बहिष्कृत मध्य का कानून

Not to be confused with fallacy of the excluded middle.

This article uses forms of logical notation. For a concise description of the symbols used in this notation, see List of logic symbols.

तर्क में, बहिष्कृत मध्य का नियम (या बहिष्कृत मध्य का सिद्धांत) बताता है कि प्रत्येक प्रस्ताव के लिए, अनन्य या यह प्रस्ताव या इसका निषेध सत्य मूल्य है। यह विचार के तथाकथित कानून # तीन पारंपरिक कानूनों में से एक है, गैर-विरोधाभास के कानून और पहचान के कानून के साथ। हालांकि, इन कानूनों पर तर्क की कोई प्रणाली नहीं बनाई गई है, और इनमें से कोई भी कानून अनुमान के नियम प्रदान नहीं करता है, जैसे मोडस पोनेन्स या डी मॉर्गन के कानून।

कानून को बहिष्कृत तीसरे के कानून (या सिद्धांत) के रूप में भी जाना जाता है, लैटिन में "प्रिंसिपियम टर्टी एक्सक्लूसी"। इस कानून के लिए एक अन्य लैटिन पदनाम 'टर्टियम नॉन डाटूर' है: कोई तीसरा [संभावना] नहीं दिया गया है। यह एक तनातनी (तर्क) है।

सिद्धांत को द्वैधता के शब्दार्थ सिद्धांत के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक प्रस्ताव या तो सत्य है या गलत है। द्वैधता का सिद्धांत हमेशा बहिष्कृत मध्य के नियम को दर्शाता है, जबकि विलोम हमेशा सत्य नहीं होता है। एक सामान्य रूप से उद्धृत प्रति उदाहरण उन बयानों का उपयोग करता है जिन्हें अब साबित नहीं किया जा सकता है, लेकिन भविष्य में यह दिखाने के लिए साबित किया जा सकता है कि बहिष्कृत मध्य का कानून तब लागू हो सकता है जब द्विसंयोजकता का सिद्धांत विफल हो जाता है।

इतिहास

अरस्तू

सबसे पहला ज्ञात सूत्र अरस्तू के गैर-विरोधाभास के सिद्धांत की चर्चा में है, जो पहले ऑन इंटरप्रिटेशन में प्रस्तावित है, जहां वह कहता है कि दो विरोधाभासी प्रस्ताव (अर्थात जहां एक प्रस्ताव दूसरे का खंडन है) एक सत्य होना चाहिए, और दूसरा असत्य। उन्होंने इसे तत्वमीमांसा (अरस्तू) पुस्तक 3 में एक सिद्धांत के रूप में भी कहा है, जिसमें कहा गया है कि हर मामले में पुष्टि या खंडन करना आवश्यक है, और यह असंभव है कि विरोधाभास के दो हिस्सों के बीच कुछ भी हो। अरस्तू ने लिखा है कि अस्पष्टता अस्पष्ट नामों के उपयोग से उत्पन्न हो सकती है, लेकिन स्वयं तथ्यों में मौजूद नहीं हो सकती:

It is impossible, then, that "being a man" should mean precisely "not being a man", if "man" not only signifies something about one subject but also has one significance. … And it will not be possible to be and not to be the same thing, except in virtue of an ambiguity, just as if one whom we call "man", and others were to call "not-man"; but the point in question is not this, whether the same thing can at the same time be and not be a man in name, but whether it can be in fact. (Metaphysics 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525–526).

अरस्तू का दावा है कि एक ही चीज़ होना और न होना संभव नहीं होगा, जो प्रस्तावात्मक तर्क में ~(P ∧ ~P) के रूप में लिखा जाएगा, एक ऐसा कथन है जिसे आधुनिक तर्कशास्त्री बहिष्कृत मध्य के नियम (P ∨ ~) कह सकते हैं। P), अरस्तू के दावे के निषेध के वितरण के रूप में उन्हें समान बनाता है, भले ही पूर्व का दावा है कि कोई भी कथन सत्य और असत्य दोनों नहीं है, जबकि उत्तरार्द्ध के लिए आवश्यक है कि कोई भी कथन सत्य या असत्य हो।

लेकिन अरस्तू भी लिखता है, क्योंकि यह असंभव है कि विरोधाभास एक ही समय में एक ही चीज़ के लिए सही हों, स्पष्ट रूप से विपरीत भी एक ही समय में एक ही चीज़ से संबंधित नहीं हो सकते हैं (पुस्तक IV, सीएच 6, पृ. 531)। फिर वह प्रस्ताव करता है कि विरोधाभासों के बीच कोई मध्यवर्ती नहीं हो सकता है, लेकिन एक विषय के बारे में हमें या तो किसी एक विधेय की पुष्टि या खंडन करना चाहिए (पुस्तक IV, सीएच 7, पृष्ठ 531)। अरस्तू के पारंपरिक तर्क के संदर्भ में, यह अपवर्जित मध्य के नियम, P ∨ ~P का उल्लेखनीय रूप से सटीक कथन है।

