मापने योग्य कार्डिनल

गणित में, एक औसत दर्जे बड़ा कार्डिनल एक निश्चित प्रकार की बड़ी कार्डिनल संख्या है। अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, एक कार्डिनल पर दो-मूल्यवान माप (गणित) का परिचय देता है κ, या अधिक आम तौर पर किसी भी सेट पर। एक कार्डिनल के लिए κ, इसे बड़े और छोटे सेटों में इसके सभी उपसमुच्चयों के उपखंड के रूप में वर्णित किया जा सकता है κ ही बड़ा है, ∅ और सभी सिंगलटन (गणित)। {α}, α ∈ κ छोटे हैं, छोटे सेटों के सेट पूरक बड़े हैं और इसके विपरीत। से कम का चौराहा κ बड़ा सेट फिर से बड़ा होता है। यह पता चला है कि दो-मूल्य माप के साथ संपन्न बेशुमार कार्डिनल बड़े कार्डिनल हैं जिनके अस्तित्व को ZFC से साबित नहीं किया जा सकता है। मापने योग्य कार्डिनल की अवधारणा 1930 में स्टैनिस्लाव मछुआरे द्वारा पेश की गई थी।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक मापने योग्य बुनियादी संख्या बेशुमार कार्डिनल संख्या κ है, जैसे कि κ के सत्ता स्थापित पर एक κ-योजक, गैर-तुच्छ, 0-1-मूल्यवान माप (गणित) मौजूद है। (यहाँ κ-योगात्मक शब्द का अर्थ है कि, किसी अनुक्रम A के लिए_α, α<λ कार्डिनैलिटी का λ<κ, ए_α κ से कम क्रमवाचकों के जोड़ीदार असंयुक्त सेट होने के नाते, ए के मिलन का माप_α व्यक्ति ए के उपायों के योग के बराबर है_α.)

समान रूप से, κ मापने योग्य है इसका अर्थ है कि यह ब्रह्मांड के एक गैर-तुच्छ प्राथमिक एम्बेडिंग का महत्वपूर्ण बिंदु (सेट सिद्धांत) है (सेट सिद्धांत) वी एक सकर्मक वर्ग एम में। यह समानता जेरोम केसलर और दाना स्कॉट के कारण है, और इसका उपयोग करता है मॉडल सिद्धांत से ultraproduct निर्माण। चूँकि V एक उचित वर्ग है, एक तकनीकी समस्या जो आमतौर पर मौजूद नहीं होती है जब अल्ट्रापॉवर को संबोधित करने की आवश्यकता होती है, जिसे अब स्कॉट की चाल कहा जाता है।

समान रूप से, κ एक औसत दर्जे का कार्डिनल है अगर और केवल अगर यह एक बेशुमार कार्डिनल है κ-पूर्ण, गैर-प्रमुख ultrafilter । दोबारा, इसका मतलब यह है कि अल्ट्राफिल्टर में κ-कई सेटों से सख्ती से कम का चौराहे भी अल्ट्राफिल्टर में है।

गुण

यद्यपि यह ZFC से अनुसरण करता है कि प्रत्येक औसत दर्जे का कार्डिनल दुर्गम कार्डिनल है (और अप्रभावी कार्डिनल, रैमसे कार्डिनल, आदि), यह ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के अनुरूप है कि एक औसत दर्जे का कार्डिनल एक उत्तराधिकारी कार्डिनल हो सकता है। यह निर्धारकता के ZF + अभिगृहीत से अनुसरण करता है कि ω₁ मापने योग्य है, और यह कि ω का प्रत्येक उपसमुच्चय₁ क्लब सेट सबसेट शामिल है या उससे अलग है।

उलाम ने दिखाया कि सबसे छोटा कार्डिनल κ जो एक गैर-तुच्छ गिनती-योगात्मक दो-मूल्यवान माप को स्वीकार करता है, वास्तव में एक κ-योगात्मक माप को स्वीकार करना चाहिए। (यदि κ माप-0 उपसमुच्चयों से कम का कुछ संग्रह था जिसका संघ κ था, तो इस संग्रह पर प्रेरित माप κ की न्यूनतमता के लिए एक प्रति उदाहरण होगा।) वहां से, कोई भी साबित कर सकता है (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ) कम से कम ऐसे कार्डिनल दुर्गम होने चाहिए।

