एकरूपता

गणित में, एकरूपता का अर्थ अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी गणितीय वस्तु का केवल उच्चतम मान जो परिभाषित है।^[1]

यूनिमोडल संभाव्यता वितरण

चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व फलन, एकरूप वितरण का उदाहरण है।

चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण

चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण है। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के जटिल अर्थों में मोड के अनुरूप होती है।

आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता ऐसा वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) की जटिल परिभाषा को, जो आंकड़ों में सामान्य होता है।

यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल होता है।^[2] चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी होता हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में कॉची वितरण, छात्र का टी-वितरण होता है | छात्र का टी-वितरण, ची-वर्ग वितरण एवं घातीय वितरण सम्मिलित होता हैं। असतत वितरणों के मध्य, द्विपद वितरण एवं प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।

चित्र 2 एवं 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।

अन्य परिभाषाएं

वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।

निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।^[3] यदि सीडीएफ x < m के लिए उत्तल फलन एवं x > m के लिए अवतल फलन होती है, तो वितरण असमान m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण सतत एकरूप होते है,^[4]कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मान की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।

एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य संभाव्यता सिद्धांत के^[3]या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।^[5]असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना होती है।^[6] संभाव्यता द्रव्यमान फलन के साथ असतत वितरण, $\{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}$ को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम $\dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots$ उचित संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।

उपयोग एवं परिणाम

वितरण की एकरूपता के महत्व का कारण यह है कि कई महत्वपूर्ण परिणामों को अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा समूह एकरूप वितरण से आता है या नहीं। बहुविध वितरण पर लेख में एकरूपता के लिए कई परीक्षण दिए गए हैं।

असमानताएं

गॉस की असमानता

प्रथम महत्वपूर्ण परिणाम गॉस की असमानता है।^[7] गॉस की असमानता इस संभावना पर सीमा प्रदान करती है कि कोई मान अपने मोड से किसी भी दूरी से अधिक है। यह असमानता एकरूपता पर निर्भर करती है।

वायसोचान्स्की-पेटुनिन असमानता

सेकंड वैसोचन्स्की पेटुनिन असमानता,^[8] चेबिशेव असमानता का शोधन है। चेबीशेव असमानता अस्वाशन देती है कि किसी भी संभाव्यता वितरण में, सभी मान माध्य के निकट हैं। वायसोचन्स्की-पेटुनिन असमानता इसे भी निकट मूल्यों तक परिष्कृत करती है, इसलिए वितरण कार्य निरंतर एवं एकरूप है। आगे के परिणाम सेलके द्वारा दिखाए गए है।^[9]

बहुलक, माध्यिका एवं माध्य

गॉस ने 1823 में असमान वितरण के लिए भी प्रदर्शित किया गया है,^[10]

\sigma \leq \omega \leq 2\sigma

एवं

|\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,

जहां माध्य ν एवं μ है एवं ω मोड से मूल माध्य वर्ग विचलन है।

यह असमान वितरण के लिए प्रदर्शित किया जाता है कि औसत ν एवं माध्य μ (3/5)^1/2 ≈ 0.7746 दूसरे के मानक विचलन के अंदर स्थित है ।^[11] प्रतीकों में,

{\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}

है

जहाँ . .

2020 में, बर्नार्ड, काज़ी एवं वंडफेल ने सममित क्वांटाइल औसत के मध्य अधिकतम दूरी प्राप्त करके पूर्व असमानता को सामान्यीकृत किया ${\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}$ एवं तात्पर्य यह है कि,^[12]

{\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.

यह ध्यान देने योग्य है कि अधिकतम दूरी $\alpha =0.5$ कम से कम है, जब सममित क्वांटाइल औसत के समान होता है ( $q_{0.5}=\nu$ ), जो वास्तव में माध्यिका की सामान्य रूचि को माध्य के लिए शक्तिशाली अनुमानक के रूप में प्रेरित करता है। इसके अतिरिक्त, जब $\alpha =0.5$ , सीमा के समान है, ${\sqrt {3/5}}$ , जो माध्यिका एवं एकरूप वितरण के माध्य के मध्य की अधिकतम दूरी है।

माध्यिका एवं बहुलक θ के मध्य समान संबंध है, वे 3^1/2 ≈ 1.732 दूसरे के मानक विचलन के अंदर स्थित होते हैं,

{\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}

यह भी दिखाया जा सकता है कि माध्य एवं बहुलक 3^1/2 के अंदर हैं,

{\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}

स्केवनेस एवं कुरतोसिस

रोहतगी एवं ज़ेकेली ने आशय किया है कि असमान वितरण का विषमता एवं कुर्तोसिस असमानता से संबंधित हैं:^[13]

\gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2

जहां κ कुरतोसिस है एवं γ स्केवनेस है। क्लासेन, मोकवेल्ड एवं वैन ईएस ने प्रदर्शित किया कि यह केवल कुछ अस्त में प्रस्तावित होता है, जैसे कि एकरूप वितरण का समूह जहां मोड एवं माध्य मेल खाते हैं।^[14]उन्होंने शक्तिहीन असमानता प्राप्त की जो सभी असमान वितरणों पर प्रस्तावित होती है:^[14]

\gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488

यह सीमा तीक्ष्ण है, क्योंकि यह [0,1] पर समान वितरण के समान भार मिश्रण एवं {0} पर असतत वितरण द्वारा पहुँचा जाता है।

यूनिमोडल फलन

जैसा कि मोडल शब्द डेटा समूह एवं संभाव्यता वितरण पर प्रस्तावित होता है, एवं सामान्य रूप से कार्य (गणित) के लिए, उपरोक्त परिभाषाएँ प्रस्तावित नहीं होती हैं। यूनिमोडल की परिभाषा को वास्तविक संख्याओं के फलनों तक भी विस्तारित किया गया था।

सामान्य परिभाषा इस प्रकार फलन f(x) 'यूनिमोडल फलन' है, यदि कुछ मान m के लिए, यह x ≤ m के लिए मोनोटोनिक रूप से बढ़ रहा है एवं x ≥ m के लिए मोनोटोनिक रूप से कम हो रहा है। उस स्थिति में, f(x) का अधिकतम मान f(m) है एवं कोई अन्य स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं हैं।

एकरूपता परिमाणित करना प्रायः कठिन होता है। उस संपत्ति की परिभाषा का उपयोग करना है, परन्तु यह केवल साधारण कार्यों के लिए उपयुक्त है। यौगिक पर आधारित सामान्य विधि सम्मिलित है,^[15] पर यह अपनी सरलता के अतिरिक्त प्रत्येक कार्य के लिए सफल नहीं होता है।

एकरूप कार्यों के उदाहरणों में ऋणात्मक द्विघात गुणांक वाले द्विघात बहुपद फलन, टेंट मानचित्र फलन सम्मिलित हैं।

उपरोक्त कभी-कभी शक्तिशाली एकरूपता से संबंधित होता है, इस तथ्य से निहित है कि करूपता शक्तिवाली एकरूपता है। फलन f(x) शक्तिहीन यूनिमॉडल फलन है यदि कोई मान m सम्मिलित है जिसके लिए यह x ≤ m के लिए शक्तिहीन नीरस रूप से बढ़ रहा है एवं शक्तिहीन रूप से x ≥ m के लिए नीरस रूप से कम हो रहा है। उस स्थिति में, x के मानों की निरंतर श्रेणी के लिए अधिकतम मान f(m) तक पहुँचा जा सकता है। पास्कल के त्रिकोण में प्रत्येक दूसरी पंक्ति शक्तिहीन एकरूप फलन का उदाहरण है जो दृढ़ता से एकरूप नहीं है।

संदर्भ के आधार पर, अनिमॉडल फलन उस को भी संदर्भित कर सकता है जिसमें अधिकतम के अतिरिक्त स्थानीय न्यूनतम है।^[16] उदाहरण के लिए, स्थानीय अनिमॉडल नमूनाकरण, संख्यात्मक अनुकूलन करने की विधि, प्रायः ऐसे फलन के साथ प्रदर्शित की जाती है। यह कहा जा सकता है कि इस विस्तार के अंतर्गत अनिमॉडल कार्य एकल स्थानीय शिखर के साथ कार्य करता है।

अनिमॉडल कार्यों की महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि समाप्त को शोध एल्गोरिदम जैसे कि गोल्डन सेक्शन शोध, त्रिगुट शोध या क्रमिक परवलयिक प्रक्षेप का उपयोग करके पाया जा सकता है।

अन्य एक्सटेंशन

फलन f(x) एस-यूनिमॉडल है (प्रायः इसे एस-यूनिमॉडल मैप कहा जाता है) यदि इसका श्वार्ज़ियन व्युत्पन्न सभी के लिए ऋणात्मक $x\neq c$ है, जहाँ $c$ महत्वपूर्ण बिन्दु है।^[17]कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में यदि कोई फलन अनिमॉडल है तो यह फलन के एक्स्ट्रेमा के शोध के लिए कुशल एल्गोरिदम के डिज़ाइन की अनुमति देता है।^[18]सदिश चर X के फलन f(X) पर प्रस्तावित होने वाली सामान्य परिभाषा यह है कि यदि फलन अवकलनीय मानचित्रण X = G(Z) ऐसा है कि f एकरूपी है एवं f(G(Z)) उत्तल है। सामान्यतः G(Z) नॉनसिंगुलर जैकोबियन आव्यूह के साथ निरन्तर भिन्न है।

क्वासिकॉनवेक्स फलन एवं क्वासिकोनकेव फलन एकरूपता की अवधारणा को उन कार्यों तक विस्तारित करते हैं जिनके तर्क उच्च-आयामी यूक्लिडियन समष्टि से संबंधित हैं।

यह भी देखें

बिमोडल वितरण

संदर्भ

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