पसंद का क्रम

अंतर्ज्ञानवाद में, एक विकल्प अनुक्रम एक रचनावाद (गणित) एक अनुक्रम का सूत्रीकरण है। चूंकि एल.ई.जे. ब्रौवर द्वारा तैयार किए गए गणित के अंतर्ज्ञानवादी स्कूल, एक अनुक्रम (जो शास्त्रीय गणित में, एक अनंत वस्तु है) का उपयोग करने के लिए एक पूर्ण अनंतता के विचार को अस्वीकार करता है, हमारे पास एक परिमित, निर्माण योग्य सूत्रीकरण होना चाहिए ऑब्जेक्ट जो अनुक्रम के समान उद्देश्य को पूरा कर सकता है। इस प्रकार, ब्रौवर ने पसंद अनुक्रम तैयार किया, जो एक सार, अनंत वस्तु के बजाय एक निर्माण के रूप में दिया गया है।

विधिसम्मत और अधर्म अनुक्रम

कानूनविहीन और कानूनसम्मत अनुक्रमों के बीच एक अंतर किया जाता है। एक कानून जैसा अनुक्रम वह है जिसे पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है - यह एक पूर्ण निर्माण है, जिसे पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याएँ $\mathbb {N}$ कानून के समान अनुक्रम के रूप में सोचा जा सकता है: अनुक्रम को अद्वितीय तत्व 0 और एक आदिम पुनरावर्ती कार्य # परिभाषा द्वारा पूरी तरह से रचनात्मक रूप से वर्णित किया जा सकता है। इस फॉर्मूलेशन को देखते हुए, हम जानते हैं कि $i$प्राकृत संख्याओं के अनुक्रम में वां तत्व वह संख्या होगी $i-1$. इसी प्रकार, एक समारोह (गणित) $f:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं में मानचित्रण किसी भी तर्क के लिए प्रभावी रूप से मूल्य निर्धारित करता है, और इस प्रकार एक कानून के अनुक्रम का वर्णन करता है।

दूसरी ओर एक कानूनविहीन (भी, मुक्त) अनुक्रम, वह है जो पूर्व निर्धारित नहीं है। इसे तर्कों 0, 1, 2, .... के लिए मान उत्पन्न करने की एक प्रक्रिया के रूप में माना जाना चाहिए। $\alpha$ उत्पन्न करने की एक प्रक्रिया है $\alpha _{0}$, $\alpha _{1}$, ... (अनुक्रम के तत्व $\alpha$) ऐसा है कि:

• अनुक्रम के निर्माण के किसी भी क्षण $\alpha$, अनुक्रम का केवल एक प्रारंभिक खंड ज्ञात है, और भविष्य के मूल्यों पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है $\alpha$; और
• एक प्रारंभिक खंड, अग्रिम रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है $\langle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\rangle$ का $\alpha$.

ध्यान दें कि ऊपर दिया गया पहला बिंदु थोड़ा भ्रामक है, जैसा कि हम निर्दिष्ट कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, कि अनुक्रम में मान विशेष रूप से प्राकृतिक संख्याओं के सेट से खींचे जाते हैं-हम निर्दिष्ट कर सकते हैं, अनुक्रम की सीमा, एक प्राथमिकता और एक पोस्टरियरी।

एक कानूनविहीन अनुक्रम का विहित उदाहरण एक पासा के रोल की श्रृंखला है। हम निर्दिष्ट करते हैं कि कौन सा मरना उपयोग करना है और, वैकल्पिक रूप से, पहले के मूल्यों को अग्रिम रूप से निर्दिष्ट करें $k$ रोल्स (के लिए $k\in \mathbb {N}$). इसके अलावा, हम अनुक्रम के मानों को सेट में रहने के लिए प्रतिबंधित करते हैं $\{1,2,3,4,5,6\}$. इस विनिर्देश में विचाराधीन कानूनविहीन अनुक्रम उत्पन्न करने की प्रक्रिया शामिल है। किसी भी बिंदु पर, अनुक्रम का कोई विशेष भविष्य मूल्य ज्ञात नहीं है।

स्वयंसिद्धीकरण

विशेष रूप से दो स्वयंसिद्ध हैं जिनकी हम ऊपर वर्णित अनुसार पसंद अनुक्रमों को धारण करने की अपेक्षा करते हैं। होने देना $\alpha \in n$ संबंध को अनुक्रम निरूपित करें $\alpha$ प्रारम्भिक क्रम से प्रारम्भ होता है $n$पसंद क्रम के लिए $\alpha$ और परिमित खंड $n$ (अधिक विशेष रूप से, $n$ संभवतः एक पूर्णांक नंबरिंग (कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी) एक परिमित प्रारंभिक अनुक्रम होगा)।

हम निम्नलिखित की उम्मीद करते हैं, जिसे खुले डेटा का स्वयंसिद्ध कहा जाता है, सभी कानूनविहीन अनुक्रमों को धारण करने के लिए:

$$A(\alpha )\rightarrow \exists n[\alpha \in n\,\land \,\forall \beta \in n[A(\beta )]]$$

कहां $A$ एक स्थान का विधेय है। इस स्वयंसिद्ध के लिए सहज औचित्य इस प्रकार है: अंतर्ज्ञानवादी गणित में, सत्यापन कि $A$ अनुक्रम धारण करता है $\alpha$ एल्गोरिथम के रूप में दिया गया है; इस प्रक्रिया के निष्पादन के किसी भी बिंदु पर, हम अनुक्रम के केवल एक परिमित प्रारंभिक खंड की जांच करेंगे। सहज रूप से, यह स्वयंसिद्ध बताता है कि चूंकि, किसी भी बिंदु पर इसकी पुष्टि की जा रही है $A$ रखता है $\alpha$, हम केवल इसकी पुष्टि करेंगे $A$ के परिमित प्रारंभिक अनुक्रम के लिए धारण करता है $\alpha$; इस प्रकार, यह मामला होना चाहिए $A$ किसी भी कानूनविहीन अनुक्रम के लिए भी मान्य है $\beta$ इस प्रारंभिक क्रम को साझा करना। ऐसा इसलिए है, क्योंकि सत्यापन की प्रक्रिया में किसी भी बिंदु पर $A(\alpha )$, ऐसे किसी के लिए $\beta$ का प्रारंभिक उपसर्ग साझा करना $\alpha$ द्वारा एन्कोड किया गया $n$ कि हम पहले ही परीक्षण कर चुके हैं, यदि हम उसी प्रक्रिया को चालू रखते हैं $\beta$, हमें वही परिणाम मिलेगा। तर्कों की मनमानी संख्या लेकर किसी भी विधेय के लिए स्वयंसिद्ध को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

कानूनविहीन अनुक्रमों के लिए एक अन्य अभिगृहीत की आवश्यकता है। घनत्व का स्वयंसिद्ध, द्वारा दिया गया:

$$\forall n\,\exists \alpha [\alpha \in n]$$

बताता है कि, किसी भी परिमित उपसर्ग के लिए (द्वारा एन्कोडेड) $n$, कुछ क्रम है $\alpha$ उस उपसर्ग से शुरू करें। हमें इस स्वयंसिद्ध की आवश्यकता है ताकि पसंद अनुक्रमों के सेट में कोई छेद न हो। यह स्वयंसिद्ध वह कारण है जिसकी हमें आवश्यकता है कि मनमाने ढंग से लंबे परिमित प्रारंभिक अनुक्रमों के कानूनविहीन विकल्प अनुक्रमों को पहले से निर्दिष्ट किया जा सकता है; इस आवश्यकता के बिना, घनत्व के स्वयंसिद्ध की गारंटी जरूरी नहीं है।

यह भी देखें

• Constructivism (philosophy of mathematics)

संदर्भ

• Dummett, Michael (1977). Elements of Intuitionism. Oxford University Press.

• Fourman, Michael P. (1982). "Notions of Choice Sequence" (PDF). Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. 110: 91–105. doi:10.1016/S0049-237X(09)70125-9. ISBN 9780444864949.

• Jacquette, Dale (2002). A Companion to Philosophical Logic. Blackwell Publishing. p. 517. ISBN 9780631216711.

• Kreisel, Georg (1958). "A remark on free choice sequences and the topological completeness proofs". Journal of Symbolic Logic. 23 (4): 369–388. doi:10.2307/2964012. JSTOR 2964012.

• Linnebo, Øystein; Shapiro, Stewart (23 September 2020). "Choice sequences: a modal and classical analysis" (PDF). University of Oslo and Ohio State University. Retrieved 14 April 2022.

• Troelstra, Anne Sjerp (1977). Choice Sequences. A Chapter of Intuitionistic Mathematics. Clarendon Press.

• Troelstra, Anne Sjerp (1982). "On the Origin and Development of Brouwer's Concept of Choice Sequence". Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. 110: 465–486. doi:10.1016/S0049-237X(09)70145-4. ISBN 9780444864949.

• Troelstra, Anne Sjerp (1983). "Analysing Choice Sequences". Journal of Philosophical Logic. 12 (2): 197–260. doi:10.1007/BF00247189. S2CID 26373820.

• Troelstra, Anne Sjerp; Van Dalen, Dirk (1988a). Constructivism in Mathematics: An Introduction, Volume 1. Elsevier Science. ISBN 9780444702661.

• Troelstra, Anne Sjerp; Van Dalen, Dirk (1988b). Constructivism in Mathematics: An Introduction, Volume 2. Elsevier Science. ISBN 9780444703583.