्योंकि संभवत: इम्प्रिडिकेटिविटी है, जब प्राकृतिक संख्याओं को उस वस्तु के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस स्कीमा को पूरा करती है, जो स्वयं सभी नैचुरल के संदर्भ में परिभाषित होती है। . प्राकृतिक संख्या अंकगणित के सिद्धांतों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम मान्यताओं का प्रमाण सिद्धांत में गहन अध्ययन किया जाता है और स्वाभाविक रूप से पहले और दूसरे क्रम के अंकगणितीय सिद्धांतों में अंतर्दृष्टि के रूप में तैयार किया जाता है।

परिबद्ध अंकगणित से शुरू होने वाले शास्त्रीय सिद्धांत विभिन्न प्रेरण, परिबद्धता और कम से कम संख्या के सिद्धांतों को अपनाते हैं और विशेष कार्यों के लिए प्रतीकों को जोड़ सकते हैं। पहले क्रम की ओर, यह रॉबिन्सन अंकगणित के बीच सिद्धांतों की ओर जाता है ${\mathsf {Q}}$ और पीनो अंकगणित ${\mathsf {PA}}$: सिद्धांत ${\mathsf {Q}}$ कोई प्रेरण नहीं है। ${\mathsf {PA}}$ अंकगणितीय सूत्रों के लिए पूर्ण गणितीय प्रेरण है और एप्सिलॉन संख्याएं (गणित) हैं। क्रमसूचक $\varepsilon _{0}$, जिसका अर्थ है कि सिद्धांत केवल प्राकृतिक पर पुनरावर्ती संबंध के रूप में कमजोर सिद्धांतों के अध्यादेशों को सांकेतिक शब्दों में बदलना देता है। कुछ और ग्रेज़गोर्स्की पदानुक्रम के लिए समग्रता के प्रमाण के संबंध में अच्छी तरह से अध्ययन किए गए अंकगणितीय सिद्धांतों में से कई कमजोर हैं। अंकगणित के कुछ सबसे बुनियादी उदाहरणों में प्राथमिक कार्य अंकगणित शामिल हैं ${\mathsf {EFA}}$, जिसमें केवल सीमित अंकगणितीय फ़ार्मुलों के लिए प्रेरण शामिल है, यहाँ परिमित संख्या श्रेणियों पर क्वांटिफायर के साथ अर्थ है। सिद्धांत का एक क्रमसूचक विश्लेषण क्रमसूचक (कम से कम सिद्ध रूप से पुनरावर्ती सुव्यवस्था नहीं) है $\omega ^{3}$. $\Sigma _{1}^{0}$वें>-अंकगणितीय अस्तित्वगत सूत्रों के लिए इंडक्शन स्कीमा, नेचुरल के उन गुणों के लिए इंडक्शन की अनुमति देता है, जिसकी मान्यता अनबाउंड (किसी भी, लेकिन परिमित) रनटाइम के साथ एक परिमित खोज के माध्यम से गणना योग्य है। स्कीमा भी शास्त्रीय रूप से समकक्ष है $\Pi _{1}^{0}$-इंडक्शन स्कीमा। अपेक्षाकृत कमजोर शास्त्रीय प्रथम-क्रम अंकगणित जो उस स्कीमा को अपनाता है, निरूपित किया जाता है ${\mathsf {I\Sigma }}_{1}$ और आदिम पुनरावर्ती कार्य ों को कुल सिद्ध करता है। सिद्धांत ${\mathsf {I\Sigma }}_{1}$ है $\Pi _{2}^{0}$आदिम पुनरावर्ती अंकगणित पर रूढ़िवादी ${\mathsf {PRA}}$. ध्यान दें कि $\Sigma _{1}^{0}$-प्रेरण दूसरे क्रम के तर्क का भी हिस्सा है | दूसरे क्रम का उल्टा गणित उल्टा गणित # आधार प्रणाली RCA0 | आधार प्रणाली ${\mathsf {RCA}}_{0}$, इसके अन्य स्वयंसिद्ध हैं ${\mathsf {Q}}$ प्लस $\Delta _{1}^{0}$- भीलों के सबसेट की समझ। सिद्धांत ${\mathsf {RCA}}_{0}$ है $\Pi _{1}^{1}$-रूढ़िवादी खत्म ${\mathsf {I\Sigma }}_{1}$. उन अंतिम उल्लिखित अंकगणितीय सिद्धांतों में सभी क्रमिक हैं $\omega ^{\omega }$.

आइए हम इससे आगे एक और कदम का उल्लेख करें $\Sigma _{1}^{0}$-इंडक्शन स्कीमा। मजबूत इंडक्शन स्कीमा की कमी का मतलब है, उदाहरण के लिए, कबूतर छेद सिद्धांत के कुछ अनंत संस्करण अप्राप्य हैं। रैमसे प्रमेय प्रकार का एक अपेक्षाकृत कमजोर दावा यहां निम्नानुसार व्यक्त किया गया है: किसी के लिए $m>0$ और एक रंगीन मानचित्र का कोडिंग $f$, प्रत्येक को जोड़ रहा है $n\in \omega$ एक रंग के साथ $\{0,1,\dots ,m-1\}$, ऐसा नहीं है कि हर रंग के लिए $c<m$ एक दहलीज इनपुट संख्या मौजूद है $n_{c}$ जिसके आगे $c$ अब मैपिंग रिटर्न वैल्यू कभी नहीं है। इस तरह के निषेध को फिर से लिखने और इसे साबित करने के लिए मात्र अस्तित्वगत बयानों के लिए प्रेरण के रूप में उच्च संकेत की आवश्यकता है। सभी काल्पनिक के आधार पर, एक संयुक्त दहलीज संख्या के अस्तित्व की उपेक्षा के रूप में इसे फिर से लिखना $n_{c}$का, जिसके आगे फ़ंक्शन को अभी भी कुछ रंग मान प्राप्त करना होगा। अधिक विशेष रूप से, आवश्यक इंडक्शन, बाउंडिंग और कम से कम संख्या सिद्धांतों की ताकत # सिद्धांतों के बीच इंडक्शन स्कीमा में संबंध ${\mathsf {I\Sigma }}_{1}^{0}$ और ${\mathsf {I\Sigma }}_{2}^{0}$. परिमित डोमेन पर कार्यों के वापसी मूल्यों के संदर्भ में संपत्तियों के लिए, सभी संभावित इनपुटों की जांच के माध्यम से क्रूर बल सत्यापन में कम्प्यूटेशनल ओवरहेड होता है जो डोमेन के आकार में बड़ा होता है, लेकिन हमेशा परिमित होता है। के रूप में एक प्रेरण स्कीमा की स्वीकृति ${\mathsf {I\Sigma }}_{2}^{0}$ पूर्व तथाकथित अनंत कबूतर छेद सिद्धांत को मान्य करता है, जो असीमित डोमेन से संबंधित है, और ऐसा ही असीमित कई इनपुट के साथ मैपिंग के बारे में है। शास्त्रीय संदर्भ में, रंगों के बारे में यह दावा सेट के संदर्भ में सकारात्मक रूप से अभिव्यक्त किया जा सकता है, यह कहते हुए कि हमेशा कम से कम एक वापसी मूल्य मौजूद होता है $k$ ऐसा कि, प्रभाव में, कुछ अनंत डोमेन के लिए $K\subset \omega$ यह मानता है $\forall (n\in K).f(n)=k$. शब्दों में, कब $f$ अनंत प्रगणित असाइनमेंट प्रदान करता है, जिनमें से प्रत्येक एक का है $m$ विभिन्न संभावित रंग, फिर एक विशेष $k$ असीम रूप से कई संख्याओं को रंगने का दावा किया जाता है और सेट को निर्दिष्ट किया जा सकता है। जब रचनात्मक रूप से पढ़ा जाएगा, तो कोई चाहेगा $k$ ठोस रूप से निर्दिष्ट होना।

कम अंकगणितीय पदानुक्रम की समझ के साथ उच्च-क्रम शास्त्रीय अंकगणित कमजोर सेट सिद्धांतों के लिए एक प्रासंगिक संदर्भ बिंदु है, क्योंकि उनकी भाषा केवल अंकगणितीय सेट ों को व्यक्त नहीं करती है, जबकि प्राकृतिक के सभी सेट विशेष रूप से ऐसे सिद्धांत मौजूद हैं जो केवल गणना योग्य सेट हैं। रचनात्मक उलटा गणित, जिसमें अनिर्णनीय वाक्यों के लिए दोहरे निषेध उन्मूलन का अभाव है, एक क्षेत्र के रूप में मौजूद है लेकिन अपने शास्त्रीय समकक्ष की तुलना में कम विकसित है।

घातांक

क्लासिक ${\mathsf {ZFC}}$ पावर सेट एक्सिओम के बिना अभी भी वास्तविक के सभी मौजूदा सेट उप गणनीय होने के साथ संगत है, और यहां तक ​​​​कि गणनीय भी है। संभावित विकल्प सिद्धांतों पर चर्चा की गई, पृथक्करण स्कीमा का एक कमजोर रूप पहले से ही अपनाया गया था, और अधिक मानक ${\mathsf {ZFC}}$ अधिक विधेय और रचनात्मक सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों को कमजोर किया जाएगा। उनमें से पहला पावरसेट स्वयंसिद्ध है, जिसे विशिष्ट कार्यों के स्थान के रूप में अपनाया जाता है, जो स्वयं बिल्कुल निर्णायक उपवर्गों से बंधा होता है। तो स्वयंसिद्ध पर विचार करें ${\mathrm {Exp} }$.

Exponentiation $\forall x.\forall y.\ \ \exists h.\forall f.{\big (}f\in h\leftrightarrow f\in y^{x}{\big )}$

यहाँ सूत्रीकरण फ़ंक्शन रिक्त स्थान के लिए सुविधाजनक अंकन का उपयोग करता है। अन्यथा स्वयंसिद्ध लंबा, लक्षण वर्णन है $h$ कुल फलन विधेय में परिबद्ध परिमाणकों का उपयोग करना। शब्दों में, अभिगृहीत कहती है कि दिए गए दो समुच्चय हैं $x,y$, कक्षा $y^{x}$ सभी कार्यों का, वास्तव में, एक सेट भी है। यह निश्चित रूप से आवश्यक है, उदाहरण के लिए, आंतरिक आदमी-संचालक जैसे ऑब्जेक्ट मैप को औपचारिक रूप देने के लिए ${\mathrm {hom} }({\mathbb {N} },-)$.

