रचनात्मक विश्लेषण

गणित में, रचनात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण है जो रचनात्मक गणित के कुछ सिद्धांतों के अनुसार किया जाता है। यह शास्त्रीय विश्लेषण के विपरीत है, जिसका (इस संदर्भ में) शास्त्रीय गणित के (अधिक सामान्य) सिद्धांतों के अनुसार किया गया विश्लेषण है।

आम तौर पर बोलना, रचनात्मक विश्लेषण शास्त्रीय विश्लेषण के प्रमेय को पुन: उत्पन्न कर सकता है, लेकिन केवल वियोज्य रिक्त स्थान के लिए आवेदन में; साथ ही, कुछ प्रमेयों को सन्निकटनों द्वारा संपर्क करने की आवश्यकता हो सकती है। इसके अलावा, कई शास्त्रीय प्रमेय ऐसे तरीकों से बताए जा सकते हैं जो शास्त्रीय तर्क के अनुसार तार्किक रूप से समतुल्य हैं, लेकिन ये सभी रूप रचनात्मक विश्लेषण में मान्य नहीं होंगे, जो अंतर्ज्ञानवादी तर्क का उपयोग करता है।

उदाहरण

मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय

एक साधारण उदाहरण के लिए, मध्यवर्ती मान प्रमेय (IVT) पर विचार करें। शास्त्रीय विश्लेषण में, आईवीटी का तात्पर्य है कि, एक बंद अंतराल [ए, बी] से वास्तविक रेखा आर तक कोई निरंतर कार्य एफ दिया गया है, यदि एफ (ए) ऋणात्मक संख्या है जबकि एफ (बी) सकारात्मक संख्या है, तो एक वास्तविक मौजूद है अंतराल में संख्या c इस प्रकार है कि f(c) बिल्कुल 0 (संख्या) है। रचनात्मक विश्लेषण में, यह पकड़ में नहीं आता है, क्योंकि अस्तित्वगत परिमाणीकरण (वहाँ मौजूद है) की रचनात्मक व्याख्या के लिए वास्तविक संख्या c का निर्माण करने में सक्षम होने की आवश्यकता होती है (इस अर्थ में कि इसे किसी परिमेय संख्या द्वारा किसी भी वांछित परिशुद्धता के साथ अनुमानित किया जा सकता है)। लेकिन अगर f अपने डोमेन के साथ खिंचाव के दौरान शून्य के करीब होवर करता है, तो यह जरूरी नहीं किया जा सकता है।

हालांकि, रचनात्मक विश्लेषण आईवीटी के कई वैकल्पिक फॉर्मूलेशन प्रदान करता है, जिनमें से सभी शास्त्रीय विश्लेषण में सामान्य रूप के बराबर हैं, लेकिन रचनात्मक विश्लेषण में नहीं। उदाहरण के लिए, शास्त्रीय प्रमेय के रूप में एफ पर समान शर्तों के तहत, किसी भी प्राकृतिक संख्या एन (चाहे कितना भी बड़ा हो) दिया गया है, वहां मौजूद है (यानी, हम निर्माण कर सकते हैं) वास्तविक संख्या सी_n अंतराल में जैसे कि f(c_n) 1/n से कम है। अर्थात्, हम शून्य के जितने करीब जाना चाहें, प्राप्त कर सकते हैं, भले ही हम एक ऐसा c नहीं बना सकते जो हमें बिल्कुल शून्य देता है।

वैकल्पिक रूप से, हम उसी निष्कर्ष को रख सकते हैं जैसे शास्त्रीय आईवीटी में - एक एकल सी ऐसा है कि एफ (सी) बिल्कुल शून्य है - एफ पर शर्तों को मजबूत करते हुए। हमें आवश्यकता है कि f स्थानीय रूप से गैर-शून्य हो, जिसका अर्थ है कि अंतराल [a,b] और किसी भी प्राकृतिक संख्या m में कोई भी बिंदु x दिया गया है, वहाँ मौजूद है (हम निर्माण कर सकते हैं) अंतराल में एक वास्तविक संख्या y जैसे कि |y - x | <1/m और |f(y)| > 0। इस स्थिति में, वांछित संख्या c का निर्माण किया जा सकता है। यह एक जटिल स्थिति है, लेकिन कई अन्य शर्तें हैं जो इसे दर्शाती हैं और जो आमतौर पर पूरी होती हैं; उदाहरण के लिए, प्रत्येक विश्लेषणात्मक कार्य स्थानीय रूप से गैर-शून्य है (यह मानते हुए कि यह पहले से ही f(a) < 0 और f(b) > 0 को संतुष्ट करता है)।

इस उदाहरण को देखने के दूसरे तरीके के लिए, ध्यान दें कि शास्त्रीय तर्क के अनुसार, यदि स्थानीय गैर-शून्य स्थिति विफल हो जाती है, तो इसे किसी विशिष्ट बिंदु x पर विफल होना चाहिए; और फिर f(x) 0 के बराबर होगा, ताकि IVT अपने आप मान्य हो जाए। इस प्रकार शास्त्रीय विश्लेषण में, जो शास्त्रीय तर्क का उपयोग करता है, पूर्ण आईवीटी साबित करने के लिए, रचनात्मक संस्करण साबित करने के लिए पर्याप्त है। इस दृष्टिकोण से, पूर्ण आईवीटी रचनात्मक विश्लेषण में केवल इसलिए विफल हो जाता है क्योंकि रचनात्मक विश्लेषण शास्त्रीय तर्क को स्वीकार नहीं करता है। इसके विपरीत, कोई यह तर्क दे सकता है कि आईवीटी का सही अर्थ, शास्त्रीय गणित में भी, स्थानीय रूप से गैर-शून्य स्थिति को शामिल करने वाला रचनात्मक संस्करण है, जिसके बाद पूर्ण आईवीटी के बाद शुद्ध तर्क होता है। कुछ तर्कशास्त्री, यह स्वीकार करते हुए कि शास्त्रीय गणित सही है, अभी भी मानते हैं कि रचनात्मक दृष्टिकोण प्रमेयों के सही अर्थ में बेहतर अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, इस तरह से।

सबसे कम-ऊपरी-बाध्य सिद्धांत और कॉम्पैक्ट सेट

शास्त्रीय और रचनात्मक विश्लेषण के बीच एक और अंतर यह है कि रचनात्मक विश्लेषण कम से कम-ऊपरी-बाध्य सिद्धांत को स्वीकार नहीं करता है, कि वास्तविक रेखा आर के किसी भी उपसमुच्चय में कम से कम ऊपरी सीमा (या सर्वोच्च), संभवतः अनंत है। हालांकि, मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय के साथ, एक वैकल्पिक संस्करण जीवित रहता है; रचनात्मक विश्लेषण में, वास्तविक रेखा के किसी भी स्थित उपसमुच्चय का एक सर्वोच्च होता है। (यहाँ R का एक उपसमुच्चय S स्थित है यदि, जब भी x <'y वास्तविक संख्याएँ हों, या तो वहाँ S' का एक तत्व s मौजूद हो ' जैसे कि x <'s, तार्किक संयोजन y S की ऊपरी सीमा है।) फिर से, यह शास्त्रीय रूप से पूर्ण न्यूनतम ऊपरी बाध्य सिद्धांत के बराबर है, क्योंकि प्रत्येक सेट शास्त्रीय गणित में स्थित है। और फिर, जबकि स्थित समुच्चय की परिभाषा जटिल है, फिर भी यह सभी अंतराल (गणित) और सभी कॉम्पैक्ट सेटों सहित कई सामान्य रूप से अध्ययन किए गए सेटों से संतुष्ट है।

इससे निकटता से संबंधित, रचनात्मक गणित में, कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के कम लक्षण रचनात्मक रूप से मान्य हैं- या दूसरे दृष्टिकोण से, कई अलग-अलग अवधारणाएं हैं जो शास्त्रीय समकक्ष हैं लेकिन रचनात्मक रूप से समकक्ष नहीं हैं। वास्तव में, यदि अंतराल [a,b] रचनात्मक विश्लेषण में क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट थे, तो शास्त्रीय IVT उदाहरण में पहले रचनात्मक संस्करण से अनुसरण करेगा; कोई सी को अनंत अनुक्रम के क्लस्टर बिंदु के रूप में पा सकता है (सी_n)_n∈N.

वास्तविक संख्या की बेशुमारता

कैंटर्स प्रमेय में विकर्ण निर्माण Intuitionistic_logic मान्य है। दरअसल, कैंटर के काम में विकर्ण तर्क का रचनात्मक घटक पहले ही प्रकट हो चुका है। अकिहिरो कनामोरी के अनुसार, एक ऐतिहासिक गलत बयानी को कायम रखा गया है जो गैर-रचनात्मकता के साथ विकर्णीकरण को जोड़ता है। नतीजतन, वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ किसी भी रचनात्मक प्रणाली में बेशुमार हैं। कुछ रचनात्मक समुच्चय सिद्धांत में, $\mathbb {R}$ उपगणनीयता है।

रचनात्मक विश्लेषण पाठ्यपुस्तकों में पाया जाने वाला एक संस्करण निम्नानुसार हो सकता है:

चलो {अn} वास्तविक संख्याओं का एक क्रम हो। चलो एक्स0 और वाई0 वास्तविक संख्या हो, x0< और0. तब x के साथ एक वास्तविक संख्या x का अस्तित्व होता है0≤ एक्स ≤ वाई0 और एक्स ≠ एn (एन ∈ 'एन')। . .

प्रमाण अनिवार्य रूप से कैंटर का 'कैंटर का विकर्ण तर्क' प्रमाण है। (एरेट्ट बिशप में प्रमेय 1, रचनात्मक विश्लेषण की नींव, 1967, पृष्ठ 25।)

वास्तविकताओं के अनुक्रम आमतौर पर विश्लेषण में दिखाई देते हैं। रचनात्मक विश्लेषण के रूप जो न केवल बहिष्कृत मध्य के कानून को अस्वीकार करते हैं बल्कि सर्वज्ञता के सीमित सिद्धांत और यहां तक ​​कि मार्कोव के सिद्धांत को भी वास्तविकताओं के अनुक्रमों के लिए निर्भर पसंद के सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं।

यह भी देखें

• संगणनीय विश्लेषण
• अपघटनीयता (रचनात्मक गणित)
• रचनात्मक गैरमानक विश्लेषण

अग्रिम पठन

• Bridger, Mark (2007). Real Analysis: A Constructive Approach. Hoboken: Wiley. ISBN 0-471-79230-6.