साथ ही ऑन इंटरप्रिटेशन में, अरस्तू समुद्री युद्ध पर अपनी चर्चा में, भविष्य की आकस्मिकताओं की समस्या के मामले में बहिष्कृत मध्य के कानून से इनकार करता प्रतीत होता है।

लीबनिज

Its usual form, "Every judgment is either true or false" [footnote 9] …"(from Kolmogorov in van Heijenoort, p. 421) footnote 9: "This is Leibniz's very simple formulation (see Nouveaux Essais, IV,2)" (ibid p 421)

बर्ट्रेंड रसेल और प्रिंसिपिया मैथेमेटिका

सिद्धांत को प्रिंसिपिया मैथमैटिका में बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड द्वारा प्रस्तावित तर्क के प्रमेय के रूप में कहा गया था:

$\mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p$. तो सच और झूठ क्या है? उद्घाटन के अवसर पर प्रधानमंत्री शीघ्रता से कुछ परिभाषाओं की घोषणा करते हैं:

Truth-values. The "truth-value" of a proposition is truth if it is true and falsehood if it is false* [*This phrase is due to Frege] … the truth-value of "p ∨ q" is truth if the truth-value of either p or q is truth, and is falsehood otherwise … that of "~ p" is the opposite of that of p …" (p. 7-8)

यह बहुत मदद नहीं है। लेकिन बाद में, एक बहुत गहन चर्चा में ( सत्य और असत्य की परिभाषा और व्यवस्थित अस्पष्टता अध्याय II भाग III, पृष्ठ 41 ff), पीएम सत्य और असत्य को a और b और समझदार के बीच संबंध के संदर्भ में परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए यह 'ए' 'बी' है (उदाहरण के लिए यह 'ऑब्जेक्ट ए' 'रेड' है) वास्तव में इसका मतलब है कि 'ऑब्जेक्ट ए' एक सेंस-डेटम है और 'रेड' एक सेंस-डेटम है, और वे एक के संबंध में खड़े हैं दूसरा और मैं के संबंध में। इस प्रकार हमारा वास्तव में क्या मतलब है: मुझे लगता है कि 'यह वस्तु लाल है' और यह एक निर्विवाद-से-तृतीय-पक्ष सत्य है।

पीएम आगे इन्द्रिय-दत्तम और संवेदना के बीच अंतर को परिभाषित करते हैं:

That is, when we judge (say) "this is red", what occurs is a relation of three terms, the mind, and "this", and "red". On the other hand, when we perceive "the redness of this", there is a relation of two terms, namely the mind and the complex object "the redness of this" (pp. 43–44).

रसेल ने अपनी पुस्तक द प्रॉब्लम्स ऑफ फिलॉसफी (1912) में सेंस-डेटम और सनसनी के बीच अपने अंतर को दोहराया, जो उसी समय पीएम (1910-1913) के रूप में प्रकाशित हुआ था:

Let us give the name of "sense-data" to the things that are immediately known in sensation: such things as colours, sounds, smells, hardnesses, roughnesses, and so on. We shall give the name "sensation" to the experience of being immediately aware of these things … The colour itself is a sense-datum, not a sensation. (p. 12)

रसेल ने उसी पुस्तक (अध्याय XII, सत्य और असत्य) में सत्य और असत्य की अपनी परिभाषाओं के पीछे अपने तर्क का वर्णन किया।

प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में अपवर्जित मध्य के नियम के परिणाम

बहिष्कृत मध्य के कानून से, प्रिंसिपिया मैथमैटिका में फॉर्मूला ✸2.1, व्हाइटहेड और रसेल लॉजिशियन के तर्क टूलकिट में कुछ सबसे शक्तिशाली उपकरण प्राप्त करते हैं। (Principia Mathematica में, सूत्रों और प्रस्तावों की पहचान एक प्रमुख तारक चिह्न और दो संख्याओं, जैसे ✸2.1 द्वारा की जाती है।)

✸2.1 ~p ∨ p यह अपवर्जित मध्य का नियम है (PM, पृ. 101)।

✸2.1 का प्रमाण मोटे तौर पर इस प्रकार है: आदिम विचार 1.08 p → q = ~p ∨ q को परिभाषित करता है। इस नियम में q के स्थान पर p रखने पर p → p = ~p ∨ p प्राप्त होता है। चूँकि p → p सत्य है (यह प्रमेय 2.08 है, जिसे अलग से सिद्ध किया गया है), तो ~p ∨ p सत्य होना चाहिए।