एक्सपोनेंटिएशन जैसे एक्सिस्टेंस स्टेटमेंट्स, यानी फंक्शन स्पेस सेट होने के कारण, बाउंडेड सेपरेशन के जरिए ज्यादा सेट्स की व्युत्पत्ति को सक्षम करते हैं। स्वयंसिद्ध को अपनाना, परिमाणीकरण $\forall f$ कार्यों के कुछ वर्गों के तत्वों पर केवल एक सेट पर सीमा होती है, वह भी तब जब ऐसे कार्य स्थान शास्त्रीय रूप से बेशुमार होते हैं। उदा. सभी कार्यों का संग्रह $f\colon \omega \to 2$ कहां $2=\{0,1\}$, यानी सेट $2^{\mathbb {N} }$ कैंटर स्पेस के अंतर्निहित बिंदुओं की संख्या, कैंटर के विकर्ण तर्क द्वारा बेशुमार है, और इसे एक सबकाउंटेबल सेट के रूप में लिया जा सकता है। (इस खंड में और आगे, भावों में प्राकृतिक संख्याओं के सेमिरिंग के लिए प्रतीक $y^{\mathbb {N} }$ प्रयोग किया जाता है, या लिखा जाता है $\omega \to y$, केवल कार्डिनल के संयोजन से बचने के लिए - क्रमसूचक घातांक के साथ।) मोटे तौर पर, शास्त्रीय रूप से बेशुमार सेटों में गणनात्मक रूप से निर्णायक समानता नहीं होती है।

गणनीय सेट पर

कबूतर के छेद के सिद्धांत के असंख्य रूपों को अब सिद्ध किया जा सकता है, उदा। कि एक सूक्ष्म रूप से गणना योग्य सेट पर, प्रत्येक इंजेक्शन भी एक विशेषण है। अंत में, सभी परिमित समुच्चय परिमित होते हैं। सबफिनिट सम्मान के परिवार का सूक्ष्म रूप से गणनीय संघ। सबकाउंटेबल सेट अपने आप में सबफिनिट सम्मान है। उपगणनीय।

गणना कार्यों के किसी भी गणनीय परिवार के लिए उनकी सीमाओं के साथ, सिद्धांत उन श्रेणियों के संघ को गणना योग्य साबित करता है। स्मरण करो कि शास्त्रीय भी नहीं ${\mathsf {ZF}}$ (बिना गणनीय विकल्प के) गणनीय सेटों के एक गणनीय संघ को गणनीय साबित करता है, क्योंकि इसके लिए कार्यों के असीम रूप से कई अस्तित्वगत तात्कालिकता की आवश्यकता होती है। घातांक के साथ, एक गणनीय समुच्चय पर सभी परिमित अनुक्रमों का मिलन अब एक गणनीय समुच्चय है।

डोमेन के रूप में परिमित वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल्स के साथ फ़ंक्शन स्पेस के साथ, हम मॉडल कर सकते हैं ${\mathsf {HA}}$ जैसा कि चर्चा की गई है और इस प्रकार अंकगणित में अध्यादेशों को सांकेतिक शब्दों में बदल सकते हैं। इसके बाद एक क्रमसूचक अंकगणित#Exponentiation-exponentiated संख्या प्राप्त करता है $\omega ^{\omega }$ एक सेट के रूप में, जिसे इस रूप में चित्रित किया जा सकता है $\cup _{n\in \omega }\omega ^{n}$. संबंधित रूप से, समुच्चय सिद्धांत तब प्राकृतिक पर किसी आदिम पुनरावर्ती क्रिया के अस्तित्व को भी सिद्ध करता है $\omega$, बेशुमार सेट में सेट फ़ंक्शन के रूप में $\omega \to \omega$.

जहाँ तक समझ है, आश्रित या अनुक्रमित उत्पाद $\Pi _{i\in x}\,y_{i}$ अब सेट हैं। सिद्धांत अब एक सेट होने के लिए किसी भी सेट (संग्रह पावरक्लास का एक उपवर्ग है) के सभी गणनीय उपसमुच्चय का संग्रह साबित करता है।

किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों का वर्ग

वर्ग का लक्षण वर्णन ${\mathcal {P}}_{x}$ एक सेट के सभी उपसमुच्चय $x$ असीमित सार्वभौमिक मात्रा का ठहराव शामिल है, अर्थात् $\forall u.\left(u\subset x\leftrightarrow u\in {\mathcal {P}}_{x}\right)$. यहां $\subset$ सदस्यता विधेय के संदर्भ में परिभाषित किया गया है $\in$ के ऊपर। तो एक गणितीय सेट थ्योरी फ्रेमवर्क में, पावर क्लास को उसके घटकों से नीचे-ऊपर के निर्माण में परिभाषित नहीं किया गया है (जैसे किसी सूची पर एक एल्गोरिथ्म, जैसे कि नक्शे $\langle a,b\rangle \mapsto \langle \langle \rangle ,\langle a\rangle ,\langle b\rangle ,\langle a,b\rangle \rangle$) लेकिन समग्र सेट की समझ में। यदि ${\mathcal {P}}_{x}$ एक ऐसा समुच्चय है, जो परिमाणीकरण को परिभाषित करता है, जिसकी सीमा भी अधिक होती है ${\mathcal {P}}_{x}$, जो पॉवरसेट के स्वयंसिद्ध को अप्रतिबंधात्मक बनाता है। कथन $y={\mathcal {P}}_{x}$ ही लेवी पदानुक्रम|है $\Pi _{1}$.

बिना बहिष्कृत मध्य के एक सिद्धांत में शक्ति वर्ग की समृद्धि को छोटे शास्त्रीय परिमित सेटों पर विचार करके सबसे अच्छी तरह समझा जा सकता है। किसी भी प्रस्ताव के लिए $P$, कक्षा $\{x\in \{0\}\mid P\}\subset \{0\}$ बराबरी $0$ कब $P$ अस्वीकार किया जा सकता है और $1$ (अर्थात। $\{0\}$) कब $P$ सिद्ध किया जा सकता है, परन्तु $P$ बिल्कुल भी निर्णायक नहीं हो सकता है। तीन अलग-अलग अनिर्णीत प्रस्तावों पर विचार करें, जिनमें से कोई भी सिद्ध रूप से दूसरे को इंगित नहीं करता है। उनका उपयोग सिंगलटन के तीन उपवर्गों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है $\{0\}$, जिनमें से कोई भी सिद्ध रूप से एक जैसा नहीं है। इस दृष्टि से, शक्ति वर्ग ${\mathcal {P}}_{1}$ सिंगलटन का, आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $\Omega$, कहा जाता है सत्य मूल्य सेट $2^{x}$ का $\{0,1\}$एक सेट पर मूल्यवान कार्य $x$ फंक्शन स्पेस में इंजेक्ट करता है ${{\mathcal {P}}_{1}}^{x}$ और केवल इसके पर्णपाती उपसमुच्चय से मेल खाता है।

यह बताया गया है कि खाली सेट $0$ और सेट $1$ के ही दो उपसमुच्चय हैं $1$. चाहे भी ${\mathcal {P}}_{1}\subset \{0,1\}$ एक सिद्धांत में सच है एक साधारण संयोजन पर आकस्मिक है:

${\big (}\forall x.x\subset 1\to (0\in x\lor 0\notin x){\big )}\to {\mathcal {P}}_{1}\subset \{0,1\}$.

तो मान रहे हैं ${\mathrm {PEM} }$ केवल बंधे हुए सूत्रों के लिए, विधेय पृथक्करण तब किसी को यह प्रदर्शित करने देता है कि powerclass ${\mathcal {P}}_{1}$ एक सेट है। घातांक के साथ, ${\mathcal {P}}_{1}$ एक सेट होने का अर्थ पहले से ही सामान्य रूप से सेट के लिए पावरसेट है। सबूत के संघ के प्रतिस्थापन के माध्यम से है $f\in {{\mathcal {P}}_{1}}^{x}$ को $\{z\in x\mid 0\in f(z)\}\in {\mathcal {P}}_{x}$, और एक तर्क कि क्यों सभी उपसमुच्चयों को शामिल किया गया है। तो इस सन्दर्भ में भी Full Choice ही Powerset को सिद्ध करती है. इसके अलावा, परिबद्ध बहिष्कृत मध्य के साथ, ${\mathcal {P}}_{x}$ से आपत्ति है $2^{x}$. यह सभी देखें ${\mathsf {IZF}}$.

पूर्ण पृथक्करण केवल यह मानने के बराबर है कि प्रत्येक व्यक्तिगत उपवर्ग $1$ एक सेट है। पूर्ण वियोग मानकर पूर्ण विकल्प और नियमितता दोनों सिद्ध होते हैं ${\mathrm {PEM} }$.

संबंधित, मानते हुए ${\mathrm {PEM} }$ इस सिद्धांत में, सेट इंडक्शन नियमितता के बराबर हो जाता है और प्रतिस्थापन पूर्ण पृथक्करण साबित करने में सक्षम हो जाता है।

धातुविज्ञान

जबकि सिद्धांत ${\mathsf {ECST}}+{\mathrm {Exp} }$ हेटिंग अंकगणित की निरंतरता शक्ति से अधिक नहीं है, बहिष्कृत मध्य को जोड़ने से शास्त्रीय के समान प्रमेय साबित करने वाला सिद्धांत मिलता है ${\mathsf {ZF}}$ माइनस नियमितता! इस प्रकार, नियमितता के साथ-साथ या तो जोड़ना ${\mathrm {PEM} }$ या पूर्ण पृथक्करण ${\mathsf {ECST}}+{\mathrm {Exp} }$ पूर्ण शास्त्रीय देता है ${\mathsf {ZF}}$. फुल चॉइस और फुल सेपरेशन को जोड़ने से मिलता है ${\mathsf {ZFC}}$ ऋण नियमितता।

तो यह इस प्रकार विशिष्ट प्रकार के सिद्धांत की ताकत से परे एक सिद्धांत का नेतृत्व करेगा।

