नियमित कार्डिनल

सेट सिद्धांत में, एक नियमित बुनियादी संख्या कार्डिनल संख्या है जो अपनी स्वयं की सह-अंतिमता के बराबर है। अधिक स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है $\kappa$ एक नियमित कार्डिनल है यदि और केवल यदि प्रत्येक सह-अंतिम (गणित) उपसमुच्चय $C\subseteq \kappa$ प्रमुखता है $\kappa$. अनंत सुव्यवस्थित कार्डिनल जो नियमित नहीं होते, एकवचन कार्डिनल कहलाते हैं। परिमित कार्डिनल संख्याओं को आमतौर पर नियमित या एकवचन नहीं कहा जाता है।

पसंद के सिद्धांत की उपस्थिति में, किसी भी कार्डिनल संख्या को अच्छी तरह से क्रमबद्ध किया जा सकता है, और फिर कार्डिनल के लिए निम्नलिखित समतुल्य हैं $\kappa$:

1. $\kappa$ एक नियमित कार्डिनल है.
2. अगर $\kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}$ और $\lambda _{i}<\kappa$ सभी के लिए $i$, तब $|I|\geq \kappa$.
3. अगर $S=\bigcup _{i\in I}S_{i}$, और अगर $|I|<\kappa$ और $|S_{i}|<\kappa$ सभी के लिए $i$, तब $|S|<\kappa$.
4. श्रेणी (गणित) $\operatorname {Set} _{<\kappa }$ कार्डिनैलिटी के सेट से कम $\kappa$ और उनके बीच के सभी कार्य कार्डिनैलिटी से कम की कॉलिमिट के तहत बंद हैं $\kappa$.
5. $\kappa$ एक नियमित क्रमसूचक है (नीचे देखें)

संक्षेप में कहें तो, इसका मतलब यह है कि एक नियमित कार्डिनल वह है जिसे कम संख्या में छोटे भागों में नहीं तोड़ा जा सकता है।

उन संदर्भों में स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है जहां पसंद का सिद्धांत विफल हो सकता है, क्योंकि उस स्थिति में सभी कार्डिनल आवश्यक रूप से सुव्यवस्थित सेटों की कार्डिनैलिटी नहीं होते हैं। उस स्थिति में, उपरोक्त तुल्यता केवल सुव्यवस्थित कार्डिनलों के लिए है।

एक अनंत क्रमिक संख्या $\alpha$ एक नियमित क्रमसूचक है यदि यह एक सीमा क्रमसूचक है जो कि छोटे क्रमसूचकों के एक सेट की सीमा नहीं है, क्योंकि एक सेट में ऑर्डर प्रकार से कम है $\alpha$. एक नियमित क्रमसूचक हमेशा एक प्रारंभिक क्रमसूचक होता है, हालांकि कुछ प्रारंभिक क्रमसूचक नियमित नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए, $\omega _{\omega }$ (नीचे उदाहरण देखें)।

उदाहरण

से कम क्रमवाचक $\omega$ परिमित हैं. इसलिए, परिमित क्रमसूचकों के एक परिमित अनुक्रम का एक परिमित अधिकतम होता है $\omega$ किसी भी प्रकार के अनुक्रम की सीमा इससे कम नहीं हो सकती $\omega$ जिनके तत्व क्रमवाचक से कम हैं $\omega$, और इसलिए यह एक नियमित क्रमसूचक है। $\aleph _{0}$ (aleph-अशक्त) एक नियमित कार्डिनल है क्योंकि इसका प्रारंभिक क्रमसूचक, $\omega$, नियमित है. इसे सीधे तौर पर नियमित रूप में भी देखा जा सकता है, क्योंकि किसी परिमित कार्डिनल संख्याओं का मूल योग स्वयं परिमित होता है।

$\omega +1$ से बड़ा उत्तराधिकारी क्रमसूचक है $\omega$. यह एकवचन है, क्योंकि यह कोई सीमा क्रमसूचक नहीं है। $\omega +\omega$ के बाद अगली सीमा क्रमसूचक है $\omega$. इसे अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है $\omega$, $\omega +1$, $\omega +2$, $\omega +3$, और इसी तरह। इस अनुक्रम में ऑर्डर प्रकार है $\omega$, इसलिए $\omega +\omega$ से कम प्रकार के अनुक्रम की सीमा है $\omega +\omega$ जिनके तत्व क्रमवाचक से कम हैं $\omega +\omega$; इसलिए यह एकवचन है.

