तत्व (गणित)

For elements in category theory, see Element (category theory).

गणित में, एक सेट (गणित) का एक तत्व (या सदस्य) समानता (गणित) गणितीय वस्तु में से कोई भी है जो उस सेट से संबंधित है।

सेट

लिखना $A=\{1,2,3,4\}$ इसका मतलब है कि सेट के तत्व A संख्या 1, 2, 3 और 4. के तत्वों के सेट हैं A, उदाहरण के लिए $\{1,2\}$, के सबसेट हैं A।

सेट स्वयं तत्व हो सकते हैं।उदाहरण के लिए, सेट पर विचार करें $B=\{1,2,\{3,4\}\}$।के तत्व B 1, 2, 3, और & nbsp; 4 नहीं हैं।बल्कि, केवल तीन तत्व हैं B, अर्थात् संख्या 1 और 2, और सेट $\{3,4\}$।

एक सेट के तत्व कुछ भी हो सकते हैं।उदाहरण के लिए, $C=\{\mathrm {\color {red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}$ वह सेट है जिसके तत्व रंग हैं red, green और blue।

संकेतन और शब्दावली

विषम संबंध एक तत्व है, जिसे सेट सदस्यता भी कहा जाता है, को प्रतीक & nbsp द्वारा निरूपित किया जाता है;।लिखना

$x\in A$

इसका मतलब है कि X & nbsp का एक तत्व है; a। समतुल्य अभिव्यक्तियाँ हैं X & nbsp का एक सदस्य है; a, X & nbsp से संबंधित है; a, X & nbsp; a और X झूठ में & nbsp; a में है।अभिव्यक्ति A शामिल हैं X और A शामिल हैं X का उपयोग सेट सदस्यता के लिए भी किया जाता है, हालांकि कुछ लेखक इसका उपयोग करते हैं इसका मतलब यह है कि X & nbsp का एक सबसेट है। a। लॉजिशियन जॉर्ज बूलोस ने दृढ़ता से आग्रह किया कि इसमें केवल सदस्यता के लिए उपयोग किया जाए, और इसमें केवल सबसेट संबंध के लिए शामिल है। संबंध के लिए,, संकोच संबंध and^T लिखा जा सकता है

$A\ni x,$ अर्थ में शामिल या शामिल हैं।

SET सदस्यता की उपेक्षा प्रतीक & nbsp द्वारा निरूपित की जाती है;∉।लिखना

$x\notin A$ इसका मतलब है कि x & nbsp का एक तत्व नहीं है।

प्रतीक in का उपयोग पहली बार Giuseppe पीनो द्वारा किया गया था, उनके 1889 के काम में Arithmetices principia, nova methodo exposita. यहाँ उन्होंने पृष्ठ X पर लिखा:

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

मतलब

प्रतीक ± साधन है।तो a be B को एक निश्चित b के रूप में पढ़ा जाता है;…

प्रतीक ही एक स्टाइल्ड लोअरकेस ग्रीक लेटर एप्सिलॉन (ϵ) शब्द का पहला अक्षर है ἐστί, जिसका अर्थ है।

Character information

Preview	∈		∉		∋		∌
Unicode name	ELEMENT OF		NOT AN ELEMENT OF		CONTAINS AS MEMBER		DOES NOT CONTAIN AS MEMBER
Encodings	decimal	hex	dec	hex	dec	hex	dec	hex
Unicode	8712	U+2208	8713	U+2209	8715	U+220B	8716	U+220C
UTF-8	226 136 136	E2 88 88	226 136 137	E2 88 89	226 136 139	E2 88 8B	226 136 140	E2 88 8C
Numeric character reference	∈	∈	∉	∉	∋	∋	∌	∌
Named character reference	∈, ∈, ∈, ∈		∉, ∉, ∉		∋, ∋, ∋, ∋		∌, ∌, ∌
LaTeX	\in		\notin		\ni		\not\ni or \notni
Wolfram Mathematica	\[Element]		\[NotElement]		\[ReverseElement]		\[NotReverseElement]

सेट की कार्डिनलिटी

Main article: Cardinality

एक विशेष सेट में तत्वों की संख्या एक संपत्ति है जिसे प्रमुखता के रूप में जाना जाता है;अनौपचारिक रूप से, यह एक सेट का आकार है। उपरोक्त उदाहरणों में, सेट & nbsp की कार्डिनैलिटी; a & nbsp; 4, जबकि सेट B और सेट C की कार्डिनलिटी दोनों & nbsp; 3 हैं।एक अनंत सेट एक अनंत संख्या में तत्वों के साथ एक सेट है, जबकि एक परिमित सेट तत्वों की एक परिमित संख्या के साथ एक सेट है।उपरोक्त उदाहरण परिमित सेट के उदाहरण हैं।एक अनंत सेट का एक उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक {1, & nbsp; 2, & nbsp; 3, & nbsp; 4, & nbsp; ...} का सेट है।

उदाहरण

ऊपर परिभाषित सेटों का उपयोग करते हुए, अर्थात् a = {1, 2, 3, 4}, b = {1, 2, {3, 4}} और c = {लाल, हरा, नीला}, निम्न कथन सही हैं:

• 2 ∈ ए
• 5 ∉ ए

• {3,4}। B
• 3 ∉ बी
• 4 ∉ बी
• पीला ∉ सी

औपचारिक संबंध

एक संबंध (गणित) के रूप में, सेट सदस्यता में एक डोमेन और एक सीमा होनी चाहिए।परंपरागत रूप से डोमेन को ब्रह्मांड (गणित) कहा जाता है।इस प्रकार संबंध $\in$ U X P (U) का एक सबसेट है।संक्षेप संबंध $\ni$ P (U) x U का एक सबसेट है।

यह भी देखें

• पहचान तत्व
• सिंगलटन (गणित)

अग्रिम पठन

• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics (Hardcover ed.), NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6 - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
• Jech, Thomas (2002), "Set Theory", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Metaphysics Research Lab, Stanford University
• Suppes, Patrick (1972) [1960], Axiomatic Set Theory, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4 - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".