✸2.11 p ∨ ~p (अभिकथन का क्रमचय 1.4 अभिगृहीत द्वारा अनुमत है)
✸2.12 p → ~(~p) (डबल नेगेशन का सिद्धांत, भाग 1: अगर यह गुलाब लाल है तो यह सच नहीं है कि 'यह गुलाब लाल नहीं है' सच है।)
✸2.13 p ∨ ~{~(~p)} (लेम्मा 2.12 के साथ मिलकर 2.14 व्युत्पन्न करते थे)
✸2.14 ~(~p) → p (दोहरे निषेध का सिद्धांत, भाग 2)
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (ट्रांसपोजिशन के चार सिद्धांतों में से एक। 1.03, 1.16 और 1.17 के समान। यहां बहुत लंबे प्रदर्शन की आवश्यकता थी।)
✸2.16 (p → q) → (~q → ~p) (अगर यह सच है कि अगर यह गुलाब लाल है तो यह सुअर उड़ता है तो यह सच है कि अगर यह सुअर नहीं उड़ता है तो यह गुलाब लाल नहीं है।)< बीआर /> ✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (ट्रांसपोजिशन के सिद्धांतों में से एक और।)
✸2.18 (~p → p) → p (जिसे रिडक्टियो एड एब्सर्डम का पूरक कहा जाता है। यह बताता है कि एक प्रस्ताव जिसका तार्किक परिणाम अपने स्वयं के झूठ की परिकल्पना सत्य है (पीएम, पीपी। 103-104)।)

इनमें से अधिकतर प्रमेय-विशेष रूप से ✸2.1, ✸2.11, और ✸2.14-अंतर्ज्ञानवाद द्वारा खारिज कर दिए जाते हैं। इन उपकरणों को दूसरे रूप में फिर से ढाला जाता है जिसे कोलमोगोरोव हिल्बर्ट के निहितार्थ के चार सिद्धांतों और हिल्बर्ट के निषेध के दो सिद्धांतों के रूप में उद्धृत करता है (वैन हाइजेनोर्ट में कोलमोगोरोव, पी. 335)।

प्रस्ताव ✸2.12 और ✸2.14, दोहरा निषेध : एल.ई.जे. ब्रौवर के अंतर्ज्ञानवाद लेखन का उल्लेख है कि वह कई प्रजातियों की पारस्परिकता के सिद्धांत को कहते हैं, अर्थात्, सिद्धांत है कि प्रत्येक प्रणाली के लिए संपत्ति की शुद्धता इस संपत्ति की असंभवता की असंभवता से होती है (ब्रूवर, ibid, पृष्ठ 335)।

इस सिद्धांत को आमतौर पर दोहरे निषेध का सिद्धांत कहा जाता है (पीएम, पीपी। 101-102)। बहिष्कृत मध्य (✸2.1 और ✸2.11) के कानून से, पीएम तुरंत सिद्धांत ✸2.12 प्राप्त करता है। 2.11 में हम ~p को p के स्थान पर ~p ∨ ~(~p) प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापित करते हैं, और निहितार्थ की परिभाषा के अनुसार (अर्थात् 1.01 p → q = ~p ∨ q) तब ~p ∨ ~(~p)= p → ~ (~ प). QED (2.14 की व्युत्पत्ति थोड़ी अधिक शामिल है।)

रीचेनबैक

कम से कम द्विपक्षीय तर्क के लिए यह सही है- यानी। यह कर्णघ मानचित्र के साथ देखा जा सकता है - कि यह कानून तार्किक वियोग के मध्य को हटा देता है | समावेशी - या उसके कानून में प्रयुक्त (3)। और रीचेनबाख के प्रदर्शन का यह बिंदु है कि कुछ का मानना ​​है कि अनन्य या|अनन्य-या को तार्किक वियोजन|समावेशी-या का स्थान लेना चाहिए।

इस मुद्दे के बारे में (स्वीकार्य रूप से बहुत तकनीकी शर्तों में) रीचेनबैक ने देखा:

टर्शियम नॉन डाटूर

29. (एक्स) [एफ (एक्स) ∨ ~ एफ (एक्स)]

अपने प्रमुख शब्दों में संपूर्ण नहीं है और इसलिए यह एक फुलाया हुआ सूत्र है। यह तथ्य शायद समझा सकता है कि क्यों कुछ लोग समावेशी-'या' के साथ (29) लिखना अनुचित मानते हैं, और इसे विशेष-'या' के चिह्न से लिखवाना चाहते हैं।

30। (एक्स) [एफ (एक्स) ⊕ ~ एफ (एक्स)], जहां प्रतीक ⊕ अनन्य-या दर्शाता है

किस रूप में यह पूरी तरह से संपूर्ण होगा और इसलिए संकीर्ण अर्थों में सांकेतिक होगा। (रीचेनबैक, पृष्ठ 376)

लाइन (30) में (x) का अर्थ है सभी के लिए या प्रत्येक के लिए, रसेल और रीचेनबैक द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक फॉर्म; आज प्रतीकवाद आमतौर पर है $\forall$ एक्स। इस प्रकार अभिव्यक्ति का एक उदाहरण इस तरह दिखेगा:

• (सुअर): (मक्खियाँ(सुअर) ⊕ ~मक्खियाँ(सुअर))
• (सुअर देखे और न देखे गए सभी उदाहरणों के लिए): (सुअर उड़ता है या सुअर नहीं उड़ता है लेकिन दोनों एक साथ नहीं)

औपचारिकतावादी बनाम अंतर्ज्ञानवादी

1800 के दशक के अंत से 1930 के दशक तक, हिल्बर्ट और उनके अनुयायियों बनाम हरमन वेइल और एल.ई.जे. ब्रोवर के बीच एक कड़वा, लगातार बहस छिड़ गई। ब्रौवर का दर्शन, जिसे अंतर्ज्ञान कहा जाता है, 1800 के अंत में लियोपोल्ड क्रोनकर के साथ बयाना में शुरू हुआ।

हिल्बर्ट ने क्रोनकर के विचारों को बेहद नापसंद किया:

Kronecker insisted that there could be no existence without construction. For him, as for Paul Gordan [another elderly mathematician], Hilbert's proof of the finiteness of the basis of the invariant system was simply not mathematics. Hilbert, on the other hand, throughout his life was to insist that if one can prove that the attributes assigned to a concept will never lead to a contradiction, the mathematical existence of the concept is thereby established (Reid p. 34)

It was his [Kronecker's] contention that nothing could be said to have mathematical existence unless it could actually be constructed with a finite number of positive integers (Reid p. 26)

बहस का हिल्बर्ट पर गहरा प्रभाव पड़ा। रीड इंगित करता है कि हिल्बर्ट की दूसरी समस्या (1900 में पेरिस में दूसरे अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन से हिल्बर्ट की समस्याओं में से एक) इस बहस से विकसित हुई (मूल में इटैलिक):

अपनी दूसरी समस्या में, [हिल्बर्ट] ने वास्तविक संख्याओं के अंकगणित के स्वयंसिद्धों की संगति का गणितीय प्रमाण मांगा था।

इस समस्या के महत्व को दर्शाने के लिए उन्होंने निम्नलिखित अवलोकन जोड़ा:

यदि विरोधाभासी विशेषताओं को एक अवधारणा को सौंपा गया है, तो मैं कहता हूं कि गणितीय रूप से अवधारणा मौजूद नहीं है (रीड पृष्ठ 71)।

इस प्रकार, हिल्बर्ट कह रहे थे: यदि p और ~p दोनों को सत्य दिखाया गया है, तो p का अस्तित्व नहीं है, और इस तरह बहिष्कृत मध्यम जाति के कानून को विरोधाभास के कानून के रूप में लागू कर रहे थे।

And finally constructivists … restricted mathematics to the study of concrete operations on finite or potentially (but not actually) infinite structures; completed infinite totalities … were rejected, as were indirect proof based on the Law of Excluded Middle. Most radical among the constructivists were the intuitionists, led by the erstwhile topologist L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)

1900 के दशक की शुरुआत में 1920 के दशक में विद्वेषपूर्ण बहस जारी रही; 1927 में ब्रौवर ने व्यंग्यात्मक लहजे में [अंतर्ज्ञानवाद] के खिलाफ विवाद करने की शिकायत की (ब्रूवर इन वैन हाइजेनोर्ट, पी। 492)। लेकिन बहस उर्वर थी: इसका परिणाम प्रिंसिपिया मैथेमेटिका (1910-1913) में हुआ, और उस काम ने बहिष्कृत मध्य के कानून को एक सटीक परिभाषा दी, और यह सब एक बौद्धिक सेटिंग और शुरुआती 20 वीं शताब्दी के गणितज्ञों के लिए आवश्यक उपकरण प्रदान करता है। :

Out of the rancor, and spawned in part by it, there arose several important logical developments; Zermelo's axiomatization of set theory (1908a), that was followed two years later by the first volume of Principia Mathematica, in which Russell and Whitehead showed how, via the theory of types: much of arithmetic could be developed by logicist means (Dawson p. 49)

ब्रोवर ने बहस को नकारात्मक या गैर-अस्तित्व बनाम रचनात्मक प्रमाण से तैयार किए गए प्रमाणों के उपयोग के लिए कम कर दिया:

ब्रोवर के अनुसार, एक बयान है कि एक वस्तु मौजूद है जिसमें दी गई संपत्ति का मतलब है, और केवल तभी सिद्ध होता है, जब एक विधि ज्ञात होती है जो सिद्धांत रूप में कम से कम ऐसी वस्तु को खोजने या बनाने में सक्षम बनाती है ...

