सेट-बिल्डर नोटेशन

$\{n\in \mathbb {Z} \mid (\exists k\in \mathbb {Z} )[n=2k]\}$

The set of all even integers,
expressed in set-builder notation.

तर्क, गणित और कंप्यूटर विज्ञान के लिए सेट सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों में, सेट-बिल्डर नोटेशन एक सेट (गणित) का वर्णन करने के लिए उसके तत्व (सेट) की गणना करके या उसके सदस्यों को संतुष्ट करने वाले गुणों को बताते हुए एक गणितीय संकेतन है। गुणों द्वारा सेट को परिभाषित करना सेट कॉम्प्रिहेंशन, सेट एब्सट्रैक्शन या सेट के इंटेंस को परिभाषित करने के रूप में भी जाना जाता है।

गणना द्वारा परिभाषित सेट

Main article: Set (mathematics) § Roster notation

एक समुच्चय (गणित) को उसके सभी तत्वों को कर्ली कोष्ठकों के बीच में रखकर सीधे वर्णित किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित दो उदाहरणों में दिया गया है:

• $\{7,3,15,31\}$ वह सेट है जिसमें चार नंबर 3, 7, 15 और 31 हैं, और कुछ नहीं।
• $\{a,c,b\}=\{a,b,c\}$ युक्त सेट है a, b, और c, और कुछ नहीं (सेट के तत्वों के बीच कोई क्रम नहीं है)।

सेट निर्दिष्ट करने के लिए इसे कभी-कभी रोस्टर विधि कहा जाता है। जब किसी ऐसे सेट को निरूपित करना वांछित होता है जिसमें एक नियमित अनुक्रम से तत्व होते हैं, तो एक इलिप्सिस नोटेशन को नियोजित किया जा सकता है, जैसा कि अगले उदाहरणों में दिखाया गया है:

• $\{1,2,3,\ldots ,100\}$ 1 और 100 सहित पूर्णांकों का समुच्चय है।
• $\{1,2,3,\ldots \}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है।
• $\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}=\{0,1,-1,2,-2,\ldots \}$ सभी पूर्णांकों का समुच्चय है।

एक सेट के तत्वों के बीच कोई क्रम नहीं है (यह पिछले उदाहरण की समानता को समझाता है और मान्य करता है), लेकिन दीर्घवृत्त संकेतन के साथ, हम दीर्घवृत्त से पहले (या बाद में) एक आदेशित अनुक्रम का उपयोग करते हैं, जो यह समझाने के लिए एक सुविधाजनक संकेतन वाहन है कि कौन से तत्व एक सेट में हैं। अनुक्रम के पहले कुछ तत्व दिखाए गए हैं, फिर दीर्घवृत्त इंगित करते हैं कि अनुक्रम को जारी रखने के लिए सबसे सरल व्याख्या लागू की जानी चाहिए। दीर्घवृत्त के दाईं ओर कोई समाप्ति मूल्य नहीं दिखाई देना चाहिए, तो अनुक्रम को असीमित माना जाता है।

सामान्य रूप में, $\{1,\dots ,n\}$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है $i$ ऐसा है कि $1\leq i\leq n$. के लिए एक और अंकन $\{1,\dots ,n\}$ ब्रैकेट नोटेशन है $[n]$. एक सूक्ष्म विशेष मामला है $n=0$, जिसमें $[0]=\{1,\dots ,0\}$ खाली सेट के बराबर है $\emptyset$. इसी प्रकार, $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ सभी के सेट को दर्शाता है $a_{i}$ के लिए $1\leq i\leq n$.

प्रत्येक पूर्ववर्ती उदाहरण में, प्रत्येक सेट को उसके तत्वों की गणना करके वर्णित किया गया है। सभी समुच्चयों को इस तरह वर्णित नहीं किया जा सकता है, या यदि वे कर सकते हैं, तो उनकी गणना उपयोगी होने के लिए बहुत लंबी या जटिल हो सकती है। इसलिए, कई सेट एक गुण द्वारा परिभाषित किए जाते हैं जो उनके तत्वों की विशेषता बताते हैं। यह लक्षण वर्णन अनौपचारिक रूप से सामान्य गद्य का उपयोग करके किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है।