$\aleph _{1}$ से बड़ा उत्तराधिकारी कार्डिनल है $\aleph _{0}$, तो कार्डिनल्स से कम $\aleph _{1}$ गणनीय समुच्चय (परिमित या संख्यात्मक) हैं। पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, गणनीय समुच्चयों के गणनीय समुच्चय का मिलन स्वयं गणनीय है। इसलिए $\aleph _{1}$ गणनीय कार्डिनल संख्याओं के गणनीय सेट के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, और यह नियमित है।

$\aleph _{\omega }$ अनुक्रम के बाद अगला कार्डिनल नंबर है $\aleph _{0}$, $\aleph _{1}$, $\aleph _{2}$, $\aleph _{3}$, और इसी तरह। इसका प्रारंभिक क्रम $\omega _{\omega }$ अनुक्रम की सीमा है $\omega$, $\omega _{1}$, $\omega _{2}$, $\omega _{3}$, और इसी तरह, जिसमें ऑर्डर प्रकार होता है $\omega$, इसलिए $\omega _{\omega }$ एकवचन है, और ऐसा ही है $\aleph _{\omega }$. पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, $\aleph _{\omega }$ पहला अनंत कार्डिनल है जो एकवचन है (पहला अनंत कार्डिनल है जो एकवचन है $\omega +1$, और पहला अनंत सीमा क्रमसूचक जो एकवचन है $\omega +\omega$). एकवचन कार्डिनल्स के अस्तित्व को साबित करने के लिए प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध स्कीमा की आवश्यकता होती है, और वास्तव में अस्तित्व को साबित करने में असमर्थता होती है $\aleph _{\omega }$ ज़र्मेलो सेट सिद्धांत में एडॉल्फ अब्राहम हलेवी फ़्रैन्केल ने इस स्वयंसिद्ध सिद्धांत को प्रस्तुत करने के लिए प्रेरित किया। बेशुमार (कमजोर) सीमा कार्डिनल सीमा जो नियमित भी होते हैं, उन्हें (कमजोर) दुर्गम कार्डिनल के रूप में जाना जाता है। उन्हें ZFC के भीतर मौजूद साबित नहीं किया जा सकता है, हालाँकि उनका अस्तित्व ZFC के साथ असंगत नहीं है। उनके अस्तित्व को कभी-कभी एक अतिरिक्त सिद्धांत के रूप में लिया जाता है। अप्राप्य कार्डिनल आवश्यक रूप से एलेफ़ संख्या के निश्चित बिंदु (गणित) हैं, हालांकि सभी निश्चित बिंदु नियमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, पहला निश्चित बिंदु की सीमा है $\omega$-अनुक्रम $\aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...$ और इसलिए एकवचन है.

गुण

यदि पसंद का सिद्धांत कायम है, तो प्रत्येक उत्तराधिकारी कार्डिनल नियमित है। इस प्रकार अधिकांश एलेफ़ संख्याओं की नियमितता या विलक्षणता की जाँच इस पर निर्भर करती है कि कार्डिनल एक उत्तराधिकारी कार्डिनल है या एक सीमा कार्डिनल है। कुछ कार्डिनलिटीज़ को किसी विशेष एलेफ़ के बराबर साबित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए सातत्य की कार्डिनैलिटी, जिसका ZFC में मान बेशुमार सह-अंतिमता का कोई भी बेशुमार कार्डिनल हो सकता है (ईस्टन की प्रमेय देखें)। सातत्य परिकल्पना बताती है कि सातत्य की प्रमुखता बराबर है $\aleph _{1}$, जो कि नियमित रूप से पसंद माना जाता है।

पसंद के सिद्धांत के बिना, ऐसे कार्डिनल नंबर होंगे जो सुव्यवस्थित नहीं होंगे। इसके अलावा, एक मनमाना संग्रह का मूल योग परिभाषित नहीं किया जा सका। इसलिए, केवल एलेफ़ संख्याओं को ही सार्थक रूप से नियमित या एकवचन कार्डिनल कहा जा सकता है। इसके अलावा, उत्तराधिकारी एलेफ़ को नियमित होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, गणनीय समुच्चयों के गणनीय समुच्चय के संघ को गणनीय होना आवश्यक नहीं है। यह ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के अनुरूप है $\omega _{1}$ गणनीय क्रमसूचकों के गणनीय अनुक्रम की सीमा हो और साथ ही वास्तविक संख्याओं का समुच्चय गणनीय समुच्चयों का गणनीय संघ हो। इसके अलावा, यह ZF के अनुरूप है कि प्रत्येक एलेफ इससे बड़ा है $\aleph _{0}$ एकवचन है (मोती गेय है द्वारा सिद्ध परिणाम)।

अगर $\kappa$ एक सीमा क्रमसूचक है, $\kappa$ यदि का सेट नियमित है $\alpha <\kappa$ जो कि महत्वपूर्ण बिंदु हैं $\Sigma _{1}$-प्राथमिक एम्बेडिंग $j$ साथ $j(\alpha )=\kappa$ क्लब स्थापित है $\kappa$. कार्डिनल्स के लिए $\kappa <\theta$, कहें कि एक प्राथमिक एम्बेडिंग $j:M\to H(\theta )$ एक छोटा एम्बेडिंग यदि $M$ सकर्मक है और $j({\textrm {crit}}(j))=\kappa$. एक कार्डिनल $\kappa$ यदि कोई है तो बेशुमार और नियमित है $\alpha >\kappa$ ऐसा कि हर किसी के लिए $\theta >\alpha$, एक छोटा सा एम्बेडिंग है $j:M\to H(\theta )$.^{परिणाम 2.2}

यह भी देखें

• दुर्गम कार्डिनल

संदर्भ

• Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, ISBN 0-12-238440-7
• Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, ISBN 0-444-85401-0