श्रेणी और प्रकार सैद्धांतिक विचार

तो इस संदर्भ में घातांक के साथ, फ़ंक्शन रिक्त स्थान उपसमुच्चय की कक्षाओं की तुलना में अधिक सुलभ हैं, जैसा कि घातीय वस्तु ओं सम्मान के मामले में है। श्रेणी सिद्धांत में विषय। श्रेणी सिद्धांत शर्तों में, सिद्धांत ${\mathsf {BCST}}+{\mathrm {Exp} }$ अनिवार्य रूप से रचनात्मक रूप से अच्छी तरह से इंगित श्रेणी से मेल खाता है | अच्छी तरह से इंगित कार्टेशियन बंद हेटिंग बीजगणित एक प्राकृतिक संख्या वस्तु (जब भी अनंतता को अपनाया जाता है) के साथ प्रस्तुत करता है। पावरसेट का अस्तित्व वह है जो हेटिंग प्रीटोपोस को प्राथमिक टॉपोस में बदल देगा। हर ऐसा टोपो जो व्याख्या करता है ${\mathsf {ZF}}$ बेशक इन कमजोर सिद्धांतों का एक मॉडल है, लेकिन स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद प्रस्ताव को परिभाषित किया गया है कि उदा। घातांक के साथ सिद्धांतों की व्याख्या करें लेकिन पूर्ण पृथक्करण और पॉवरसेट को अस्वीकार करें। का रूप ${\mathrm {PEM} }$ पूरक वाले किसी भी सबऑब्जेक्ट से मेल खाता है, जिस स्थिति में हम टोपोस बूलियन कहते हैं। डियाकोनेस्कू की प्रमेय अपने मूल टोपोस रूप में कहती है कि अगर दो गैर-प्रतिच्छेदी एकरूपता के किसी भी सह-तुल्यकारक का एक खंड है तो यह धारण करता है। उत्तरार्द्ध पसंद का स्वयंसिद्ध # समकक्ष है। ज्यामितीय तर्क | बर्र के प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी टोपोस उस पर बूलियन टोपोस से एक अनुमान को स्वीकार करता है, शास्त्रीय बयानों से संबंधित सहज रूप से सिद्ध होता है।

टाइप थ्योरी में, अभिव्यक्ति$x\to y$अपने आप में मौजूद है और फ़ंक्शन रिक्त स्थान, एक आदिम धारणा को दर्शाता है। ये प्रकार (या, सेट सिद्धांत, वर्ग या सेट में) स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं, उदाहरण के लिए, के बीच करी ने वाले आक्षेप के प्रकार के रूप में $(z\times x)\to y$ और $z\to y^{x}$, एक सहायक फ़ैक्टर। सामान्य प्रोग्रामिंग क्षमता के साथ एक विशिष्ट प्रकार का सिद्धांत - और निश्चित रूप से वे जो मॉडल कर सकते हैं ${\mathsf {CZF}}$, जिसे एक रचनात्मक सेट सिद्धांत माना जाता है - इसमें एक प्रकार का पूर्णांक और फ़ंक्शन रिक्त स्थान होगा ${\mathbb {Z} }\to {\mathbb {Z} }$, और ऐसे में ऐसे प्रकार भी शामिल हैं जो गणनीय नहीं हैं। यह केवल कहने के लिए है, या तात्पर्य है, कि कार्य शर्तों के बीच $f\colon {\mathbb {Z} }\to ({\mathbb {Z} }\to {\mathbb {Z} })$किसी में भी आक्षेप होने का गुण नहीं है।

संयोजन तर्क के संदर्भ में रचनात्मक सेट सिद्धांतों का भी अध्ययन किया जाता है।

विश्लेषण

इस खंड में की ताकत ${\mathsf {ECST}}+{\mathrm {Exp} }$ विस्तृत किया गया है। संदर्भ के लिए, संभावित और सिद्धांतों का उल्लेख किया गया है, जो आवश्यक रूप से शास्त्रीय नहीं हैं और आमतौर पर रचनात्मक भी नहीं माने जाते हैं। यहाँ एक सामान्य चेतावनी क्रम में है: गणना योग्य संदर्भ में प्रस्ताव समतुल्यता के दावों को पढ़ते समय, किसी को हमेशा पता होना चाहिए कि कौन सा विकल्प, प्रेरण और समझ के सिद्धांत चुपचाप मान लिए गए हैं। संबंधित रचनात्मक विश्लेषण और संगणनीय विश्लेषण भी देखें।

कॉची सीक्वेंस

घातांक का तात्पर्य पुनरावर्तन सिद्धांत और इसी तरह है ${\mathsf {ECST}}+{\mathrm {Exp} }$, कोई भी अनुक्रमों के बारे में आराम से तर्क कर सकता है $s\colon \omega \to {\mathbb {Q} }$, उनकी नियमितता गुण जैसे $|s_{n}-s_{m}|\leq {\tfrac {1}{n}}+{\tfrac {1}{m}}$, या अंतराल में सिकुड़ने के बारे में $\omega \to ({\mathbb {Q} }\times {\mathbb {Q} })$. तो यह कॉची क्रमों और उनके अंकगणित के बारे में बात करने में सक्षम बनाता है।

कॉची रियल

कोई भी कौशी वास्तविक संख्या अनुक्रमों का एक संग्रह है, अर्थात कार्यों के एक सेट का सबसेट $\omega$. ऐसे अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों की वास्तविक संख्या को हमेशा पूर्णता प्रदान करने के लिए अधिक स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है और सभी कॉशी अनुक्रमों के लिए अभिसरण के मापांक के अस्तित्व को लागू करने के लिए मजबूत सिद्धांतों की आवश्यकता होती है। कमजोर गणनीय विकल्प आम तौर पर कॉची रियल की श्रेणी बद्धता को पूर्ण (छद्म-) आदेशित क्षेत्र के रूप में साबित करने के लिए संदर्भ है। यहाँ छद्म उपसर्ग इस बात पर प्रकाश डालता है कि आदेश, किसी भी मामले में, रचनात्मक रूप से हमेशा निर्णायक नहीं होगा।

डेडेकाइंड रियल की ओर

शास्त्रीय सिद्धांत की तरह, डेडेकाइंड कट # परिभाषा को बीजगणितीय संरचनाओं के उपसमुच्चय जैसे कि ${\mathbb {Q} }$: बसे हुए होने के गुण, ऊपर की ओर संख्यात्मक रूप से बंधे हुए, नीचे की ओर बंद और ऊपर की ओर खुले हुए बीजगणितीय संरचना के नीचे दिए गए सेट के संबंध में सभी बंधे हुए सूत्र हैं। कट का एक मानक उदाहरण, वास्तव में इन गुणों को प्रदर्शित करने वाला पहला घटक, का प्रतिनिधित्व है ${\sqrt {2}}$ के द्वारा दिया गया

${\big \langle }\{x\in {\mathbb {Q} }\mid x<0\lor x^{2}<2\},\,\{x\in {\mathbb {Q} }\mid 0<x\land 2<x^{2}\}{\big \rangle }\,\ \in \,\ {{\mathcal {P}}_{\mathbb {Q} }}\times {{\mathcal {P}}_{\mathbb {Q} }}$

(कटौती के लिए परिपाटी के आधार पर, दो भागों में से कोई भी, या यहाँ की तरह, चिन्ह का उपयोग नहीं कर सकता है $\leq$.)

अभिगृहीतों द्वारा दिया गया सिद्धांत अब तक पुष्टि करता है कि एक छद्म-आदेशित क्षेत्र जो कि आर्किमिडीयन संपत्ति भी है और डेडेकिंड पूर्ण है, यदि यह बिल्कुल भी मौजूद है, इस तरह से समरूपता तक विशिष्ट रूप से विशेषता है। हालांकि, केवल फ़ंक्शन रिक्त स्थान जैसे अस्तित्व $\{0,1\}^{\mathbb {Q} }$ अनुदान नहीं देता ${{\mathcal {P}}_{\mathbb {Q} }}$ एक सेट होने के लिए, और इसलिए न तो सभी उपसमूहों का वर्ग है ${\mathbb {Q} }$ जो नामित गुणों को पूरा करते हैं। डेडेकाइंड रियल के वर्ग के लिए एक सेट होना आवश्यक है, जो कि सबसेट के एक सेट के अस्तित्व के संबंध में एक स्वयंसिद्ध है और इस पर आगे बाइनरी शोधन पर अनुभाग में चर्चा की गई है। बिना संदर्भ में ${\mathrm {PEM} }$ या पॉवरसेट, परिमित सेटों में गणनीय विकल्प आमतौर पर डेडेकिंड रियल की बेशुमारता को साबित करने के लिए माना जाता है।

चाहे कॉची या डेडेकिंड वास्तविक हों, शास्त्रीय सिद्धांत की तुलना में वास्तविक के अंकगणित के बारे में कम कथन निर्णायकता (तर्क) हैं।

रचनात्मक विद्यालय

रचनात्मक विश्लेषण के अध्ययन में मूल्यवान गैर-रचनात्मक दावे आमतौर पर सभी बाइनरी अनुक्रमों, यानी कार्यों के संबंध में तैयार किए जाते हैं। $f\colon \omega \to \{0,1\}$. यानी ऐसे दावे जो अब बाध्य हैं$\forall (f\in 2^{\mathbb {N} })$.

सबसे प्रमुख उदाहरण सर्वज्ञता का सीमित सिद्धांत है ${\mathrm {LPO} }$, एक वियोगात्मक संपत्ति को पोस्ट करना, जैसे ${\mathrm {PEM} }$ के स्तर पर $\Pi _{1}^{0}$-वाक्य या कार्य। (गोडेल की अपूर्णता प्रमेय # दूसरी अपूर्णता प्रमेय कार्यों को कच्चे में बनाया जा सकता है ${\mathsf {PA}}$ ऐसा है कि, अगर ${\mathsf {PA}}$ संगत है, प्रतिस्पर्धी वियोग हैं ${\mathsf {PA}}$-अप्रमाणनीय।) सिद्धांत उदाहरण के लिए स्वतंत्र है। ${\mathsf {CZF}}$ नीचे पेश किया गया। उस रचनात्मक सेट सिद्धांत में, ${\mathrm {LPO} }$ इसके कमजोर संस्करण का तात्पर्य है, जो स्वयं कम संस्करण को दर्शाता है, निरूपित ${\mathrm {WLPO} }$ और ${\mathrm {LLPO} }$. ${\mathrm {LPO} }$ इसके अलावा मार्कोव के सिद्धांत का तात्पर्य है ${\mathrm {MP} }$, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का एक रूप (अनबाउंड मेमोरी क्षमता) संगणनीय खोज, साथ ही साथ $\Pi _{1}^{0}$कोनिग लेम्मा का संस्करण # रचनात्मक गणित और कॉम्पैक्टनेस के संबंध। धारण करने वाले ऐसे सिद्धांतों का उल्लेख $\Pi _{1}^{0}$-वाक्य आम तौर पर अनुक्रमों के संदर्भ में समकक्ष योगों पर संकेत देते हैं, वास्तविकताओं के अलग होने का निर्णय लेते हैं। गणनीय विकल्प के साथ रचनात्मक विश्लेषण के संदर्भ में, ${\mathrm {LPO} }$ उदा. इस दावे के समतुल्य कि प्रत्येक वास्तविक या तो तर्कसंगत या तर्कहीन है - फिर से साक्षी की आवश्यकता के बिना या तो अलग। तीन सर्वज्ञ सिद्धांत इस तरह से अलग-अलग, समानता या दो वास्तविकताओं के क्रम के प्रमेय के बराबर हैं।

