बुनियादी संख्या

This article is about the mathematical concept. For number words indicating quantity ("three" apples, "four" birds, etc.), see Cardinal numeral.

एक विशेषण फलन, f: X → Y, सेट

aleph-अशक्त, सबसे छोटा अनंत कार्डिनल

गणित में, एक कार्डिनल संख्या, या संक्षेप में कार्डिनल, वह है जिसे आमतौर पर किसी सेट (गणित) के तत्वों की संख्या कहा जाता है। एक परिमित समुच्चय के मामले में, इसकी कार्डिनल संख्या, या प्रमुखता इसलिए एक प्राकृतिक संख्या है। अनंत सेटों के मामले से निपटने के लिए, ट्रांसफ़िनिट संख्याओं को पेश किया गया है, जिन्हें अक्सर हिब्रू वर्णमाला के साथ दर्शाया जाता है $\aleph$ (अलेफ (हिब्रू)) अनंत कार्डिनल्स के बीच उनकी रैंक को इंगित करने वाली सबस्क्रिप्ट के साथ चिह्नित है।

कार्डिनलिटी को विशेषण कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है, और केवल तभी, जब दोनों सेटों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार (आक्षेप) होता है। परिमित समुच्चयों के मामले में, यह तत्वों की संख्या की सहज धारणा से सहमत है। अनंत समुच्चयों के मामले में, व्यवहार अधिक जटिल है। जॉर्ज कैंटर के कारण एक मौलिक प्रमेय से पता चलता है कि अनंत सेटों के लिए अलग-अलग कार्डिनैलिटी होना संभव है, और विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक है। किसी अनंत समुच्चय के उचित उपसमुच्चय के लिए मूल समुच्चय के समान प्रमुखता होना भी संभव है - ऐसा कुछ जो परिमित समुच्चय के उचित उपसमुच्चय के साथ नहीं हो सकता है।

कार्डिनल संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम है:

$0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\$

यह क्रम शून्य (परिमित कार्डिनल) सहित प्राकृतिक संख्याओं से शुरू होता है, जिसके बाद एलेफ़ संख्याएँ आती हैं। एलेफ़ संख्याओं को क्रमिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। यदि पसंद का सिद्धांत सत्य है, तो इस अनंत अनुक्रम में प्रत्येक कार्डिनल संख्या शामिल है। यदि पसंद का सिद्धांत सत्य नहीं है (देखें)। Axiom of choice § Independence), ऐसे अनंत कार्डिनल हैं जो एलेफ़ संख्या नहीं हैं।

सेट सिद्धांत के भाग के रूप में कार्डिनलिटी का अध्ययन स्वयं के लिए किया जाता है। यह मॉडल सिद्धांत, साहचर्य, अमूर्त बीजगणित और गणितीय विश्लेषण सहित गणित की शाखाओं में भी उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण है। श्रेणी सिद्धांत में, कार्डिनल संख्याएं सेट की श्रेणी का एक कंकाल (श्रेणी सिद्धांत) बनाती हैं।

इतिहास

कार्डिनलिटी की धारणा, जैसा कि अब समझा जाता है, 1874-1884 में सेट सिद्धांत के प्रवर्तक जॉर्ज कैंटर द्वारा तैयार की गई थी। कार्डिनलिटी का उपयोग परिमित सेटों के एक पहलू की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सेट {1,2,3} और {4,5,6} समान नहीं हैं, लेकिन उनकी प्रमुखता समान है, अर्थात् तीन। यह दो सेटों के बीच एक आक्षेप (यानी, एक-से-एक पत्राचार) के अस्तित्व से स्थापित होता है, जैसे कि पत्राचार {1→4, 2→5, 3→6}।

कैंटर ने आपत्ति की अपनी अवधारणा को अनंत सेटों पर लागू किया (उदाहरण के लिए प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N = {0, 1, 2, 3, ...})। इस प्रकार, उन्होंने एन गणनीय सेट के साथ सभी सेटों को 'गणनीय (गणनीय अनंत) सेट' कहा, जो सभी एक ही कार्डिनल संख्या साझा करते हैं। इस कार्डिनल नंबर को कहा जाता है $\aleph _{0}$, एलेफ़ नंबर|एलेफ़-नल। उन्होंने अनंत सेटों की कार्डिनल संख्याओं को ट्रांसफ़ाइनिट कार्डिनल संख्याएँ कहा।