यह नोट करना तुच्छ है कि यदि κ एक गैर-तुच्छ κ-योजक माप को स्वीकार करता है, तो κ नियमित होना चाहिए। (गैर-तुच्छता और κ-एडिटिविटी द्वारा, κ से कम कार्डिनैलिटी के किसी भी उपसमुच्चय का माप 0 होना चाहिए, और फिर κ-एडिटिविटी द्वारा फिर से, इसका मतलब यह है कि पूरे सेट को कार्डिनैलिटी के κ सेट से कम का एक संघ नहीं होना चाहिए। κ।) अंत में, यदि λ < κ, तो यह मामला नहीं हो सकता कि κ ≤ 2^{λ</सुपा>. यदि ऐसा होता, तो हम लंबाई λ के 0-1 अनुक्रमों के कुछ संग्रह के साथ κ की पहचान कर सकते थे। अनुक्रम में प्रत्येक स्थिति के लिए, या तो उस स्थिति में 1 के साथ अनुक्रमों के उपसमुच्चय या उस स्थिति में 0 वाले उपसमुच्चय का माप 1 होना चाहिए। , लेकिन इसमें ठीक एक क्रम होगा, जो माप की गैर-तुच्छता का खंडन करेगा। इस प्रकार, पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, हम अनुमान लगा सकते हैं कि κ एक मजबूत सीमा कार्डिनल है, जो इसकी दुर्गमता के प्रमाण को पूरा करता है।}

यदि κ मापने योग्य है और p∈V_κ और M (V की अल्ट्रापॉवर) ψ(κ,p) को संतुष्ट करता है, तो α < κ का सेट ऐसा है कि V संतुष्ट करता है ψ(α,p) κ में स्थिर है (वास्तव में माप 1 का एक सेट)। विशेष रूप से यदि ψ एक Π है₁ सूत्र और V ψ(κ,p) को संतुष्ट करता है, फिर M इसे संतुष्ट करता है और इस प्रकार V α < κ के स्थिर सेट के लिए ψ(α,p) को संतुष्ट करता है। इस संपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि κ अधिकांश प्रकार के बड़े कार्डिनल्स की एक सीमा है जो मापने योग्य से कमजोर हैं। ध्यान दें कि अल्ट्राफिल्टर या माप गवाह है कि κ औसत दर्जे का है एम में नहीं हो सकता है क्योंकि सबसे छोटे मापने योग्य कार्डिनल को इसके नीचे एक और होना होगा, जो असंभव है।

यदि कोई प्राथमिक एम्बेडिंग जे से शुरू होता है₁ V का M में₁ महत्वपूर्ण बिंदु (सेट सिद्धांत) κ के साथ, फिर कोई भी κ पर एक अल्ट्राफिल्टर यू को {S⊆κ: κ∈j के रूप में परिभाषित कर सकता है₁(एस) }। फिर U के ऊपर V की एक अल्ट्रापॉवर लेते हुए हम एक और प्राथमिक एम्बेडिंग j प्राप्त कर सकते हैं₂ V का M में₂. हालांकि, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि जे₂ ≠ जे₁. इस प्रकार अन्य प्रकार के बड़े कार्डिनल जैसे कि मजबूत कार्डिनल भी मापने योग्य हो सकते हैं, लेकिन समान एम्बेडिंग का उपयोग नहीं कर रहे हैं। यह दिखाया जा सकता है कि एक मजबूत कार्डिनल κ औसत दर्जे का है और इसके नीचे κ-कई औसत दर्जे का कार्डिनल भी है।

प्रत्येक औसत दर्जे का कार्डिनल κ एक 0-विशाल कार्डिनल है क्योंकि ^κM⊆M, अर्थात, κ से M तक का प्रत्येक फलन M में है। परिणामस्वरूप, V_κ+1⊆M.