यहाँ रचनात्मक विश्लेषण के सिद्धांतों में नियोजित कुछ प्रस्तावों की एक सूची है जो केवल आधार अंतर्ज्ञानवादी तर्क का उपयोग करके सिद्ध नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए देखें ${\mathrm {MP} }$ या यहां तक ​​कि विरोधी शास्त्रीय चर्च की थीसिस (रचनात्मक गणित) | रचनात्मक चर्च की थीसिस सिद्धांत ${\mathrm {CT} }$ सिद्धांत में एक अवधारणा के रूप में संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के लिए, या पुनरावर्ती गणित पक्ष पर इसके कुछ परिणाम (विभिन्न नाम से जाना जाता है) ${\mathsf {RUSS}}$, ${\mathsf {CRM}}$ या ${\mathsf {RRCM}}$). इसकी चर्चा नीचे की गई है। दूसरे छोर पर, क्रिप्के की स्कीमा हैं (के सभी उपवर्गों को बदलना $\omega$ काउंटेबल), बार प्रेरण , डिसाइडेबल फैन प्रमेय ${\mathrm {FAN} }_{\Delta }$ (जो चर्च की थीसिस के मजबूत रूपों का खंडन करता है), या यहां तक ​​​​कि ब्रोवर के एंटी-क्लासिकल निरंतरता सिद्धांत, एलईजे ब्रौवर गणितीय अंतर्ज्ञानवाद पक्ष पर, प्रारंभिक प्रारंभिक खंडों के माध्यम से चॉइस अनुक्रम पर कार्यों का निर्धारण करता है (${\mathsf {INT}}$). दोनों उल्लिखित स्कूल विरोधाभासी हैं ${\mathrm {LPO} }$, ताकि इसके कुछ कानूनों को अपनाने का चयन शास्त्रीय विश्लेषण में प्रमेयों के साथ सिद्धांत को असंगत बना दे। वे दो स्कूल भी एक दूसरे के अनुरूप नहीं हैं।

अनंत वृक्ष

कम्प्यूटेबिलिटी और अंकगणितीय पदानुक्रम के बीच संबंध के माध्यम से, इस शास्त्रीय अध्ययन में अंतर्दृष्टि रचनात्मक विचारों के लिए भी खुलासा कर रही है। रिवर्स मैथमैटिक्स की एक बुनियादी अंतर्दृष्टि कंप्युटेबल अनंत फ़ाइनली ब्रांचिंग बाइनरी ट्री से संबंधित है। ऐसा पेड़ उदा। परिमित सेट के अनंत सेट के रूप में एन्कोड किया गया

$T\,\subset \,\cup _{n\in \omega }\{0,1\}^{\{0,1,\dots ,n-1\}}$,

निर्णायक सदस्यता के साथ, और उन पेड़ों में तब मनमानी बड़े परिमित आकार के तत्व होते हैं। तथाकथित कमजोर कोनिग लेम्मा|कोनिग्स लेम्मा ${\mathrm {WKL} }$ कहते हैं: ऐसे के लिए $T$, में हमेशा एक अनंत पथ मौजूद होता है $\omega \to \{0,1\}$, यानी एक अनंत क्रम जैसे कि इसके सभी शुरुआती खंड पेड़ का हिस्सा हैं। उलटे गणित में, दूसरे क्रम का अंकगणित ${\mathsf {RCA}}_{0}$ सिद्ध नहीं होता ${\mathrm {WKL} }$. इसे समझने के लिए, ध्यान दें कि गणना योग्य पेड़ हैं $K$ जिसके लिए इसके माध्यम से कोई संगणनीय मार्ग मौजूद नहीं है। इसे साबित करने के लिए, एक यूटीएम प्रमेय अनुक्रम और फिर एक आंशिक गणना योग्य अनुक्रम में सभी कुल गणना योग्य अनुक्रमों को विकर्ण करता है $d$. फिर कोई एक निश्चित पेड़ को रोल आउट कर सकता है $K$, एक के अभी भी संभावित मूल्यों के साथ बिल्कुल संगत $d$ हर जगह, जो निर्माण द्वारा किसी भी गणना योग्य पथ के साथ असंगत है।

में ${\mathsf {CZF}}$, सिद्धांत ${\mathrm {WKL} }$ सर्वज्ञता के गैर-रचनात्मक सीमित सिद्धांत का अर्थ है ${\mathrm {LLPO} }$. अधिक रूढ़िवादी संदर्भ में, वे मानने के बराबर हैं $\Pi _{1}^{0}$-${\mathrm {AC} }_{\omega ,2}$ (एक बहुत कमजोर गणनीय विकल्प)। यह वास्तविक पर निरंतर कार्यों के मूल्यों के संबंध में ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय और अन्य प्रमेय के बराबर भी है। निश्चित बिंदु प्रमेय बदले में मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय का अर्थ है, लेकिन ध्यान रखें कि रचनात्मक संदर्भ में व्यक्त किए जाने पर शास्त्रीय प्रमेय विभिन्न रूपों में अनुवाद कर सकते हैं।

${\mathrm {WKL} }$ h> अनंत रेखांकन से संबंधित है और इसलिए इसका प्रतिपक्षी परिमितता के लिए एक शर्त देता है। फिर से विश्लेषण से जुड़ने के लिए, उलटे गणित पर #आधार प्रणाली RCA0|शास्त्रीय अंकगणितीय सिद्धांत ${\mathsf {RCA}}_{0}$, का दावा है ${\mathrm {WKL} }$ उदाहरण के लिए वास्तविक इकाई अंतराल के परिमित उपकवरों के बारे में हेइन-बोरेल प्रमेय  के बराबर है। एक अनंत संदर्भ में परिमित अनुक्रमों को शामिल करने वाला एक निकटता से संबंधित अस्तित्व का दावा निर्णायक प्रशंसक प्रमेय है ${\mathrm {FAN} }_{\Delta }$. ऊपर ${\mathsf {RCA}}_{0}$, वे वास्तव में समकक्ष हैं। में ${\mathsf {CZF}}$ वे अलग हैं, लेकिन, फिर से कुछ पसंद करने के बाद, यहाँ फिर ${\mathrm {WKL} }$ तात्पर्य ${\mathrm {FAN} }_{\Delta }$.

फंक्शन स्पेस को प्रतिबंधित करना

निम्नलिखित लघु टिप्पणी फ़ंक्शन और उनके बारे में किए गए दावों का अर्थ फिर से कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के अर्थ में है: μ ऑपरेटर सभी आंशिक सामान्य पुनरावर्ती कार्यों (या प्रोग्राम, इस अर्थ में कि वे ट्यूरिंग कम्प्यूटेशनल हैं) को सक्षम करता है, जिसमें वे भी शामिल हैं। गैर-आदिम पुनरावर्ती लेकिन ${\mathrm {PA} }$-कुल, जैसे एकरमैन समारोह ऑपरेटर की परिभाषा में नैचुरल पर विधेय शामिल है और इसलिए कार्यों का सैद्धांतिक विश्लेषण और उनकी कुल कार्यात्मक प्रोग्रामिंग औपचारिक ढांचे और प्रूफ कैलकुलस पर निर्भर करती है। अंकगणित के अलावा अन्य सिद्धांतों में स्वयंसिद्धों के साथ चिंता के कारण इसे उजागर किया गया है।

एक कार्यक्रम को पूर्ण व्यक्त करने वाला विधेय हॉल्टिंग प्रॉब्लम#हॉल्टिंग ऑन ऑल इनपुट्स है। एक विरोधी शास्त्रीय चर्च की थीसिस (रचनात्मक गणित) | रचनात्मक चर्च का सिद्धांत ${\mathrm {CT} }$, सिद्धांत की भाषा में व्यक्त, उन निर्धारित कार्यों से संबंधित है और यह बताता है कि वे संगणनीय कार्यक्रमों से मेल खाते हैं। कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत में जिन प्राकृतिक संख्याओं को सूचकांकों के रूप में माना जाता है (गणना योग्य कार्यों के लिए जो कुल हैं) हैं $\Pi _{2}^{0}$ अंकगणितीय पदानुक्रम में। कहने का तात्पर्य यह है कि यह अभी भी नैचुरल का एक उपवर्ग है और इसलिए, जब इसे कुछ शास्त्रीय कार्य स्थानों के संबंध में रखा जाता है, तो यह एक अवधारणात्मक रूप से छोटा वर्ग है। इस अर्थ में, को अपनाना ${\mathrm {CT} }$ अभिधारणा बनाती है $\omega \to \omega$ एक विरल सेट में, जैसा कि शास्त्रीय सेट सिद्धांत से देखा गया है। सेट की उपगणनीयता को भी स्वतंत्र रूप से पोस्ट किया जा सकता है।

${\mathrm {CT} }$ अभी भी कुछ पसंद के अनुरूप है, लेकिन यह शास्त्रीय रूप से मान्य सिद्धांतों का खंडन करता है जैसे ${\mathrm {LLPO} }$ और ${\mathrm {FAN} }_{\Delta }$, जो सबसे कमजोर अक्सर चर्चित सिद्धांतों में से हैं।

प्रेरण

गणितीय आगमन

निर्धारित भाषा में, प्रेरण सिद्धांत पढ़ सकते हैं $\mathrm {Ind} (A)\to \omega \subset A$, पूर्ववर्ती के साथ $\mathrm {Ind} (A)$ आगे ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, और साथ $\omega \subset A$ अर्थ $\forall (n\in \omega ).n\in A$ कहां $\omega$ हमेशा नेचुरल का सेट होता है। इन्फिनिटी और बाउंडेड सेपरेशन के मजबूत स्वयंसिद्ध के माध्यम से, बाउंडेड परिभाषाओं के लिए इंडक्शन की वैधता पहले से ही स्थापित थी।