• $\{$ पाइन स्ट्रीट पर पते $\}$ पाइन स्ट्रीट पर सभी पतों का सेट है।

हालाँकि, गद्य दृष्टिकोण में सटीकता की कमी या अस्पष्टता हो सकती है। इस प्रकार, सेट-बिल्डर नोटेशन का उपयोग अक्सर सेट के तत्वों को परिभाषित करने वाले एक विधेय के साथ किया जाता है, जैसा कि निम्नलिखित खंड में वर्णित है।

एक विधेय द्वारा परिभाषित सेट

सेट-बिल्डर नोटेशन का उपयोग एक ऐसे सेट का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है जो एक विधेय (गणितीय तर्क) द्वारा परिभाषित किया गया है, जो कि एक तार्किक सूत्र है जो सेट के एक तत्व के लिए सत्य का मूल्यांकन करता है, और अन्यथा गलत। इस रूप में, सेट-बिल्डर संकेतन के तीन भाग होते हैं: एक चर, एक कोलन (विराम चिह्न) या लंबवत बार विभाजक, और एक विधेय। इस प्रकार विभाजक के बाईं ओर एक चर है, और इसके दाईं ओर एक नियम है। ये तीन भाग घुंघराले ब्रैकेट में समाहित हैं:

$\{x\mid \Phi (x)\}$

या

$\{x:\Phi (x)\}.$

वर्टिकल बार (या कोलन) एक विभाजक है जिसे इस तरह पढ़ा जा सकता है कि, जिसके लिए , या संपत्ति के साथ . सूत्र Φ(x) नियम या विधेय कहा जाता है। के सभी मान x जिसके लिए विधेय धारण (सत्य है) परिभाषित किए जा रहे सेट से संबंधित है। के सभी मान x जिसके लिए विधेय पकड़ में नहीं आता है वह सेट से संबंधित नहीं है। इस प्रकार $\{x\mid \Phi (x)\}$ के सभी मानों का समुच्चय है x जो सूत्र को संतुष्ट करता है Φ. यह खाली सेट हो सकता है, अगर इसका कोई मूल्य नहीं है x सूत्र को संतुष्ट करता है।

डोमेन निर्दिष्ट करना

एक डोमेन E लंबवत बार के बाईं ओर दिखाई दे सकता है: :$\{x\in E\mid \Phi (x)\},$ या इसे विधेय से जोड़कर:

$\{x\mid x\in E{\text{ and }}\Phi (x)\}\quad {\text{or}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (x)\}.$ यहाँ ∈ प्रतीक सेट सदस्यता को दर्शाता है, जबकि $\land$ प्रतीक तार्किक और संकारक को दर्शाता है, जिसे तार्किक संयोजन के रूप में जाना जाता है। यह अंकन के सभी मूल्यों के सेट का प्रतिनिधित्व करता है x जो किसी दिए गए सेट से संबंधित हैं E जिसके लिए विधेय सत्य है (देखें #सेट अस्तित्व स्वयंसिद्ध नीचे)। यदि $\Phi (x)$ एक संयोजन है $\Phi _{1}(x)\land \Phi _{2}(x)$, तब $\{x\in E\mid \Phi (x)\}$ कभी-कभी लिखा जाता है $\{x\in E\mid \Phi _{1}(x),\Phi _{2}(x)\}$, प्रतीक के बजाय अल्पविराम का उपयोग करना $\land$.

आम तौर पर, भाषण के एक डोमेन को परिभाषित किए बिना सेट पर विचार करना एक अच्छा विचार नहीं है, क्योंकि यह उन सभी संभावित चीजों के सबसेट का प्रतिनिधित्व करेगा जो मौजूद हो सकते हैं जिसके लिए विधेय सत्य है। यह आसानी से विरोधाभासों और विरोधाभासों को जन्म दे सकता है। उदाहरण के लिए, रसेल का विरोधाभास दर्शाता है कि अभिव्यक्ति $\{x~|~x\not \in x\},$ हालांकि प्रतीत होता है कि एक सेट बिल्डर अभिव्यक्ति के रूप में अच्छी तरह से गठित है, एक विरोधाभास पैदा किए बिना एक सेट को परिभाषित नहीं कर सकता है। ऐसे मामलों में जहां सेट E संदर्भ से स्पष्ट है, यह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है। साहित्य में एक लेखक के लिए समय से पहले डोमेन बताना आम बात है, और फिर इसे सेट-बिल्डर नोटेशन में निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक लेखक कुछ ऐसा कह सकता है, जब तक कि अन्यथा न कहा जाए, चर को प्राकृतिक संख्या के रूप में लिया जाना चाहिए, हालांकि कम औपचारिक संदर्भों में जहां डोमेन को ग्रहण किया जा सकता है, एक लिखित उल्लेख अक्सर अनावश्यक होता है।