अस्तित्व के निहितार्थ

यदि एक औसत दर्जे का कार्डिनल मौजूद है, तो प्रत्येक ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}$ (बोरेल पदानुक्रम के संबंध में) रियल के सेट में एक लेबेसेग उपाय है।विशेष रूप से, वास्तविक का कोई भी गैर-मापने योग्य सेट नहीं होना चाहिए ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}$.

वास्तविक-मूल्यवान मापने योग्य

एक कार्डिनल κ को वास्तविक-मूल्यवान मापने योग्य कहा जाता है यदि κ के पावर सेट पर κ-योगात्मक संभाव्यता माप होता है जो सिंगलटन पर गायब हो जाता है। वास्तविक मूल्य मापने योग्य कार्डिनल किसके द्वारा पेश किए गए थे Stefan Banach (1930). Banach & Kuratowski (1929) ने दिखाया कि सातत्य परिकल्पना का तात्पर्य है ${\mathfrak {c}}$ वास्तविक-मूल्यवान मापने योग्य नहीं है। Stanislaw Ulam (1930) दिखाया (उलम के प्रमाण के कुछ हिस्सों के लिए नीचे देखें) कि वास्तविक मूल्यवान औसत दर्जे के कार्डिनल कमजोर रूप से दुर्गम हैं (वे वास्तव में कमजोर रूप से महलो हैं)। सभी मापने योग्य कार्डिनल वास्तविक-मूल्यवान औसत दर्जे के होते हैं, और एक वास्तविक-मूल्यवान मापने योग्य कार्डिनल κ मापने योग्य होता है यदि और केवल अगर κ से अधिक हो ${\mathfrak {c}}$. इस प्रकार एक कार्डिनल औसत दर्जे का है अगर और केवल अगर यह वास्तविक-मूल्यवान औसत दर्जे का है और दृढ़ता से दुर्गम है। एक वास्तविक मूल्यवान औसत दर्जे का कार्डिनल इससे कम या इसके बराबर ${\mathfrak {c}}$ मौजूद है अगर और केवल अगर वास्तविक संख्या के सभी सेटों के लिए लेबेस्ग माप का सिग्मा योगात्मकता विस्तार है, अगर और केवल अगर कुछ गैर-रिक्त सेट के पावर सेट पर एक परमाणु (माप सिद्धांत) संभाव्यता माप है।

Solovay (1971) ने दिखाया कि ZFC में औसत दर्जे के कार्डिनल्स का अस्तित्व, ZFC में वास्तविक मूल्यवान औसत दर्जे का कार्डिनल्स, और ZF में औसत दर्जे का कार्डिनल्स, समान हैं।

वास्तविक-मूल्यवान औसत दर्जे के कार्डिनल्स की दुर्बल दुर्गमता

कहें कि एक कार्डिनल नंबर α एक उलम संख्या है यदि जब कभी भी

μ is an outer measure on a set X,

(1)

$\mu (X)<\infty ,$

(2)

$\mu (\{x\})=0,x\in X,$

(3)

all $A\subset X$ are [[Carathéodory-measurable set|μ-measurable]],

(4)

तब

$\operatorname {card} X\leq \alpha \Rightarrow \mu (X)=0.$

समतुल्य, एक कार्डिनल संख्या α एक उलम संख्या है यदि

जब कभी भी

1. ν एक सेट पर एक बाहरी माप है Y, और F के सबसेट का एक अलग परिवार Y,
2. $\nu \left(\bigcup F\right)<\infty ,$
3. $\nu (A)=0$ के लिए $A\in F,$
4. $\bigcup G$ है ν-प्रत्येक के लिए मापने योग्य $G\subset F$

तब

$\operatorname {card} F\leq \alpha \Rightarrow \nu \left(\bigcup F\right)=0.$

सबसे छोटा अनंत कार्डिनल $\aleph _{0}$ एक उलम संख्या है। उलम नंबरों का वर्ग उत्तराधिकारी कार्डिनल ऑपरेशन के तहत बंद है। यदि एक अनंत कार्डिनल β का तत्काल पूर्ववर्ती है α वह एक उलम संख्या है, मान लीजिए μ गुणों को संतुष्ट करता है (1)–(4) साथ $X=\beta$. ऑर्डिनल नंबर#वॉन न्यूमैन में ऑर्डिनल्स और कार्डिनल्स के ऑर्डिनल्स की परिभाषा, इंजेक्शन समारोह चुनें

$f_{x}:x\rightarrow \alpha ,\quad \forall x\in \beta ,$

और सेट को परिभाषित करें

$U(b,a)=\{x\in \beta :f_{x}(b)=a\},\quad a\in \alpha ,b\in \beta .$

के बाद से $f_{x}$ एक-से-एक, सेट हैं

$\left\{U(b,a),b\in \beta \right\}{\text{(}}a{\text{ fixed)}},$

$\left\{U(b,a),a\in \alpha \right\}{\text{(}}b{\text{ fixed)}}$

असंबद्ध हैं। संपत्ति द्वारा (2) का μ, सेट

$\left\{b\in \beta :\mu (U(b,a))>0\right\}$

गणनीय सेट है, और इसलिए

$\operatorname {card} \left\{(b,a)\in \beta \times \alpha |\mu (U(b,a))>0\right\}\leq \aleph _{0}\cdot \alpha =\alpha .$

इस प्रकार वहाँ एक है $b_{0}$ ऐसा है कि

$\mu (U(b_{0},a))=0\quad \forall a\in \alpha$

लागू, के बाद से α एक उलम संख्या है और दूसरी परिभाषा का उपयोग करते हुए (के साथ $\nu =\mu$ और शर्तें (1)–(4) पूरा हुआ),

$\mu \left(\bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a)\right)=0.$

अगर $b_{0}<x<\beta ,$ तब $f_{x}(b_{0})=a_{x}\Rightarrow x\in U(b_{0},a_{x}).$ इस प्रकार

$\beta =b_{0}\cup \{b_{0}\}\cup \bigcup _{a\in \alpha }U(b_{0},a),$

संपत्ति द्वारा (2), $\mu \{b_{0}\}=0,$ और तबसे $\operatorname {card} b_{0}\leq \alpha$, द्वारा (4), (2) और (3), $\mu (b_{0})=0.$ यह इस प्रकार है कि $\mu (\beta )=0.$ निष्कर्ष यह है β एक उलम संख्या है।

ऐसा ही एक प्रमाण है कि एक सेट की सर्वोच्चता S उलम संख्या के साथ $\operatorname {card} S$ एक उलम संख्या फिर से एक उलम संख्या है। पिछले परिणाम के साथ, इसका तात्पर्य है कि एक कार्डिनल जो उलम संख्या नहीं है, वह दुर्गम कार्डिनल है।

यह भी देखें

• सामान्य उपाय
• मिशेल आदेश
• बड़े कार्डिनल गुणों की सूची

संदर्भ

• Banach, Stefan (1930), "Über additive Maßfunktionen in abstrakten Mengen", Fundamenta Mathematicae, 15: 97–101, doi:10.4064/fm-15-1-97-101, ISSN 0016-2736.
• Banach, Stefan; Kuratowski, Kazimierz (1929), "Sur une généralisation du probleme de la mesure", Fundamenta Mathematicae, 14: 127–131, doi:10.4064/fm-14-1-127-131, ISSN 0016-2736.
• Drake, F. R. (1974), Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics; V. 76), Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2279-5.
• Federer, H. (1996) [1969], Geometric Measure Theory, Classics in Mathematics (1st ed reprint ed.), Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, ISBN 978-3540606567.
• Jech, Thomas (2002), Set theory, third millennium edition (revised and expanded), Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
• Maddy, Penelope (1988), "Believing the Axioms. II", The Journal of Symbolic Logic, 53 (3): 736–764, doi:10.2307/2274569, JSTOR 2274569, S2CID 16544090. A copy of parts I and II of this article with corrections is available at the author's web page.
• Solovay, Robert M. (1971), "Real-valued measurable cardinals", Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 397–428, MR 0290961.
• Ulam, Stanislaw (1930), "Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre", Fundamenta Mathematicae, 16: 140–150, doi:10.4064/fm-16-1-140-150, ISSN 0016-2736.