इस बिंदु पर यह याद रखना शिक्षाप्रद है कि कैसे सेट कॉम्प्रिहेंशन विधेय तर्क में कथनों को कूटबद्ध कर रहा था। उदाहरण के लिए, दिया गया सेट $y$, होने देना $P(n)$ अस्तित्वगत कथन को निरूपित करें कि एक निश्चित कार्य स्थान सेट मौजूद है, $\exists x.x=y^{\{0,1,\dots ,n-1\}}$. यहाँ अस्तित्वगत परिमाणक केवल प्राकृतिक संख्याओं पर एक नहीं है या किसी अन्य सेट से घिरा नहीं है। अब घातांक के दावे जैसा एक प्रस्ताव $\forall (n\in \omega ).P(n)$ और उपवर्ग का दावा $\omega \subset \{n\in \omega \mid P(n)\}$, समान वांछित दावा तैयार करने के केवल दो तरीके हैं, अर्थात् a $n$अस्तित्व संबंधी प्रस्तावों का अनुक्रमित संयोजन जहां $n$ सभी नेचुरल के सेट पर फैला हुआ है। दूसरा रूप वर्ग संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें एक उपवर्ग की समझ शामिल होती है जो एक सेट का गठन नहीं कर सकता है, जिस स्थिति में कई सेट स्वयंसिद्ध लागू नहीं होंगे, ताकि इसे एक प्रमेय के रूप में स्थापित करना संभव न हो। केवल बंधे हुए पृथक्करण के साथ एक सेट सिद्धांत को केवल बाध्य लोगों से परे विधेय के लिए अंकगणितीय प्रेरण स्कीमा को अपनाकर मजबूत किया जा सकता है।

अंकगणित को समर्पित खंड में उल्लिखित सेट कार्यों के लिए पुनरावृत्ति सिद्धांत भी प्राकृतिक रूप से मॉडलिंग करने वाली संरचना पर पूर्ण प्रेरण स्कीमा द्वारा निहित है (उदा। $\omega$). तो उस प्रमेय के लिए, हेटिंग अंकगणित का एक मॉडल प्रदान करते हुए, यह घातांक के विकल्प का प्रतिनिधित्व करता है। स्कीमा अक्सर विधेय के संदर्भ में निम्नानुसार तैयार की जाती है:

Axiom schema of full mathematical induction: For any predicate $\phi$ on $\omega$, ${\Big (}\phi (0)\ \land \ \forall (k\in \omega ).{\big (}\phi (k)\to \phi (Sk){\big )}{\Big )}\to \forall (n\in \omega ).\phi (n)$

यहाँ 0 दर्शाता है $\{\}$ ऊपर के रूप में, और सेट $Sn$ के उत्तराधिकारी सेट को दर्शाता है $n\in \omega$, साथ $n\in Sn$. उपरोक्त इन्फिनिटी के एक्सिओम द्वारा, यह फिर से इसका सदस्य है $\omega$.

पूर्ण इंडक्शन स्कीमा पूर्ण पृथक्करण स्कीमा द्वारा निहित है। जैसा कि इन्फिनिटी से इंडक्शन पर अनुभाग में विस्तार से बताया गया है, यहाँ स्कीमा में सूत्रों को प्रथम-क्रम सेट सिद्धांत में सूत्रों के रूप में समझा जाना है। और जैसा कि पसंद पर अनुभाग में कहा गया है, आगमन सिद्धांत भी पसंद सिद्धांतों के विभिन्न रूपों से निहित हैं।

इंडक्शन सेट करें

फुल सेट इंडक्शन इन ${\mathsf {ECST}}$ सकर्मक समुच्चय और इसलिए सकर्मक समुच्चय या सकर्मक समुच्चय (क्रमसूचक) में प्रेरण को सिद्ध करता है। यह क्रमिक अंकगणित को सक्षम बनाता है। विशेष रूप से, यह पूर्ण गणितीय आगमन को सिद्ध करता है। नैचुरल के सेट पर इंडक्शन को साबित करने के लिए प्रतिस्थापन की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह सेट सिद्धांत के भीतर उनके अंकगणितीय मॉडल के लिए है।

यह तब इस प्रकार पढ़ता है:

Axiom schema of Set induction: For any predicate $\phi$, ${\Big (}\forall x.\,{\big (}\forall (y\in x).\ \phi (y){\big )}\to \phi (x){\Big )}\to \forall z.\phi (z)$

यहां $\forall (z\in \{\}).\phi (z)$ तुच्छ रूप से धारण करता है और इसलिए यह नीचे के मामले में शामिल होता है $\phi (\{\})$ मानक ढांचे में। सेट थ्योरी में सिर्फ बाउंडेड क्वांटिफायर # बाउंडेड क्वांटिफायर के लिए स्वयंसिद्ध संस्करण का भी स्वतंत्र रूप से अध्ययन किया जाता है और अन्य स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है।

अभिगृहीत ट्रांसफिनिट इंडक्शन#ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा वर्ग कार्यों की परिभाषा की अनुमति देता है। विभिन्न सिद्धांतों का अध्ययन जो आगमन, यानी आगमनात्मक परिभाषाओं द्वारा निर्धारित परिभाषाएँ प्रदान करते हैं, रचनात्मक सेट सिद्धांत और उनके तुलनात्मक रूप से कमजोर क्रमिक विश्लेषण के संदर्भ में एक मुख्य विषय है। यह उनके आगमनात्मक प्रकार इन टाइप थ्योरी के लिए भी लागू होता है।

नियमितता का स्वयंसिद्ध एकल कथन है जिसमें सेट पर सार्वभौमिक क्वांटिफायर होता है न कि स्कीमा। शो के रूप में, इसका तात्पर्य है ${\mathrm {PEM} }$, और इसलिए गैर-रचनात्मक है। अब के लिए $\phi$ किसी विधेय का निषेध माना जाता है $\neg S$ और लेखन $\Sigma$ वर्ग के लिए $\{y\mid S(y)\}$, प्रेरण पढ़ता है

$\forall (x\in \Sigma ).x\cap \Sigma \neq \{\}\,\to \,\Sigma =\{\}$

गर्भनिरोधक के माध्यम से, सेट इंडक्शन का तात्पर्य नियमितता के सभी उदाहरणों से है, लेकिन केवल निष्कर्ष में दोहरे-नकारात्मक अस्तित्व के साथ। दूसरी दिशा में, पर्याप्त सकर्मक सेट दिए जाने पर, नियमितता का तात्पर्य सेट इंडक्शन के प्रत्येक उदाहरण से है।

धातुविज्ञान

इसमें अब सभी आठ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत #Axioms|Zermelo-Fraenkel axioms के वेरिएंट शामिल हैं। एक्सटेंशन, पेयरिंग, यूनियन और रिप्लेसमेंट वास्तव में समान हैं। इन्फिनिटी को एक मजबूत सूत्रीकरण में कहा गया है और शास्त्रीय मामले की तरह, एम्टी सेट का तात्पर्य है। अलगाव, शास्त्रीय रूप से अनावश्यक रूप से कहा गया है, रचनात्मक रूप से प्रतिस्थापन द्वारा निहित नहीं है। बहिष्कृत मध्य के कानून के बिना, यहां सिद्धांत की कमी है, अपने शास्त्रीय रूप में, पूर्ण पृथक्करण, शक्तियों के साथ-साथ नियमितता भी। जोड़ा जा रहा है ${\mathrm {PEM} }$ इस बिंदु पर पहले से ही दे देंगे ${\mathsf {ZF}}$. प्रतिस्थापन और घातांक को एक प्रकार की सैद्धांतिक व्याख्या को खोए बिना और एक तरह से आगे बढ़ाया जा सकता है जो परे नहीं जा रहा है ${\mathsf {ZF}}$. उन दो परिवर्तनों पर आगे चर्चा की गई है।

नियमितता के स्वयंसिद्ध की तरह, सेट इंडक्शन सदस्यता संबंध के संभावित मॉडल को प्रतिबंधित करता है$\in$और इस प्रकार एक सेट सिद्धांत का, जैसा कि 20 के दशक में सिद्धांत के लिए प्रेरणा थी। रचनात्मक संदर्भ में प्रेरण के साथ प्राप्त अतिरिक्त सबूत-सैद्धांतिक ताकत महत्वपूर्ण है, भले ही संदर्भ में नियमितता को छोड़ दिया जाए ${\mathsf {ZF}}$ प्रमाण-सैद्धांतिक शक्ति को कम नहीं करता है। Aczel भी मुख्य डेवलपर्स या गैर-स्थापित सेट सिद्धांत में से एक था, जो इस अंतिम स्वयंसिद्ध को अस्वीकार करता है।

मजबूत संग्रह

के स्वयंसिद्धों के सभी कमजोर रूप पर चर्चा करने के बाद ${\mathsf {ZF}}$, कोई शास्त्रीय समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में भी, प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध की ताकत पर प्रतिबिंबित कर सकता है। किसी भी सेट के लिए $y$ और कोई प्राकृतिक $n$, उत्पाद मौजूद है $y^{n}$ पुनरावर्ती द्वारा दिया गया $y^{n-1}\times y$, जिनके पास कभी भी गहरा वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड है। अनबाउंड विधेय के लिए इंडक्शन यह साबित करता है कि ये सेट असीम रूप से कई नैचुरल के लिए मौजूद हैं। के लिए रिप्लेसमेंट $n\mapsto y^{n}$अब यह भी बताता है कि उत्पादों के इस अनंत वर्ग को अनंत सेट में बदला जा सकता है, $\{p\mid \exists (n\in \omega ).p=y^{n}\}$. यह पहले से स्थापित सेट का उपसमुच्चय भी नहीं है।

माईहिल के टाइप किए गए दृष्टिकोण में देखे गए उन स्वयंसिद्धों से परे जाकर, एक्सपोनेंटिएशन और इंडक्शन के साथ चर्चा किए गए रचनात्मक सिद्धांत पर विचार करें, लेकिन अब संग्रह के स्वयंसिद्ध द्वारा मजबूत किया गया है। यह रिप्लेसमेंट स्कीमा का एक विकल्प है और वास्तव में इसका स्थान लेता है, क्योंकि बाइनरी रिलेशन डेफिनिशन को कार्यात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन संभवतः बहु-मूल्यवान है। सिद्धांत का उपयोग विश्लेषण की दैनिक आवश्यकता से परे बड़े सेटों के रचनात्मक अध्ययन में किया जा सकता है।