कैंटर ने साबित किया कि एन के किसी भी बंधा हुआ सेट में एन के समान ही कार्डिनैलिटी है, भले ही यह अंतर्ज्ञान के विपरीत चल सकता है। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि प्राकृत संख्याओं के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय गणना योग्य है; इसका तात्पर्य यह है कि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणना योग्य है, क्योंकि प्रत्येक परिमेय को पूर्णांकों की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया जा सकता है। बाद में उन्होंने साबित किया कि सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय भी गणना योग्य है। प्रत्येक वास्तविक बीजगणितीय संख्या z को पूर्णांकों के एक सीमित अनुक्रम के रूप में एन्कोड किया जा सकता है, जो बहुपद समीकरण में गुणांक हैं जिसका यह एक समाधान है, यानी क्रमबद्ध एन-टुपल (ए)₀, ए₁, ..., ए_n), ए_i∈ 'Z' परिमेय की एक जोड़ी के साथ (b₀, बी₁) इस प्रकार कि z गुणांक (a) वाले बहुपद का अद्वितीय मूल है₀, ए₁, ..., ए_n) जो अंतराल में स्थित है (बी₀, बी₁).

अपने 1874 के पेपर सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं के संग्रह की एक संपत्ति पर में, कैंटर ने साबित किया कि उच्च-क्रम वाले कार्डिनल नंबर मौजूद हैं, यह दिखाते हुए कि वास्तविक संख्याओं के सेट में एन की तुलना में कार्डिनैलिटी अधिक है। उनके प्रमाण में नेस्टेड के साथ एक तर्क का उपयोग किया गया था अंतराल, लेकिन 1891 के एक पेपर में, उन्होंने अपने सरल और बहुत सरल कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करके वही परिणाम साबित किया। वास्तविक संख्याओं के सेट की नई कार्डिनल संख्या को सातत्य की कार्डिनैलिटी कहा जाता है और कैंटर ने प्रतीक का उपयोग किया ${\mathfrak {c}}$ इसके लिए।

कैंटर ने कार्डिनल संख्याओं के सामान्य सिद्धांत का एक बड़ा हिस्सा भी विकसित किया; उन्होंने साबित किया कि एक सबसे छोटी ट्रांसफिनिट कार्डिनल संख्या है ($\aleph _{0}$, एलेफ़-नल), और प्रत्येक कार्डिनल संख्या के लिए एक अगला बड़ा कार्डिनल होता है

$(\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).$

उनकी सातत्य परिकल्पना यह प्रस्ताव है कि कार्डिनैलिटी ${\mathfrak {c}}$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय वैसा ही है $\aleph _{1}$. यह परिकल्पना गणितीय समुच्चय सिद्धांत के मानक सिद्धांतों से स्वतंत्र है, अर्थात इसे उनसे न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही असिद्ध किया जा सकता है। इसे 1963 में पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा दिखाया गया था, जो 1940 में कर्ट गोडेल के पहले के काम का पूरक था।

प्रेरणा

अनौपचारिक उपयोग में, एक कार्डिनल संख्या को आम तौर पर गिनती संख्या के रूप में जाना जाता है, बशर्ते कि 0 शामिल हो: 0, 1, 2, .... उन्हें 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं से पहचाना जा सकता है। गिनती संख्याएं हैं वास्तव में जिसे औपचारिक रूप से परिमित सेट कार्डिनल संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनंत कार्डिनल केवल उच्च-स्तरीय गणित और तर्क में होते हैं।

अधिक औपचारिक रूप से, एक गैर-शून्य संख्या का उपयोग दो उद्देश्यों के लिए किया जा सकता है: किसी सेट के आकार का वर्णन करने के लिए, या किसी अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति का वर्णन करने के लिए। परिमित समुच्चयों और अनुक्रमों के लिए यह देखना आसान है कि ये दोनों धारणाएँ मेल खाती हैं, क्योंकि अनुक्रम में स्थिति का वर्णन करने वाली प्रत्येक संख्या के लिए हम एक ऐसा समुच्चय बना सकते हैं जिसका आकार बिल्कुल सही हो। उदाहरण के लिए, 3 अनुक्रम <'a','b','c','d',...> में 'c' की स्थिति का वर्णन करता है, और हम सेट {a,b,c} का निर्माण कर सकते हैं। जिसमें 3 तत्व हैं।

हालाँकि, अनंत समुच्चयों के साथ व्यवहार करते समय, दोनों के बीच अंतर करना आवश्यक है, क्योंकि दोनों धारणाएँ वास्तव में अनंत समुच्चयों के लिए भिन्न हैं। स्थिति पहलू पर विचार करने से क्रमिक संख्याएँ प्राप्त होती हैं, जबकि आकार पहलू को यहाँ वर्णित कार्डिनल संख्याओं द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है।

कार्डिनल की औपचारिक परिभाषा के पीछे अंतर्ज्ञान एक सेट के सापेक्ष आकार या बड़ेपन की धारणा का निर्माण है, बिना इसके सदस्यों के प्रकार के संदर्भ के। परिमित समुच्चयों के लिए यह आसान है; कोई बस एक सेट में मौजूद तत्वों की संख्या गिनता है। बड़े सेटों के आकारों की तुलना करने के लिए, अधिक परिष्कृत विचारों को आकर्षित करना आवश्यक है।

एक सेट Y कम से कम एक सेट X जितना बड़ा होता है यदि X के तत्वों से Y के तत्वों तक एक द्विभाजित फ़ंक्शन मैप (गणित) होता है। एक इंजेक्टिव मैपिंग सेट Y. इसे एक उदाहरण से सबसे आसानी से समझा जा सकता है; मान लीजिए कि हमारे पास सेट X = {1,2,3} और Y = {a,b,c,d} है, तो आकार की इस धारणा का उपयोग करते हुए, हम देखेंगे कि एक मैपिंग है:

1 → ए

2 → बी

3 → सी

जो इंजेक्शन समारोह, और इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया है कि Y की कार्डिनैलिटी X से अधिक या उसके बराबर है। तत्व d में कोई तत्व मैपिंग नहीं है, लेकिन इसकी अनुमति है क्योंकि हमें केवल इंजेक्शन मैपिंग की आवश्यकता है, और जरूरी नहीं कि एक विशेषण मैपिंग हो। इस धारणा का लाभ यह है कि इसे अनंत सेटों तक बढ़ाया जा सकता है।

फिर हम इसे समानता-शैली के संबंध तक बढ़ा सकते हैं। कहा जाता है कि दो सेट (गणित) एक्स से वाई, और वाई से एक्स तक एक इंजेक्शन मैपिंग। फिर हम लिखते हैं |एक्स| = |वाई|. X की मूल संख्या को अक्सर |a| के साथ सबसे कम क्रमिक a के रूप में परिभाषित किया जाता है = |एक्स| इसे वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट कहा जाता है; इस परिभाषा को समझने के लिए, यह साबित करना होगा कि प्रत्येक सेट में कुछ क्रमसूचक के समान ही कार्डिनलिटी होती है; यह कथन सुव्यवस्थित सिद्धांत है। हालाँकि, वस्तुओं को स्पष्ट रूप से नाम दिए बिना सेट की सापेक्ष कार्डिनैलिटी पर चर्चा करना संभव है।

इस्तेमाल किया गया क्लासिक उदाहरण अनंत होटल विरोधाभास का है, जिसे ग्रैंड होटल का हिल्बर्ट विरोधाभास भी कहा जाता है। मान लीजिए कि किसी होटल में अनंत संख्या में कमरों वाला एक सराय का मालिक है। होटल भरा हुआ है, और फिर एक नया मेहमान आता है। कमरे 1 में रहने वाले अतिथि को कमरे 2 में जाने के लिए, कमरा 2 में रहने वाले अतिथि को कमरा 3 में जाने के लिए, और इसी तरह कमरा 1 खाली छोड़कर अतिरिक्त अतिथि को शामिल करना संभव है। हम इस मैपिंग का एक खंड स्पष्ट रूप से लिख सकते हैं:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

एन → एन + 1

...

इस असाइनमेंट के साथ, हम देख सकते हैं कि सेट {1,2,3,...} में सेट {2,3,4,...} के समान ही कार्डिनैलिटी है, क्योंकि पहले और दूसरे के बीच एक आक्षेप है दिखाया गया. यह एक अनंत सेट की परिभाषा को प्रेरित करता है जिसमें कोई भी सेट होता है जिसमें समान कार्डिनैलिटी का उचित उपसमुच्चय होता है (यानी, एक डेडेकाइंड-अनंत सेट); इस मामले में {2,3,4,...}, {1,2,3,...} का एक उचित उपसमुच्चय है।

इन बड़ी वस्तुओं पर विचार करते समय, कोई यह भी देखना चाहेगा कि क्या गिनती के क्रम की धारणा इन अनंत सेटों के लिए ऊपर परिभाषित कार्डिनल के साथ मेल खाती है। ऐसा होता है कि ऐसा नहीं होता; उपरोक्त उदाहरण पर विचार करके हम देख सकते हैं कि यदि अनंत से एक बड़ी कोई वस्तु मौजूद है, तो उसमें उस अनंत सेट के समान कार्डिनलिटी होनी चाहिए, जिसके साथ हमने शुरुआत की थी। संख्या के लिए एक अलग औपचारिक धारणा का उपयोग करना संभव है, जिसे क्रमसूचक संख्या कहा जाता है, जो गिनती के विचारों और प्रत्येक संख्या पर बारी-बारी से विचार करने पर आधारित होती है, और हम पाते हैं कि परिमित संख्याओं से बाहर निकलने के बाद कार्डिनलिटी और ऑर्डिनैलिटी की धारणाएं भिन्न हो जाती हैं।

यह साबित किया जा सकता है कि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी अभी वर्णित प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक है। इसे कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करके देखा जा सकता है; कार्डिनलिटी के क्लासिक प्रश्न (उदाहरण के लिए सातत्य परिकल्पना) यह पता लगाने से संबंधित हैं कि क्या अन्य अनंत कार्डिनल्स की कुछ जोड़ी के बीच कोई कार्डिनल है। हाल के दिनों में, गणितज्ञ बड़े और बड़े कार्डिनल्स के गुणों का वर्णन कर रहे हैं।

चूंकि गणित में कार्डिनैलिटी एक सामान्य अवधारणा है, इसलिए विभिन्न प्रकार के नाम उपयोग में हैं। कार्डिनलिटी की समानता को कभी-कभी समविभवता, समविषमता या समसंख्याकता के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार यह कहा जाता है कि समान कार्डिनैलिटी वाले दो सेट क्रमशः समविभव, समध्रुवक या समसंख्यक होते हैं।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, सेट एक्स की कार्डिनैलिटी सबसे कम क्रमिक संख्या α है, जैसे कि एक्स और α के बीच एक आक्षेप है। इस परिभाषा को वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट के रूप में जाना जाता है। यदि पसंद का सिद्धांत नहीं माना जाता है, तो एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता है। किसी सेट समुच्चय सिद्धांत क्योंकि यदि X गैर-रिक्त है, तो यह संग्रह समुच्चय बनने के लिए बहुत बड़ा है। वास्तव में, X ≠ ∅ के लिए एक सेट m को {m} × X में मैप करके ब्रह्मांड से [X] में एक इंजेक्शन होता है, और इसलिए आकार की सीमा के सिद्धांत के अनुसार, [X] एक उचित वर्ग है। हालाँकि परिभाषा प्रकार सिद्धांत और नई नींव और संबंधित प्रणालियों में काम करती है। हालाँकि, अगर हम इस वर्ग को एक्स के साथ उन समतुल्य तक ही सीमित रखते हैं जिनकी रैंक सबसे कम है (सेट सिद्धांत), तो यह काम करेगा (यह दाना स्कॉट के कारण एक चाल है: यह काम करता है क्योंकि किसी भी रैंक वाली वस्तुओं का संग्रह एक सेट है)।

वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट का तात्पर्य है कि एक परिमित सेट की कार्डिनल संख्या उस सेट के सभी संभावित सु-क्रमों की सामान्य क्रमिक संख्या है, और कार्डिनल और क्रमिक अंकगणित (जोड़, गुणा, शक्ति, उचित घटाव) फिर परिमित के लिए समान उत्तर देते हैं नंबर. हालाँकि, वे अनंत संख्याओं के लिए भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, $2^{\omega }=\omega <\omega ^{2}$ जबकि क्रमिक अंकगणित में $2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}=\aleph _{0}^{2}$ कार्डिनल अंकगणित में, हालांकि वॉन न्यूमैन असाइनमेंट डालता है $\aleph _{0}=\omega$. दूसरी ओर, स्कॉट की चाल का तात्पर्य है कि कार्डिनल संख्या 0 है $\{\emptyset \}$, जो क्रमसूचक संख्या 1 भी है, और यह भ्रमित करने वाला हो सकता है। एक संभावित समझौता (अनंत अंकगणित में पसंद और भ्रम के सिद्धांत पर निर्भरता से बचते हुए परिमित अंकगणित में संरेखण का लाभ उठाने के लिए) वॉन न्यूमैन असाइनमेंट को परिमित सेटों की कार्डिनल संख्याओं पर लागू करना है (जिन्हें अच्छी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है और नहीं हैं) उचित उपसमुच्चय से लैस) और अन्य सेटों की कार्डिनल संख्याओं के लिए स्कॉट की चाल का उपयोग करना।

औपचारिक रूप से, कार्डिनल संख्याओं के बीच क्रम को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: |X| ≤ |Y X से Y तक कार्य करता है। कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय बताता है कि यदि |X| ≤ |Y| और |Y| ≤ |एक्स| फिर |एक्स| = |वाई|. पसंद का सिद्धांत उस कथन के समतुल्य है जिसमें दो सेट X और Y दिए गए हैं, या तो |X| ≤ |Y| या |Y| ≤ |एक्स| एक समुच्चय X डेडेकाइंड-अनंत है यदि |X| के साथ X का एक उचित उपसमुच्चय Y मौजूद है = |Y|, और डेडेकाइंड-परिमित यदि ऐसा कोई उपसमुच्चय मौजूद नहीं है। परिमित समुच्चय कार्डिनल केवल प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इस अर्थ में कि एक समुच्चय X परिमित है यदि और केवल यदि |X| = |एन| = n किसी प्राकृत संख्या n के लिए। कोई भी अन्य समुच्चय अनन्त समुच्चय है।

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, यह साबित किया जा सकता है कि डेडेकाइंड धारणाएँ मानक धारणाओं के अनुरूप हैं। यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि कार्डिनल $\aleph _{0}$ (एलेफ़ नल या एलेफ़-0, जहां एलेफ़ हिब्रू वर्णमाला का पहला अक्षर है, दर्शाया गया है $\aleph$) प्राकृतिक संख्याओं के सेट का सबसे छोटा अनंत कार्डिनल है (यानी, किसी भी अनंत सेट में कार्डिनलिटी का सबसेट होता है) $\aleph _{0}$). अगले बड़े कार्डिनल को दर्शाया गया है $\aleph _{1}$, और इसी तरह। प्रत्येक क्रमसूचक α के लिए, एक कार्डिनल संख्या होती है $\aleph _{\alpha },$ और यह सूची सभी अनंत कार्डिनल संख्याओं को समाप्त कर देती है।

कार्डिनल अंकगणित

हम कार्डिनल संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं को परिभाषित कर सकते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं के लिए सामान्य संक्रियाओं को सामान्यीकृत करती हैं। यह दिखाया जा सकता है कि परिमित कार्डिनल्स के लिए, ये ऑपरेशन प्राकृतिक संख्याओं के लिए सामान्य ऑपरेशन के साथ मेल खाते हैं। इसके अलावा, ये ऑपरेशन सामान्य अंकगणित के साथ कई गुण साझा करते हैं।

उत्तराधिकारी कार्डिनल

Further information: Successor cardinal

यदि पसंद का सिद्धांत मान्य है, तो प्रत्येक कार्डिनल κ का एक उत्तराधिकारी होता है, जिसे κ दर्शाया जाता है⁺, जहां κ⁺ > κ और κ और उसके उत्तराधिकारी के बीच कोई कार्डिनल नहीं है। (पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना, हार्टोग्स संख्या|हार्टोग्स प्रमेय का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी कार्डिनल संख्या κ के लिए, एक न्यूनतम कार्डिनल κ है⁺ऐसे कि $\kappa ^{+}\nleq \kappa .$) परिमित कार्डिनल्स के लिए, उत्तराधिकारी बस κ + 1 है। अनंत कार्डिनल्स के लिए, उत्तराधिकारी कार्डिनल उत्तराधिकारी क्रमसूचक से भिन्न होता है।

कार्डिनल जोड़

यदि X×{0} और Y बटा Y×{1}).

$|X|+|Y|=|X\cup Y|.$

शून्य एक योगात्मक पहचान है κ + 0 = 0 + κ = κ.

जोड़ साहचर्य है (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).

जोड़ क्रमविनिमेय है κ + μ = μ + κ.

दोनों तर्कों में जोड़ गैर-घटता नहीं है:

$(\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ and }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )).$

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत कार्डिनल संख्याओं को जोड़ना आसान है। यदि या तो κ या μ अनंत है, तो

$\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.$

घटाव

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए और, एक अनंत कार्डिनल σ और एक कार्डिनल μ दिया गया है, वहां एक कार्डिनल κ मौजूद है जैसे कि μ + κ = σ यदि और केवल यदि μ ≤ σ। यह अद्वितीय होगा (और σ के बराबर) यदि और केवल यदि μ < σ।

कार्डिनल गुणन

कार्डिनल्स का उत्पाद कार्टेशियन उत्पाद से आता है।

$|X|\cdot |Y|=|X\times Y|$

κ·0 = 0·κ = 0.

κ·μ = 0 → (κ = 0 या μ = 0).

एक गुणात्मक सर्वसमिका है κ·1 = 1·κ = κ.

गुणन साहचर्य है (κ·μ)·ν = κ·(μ·ν)।

गुणन क्रमविनिमेय κ·μ = μ·κ है।

दोनों तर्कों में गुणन घटता नहीं है: κ ≤ μ → (κ·ν ≤ μ·ν और ν·κ ≤ ν·μ).

जोड़ पर गुणन वितरण: κ·(μ + ν) = κ·μ + κ·ν और (एम + एन)·के = एम·के + एन·के.

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत कार्डिनल संख्याओं का गुणन भी आसान है। यदि या तो κ या μ अनंत है और दोनों गैर-शून्य हैं, तो

$\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.$

प्रभाग

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, एक अनंत कार्डिनल π और एक गैर-शून्य कार्डिनल μ दिया गया है, वहां एक कार्डिनल κ मौजूद है जैसे कि μ · κ = π यदि और केवल यदि μ ≤ π। यह अद्वितीय होगा (और π के बराबर) यदि और केवल यदि μ < π।

कार्डिनल घातांक

घातांक द्वारा दिया गया है

$|X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|,$

जहां एक्स^YY से X तक सभी फ़ंक्शन (गणित) का सेट है।

क⁰ = 1 (विशेष रूप से 0⁰ = 1), खाली फ़ंक्शन देखें।

यदि 1 ≤ μ, तो 0^μ = 0.

1^μ = 1.

क¹=श्रीमान.

क^{म + एन} = क^म·मिⁿ.

क^{म · एन} = (म^म)ⁿ.

(एम·एम)ⁿ=k^एन·एमⁿ.

दोनों तर्कों में घातांक घटता नहीं है:

(1 ≤ ν और κ ≤ μ) → (ν^क ≤ एन^म) और

(κ ≤ μ) → (κⁿ ≤ मⁿ).

2^|X| सेट X के सत्ता स्थापित की कार्डिनैलिटी है और कैंटर के विकर्ण तर्क से पता चलता है कि 2^{|एक्स|} > |एक्स| किसी भी सेट X के लिए। यह साबित करता है कि कोई भी सबसे बड़ा कार्डिनल मौजूद नहीं है (क्योंकि किसी भी कार्डिनल के लिए, हम हमेशा एक बड़ा कार्डिनल 2 पा सकते हैं^κ). वास्तव में, कार्डिनल्स का वर्ग (सेट सिद्धांत) एक उचित वर्ग है। (यह प्रमाण कुछ निर्धारित सिद्धांतों, विशेष रूप से नई नींवों में विफल रहता है।)

इस खंड में शेष सभी प्रस्ताव पसंद के सिद्धांत को मानते हैं:

यदि κ और μ दोनों परिमित हैं और 1 से बड़े हैं, और ν अनंत है, तो κⁿ = मⁿ.

यदि κ अनंत है और μ परिमित और गैर-शून्य है, तो κ^μ = κ.

यदि 2 ≤ κ और 1 ≤ μ और उनमें से कम से कम एक अनंत है, तो:

मैक्स (κ, 2^म) ≤ क^μ ≤ अधिकतम (2^क, 2^μ).

कोनिग के प्रमेय (सेट सिद्धांत)|कोनिग के प्रमेय का उपयोग करके, कोई κ < κ साबित कर सकता है^cf(κ) और κ < cf(2^κ) किसी भी अनंत कार्डिनल κ के लिए, जहां cf(κ) κ की सह-अंतिमता है।

जड़ें

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, एक अनंत कार्डिनल κ और 0 से अधिक एक परिमित कार्डिनल μ दिया गया है, कार्डिनल ν संतोषजनक है $\nu ^{\mu }=\kappa$ होगा $\kappa$.

लघुगणक

पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, एक अनंत कार्डिनल κ और 1 से अधिक एक परिमित कार्डिनल μ दिया गया है, एक कार्डिनल λ संतोषजनक हो भी सकता है और नहीं भी। $\mu ^{\lambda }=\kappa$. हालाँकि, यदि ऐसा कोई कार्डिनल मौजूद है, तो यह अनंत है और κ से कम है, और 1 से अधिक कोई भी परिमित कार्डिनैलिटी ν भी संतुष्ट करेगा $\nu ^{\lambda }=\kappa$.

एक अनंत कार्डिनल संख्या κ के लघुगणक को सबसे कम कार्डिनल संख्या μ के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि κ ≤ 2^μ. अनंत कार्डिनल्स के लघुगणक गणित के कुछ क्षेत्रों में उपयोगी होते हैं, उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस के कार्डिनल अपरिवर्तनीय के अध्ययन में, हालांकि उनमें कुछ ऐसे गुणों का अभाव होता है जो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लघुगणक में होते हैं।

सातत्य परिकल्पना

सातत्य परिकल्पना (सीएच) बताती है कि बीच में कोई कार्डिनल नहीं हैं $\aleph _{0}$ और $2^{\aleph _{0}}.$ बाद वाले कार्डिनल नंबर को भी अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है ${\mathfrak {c}}$; यह सातत्य (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) की प्रमुखता है। इस मामले में $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.$ इसी प्रकार, सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना (जीसीएच) बताती है कि प्रत्येक अनंत कार्डिनल के लिए $\kappa$, बीच में कोई कार्डिनल नहीं हैं $\kappa$ और $2^{\kappa }$. सातत्य परिकल्पना और सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना दोनों सेट सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों, ज़र्मेलो-फ़्रैन्केल स्वयंसिद्धों के साथ-साथ पसंद के स्वयंसिद्ध (ज़र्मेलो-फ़्रैन्केल सेट सिद्धांत) से स्वतंत्र साबित हुए हैं।

दरअसल, ईस्टन का प्रमेय यह दर्शाता है कि, नियमित कार्डिनल्स के लिए $\kappa$, ZFC द्वारा कार्डिनैलिटी पर लगाया गया एकमात्र प्रतिबंध $2^{\kappa }$ वो है $\kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })$, और यह कि घातांकीय फलन घटता नहीं है।

यह भी देखें

• एलेफ़ नंबर
• बेथ संख्या
• कैंटर का विरोधाभास
• कार्डिनल संख्या (भाषाविज्ञान)
• गिनती
• समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत
• बड़ा कार्डिनल
• अंग्रेज़ी में संख्याओं के नाम
• नाममात्र संख्या
• क्रमसूचक संख्या
• नियमित कार्डिनल

संदर्भ

Notes

Bibliography

• Dauben, Joseph Warren (1990), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0691-02447-2
• Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
• Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Schindler, Ralf-Dieter (2014). Set theory : exploring independence and truth. Universitext. Cham: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-319-06725-4. ISBN 978-3-319-06725-4.

बाहरी संबंध

• "Cardinal number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]