हिल्बर्ट स्वाभाविक रूप से असहमत थे।

शुद्ध अस्तित्व प्रमाण हमारे विज्ञान के ऐतिहासिक विकास में सबसे महत्वपूर्ण मील के पत्थर रहे हैं, उन्होंने बनाए रखा। (रीड पृष्ठ 155)

ब्रूवर ने बहिष्कृत मध्य के तार्किक सिद्धांत को स्वीकार करने से इनकार कर दिया, उनका तर्क निम्नलिखित था:

मान लीजिए कि ए बयान है सेट एस के एक सदस्य के पास संपत्ति पी है। यदि सेट परिमित है, तो यह संभव है- सिद्धांत रूप में- एस के प्रत्येक सदस्य की जांच करना और यह निर्धारित करना कि एस के साथ एस का सदस्य है या नहीं गुण P या कि S के प्रत्येक सदस्य में गुण P का अभाव है। उन्होंने इसे अनंत समुच्चयों के लिए स्वीकार करने से इनकार कर दिया क्योंकि यदि समुच्चय S अपरिमित है, तो हम—सैद्धांतिक रूप से भी—समुच्चय के प्रत्येक सदस्य की जांच नहीं कर सकते। यदि, हमारी परीक्षा के दौरान, हमें संपत्ति P के साथ सेट का एक सदस्य मिलता है, तो पहला विकल्प प्रमाणित होता है; लेकिन अगर हमें ऐसा कोई सदस्य नहीं मिलता है, तो दूसरा विकल्प अभी भी प्रमाणित नहीं है।

चूंकि गणितीय प्रमेयों को अक्सर यह स्थापित करके सिद्ध किया जाता है कि निषेध हमें एक विरोधाभास में शामिल करेगा, यह तीसरी संभावना जो ब्रोवर ने सुझाई है वह वर्तमान में स्वीकार किए गए कई गणितीय बयानों पर सवाल उठाएगी।

गणितज्ञ से बहिष्कृत मध्य के सिद्धांत को लेना, हिल्बर्ट ने कहा, ... बॉक्सर को उसकी मुट्ठी के उपयोग पर रोक लगाने के समान है।

संभावित नुकसान वेइल को परेशान नहीं करता था ... ब्रोवर का कार्यक्रम आने वाला था, उसने ज्यूरिख में अपने दोस्तों से जोर दिया। (रीड, पृ. 149)

1941 में येल और उसके बाद के पेपर में अपने व्याख्यान में, गोडेल ने एक समाधान प्रस्तावित किया: कि एक सार्वभौमिक प्रस्ताव की उपेक्षा को अस्तित्व पर जोर देने के रूप में समझा जाना चाहिए ... एक प्रति उदाहरण (डॉसन, पृष्ठ। 157)

अपवर्जित मध्य के कानून के लिए गोडेल का दृष्टिकोण यह दावा करना था कि 'अप्रतिबंधित परिभाषाओं' के उपयोग के खिलाफ आपत्तियों ने बहिष्कृत मध्य के कानून और प्रस्तावपरक कलन के संबंधित प्रमेयों की तुलना में अधिक वजन उठाया था (डॉसन पी। 156)। उन्होंने अपनी प्रणाली Σ ... प्रस्तावित की और उन्होंने अपनी व्याख्या के कई अनुप्रयोगों का उल्लेख करते हुए निष्कर्ष निकाला। उनमें से सिद्धांत ~ (∀A: (A ∨ ~A)) के अंतर्ज्ञानवादी तर्क के साथ संगति का प्रमाण था (अनुमान की असंगतता के बावजूद ∃ A: ~ (A ∨ ~A)) (डॉसन, पृष्ठ 157 ) (कोई समापन कोष्ठक नहीं रखा गया था)

बहस कमजोर होती दिख रही थी: गणितज्ञ, तर्कशास्त्री और इंजीनियर अपने दैनिक कार्यों में बहिष्कृत मध्य (और दोहरे निषेध) के कानून का उपयोग करना जारी रखते हैं।

=== बहिष्कृत मध्य === के कानून (सिद्धांत) की अंतर्ज्ञानवादी परिभाषाएं निम्नलिखित गहरी गणितीय और दार्शनिक समस्या पर प्रकाश डालता है कि इसका अर्थ क्या है, और यह स्पष्ट करने में भी मदद करता है कि कानून का क्या अर्थ है (अर्थात कानून का वास्तव में क्या अर्थ है)। कानून के साथ उनकी कठिनाइयाँ उभर कर सामने आती हैं: कि वे उस वास्तविक निहितार्थ को स्वीकार नहीं करना चाहते हैं जो कि असत्यापित (अप्रमाणित, अनजाना) या असंभव या असत्य से लिया गया हो। (सभी उद्धरण वैन हेजेनूर्ट से हैं, इटैलिक जोड़े गए हैं)।

ब्रौवर बहिष्कृत मध्य के सिद्धांत की अपनी परिभाषा प्रस्तुत करता है; हम यहां टेस्टेबिलिटी के मुद्दे को भी देखते हैं:

अभी उल्लेखित परीक्षण योग्यता के आधार पर, एक विशिष्ट परिमित मुख्य प्रणाली के भीतर कल्पना की गई संपत्तियों के लिए, अपवर्जित मध्य का सिद्धांत, अर्थात, सिद्धांत है कि प्रत्येक प्रणाली के लिए प्रत्येक संपत्ति या तो सही है [रिचटिग] या असंभव है, और विशेष रूप से पूरक प्रजातियों की पारस्परिकता का सिद्धांत, अर्थात्, सिद्धांत है कि प्रत्येक प्रणाली के लिए संपत्ति की शुद्धता इस संपत्ति की असंभवता की असंभवता से होती है। (335)

कोलमोगोरोव की परिभाषा हिल्बर्ट के निषेध के दो सिद्धांतों का हवाला देती है

5. A → (~A → B)
6. (A → B) → { (~A → B) → B}

हिल्बर्ट का नकार का पहला स्वयंसिद्ध, असत्य से कुछ भी अनुसरण करता है, केवल प्रतीकात्मक तर्क के उदय के साथ ही प्रकट होता है, जैसा कि निहितार्थ का पहला स्वयंसिद्ध था ... जबकि ... विचाराधीन स्वयंसिद्ध [स्वयंसिद्ध 5] किसी चीज के परिणामों के बारे में कुछ कहता है असंभव: हमें बी को स्वीकार करना होगा यदि सही निर्णय ए को झूठा माना जाता है …

हिल्बर्ट का निषेध का दूसरा सिद्धांत अपवर्जित मध्य के सिद्धांत को व्यक्त करता है। सिद्धांत यहां उस रूप में व्यक्त किया गया है जिसमें इसका उपयोग व्युत्पत्तियों के लिए किया जाता है: यदि बी ए के साथ-साथ ~ ए से भी अनुसरण करता है, तो बी सत्य है। इसका सामान्य रूप, हर निर्णय या तो सत्य है या गलत ऊपर दिए गए के बराबर है।

निषेध की पहली व्याख्या से, अर्थात् निर्णय को सत्य मानने से निषेध, यह प्रमाण प्राप्त करना असंभव है कि बहिष्कृत मध्य का सिद्धांत सत्य है ... ब्रौवर ने दिखाया कि इस तरह के अनंत निर्णयों के सिद्धांत के मामले में बहिष्कृत मध्य को स्पष्ट नहीं माना जा सकता है

फुटनोट 9: यह लीबनिज का बहुत ही सरल सूत्रीकरण है (देखें नूवो निबंध, IV, 2)। सूत्रीकरण A या तो B है या नहीं-B का निर्णयों के तर्क से कोई लेना-देना नहीं है।

फुटनोट 10: प्रतीकात्मक रूप से दूसरा रूप इस प्रकार व्यक्त किया गया है

ए ∨ ~ ए

जहाँ ∨ का अर्थ या है। दो रूपों की समानता आसानी से सिद्ध होती है (पृष्ठ 421)

उदाहरण

उदाहरण के लिए, यदि P प्रस्ताव है:

सुकरात नश्वर है।

तब बहिष्कृत मध्य का कानून मानता है कि तार्किक संयोजन:

या तो सुकरात नश्वर है, या ऐसा नहीं है कि सुकरात नश्वर है।

अपने स्वरूप के कारण ही सत्य है। अर्थात्, मध्य स्थिति, कि सुकरात न तो नश्वर है और न ही नश्वर है, तर्क द्वारा बाहर रखा गया है, और इसलिए या तो पहली संभावना (सुकरात नश्वर है) या इसकी अस्वीकृति (यह मामला नहीं है कि सुकरात नश्वर है) सत्य होना चाहिए .

बहिष्कृत मध्य के कानून पर निर्भर तर्क का एक उदाहरण इस प्रकार है। हम यह साबित करना चाहते हैं

दो अपरिमेय संख्याएँ मौजूद हैं $a$ और $b$ ऐसा है कि $a^{b}$ तर्कसंगत है।

यह जाना जाता है कि ${\sqrt {2}}$ अपरिमेय है (2# प्रूफ़ ऑफ़ इररेशनलिटी का वर्गमूल देखें)। संख्या पर विचार करें

${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$.

स्पष्ट रूप से (मध्य को छोड़कर) यह संख्या या तो परिमेय या अपरिमेय है। यदि यह तर्कसंगत है, तो प्रमाण पूर्ण है, और

$a={\sqrt {2}}$ और $b={\sqrt {2}}$.

लेकिन अगर ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ तर्कहीन है, तो चलो

$a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ और $b={\sqrt {2}}$.