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण विधेय के माध्यम से सेट-बिल्डर नोटेशन द्वारा परिभाषित विशेष सेटों का वर्णन करते हैं। प्रत्येक मामले में, डोमेन ऊर्ध्वाधर बार के बाईं ओर निर्दिष्ट होता है, जबकि नियम दाईं ओर निर्दिष्ट होता है।

• $\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}$ सभी सख्ती से सकारात्मक संख्या वास्तविक संख्याओं का सेट है, जिसे अंतराल नोटेशन में लिखा जा सकता है $(0,\infty )$.
• $\{x\in \mathbb {R} \mid |x|=1\}$ सेट है $\{-1,1\}$. इस सेट को इस रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}$; देखें #Equivalent विधेय नीचे समान सेट उपज।
• प्रत्येक पूर्णांक के लिए m, हम परिभाषित कर सकते हैं $G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \}$. उदहारण के लिए, $G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq 3\}=\{3,4,5,\ldots \}$ और $G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots \}$.
• $\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\}$ वास्तविक संख्याओं के युग्मों का समुच्चय है जैसे कि y 0 से अधिक और उससे कम है f(x), किसी दिए गए फ़ंक्शन (गणित) के लिए f. यहाँ कार्टेशियन उत्पाद $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्मों के समुच्चय को निरूपित करता है।
• $\{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\}$ सभी सम संख्या प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। $\land$ h> चिह्न का अर्थ और है, जिसे तार्किक संयोजन के रूप में जाना जाता है। ∃ चिन्ह का अर्थ वहाँ मौजूद है, जिसे अस्तित्वगत परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है। तो उदाहरण के लिए, $(\exists x)P(x)$ पढ़ा जाता है क्योंकि वहाँ मौजूद है x ऐसा है कि P(x).
• $\{n\mid (\exists k\in \mathbb {N} )[n=2k]\}$ सम प्राकृतिक संख्याओं के समान सेट के लिए एक सांकेतिक रूप है। यह बताना जरूरी नहीं है n एक प्राकृतिक संख्या है, क्योंकि यह दाईं ओर सूत्र द्वारा निहित है।
• $\{a\in \mathbb {R} \mid (\exists p\in \mathbb {Z} )(\exists q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p]\}$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है; अर्थात्, वास्तविक संख्याएँ जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है।

अंकन के बाईं ओर अधिक जटिल भाव

सेट-बिल्डर संकेतन का विस्तार एकल चर को प्रतिस्थापित करता है x एक अभिव्यक्ति (गणित) के साथ। तो इसके बजाय $\{x\mid \Phi (x)\}$, शायद हम $\{f(x)\mid \Phi (x)\},$ जिसे पढ़ा जाना चाहिए

$\{f(x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists x(y=f(x)\wedge \Phi (x))\}$.

उदाहरण के लिए:

• $\{2n\mid n\in \mathbb {N} \}$, कहां $\mathbb {N}$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है।
• $\{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}$, कहां $\mathbb {Z}$ सभी पूर्णांकों का समुच्चय है, है $\mathbb {Q} ,$ सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय।
• $\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}$ विषम पूर्णांकों का समुच्चय है।
• $\{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \}$ जोड़े का एक सेट बनाता है, जहां प्रत्येक जोड़ी एक पूर्णांक को एक विषम पूर्णांक के साथ पत्राचार में रखती है।

जब व्युत्क्रम कार्यों को स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है, तो बाईं ओर की अभिव्यक्ति को साधारण प्रतिस्थापन के माध्यम से समाप्त किया जा सकता है। उदाहरण सेट पर विचार करें $\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}$. प्रतिस्थापन करें $u=2t+1$, जिसका मतलब है $t=(u-1)/2$, फिर खोजने के लिए सेट बिल्डर नोटेशन में t को बदलें

$\{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}.$

समतुल्य विधेय उपज समान सेट

दो समुच्चय समान होते हैं यदि और केवल यदि उनके अवयव समान हों। सेट बिल्डर नोटेशन द्वारा परिभाषित सेट समान हैं यदि और केवल यदि उनके सेट बिल्डर नियम, डोमेन विनिर्देशक सहित, समतुल्य हैं। वह है

$\{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}$ अगर और केवल अगर

$(\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]$.

इसलिए, सेट बिल्डर नोटेशन द्वारा परिभाषित दो सेटों की समानता को साबित करने के लिए, यह डोमेन क्वालिफायर सहित, उनके विधेय की समानता को साबित करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

$\{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\}$

क्योंकि दो नियम विधेय तार्किक रूप से समतुल्य हैं:

$(x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1).$

यह तुल्यता कायम रहती है, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए, हमारे पास है $x^{2}=1$ यदि और केवल यदि x एक परिमेय संख्या है $|x|=1$. विशेष रूप से, दोनों सेट सेट के बराबर हैं $\{-1,1\}$.

अस्तित्व स्वयंसिद्ध सेट करें

कई औपचारिक सेट सिद्धांतों में, जैसे ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, सेट बिल्डर नोटेशन सिद्धांत के औपचारिक वाक्यविन्यास का हिस्सा नहीं है। इसके बजाय, समझ का एक स्वयंसिद्ध है, जो बताता है कि यदि E एक सेट है और Φ(x) समुच्चय सिद्धांत की भाषा में सूत्र है तो समुच्चय है Y जिसके सदस्य वास्तव में के तत्व हैं E जो संतुष्ट करता है Φ:

$(\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)].$

सेट Y इस स्वयंसिद्ध से प्राप्त सेट बिल्कुल सेट बिल्डर नोटेशन में वर्णित सेट है $\{x\in E\mid \Phi (x)\}$.

प्रोग्रामिंग भाषाओं में

Main article: List comprehension

कई प्रोग्रामिंग भाषाओं (विशेष रूप से पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) और हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)) में उपलब्ध एक समान संकेतन सूची समझ है, जो मानचित्र (उच्च-क्रम फ़ंक्शन) और फ़िल्टर (उच्च-क्रम फ़ंक्शन) संचालन को एक या एक से अधिक जोड़ती है। अधिक सूची (कंप्यूटिंग)।

पायथन में, सेट-बिल्डर के ब्रेसिज़ को क्रमशः सूची, जनरेटर (कंप्यूटर साइंस), और सेट ऑब्जेक्ट देते हुए स्क्वायर ब्रैकेट, कोष्ठक, या घुंघराले ब्रेसिज़ के साथ बदल दिया जाता है। पायथन एक अंग्रेजी-आधारित सिंटैक्स का उपयोग करता है। हास्केल सेट-बिल्डर के ब्रेसिज़ को स्क्वायर ब्रैकेट्स से बदल देता है और मानक सेट-बिल्डर वर्टिकल बार सहित प्रतीकों का उपयोग करता है।

इसे Scala (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में Sequence Comprehensions का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जहां for कीवर्ड यील्ड कीवर्ड का उपयोग करके यील्ड वेरिएबल्स की सूची लौटाता है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में इन सेट-बिल्डर नोटेशन उदाहरणों पर विचार करें:

	Example 1	Example 2
Set-builder	$\{l\ |\ l\in L\}$	$\{(k,x)\ |\ k\in K\wedge x\in X\wedge P(x)\}$
Python	{l for l in L}	{(k, x) for k in K for x in X if P(x)}
Haskell	[l | l <- ls]	[(k, x) | k <- ks, x <- xs, p x]
Scala	for (l <- L) yield l	for (k <- K; x <- X if P(x)) yield (k,x)
C#	from l in L select l	from k in K from x in X where P(x) select (k,x)
SQL	SELECT l FROM L_set	SELECT k, x FROM K_set, X_set WHERE P(x)
Prolog	setof(L,member(L,Ls),Result)	setof((K,X),(member(K,Ks),member(X,Xs),call(P,X)),Result)
Ruby	L.map{|l| l}	K.product(X).select{|k,x| P(x) }
Erlang	[l || l <- ls]
Julia	[l for l ∈ L]	[(k, x) for k ∈ K for x ∈ X if P(x)]

सेट बिल्डर नोटेशन और लिस्ट कॉम्प्रिहेंशन नोटेशन दोनों अधिक सामान्य नोटेशन के उदाहरण हैं, जिन्हें मोनाड कॉम्प्रिहेंशन के रूप में जाना जाता है, जो शून्य तत्व के साथ किसी भी मोनाड (कार्यात्मक प्रोग्रामिंग) पर मानचित्र/फ़िल्टर-जैसे संचालन की अनुमति देता है।

यह भी देखें

• सेट सिद्धांत की शब्दावली