Axiom schema of Strong Collection: For any predicate $\phi$, $\forall a.\ \ {\Big (}\forall (x\in a).\exists y.\phi (x,y){\Big )}\to \exists b.{\Big (}\forall (x\in a).\exists (y\in b).\phi (x,y)\ \land \ \forall (y\in b).\exists (x\in a).\phi (x,y){\Big )}$

स्वयंसिद्ध संबंधों के लिए एक संपत्ति से संबंधित है, इसके पहले क्रम के निर्माण में कुछ हद तक दोहराए जाने वाले प्रारूप को जन्म देता है। पूर्ववर्ती कहता है कि कोई संबंध पर विचार करता है $\phi$ सेट के बीच $x$ और $y$ जो एक निश्चित डोमेन सेट पर कुल हैं $a$, वह है, $\phi$ कम से कम एक छवि मान है $y$ हर तत्व के लिए $x$ डोमेन में। यह निवास की स्थिति से अधिक सामान्य है $x\in y$ एक विकल्प स्वयंसिद्ध में, लेकिन प्रतिस्थापन की स्थिति से भी अधिक सामान्य, जो अद्वितीय अस्तित्व की मांग करता है $\exists !y$. परिणामस्वरूप, सबसे पहले, अभिगृहीत कहता है कि तब एक समुच्चय मौजूद होता है $b$ जिसमें कम से कम एक छवि मान हो $y$ नीचे $\phi$, डोमेन के प्रत्येक तत्व के लिए। दूसरे, इस स्वयंसिद्ध सूत्रीकरण में इसके अलावा यह भी कहा गया है कि केवल ऐसी छवियां $y$ उस नए कोडोमेन सेट के तत्व हैं $b$. इसकी गारंटी दे रहा है $b$ के कोडोमेन को ओवरशूट नहीं करता है $\phi$ और इस प्रकार स्वयंसिद्ध भी कुछ शक्ति को एक पृथक्करण प्रक्रिया के समान व्यक्त कर रहा है। अभिगृहीत को यह कहते हुए अभिव्यक्त किया जा सकता है कि प्रत्येक कुल संबंध के लिए, एक समुच्चय होता है $b$ ऐसा कि संबंध दोनों दिशाओं में पूर्ण है।

धातुविज्ञान

यह सिद्धांत बिना ${\mathrm {PEM} }$, बिना असीम जुदाई के और बिना भोले पावर सेट के विभिन्न अच्छे गुणों का आनंद लेते हैं। उदाहरण के लिए, के विपरीत ${\mathsf {CZF}}$ नीचे इसके सबसेट संग्रह स्कीमा के साथ, इसमें डिसजंक्शन और अस्तित्व गुण#अस्तित्व गुण हैं।

रचनात्मक ज़र्मेलो-फ्रेंकेल

सबसेट संग्रह

एक प्रकार की सैद्धांतिक व्याख्या को खोए बिना पावर सेट को और आगे बढ़ाया जा सकता है। सिद्धांत के रूप में जाना जाता है ${\mathsf {CZF}}$ उपरोक्त अभिगृहीत प्लस घातांक का एक मजबूत रूप है। यह निम्नलिखित विकल्प को अपनाकर है, जिसे फिर से पावर सेट स्वयंसिद्ध के रचनात्मक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है:

Axiom schema of Subset Collection: For any predicate $\phi$, $\forall a.\forall b.\ \ \exists u.\forall z.{\big (}\forall (x\in a).\exists (y\in b).\phi (x,y,z){\big )}\to \exists (v\in u).{\big (}\forall (x\in a).\exists (y\in v).\phi (x,y,z)\;\land \;\forall (y\in v).\exists (x\in a).\phi (x,y,z){\big )}$

एक विकल्प जो स्कीमा नहीं है, उसे नीचे विस्तार से बताया गया है।

परिपूर्णता

माफ़ कर दिया $a$ और $b$, होने देना ${\mathcal {R}}_{ab}$ के बीच सभी कुल संबंधों का वर्ग हो $a$ और $b$. इस वर्ग के रूप में दिया गया है

$r\in {\mathcal {R}}_{ab}\leftrightarrow {\Big (}{\big (}\forall (x\in a).\exists (y\in b).\langle x,y\rangle \in r{\big )}\,\land \,{\big (}\forall (p\in r).\exists (x\in a).\exists (y\in b).p=\langle x,y\rangle {\big )}{\Big )}$

फ़ंक्शन परिभाषा के विपरीत, इसमें कोई अद्वितीय अस्तित्व परिमाणक नहीं है $\exists !(y\in b)$. कक्षा ${\mathcal {R}}_{ab}$ गैर-अद्वितीय-मूल्यवान कार्यों या बहु-मूल्यवान कार्यों के स्थान का प्रतिनिधित्व करता है $a$ को $b$, लेकिन सही प्रक्षेपण के साथ अलग-अलग जोड़े के सेट के रूप में $b$, और केवल वे।

कोई नहीं मानता ${\mathcal {R}}_{ab}$ एक सेट होने के लिए, चूंकि प्रतिस्थापन के साथ एक सेट के बीच संबंधों के इस संग्रह का उपयोग किया जा सकता है $a$ और परिमित $b=\{0,1\}$, यानी द्वि-मूल्यवान कार्य चालू $a$, सेट निकालने के लिए ${\mathcal {P}}_{a}$ इसके सभी उपसमुच्चय। दूसरे शब्दों में ${\mathcal {R}}_{ab}$ एक सेट होने के नाते पावरसेट स्वयंसिद्ध होगा।

ऊपर ${\mathsf {ECTS}}+{\text{Strong Collection}}$, सबसेट संग्रह स्कीमा के लिए एक एकल, कुछ हद तक स्पष्ट वैकल्पिक स्वयंसिद्ध है। यह पर्याप्त रूप से बड़े सेट के अस्तित्व की कल्पना करता है ${\mathcal {S}}_{ab}$ के बीच कुल संबंधों का $a$ और $b$.

Axiom of Fullness: $\forall a.\forall b.\ \exists {\mathcal {S}}_{ab}.\ ({\mathcal {S}}_{ab}\subset {\mathcal {R}}_{ab})\land \forall (r\in {\mathcal {R}}_{ab}).\exists (s\in {\mathcal {S}}_{ab}).s\subset r$

यह कहता है कि किसी भी दो सेट के लिए $a$ और $b$, एक सेट मौजूद है ${\mathcal {S}}_{ab}\subset {\mathcal {R}}_{ab}$ जो इसके सदस्यों के बीच अभी भी कुल संबंध में रहता है $s\in {\mathcal {S}}_{ab}$ किसी दिए गए कुल संबंध के लिए $r\in {\mathcal {R}}_{ab}$.

किसी दिए गए डोमेन पर $a$, कार्य वास्तव में सबसे विरल कुल संबंध हैं, अर्थात् अद्वितीय मूल्यवान। इसलिए, अभिगृहीत का तात्पर्य है कि एक ऐसा समुच्चय है जिसमें सभी फलन हैं। इस प्रकार, परिपूर्णता का अर्थ है घातांक। पूर्णता स्वयंसिद्ध भी अनुभागों के बारे में तथाकथित प्रस्तुति स्वयंसिद्ध द्वारा निहित है, जिसे श्रेणी सिद्धांत भी तैयार किया जा सकता है।

बाइनरी शोधन

तथाकथित द्विआधारी शोधन स्वयंसिद्ध कहता है कि किसी के लिए भी $a$ एक सेट मौजूद है ${\mathcal {B}}_{a}\subset {\mathcal {P}}_{a}$ ऐसा कि किसी भी आवरण के लिए $a=x\cup y$, सेट ${\mathcal {B}}_{a}$ दो उपसमूह रखता है $c\subset x$ और $d\subset y$ वह भी इस कवरिंग का काम करते हैं, $a=c\cup d$. यह पॉवरसेट स्वयंसिद्ध का सबसे कमजोर रूप है और कुछ महत्वपूर्ण गणितीय प्रमाणों के मूल में है। सेट के बीच संबंधों के लिए पूर्णता $a$ और परिमित $\{0,1\}$ का तात्पर्य है कि यह वास्तव में संभव है।

एक और कदम पीछे लेते हुए, ${\mathsf {ECST}}$ प्लस रिकर्सन और प्लस बाइनरी रिफाइनमेंट पहले से ही साबित करता है कि एक आर्किमिडीज़, डेडेकिंड पूर्ण छद्म-क्रमित फ़ील्ड मौजूद है। वह सेट सिद्धांत यह भी साबित करता है कि लेफ्ट डेडेकाइंड कट का वर्ग एक सेट है, जिसमें इंडक्शन या कलेक्शन की आवश्यकता नहीं है। और यह भी साबित करता है कि असतत सेटों में फ़ंक्शन रिक्त स्थान सेट होते हैं (वहाँ उदा। $\omega \to \omega$), बिना माने ${\mathrm {Exp} }$. पहले से ही कमजोर सिद्धांत पर ${\mathsf {BCST}}$ (जो कि इन्फिनिटी के बिना कहना है) बाइनरी रिफाइनमेंट साबित करता है कि अलग-अलग सेट में फ़ंक्शन रिक्त स्थान सेट हैं, और इसलिए उदा। सभी विशेषता फ़ंक्शन रिक्त स्थान का अस्तित्व $\{0,1\}^{a}$.

अप्रमाणिक दावे

सकर्मक सेटों के सकर्मक सेटों की बंधी हुई धारणा, ऑर्डिनल्स को परिभाषित करने का एक अच्छा तरीका है और ऑर्डिनल्स पर इंडक्शन को सक्षम बनाती है। इसके साथ, में ${\mathsf {CZF}}$, की सदस्यता मानते हुए $0$ सभी उत्तराधिकारी अध्यादेशों में निर्णायक है $S\alpha$ साबित होता है ${\mathrm {PEM} }$ बंधे हुए फार्मूले के लिए। इसके अलावा, न तो क्रमिक संख्या का कुल क्रम, और न ही परिमित सेटों के शक्ति सेटों का अस्तित्व इस सिद्धांत में व्युत्पन्न है, जैसा कि या तो पावर सेट का तात्पर्य है। सिद्धांत ${\mathsf {CZF}}$ यह साबित नहीं करता है कि रचनात्मक ब्रह्मांड में सेट से गठित सभी कार्य स्थान $L$ अंदर सेट हैं $L$, और यह कमजोर घातांक अभिगृहीत के बजाय पॉवरसेट ग्रहण करने पर भी लागू होता है। तो ऐसे सिद्धांत सिद्ध नहीं होते $L$ का एक मॉडल बनना है ${\mathsf {CZF}}$.

धातुविज्ञान

इस सिद्धांत में वियोग और अस्तित्व गुण हैं, लेकिन इसमें रियायतें भी हैं: ${\mathsf {CZF}}$ सबसेट स्कीमा या पूर्णता स्वयंसिद्ध के कारण अस्तित्व संपत्ति का अभाव है। इसके बजाय कमजोर एक्सपोनेंटिएशन या मजबूत लेकिन इम्प्रेडिकेटिव पॉवरसेट स्वयंसिद्ध को अपनाने पर अस्तित्व संपत्ति की कमी नहीं होती है। उत्तरार्द्ध में सामान्य रूप से रचनात्मक व्याख्या का अभाव है।

1977 में Aczel ने दिखाया ${\mathsf {CZF}}$ मार्टिन-लोफ प्रकार के सिद्धांत में अभी भी व्याख्या की जा सकती है, प्रस्ताव-जैसे-प्रकार के दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, वह प्रदान करना जो अब एक मानक मॉडल के रूप में देखा जाता है ${\mathsf {CZF}}$ प्रकार सिद्धांत में, ${\mathsf {ML_{1}V}}$. यह सेट सिद्धांत की भाषा को बनाए रखते हुए, इसके कार्यों की छवियों के साथ-साथ काफी प्रत्यक्ष रचनात्मक और विधेय औचित्य के संदर्भ में किया जाता है। इसके विपरीत, ${\mathsf {CZF}}$ व्याख्या ${\mathsf {ML_{1}V}}$. सेट थ्योरी के सबकाउंटेबल मॉडल में मान्य सभी कथनों को ठीक से सिद्ध किया जा सकता है ${\mathsf {CZF}}$ साथ ही निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध $\Pi \Sigma$-$AC$, आगे कहा गया है। एक प्रकार के सैद्धांतिक मॉडल का प्रदर्शन, सिद्धांत ${\mathsf {CZF}}$ मामूली सबूत सैद्धांतिक शक्ति है, बाचमन-हावर्ड क्रमसूचक (कृपके-प्लेटेक सेट सिद्धांत भी देखें।${\mathsf {IKP}}$). पसंद वाले उन सिद्धांतों में सामान्य गणित में सेट के एक व्यापक वर्ग के लिए अस्तित्व संपत्ति है। अतिरिक्त प्रेरण सिद्धांतों के साथ मार्टिन-लोफ प्रकार के सिद्धांत संबंधित सेट सैद्धांतिक स्वयंसिद्धों को मान्य करते हैं।

जेडएफ के साथ तोड़ना

एक आगे शास्त्रीय-विरोधी दावे को जोड़ सकता है कि सभी सेट उपगणनीय हैं, जैसा कि सैद्धांतिक मॉडल के मामले में, एक स्वयंसिद्ध के रूप में है। अनंतता और घातांक द्वारा, $\omega \to \omega$ एक बेशुमार सेट है, जबकि class ${\mathcal {P}}_{\omega }$ या और भी ${\mathcal {P}}_{1}$ कैंटर के विकर्ण तर्क द्वारा सिद्ध रूप से एक सेट नहीं है। तो यह सिद्धांत तब तार्किक रूप से पॉवरसेट और को अस्वीकार करता है ${\mathrm {PEM} }$.

1989 में इंग्रिड लिंडस्ट्रॉम ने दिखाया कि सेट इंडक्शन को प्रतिस्थापित करके प्राप्त गैर-अच्छी तरह से स्थापित सेट , नियमितता के स्वयंसिद्ध के रचनात्मक समकक्ष (नींव के a.k.a. स्वयंसिद्ध), में ${\mathsf {CZF}}$ Aczel के एंटी-फाउंडेशन स्वयंसिद्ध के साथ (${\mathsf {CZFA}}$) मार्टिन-लोफ प्रकार के सिद्धांत में भी व्याख्या की जा सकती है। सिद्धांत ${\mathsf {CZFA}}$ को वापस जोड़कर भी अध्ययन किया जा सकता है $\omega$-इंडक्शन स्कीमा या रिलेटिवाइज्ड निर्भर पसंद , साथ ही यह दावा कि हर सेट एक सकर्मक सेट का सदस्य है।

अंतर्ज्ञानवादी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल

सिद्धांत ${\mathsf {IZF}}$ है ${\mathsf {CZF}}$ पृथक्करण के मानक स्वयंसिद्ध स्कीमा के साथ-साथ शक्ति सेट के स्वयंसिद्ध और, दोनों को अपनाना ${\mathsf {ZF}}$, एक पारंपरिक रूप से नीचे संग्रह के साथ सिद्धांत तैयार करता है। जैसे की, ${\mathsf {IZF}}$ के सबसे सीधे आगे के संस्करण के रूप में देखा जा सकता है ${\mathsf {ZF}}$ के बग़ैर ${\mathrm {PEM} }$. तो जैसा कि उल्लेख किया गया है, में ${\mathsf {IZF}}$, प्रतिस्थापन के स्थान पर, कोई उपयोग कर सकता है

Axiom schema of collection: For any predicate $\phi$, $\forall z.{\big (}\forall (x\in z).\exists y.\phi (x,y){\big )}\to \exists w.\forall (x\in z).\exists (y\in w).\phi (x,y)$

जबकि प्रतिस्थापन के अभिगृहीत को संबंध की आवश्यकता होती है $\phi$ सेट पर कार्य करना (सेट सिद्धांत)। $z$ (जैसा कि, प्रत्येक के लिए $x$ में $z$ बिल्कुल एक जुड़ा हुआ है $y$), संग्रह का स्वयंसिद्ध नहीं है। इसके लिए केवल यह आवश्यक है कि कम से कम एक जुड़ा हो $y$, और यह एक ऐसे सेट के अस्तित्व पर जोर देता है जो कम से कम एक ऐसा संग्रह करता है $y$ ऐसे प्रत्येक के लिए $x$. शास्त्रीय में ${\mathsf {ZFC}}$, संग्रह स्कीमा प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा का तात्पर्य है। पावरसेट (और केवल तभी) का उपयोग करते समय, उन्हें शास्त्रीय समकक्ष दिखाया जा सकता है।

जबकि ${\mathsf {IZF}}$ शास्त्रीय तर्क के बजाय अंतर्ज्ञानवादी पर आधारित है, इसे अप्रतिबंधित माना जाता है। यह किसी भी प्रस्ताव के साथ विनिर्देश के स्वयंसिद्ध स्कीमा का उपयोग करके सेट के गठन की अनुमति देता है, जिसमें परिमाणक (तर्क) तर्क) शामिल हैं जो बाध्य नहीं हैं। इस प्रकार सभी सेटों के ब्रह्मांड के संदर्भ में नए सेट बनाए जा सकते हैं, सिद्धांत को नीचे-ऊपर रचनात्मक दृष्टिकोण से दूर कर सकते हैं। इस सामान्य पृथक्करण के साथ, समुच्चयों को परिभाषित करना आसान है $\{x\in B\mid P(x)\}$ अनिर्णनीय सदस्यता के साथ, अर्थात् एक सेट पर परिभाषित अनिर्णीत विधेय का उपयोग करके। इसके अलावा, पावर सेट स्वयंसिद्ध का तात्पर्य सत्य मूल्यों के एक सेट के अस्तित्व से है। बहिष्कृत मध्य की उपस्थिति में, इस सेट में दो तत्व होते हैं। इसके अभाव में, सत्य मानों के समुच्चय को भी अप्रतिबंधित माना जाता है। के सिद्धांत ${\mathsf {IZF}}$ इतने मजबूत हैं कि भरे हुए हैं ${\mathrm {PEM} }$ द्वारा पहले से ही निहित है ${\mathrm {PEM} }$ बंधे हुए सूत्रों के लिए, या वास्तव में द्वारा $\forall x.{\big (}0\in x\lor 0\notin x{\big )}$.

धातुविज्ञान

जैसा कि ऊपर बताया गया है, सबकाउंटेबिलिटी प्रॉपर्टी को सभी सेटों के लिए नहीं अपनाया जा सकता है, बशर्ते सिद्धांत साबित हो ${\mathcal {P}}_{\omega }$ एक सेट होना। सिद्धांत में कई अच्छे संयोजन और अस्तित्व गुण हैं#अस्तित्व संपत्ति और उदाहरण है। चर्च के थीसिस सिद्धांत के साथ-साथ संगत $\omega \to \omega$ उपगणनीय होना। इसमें वियोगात्मक गुण भी होता है।

${\mathsf {IZF}}$ संग्रह के बजाय प्रतिस्थापन के साथ सामान्य अस्तित्व संपत्ति है, भले ही यह सब के शीर्ष पर सापेक्ष निर्भर पसंद को अपनाने पर भी हो। लेकिन ${\mathsf {IZF}}$ के रूप में तैयार नहीं करता है। पूर्ण अलगाव सहित स्कीमाओं का संयोजन इसे खराब कर देता है।

इसके बिना ईवेंट ${\mathrm {PEM} }$, का क्रमिक विश्लेषण ${\mathsf {IZF}}$ के बराबर है ${\mathsf {ZF}}$.

अंतर्ज्ञानवादी जेड

फिर से कमजोर छोर पर, जैसा कि इसके ऐतिहासिक समकक्ष ज़र्मेलो सेट थ्योरी के साथ, कोई भी निरूपित कर सकता है ${\mathsf {IZ}}$ अंतर्ज्ञानवादी सिद्धांत की तरह स्थापित ${\mathsf {IZF}}$ लेकिन बिना रिप्लेसमेंट, कलेक्शन या इंडक्शन के।

अंतर्ज्ञानी केपी

आइए हम एक और बहुत कमजोर सिद्धांत का उल्लेख करें जिसकी जांच की गई है, अर्थात् अंतर्ज्ञानवादी (या रचनात्मक) क्रिपके-प्लेटेक सेट सिद्धांत ${\mathsf {IKP}}$. सिद्धांत न केवल पृथक्करण बल्कि संग्रह तक ही सीमित है $\Delta _{0}$, यानी के समान है ${\mathsf {BCST}}$ लेकिन फुल रिप्लेसमेंट के बजाय इंडक्शन के साथ। इन्फिनिटी के बिना अध्ययन किए जाने पर यह विशेष रूप से कमजोर है। सिद्धांत पदानुक्रम में फिट नहीं होता जैसा कि ऊपर प्रस्तुत किया गया है, केवल इसलिए कि इसमें शुरुआत से ही एप्सिलॉन-प्रेरण है। यह अध्यादेशों के वर्ग को शामिल करने वाले प्रमेयों को सक्षम बनाता है। बेशक, के कमजोर संस्करण ${\mathsf {IKP}}$ इंडक्शन स्कीमा को सूत्रों के संकरे वर्गों तक सीमित करके प्राप्त किया जाता है, कहते हैं $\Sigma _{1}$.

क्रमबद्ध सिद्धांत

रचनात्मक सेट सिद्धांत

जैसा कि उन्होंने इसे प्रस्तुत किया, माईहिल की प्रणाली ${\mathsf {CST}}$ पहचान के साथ रचनात्मक प्रथम-क्रम तर्क का उपयोग करने वाला एक सिद्धांत है और तीन कई प्रकार के तर्क हैं सेट, प्राकृतिक संख्या , कार्य (गणित)। इसके स्वयंसिद्ध हैं:

• समुच्चयों के लिए व्यापकता का सामान्य अभिगृहीत, साथ ही कार्यों के लिए एक, और संघ का सामान्य अभिगृहीत।
• प्रतिबंधित, या विधेय का स्वयंसिद्ध, विधेय पृथक्करण का स्वयंसिद्ध स्कीमा, जो शास्त्रीय सेट सिद्धांत से अलग होने के स्वयंसिद्ध स्कीमा का एक कमजोर रूप है, जिसके लिए आवश्यक है कि किसी भी परिमाणीकरण (तर्क) को दूसरे सेट से बांधा जाए, जैसा कि चर्चा की गई है।
• अनन्तता के अभिगृहीत का एक रूप जो यह दावा करता है कि प्राकृतिक संख्याओं का संग्रह (जिसके लिए वह एक स्थिरांक का परिचय देता है $\omega$) वास्तव में एक समुच्चय है।
• घातांक का स्वयंसिद्ध, यह दावा करते हुए कि किसी भी दो सेट के लिए, एक तीसरा सेट होता है जिसमें सभी (और केवल) ऐसे कार्य होते हैं जिनका डोमेन पहला सेट होता है, और जिसका रेंज दूसरा सेट होता है। यह शास्त्रीय समुच्चय सिद्धांत में निर्धारित शक्ति के स्वयंसिद्ध का एक बहुत ही कमजोर रूप है, जिस पर माईहिल ने, दूसरों के बीच, इसके प्रतिवाद के आधार पर आपत्ति जताई।

और इसके अलावा:

• प्राकृत संख्याओं के लिए सामान्य पियानो अभिगृहीत।
• Axioms का दावा है कि किसी फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन के फ़ंक्शन की सीमा दोनों सेट हैं। इसके अतिरिक्त, गैर-पसंद का एक स्वयंसिद्ध उन मामलों में एक विकल्प फ़ंक्शन के अस्तित्व पर जोर देता है जहां विकल्प पहले ही बना दिया गया है। साथ में ये शास्त्रीय समुच्चय सिद्धांत में प्रतिस्थापन के सामान्य स्वयंसिद्ध स्कीमा की तरह कार्य करते हैं।

इस सिद्धांत की ताकत को मोटे तौर पर रचनात्मक उप-सिद्धांतों के साथ पहचाना जा सकता है ${\mathsf {ZF}}$ पिछले वर्गों के साथ तुलना करते समय।

और अंत में सिद्धांत को अपना लेता है

• आश्रित पसंद का एक स्वयंसिद्ध, जो पसंद के सामान्य स्वयंसिद्ध से बहुत कमजोर है।

बिशप शैली सेट सिद्धांत

एरेट बिशप के रचनावादी स्कूल के स्वाद में सेट सिद्धांत माइहिल का दर्पण है, लेकिन इस तरह से स्थापित किया गया है कि सेट उन संबंधों से सुसज्जित होते हैं जो उनकी असततता को नियंत्रित करते हैं। आमतौर पर, डिपेंडेंट चॉइस को अपनाया जाता है।

इस संदर्भ में बहुत से रचनात्मक विश्लेषण और मॉड्यूल (गणित) विकसित किए गए हैं।

श्रेणी सिद्धांत

सेट के सभी औपचारिक तर्क सिद्धांतों को बाइनरी सदस्यता विधेय को स्वयंसिद्ध करने की आवश्यकता नहीं है$\in$सीधे। सेट की श्रेणियों के प्राथमिक सिद्धांत जैसा सिद्धांत (${\mathsf {ETCS}}$), उदा. वस्तुओं के बीच कंपोज़ेबल मैपिंग के जोड़े को कैप्चर करना, एक रचनात्मक पृष्ठभूमि तर्क के साथ भी व्यक्त किया जा सकता है। श्रेणी सिद्धांत को तीरों और वस्तुओं के सिद्धांत के रूप में स्थापित किया जा सकता है, हालांकि केवल तीरों के संदर्भ में प्रथम-क्रम के सिद्धांतों की सूची | प्रथम-क्रम के स्वयंसिद्धकरण संभव हैं।

इसके अलावा, टोपोई में स्पष्ट तर्क भी होते हैं जो स्वयं अंतर्ज्ञानवादी हो सकते हैं और एक सबऑब्जेक्ट क्लासिफायरियर को कैप्चर कर सकते हैं।

श्रेणी सिद्धांत में रचनात्मक सेट सिद्धांतों के अच्छे मॉडल एक्सपोनेंटिएशन सेक्शन में उल्लिखित प्रस्ताव हैं। कुछ अच्छे सेट सिद्धांत के लिए, इसके लिए पर्याप्त उठाने वाली संपत्ति की आवश्यकता हो सकती है, सेट के विशेषण प्रस्तुतियों के बारे में एक स्वयंसिद्ध, काउंटेबल डिपेंडेंट चॉइस को लागू करना।

यह भी देखें

• विधेय पृथक्करण की स्वयंसिद्ध स्कीमा
• रचनावाद (गणित का दर्शन)
• रचनात्मक विश्लेषण
• चर्च की थीसिस (रचनात्मक गणित) | रचनात्मक चर्च की थीसिस नियम और सिद्धांत
• गणनीय सेट
• वियोग और अस्तित्व गुण#अस्तित्व गुण
• डायकोनेस्कु की प्रमेय
• एप्सिलॉन-प्रेरण
• वंशानुगत रूप से परिमित सेट
• हेटिंग अंकगणित
• अव्यावहारिकता
• अंतर्ज्ञानवादी प्रकार का सिद्धांत
• बहिष्कृत मध्य का कानून
• क्रमिक विश्लेषण
• उपगणनीयता

आगे की पढाई

• Troelstra, Anne; van Dalen, Dirk (1988). Constructivism in Mathematics, Vol. 2. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. p. 619. ISBN 978-0-444-70358-3.
• Aczel, P. and Rathjen, M. (2001). Notes on constructive set theory. Technical Report 40, 2000/2001. Mittag-Leffler Institute, Sweden.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• पहले क्रम का तर्क
• निर्माणवाद (गणित)
• रचनात्मक प्रकार का सिद्धांत
• बहिष्कृत मध्य का सिद्धांत
• ढिठाई
• अलगाव
• दोहरा निषेध उन्मूलन
• गैर-विरोधाभास का कानून
• डबल-निषेध अनुवाद
• पसंद का स्वयंसिद्ध
• क्रमसूचक संख्या
• नियमितता का सिद्धांत
• ट्राइकोटॉमी का नियम
• गणना योग्य समारोह
• निर्माण योग्य ब्रह्मांड
• पसंद का स्वयंसिद्ध
• स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)
• ZFC से स्वतंत्र बयानों की सूची
• स्वयंसिद्ध योजना
• पियानो अंकगणित
• रुकने की समस्या
• उलटा गणित
• गैर शास्त्रीय तर्क
• पॉवरसेट स्वयंसिद्ध
• विधेय पृथक्करण की स्वयंसिद्ध स्कीमा
• अभद्र
• प्राकृतिक संख्याओं की सेट-सैद्धांतिक परिभाषा
• आनुवंशिक रूप से परिमित सेट
• तार्किक संयोजक
• अंकन का दुरुपयोग
• arity
• वर्ग (सेट सिद्धांत)
• अलग संबंध
• क्रमित युग्म
• संधि का सिद्धांत
• विशिष्टता की स्वयंसिद्ध स्कीमा
• नियमितता का स्वयंसिद्ध
• शक्ति सेट का स्वयंसिद्ध
• सबटाइपिंग
• अस्तित्व संपत्ति
• कार्तीय गुणन
• समानता वर्ग
• आश्रित प्रकार
• निर्भर प्रकार का सिद्धांत
• पियानो सिद्धांत
• डेडेकिंड अनंत सेट
• शोलेम सामान्य रूप
• गणितीय अधिष्ठापन
• सेटॉइड
• गणना योग्य सेट
• निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध
• श्रेणीबद्ध तर्क
• वैचारिकता
• वितरण का सिद्धांत
• यिद
• वियोगी न्यायवाक्य
• विस्तार का स्वयंसिद्ध
• सीमित अंकगणित
• पदानुक्रम के ग्रेज़गोर्कज़ीक
• दूसरे क्रम का तर्क
• उपगणनीय
• पॉवरसेट का स्वयंसिद्ध
• subobject
• प्राथमिक टोपोस
• समतुल्य
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• सहायक संचालिका
• कॉची सीक्वेंस
• वास्तविक संख्याओं की पूर्णता
• अभिसरण का मापांक
• आर्किमिडीज़ संपत्ति
• डेडेकाइंड पूरा
• अलगाव
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• बहिष्कृत मध्य का कानून
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• प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध
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• क्रमसूचक संख्या
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• अलगाव की अभिगृहीत स्कीमा
• समारोह (सेट सिद्धांत)
• प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध स्कीमा
• समारोह (गणित)
• संघ का स्वयंसिद्ध
• अनंत का सिद्धांत
• कई तरह का तर्क
• विस्तार का सिद्धांत
• एक समारोह की सीमा
• गैर-पसंद का स्वयंसिद्ध
• किसी फ़ंक्शन का डोमेन
• उठाने की संपत्ति

बाहरी कड़ियाँ

• Laura Crosilla, Set Theory: Constructive and Intuitionistic ZF, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Feb 20, 2009
• Benno van den Berg, Constructive set theory – an overview, slides from Heyting dag, Amsterdam, 7 September 2012