फिर

$a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2$,

और 2 निश्चित रूप से तर्कसंगत है। यह सबूत समाप्त करता है।

उपरोक्त तर्क में, यह संख्या या तो तर्कसंगत या तर्कहीन है, बहिष्कृत मध्य के कानून का आह्वान करती है। एक अंतर्ज्ञानवादी, उदाहरण के लिए, उस कथन के समर्थन के बिना इस तर्क को स्वीकार नहीं करेगा। यह एक प्रमाण के रूप में आ सकता है कि विचाराधीन संख्या वास्तव में अपरिमेय है (या तर्कसंगत, जैसा भी मामला हो); या एक परिमित एल्गोरिदम जो यह निर्धारित कर सकता है कि संख्या तर्कसंगत है या नहीं।

=== अनंत === पर अरचनात्मक प्रमाण

उपरोक्त प्रमाण अंतर्ज्ञानवादियों द्वारा अस्वीकृत गैर-रचनात्मक प्रमाण का एक उदाहरण है:

The proof is non-constructive because it doesn't give specific numbers $a$ and $b$ that satisfy the theorem but only two separate possibilities, one of which must work. (Actually $a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ तर्कहीन है लेकिन इस तथ्य का कोई ज्ञात आसान प्रमाण नहीं है।) (डेविस 2000:220)

(ऊपर दिए गए विशिष्ट उदाहरण के रचनात्मक प्रमाण उत्पन्न करना कठिन नहीं है; उदाहरण के लिए गणित>ए=\sqrt{2}</math> और math>b=\log_2 9</math> दोनों को आसानी से अपरिमेय दिखाया जाता है, और गणित>ए^बी=3</गणित>; अंतर्ज्ञानवादियों द्वारा अनुमत प्रमाण)।

गैर-रचनात्मक डेविस द्वारा इसका अर्थ है कि एक सबूत है कि वास्तव में कुछ शर्तों को पूरा करने वाली गणितीय संस्थाएं प्रश्न में संस्थाओं को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने के लिए एक विधि प्रदान नहीं करती हैं। (पृष्ठ 85)। इस तरह के सबूत एक समग्रता के अस्तित्व को मानते हैं जो पूर्ण है, अंतर्ज्ञानवादियों द्वारा अस्वीकृत एक धारणा जब अनंत तक विस्तारित होती है - उनके लिए अनंत कभी पूरा नहीं हो सकता है:

In classical mathematics there occur non-constructive or indirect existence proofs, which intuitionists do not accept. For example, to prove there exists an n such that P(n), the classical mathematician may deduce a contradiction from the assumption for all n, not P(n). Under both the classical and the intuitionistic logic, by reductio ad absurdum this gives not for all n, not P(n). The classical logic allows this result to be transformed into there exists an n such that P(n), but not in general the intuitionistic … the classical meaning, that somewhere in the completed infinite totality of the natural numbers there occurs an n such that P(n), is not available to him, since he does not conceive the natural numbers as a completed totality. (Kleene 1952:49–50)

डेविड हिल्बर्ट और लुइट्ज़ेन ई. जे. ब्रौवर दोनों अपवर्जित मध्य के नियम का उदाहरण देते हैं जो अनंत तक विस्तृत है। हिल्बर्ट का उदाहरण: यह अभिकथन कि या तो केवल बहुत सी अभाज्य संख्याएँ हैं या अपरिमित रूप से अनेक हैं (डेविस 2000:97 में उद्धृत); और ब्रोवर: प्रत्येक गणितीय प्रजाति या तो परिमित या अनंत है। (ब्रूवर 1923 वैन हेजेनूर्ट 1967: 336 में)। सामान्य तौर पर, अंतर्ज्ञानवादी बहिष्कृत मध्य के कानून के उपयोग की अनुमति देते हैं जब यह परिमित संग्रह (सेट) पर प्रवचन तक ही सीमित होता है, लेकिन तब नहीं जब इसे अनंत सेट (जैसे प्राकृतिक संख्या) पर प्रवचन में उपयोग किया जाता है। इस प्रकार अंतर्ज्ञानवादी कंबल के दावे को पूरी तरह से अस्वीकार करते हैं: अनंत सेट डी: पी या ~ पी (क्लीन 1952: 48) से संबंधित सभी प्रस्तावों पी के लिए। अपवर्जित मध्य के नियम के कल्पित प्रतिउदाहरणों में लायर विरोधाभास या क्विन विरोधाभास शामिल हैं। इन विरोधाभासों के कुछ संकल्प, विशेष रूप से एलपी में औपचारिक रूप से ग्राहम प्रीस्ट के डायलेथिज्म, में एक प्रमेय के रूप में बहिष्कृत मध्य का कानून है, लेकिन झूठा को सत्य और गलत दोनों के रूप में हल करता है। इस तरह, बहिष्कृत मध्य का नियम सत्य है, लेकिन क्योंकि स्वयं सत्य, और इसलिए वियोग, अनन्य नहीं है, यह कुछ भी नहीं कहता है यदि कोई एक विरोधाभास विरोधाभासी है, या सत्य और असत्य दोनों है।

