गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध

सेट के गणनीय अनुक्रम में प्रत्येक सेट (एस_i) = एस₁, एस₂, एस₃, ... में गैर-शून्य, और संभवतः अनंत (या यहां तक ​​कि बेशुमार), तत्वों की संख्या शामिल है। गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध हमें मनमाने ढंग से प्रत्येक सेट से एक तत्व का चयन करने की अनुमति देता है, जिससे तत्वों का एक समान क्रम बनता है (x_i) = एक्स₁, एक्स₂, एक्स₃, ...

काउंटेबल चॉइस का एक्सिओम या डेन्यूमरेबल चॉइस का एक्सिओम, एसी को दर्शाता है_ω, स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत का एक स्वयंसिद्ध है जो बताता है कि खाली सेट के प्रत्येक गणनीय संग्रह | गैर-खाली सेट (गणित) में एक विकल्प कार्य होना चाहिए। यही है, एक फ़ंक्शन एन के डोमेन के साथ एक फ़ंक्शन (गणित) ए दिया गया है (जहां एन प्राकृतिक संख्याओं के सेट को दर्शाता है) जैसे कि ए(एन) एक गैर-खाली सेट है हर n ∈ N के लिए, डोमेन N के साथ एक फंक्शन f मौजूद है जैसे कि f(n) ∈ A(n) के लिए हर एन ∈ एन.

सिंहावलोकन

गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध (एसी_ω) निर्भर पसंद (डीसी) के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है, (Jech 1973) जो बदले में पसंद के स्वयंसिद्ध (एसी) से कमजोर है। पॉल कोहेन (गणितज्ञ) ने दिखाया कि ए.सी_ω पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी (ZF) में सिद्ध नहीं है (Potter 2004). एसी_ω सोलोवे मॉडल में है।

जेडएफ + एसी_ω यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि कई गणनीय सेटों का संघ गणनीय है। यह साबित करने के लिए भी पर्याप्त है कि प्रत्येक अनंत सेट डेडेकिंड-अनंत सेट है | डेडेकाइंड-अनंत (समतुल्य: एक अनगिनत अनंत उपसमुच्चय है)।

एसी_ω गणितीय विश्लेषण के विकास के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहां कई परिणाम वास्तविक संख्याओं के समुच्चयों के गणनीय संग्रह के लिए एक विकल्प फ़ंक्शन होने पर निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, यह साबित करने के लिए कि समुच्चय S ⊆ 'R' का प्रत्येक संचय बिंदु x, S \ {x} के तत्वों के कुछ अनुक्रम की सीमा (गणित) है, किसी को गणनीय के स्वयंसिद्ध (एक कमजोर रूप) की आवश्यकता होती है पसंद। मनमानी मीट्रिक रिक्त स्थान के संचय बिंदुओं के लिए तैयार किए जाने पर, बयान एसी के बराबर हो जाता है_ω. एसी के समकक्ष अन्य बयानों के लिए_ω, देखो Herrlich (1997) और Howard & Rubin (1998).

एक आम ग़लतफ़हमी यह है कि गणनीय विकल्प में गणितीय प्रेरण प्रकृति होती है और इसलिए प्रेरण द्वारा एक प्रमेय (जेडएफ, या समान, या यहां तक ​​कि कमजोर प्रणालियों में) के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। बहरहाल, मामला यह नहीं; यह ग़लतफ़हमी आकार n के परिमित सेट (मनमाने ढंग से n के लिए) के परिमित विकल्प के साथ गणनीय विकल्प को भ्रमित करने का परिणाम है, और यह बाद का परिणाम है (जो संयोजन विज्ञान में एक प्राथमिक प्रमेय है) जो प्रेरण द्वारा सिद्ध है। हालांकि, गैर-खाली सेटों के कुछ गिने-चुने अनंत सेटों को पसंद के स्वयंसिद्ध के किसी भी रूप के बिना ZF में एक विकल्प कार्य करने के लिए सिद्ध किया जा सकता है। इनमें वी_ω− {Ø} और परिमेय समापन बिंदुओं के साथ वास्तविक संख्याओं के उचित और परिबद्ध खुले अंतरालों का सेट।

प्रयोग करें

एसी के एक आवेदन के उदाहरण के रूप में_ω, यहाँ एक प्रमाण है (ZF + AC से_ω) कि हर अनंत सेट डेडेकाइंड-अनंत है:

माना X अनंत है। प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, मान लीजिए A_n सभी का समुच्चय हो 2ⁿ-X का तत्व उपसमुच्चय। चूँकि X अनंत है, प्रत्येक A_n खाली नहीं है। एसी का पहला आवेदन_ω एक अनुक्रम उत्पन्न करता है (बी_n : n = 0,1,2,3,...) जहां प्रत्येक B_n X का 2 वाला उपसमुच्चय है^एन तत्व।

सेट बी_n आवश्यक रूप से अलग नहीं हैं, लेकिन हम परिभाषित कर सकते हैं

सी₀ = बी₀

सी_n = बी के बीच का अंतर_n और सभी का मिलन सी_j, जे < एन.

स्पष्ट रूप से प्रत्येक सेट सी_n कम से कम 1 और ज़्यादा से ज़्यादा 2 हैⁿ तत्व, और समुच्चय C_n जोड़ीदार असंयुक्त हैं। एसी का दूसरा आवेदन_ω एक क्रम देता है (सी_n: n = 0,1,2,...) c के साथ_n∈ सी_n.

तो सभी सी_n विशिष्ट हैं, और X में एक गणनीय सेट है। फ़ंक्शन जो प्रत्येक सी को मैप करता है_n सी के लिए_n+1 (और एक्स के अन्य सभी तत्वों को छोड़ देता है) एक्स से एक्स में 1-1 नक्शा है जो चालू नहीं है, यह साबित करता है कि एक्स डेडेकिंड-अनंत है।

संदर्भ

• Jech, Thomas J. (1973). The Axiom of Choice. North Holland. pp. 130–131. ISBN 978-0-486-46624-8.
• Herrlich, Horst (1997). "Choice principles in elementary topology and analysis" (PDF). Comment.Math.Univ.Carolinae. 38 (3): 545.
• Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). "Consequences of the axiom of choice". Providence, R.I. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0977-8.
• Potter, Michael (2004). Set Theory and its Philosophy : A Critical Introduction. Oxford University Press. p. 164. ISBN 9780191556432.

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