आलोचना

कई आधुनिक तर्क प्रणालियाँ अपवर्जित मध्य के नियम को विफलता के रूप में निषेध की अवधारणा से प्रतिस्थापित करती हैं। किसी प्रस्ताव के सही या गलत होने के बजाय, एक प्रस्ताव या तो सत्य है या सत्य साबित नहीं हो पाता है। ये दो द्विभाजन केवल तार्किक प्रणालियों में भिन्न होते हैं जो पूर्णता (तर्क) नहीं हैं। विफलता के रूप में निषेध के सिद्धांत का उपयोग ऑटोएपिस्टेमिक तर्क के लिए एक आधार के रूप में किया जाता है, और तर्क प्रोग्रामिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इन प्रणालियों में, प्रोग्रामर बहिष्कृत मध्य के कानून को एक वास्तविक तथ्य के रूप में दावा करने के लिए स्वतंत्र है, लेकिन यह इन प्रणालियों में अंतर्निहित प्राथमिकता नहीं है।

गणितज्ञ जैसे लुइट्ज़ेन एगबर्टस जान ब्रोवर|एल. ई.जे. ब्रोवर और अरेंड हेटिंग ने आधुनिक गणित के संदर्भ में अपवर्जित मध्य के नियम की उपयोगिता पर भी विवाद किया है।

गणितीय तर्क में

आधुनिक गणितीय तर्क में, बहिष्कृत मध्य को संभावित आत्म-खंडन विचार | आत्म-विरोधाभास के परिणामस्वरूप तर्क दिया गया है। तर्क में अच्छी तरह से निर्मित तर्कवाक्य बनाना संभव है जो न तो सत्य हो सकता है और न ही असत्य; इसका एक सामान्य उदाहरण है लियर पैराडॉक्स|लायर्स पैराडॉक्स, यह कथन झूठा है, जिसके बारे में तर्क दिया जाता है कि यह न तो सत्य है और न ही असत्य। आर्थर प्रायर ने तर्क दिया है कि लायर पैराडॉक्स किसी कथन का उदाहरण नहीं है जो सत्य या असत्य नहीं हो सकता। बहिष्कृत मध्य का कानून अभी भी यहां इस कथन की उपेक्षा के रूप में है। यह कथन गलत नहीं है, इसे सत्य सौंपा जा सकता है। समुच्चय सिद्धांत में, इस तरह के स्व-संदर्भित विरोधाभास का निर्माण उन सभी समुच्चयों के समुच्चय की जांच करके किया जा सकता है जिनमें स्वयं शामिल नहीं है। यह सेट स्पष्ट रूप से परिभाषित है, लेकिन रसेल के विरोधाभास की ओर जाता है: क्या सेट में इसके तत्वों में से एक के रूप में स्वयं शामिल है? हालांकि, आधुनिक ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में, इस प्रकार के विरोधाभास को अब स्वीकार नहीं किया गया है। इसके अलावा, स्व-संदर्भ के विरोधाभासों का निर्माण करी के विरोधाभास के रूप में, यहां तक ​​​​कि नकारात्मकता का आह्वान किए बिना भी किया जा सकता है।

अनुरूप कानून

तर्क की कुछ प्रणालियों के अलग-अलग लेकिन समान कानून होते हैं। कुछ परिमित-मूल्यवान तर्क | n-मूल्यवान तर्कशास्त्र के लिए, एक समान कानून है जिसे बहिष्कृत n+1th का कानून कहा जाता है। यदि निषेध चक्रीय निषेध है और ∨ एक अधिकतम ऑपरेटर है, तो कानून वस्तु भाषा में व्यक्त किया जा सकता है (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P), जहां ~... ~ n−1 निषेध चिह्नों और ∨ ... ∨ n−1 वियोग चिह्नों का प्रतिनिधित्व करता है। यह जांचना आसान है कि वाक्य को n सत्य मानों में से कम से कम एक प्राप्त होना चाहिए (और ऐसा मान नहीं जो n में से एक नहीं है)।

अन्य प्रणालियाँ कानून को पूरी तरह से अस्वीकार करती हैं।

यह भी देखें

• Brouwer–Hilbert controversy: बहिष्कृत मध्य के कानून के आसपास औपचारिकतावादी-अंतर्ज्ञानवादी विभाजन पर एक खाता
• Consequentia mirabilis* Diaconescu's theorem
• Dichotomy
• Law of excluded fourth
• बहिष्कृत मध्य का नियम असत्य है many-valued logicएस जैसे ternary logic और fuzzy logic
• Laws of thought
• Limited principle of omniscience
• Logical graphएस: प्रस्तावपरक तर्क के लिए एक ग्राफिकल सिंटैक्स
• Peirce's law: अंतर्ज्ञान शास्त्रीय मोड़ का एक और तरीका
• Logical determinism: आवेदन को मध्य से बाहर रखा गया है modal प्रस्तावों
• गैर-पुष्टि निषेध में Prasangika बौद्ध धर्म का स्कूल, एक और प्रणाली जिसमें बहिष्कृत मध्य का नियम असत्य है
• रचनावाद (गणित का दर्शन)
• रचनात्मक सेट सिद्धांत

संदर्भ

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• Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1927(2), Intuitionistic reflections on formalism,[reprinted with commentary, p. 490, van Heijenoort]
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बाहरी कड़ियाँ

• "Contradiction" entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy