सातत्य की प्रमुखता

सेट सिद्धांत में, सातत्य की प्रमुखता वास्तविक संख्याओं के सेट (गणित) की कार्डिनैलिटी या आकार है $\mathbb {R}$, जिसे कभी-कभी कॉन्टिनम (सेट सिद्धांत) कहा जाता है। यह एक अनंत सेट कार्डिनल संख्या है और इसे द्वारा दर्शाया जाता है ${\mathfrak {c}}$ (लोअरकेस भंग सी) या $|\mathbb {R} |$. असली संख्या $\mathbb {R}$ प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक संख्या में हैं $\mathbb {N}$. इसके अतिरिक्त, $\mathbb {R}$ इसमें सत्ता स्थापित के समान तत्वों की संख्या होती है $\mathbb {N} .$ प्रतीकात्मक रूप से, यदि की प्रमुखता $\mathbb {N}$ एलेफ़ संख्या#एलेफ़-नॉट| के रूप में दर्शाया गया है$\aleph _{0}$, सातत्य की प्रमुखता है

${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}\,.$

इसे जॉर्ज कैंटर ने अपने कैंटर के 1874 के पहले बेशुमार सबूत में साबित किया था, जो विभिन्न अनन्तताओं के उनके अभूतपूर्व अध्ययन का हिस्सा था। असमानता को बाद में 1891 में उनके कैंटर के विकर्ण तर्क में और अधिक सरलता से बताया गया। कैंटर ने कार्डिनैलिटी को विशेषण कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया: दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है, और केवल तभी, जब उनके बीच एक विशेषण फ़ंक्शन मौजूद होता है।

किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a <b के बीच, चाहे वे एक-दूसरे के कितने भी करीब क्यों न हों, हमेशा अनंत रूप से कई अन्य वास्तविक संख्याएँ होती हैं, और कैंटर ने दिखाया कि वे उतनी ही हैं जितनी वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट में शामिल हैं। दूसरे शब्दों में, खुला अंतराल (ए,बी) समतुल्य है $\mathbb {R} .$ यह कई अन्य अनंत सेटों के लिए भी सच है, जैसे कि कोई एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ (स्थान भरने का वक्र देखें)। वह है,

$|(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.$

सबसे छोटी अनंत कार्डिनल संख्या है $\aleph _{0}$ (एलेफ़ नंबर#एलेफ़-नॉट|एलेफ़-नल). दूसरा सबसे छोटा है $\aleph _{1}$ (एलेफ नंबर#एलेफ-वन|एलेफ-वन)। सातत्य परिकल्पना, जो दावा करती है कि ऐसे कोई सेट नहीं हैं जिनकी प्रमुखता सख्ती से बीच में हो $\aleph _{0}$ और ${\mathfrak {c}}$, मतलब कि ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$. इस परिकल्पना की सत्यता या असत्यता अनिर्णीत है और व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के साथ पसंद के सिद्धांत (ZFC) के भीतर ZFC से कॉन्टिनम परिकल्पना # स्वतंत्रता।

गुण

अगणनीयता

जॉर्ज कैंटर ने अनंत सेटों के आकारों की तुलना करने के लिए कार्डिनैलिटी की अवधारणा पेश की। उन्होंने प्रसिद्ध रूप से दिखाया कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार अनंत है। वह है, ${\mathfrak {c}}$ प्राकृतिक संख्याओं की प्रमुखता से सख्ती से अधिक है, $\aleph _{0}$:

$\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.$

व्यवहार में, इसका मतलब यह है कि पूर्णांकों की तुलना में वास्तविक संख्याएँ अधिक हैं। कैंटर ने इस कथन को कई अलग-अलग तरीकों से साबित किया। इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए, कैंटर का पहला अगणनीयता प्रमाण और कैंटर का विकर्ण तर्क देखें।

मुख्य समानताएँ

कैंटर के प्रमेय को साबित करने के लिए कैंटर के विकर्ण तर्क की एक भिन्नता का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी सेट की कार्डिनैलिटी उसके पावर सेट की तुलना में सख्ती से कम है। वह है, $|A|<2^{|A|}$ (और ताकि बिजली सेट हो जाए $\wp (\mathbb {N} )$ प्राकृतिक संख्याओं में से $\mathbb {N}$ बेशुमार है)। वास्तव में, कोई भी दिखा सकता है की कार्डिनैलिटी $\wp (\mathbb {N} )$ के बराबर है ${\mathfrak {c}}$ निम्नलिखित नुसार:

1. मानचित्र को परिभाषित करें $f:\mathbb {R} \to \wp (\mathbb {Q} )$ वास्तविक से तर्कसंगत के शक्ति सेट तक, $\mathbb {Q}$, प्रत्येक वास्तविक संख्या भेजकर $x$ सेट पर $\{q\in \mathbb {Q} :q\leq x\}$ सभी परिमेय से कम या उसके बराबर $x$ (वास्तविकताओं को डेडेकाइंड कट्स के रूप में देखे जाने पर, यह तर्कसंगतों के सेट में समावेशन मानचित्र के अलावा और कुछ नहीं है)। क्योंकि परिमेय सघन रूप से स्थापित हैं $\mathbb {R}$, यह मानचित्र इंजेक्शन का कार्य है, और क्योंकि परिमेय गणनीय हैं, हमारे पास वह है ${\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}$.
2. होने देना $\{0,2\}^{\mathbb {N} }$ सेट में मानों के साथ अनंत अनुक्रमों का सेट बनें $\{0,2\}$. इस सेट में कार्डिनैलिटी है $2^{\aleph _{0}}$ (बाइनरी अनुक्रमों के सेट के बीच प्राकृतिक आपत्ति $\wp (\mathbb {N} )$ सूचक फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है)। अब, ऐसे प्रत्येक क्रम से जुड़ें $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ इकाई अंतराल में अद्वितीय वास्तविक संख्या $[0,1]$ अंकों द्वारा दिए गए टर्नरी अंक प्रणाली-विस्तार के साथ $a_{1},a_{2},\dotsc$, अर्थात।, $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}3^{-i}$, द $i$भिन्नात्मक बिंदु के बाद -वाँ अंक है $a_{i}$ आधार के संबंध में $3$. इस मानचित्र की छवि को कैंटर सेट कहा जाता है। यह देखना कठिन नहीं है कि यह मानचित्र इंजेक्शन योग्य है, क्योंकि उनके टर्नरी विस्तार में अंक 1 वाले बिंदुओं से बचकर, हम इस तथ्य से उत्पन्न संघर्षों से बचते हैं कि वास्तविक संख्या का टर्नरी-विस्तार अद्वितीय नहीं है। फिर हमारे पास वह है $2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}$.

कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय द्वारा हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

${\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.$

कार्डिनल समानता ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}$ कार्डिनल अंकगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है:

${\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.$

कार्डिनल अंकगणित के नियमों का उपयोग करके, कोई यह भी दिखा सकता है

${\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}},$

जहां n कोई परिमित कार्डिनल ≥ 2 है, और

${\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}},$

कहाँ $2^{\mathfrak {c}}$ आर के पावर सेट की कार्डिनैलिटी है, और $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$.

के लिए वैकल्पिक स्पष्टीकरण 𝔠 = 2^א_‎0

प्रत्येक वास्तविक संख्या में कम से कम एक अनंत दशमलव विस्तार होता है। उदाहरण के लिए,

1/2 = 0.50000...

1/3 = 0.33333...

π = 3.14159....

(पहले दो उदाहरणों की तरह, विस्तार दोहराए जाने की स्थिति में भी यह सच है।)

किसी भी मामले में, अंकों की संख्या गणनीय सेट है क्योंकि उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है $\mathbb {N}$. इससे π के पहले, सौवें या दस लाखवें अंक के बारे में बात करना समझदारी हो जाती है। चूँकि प्राकृतिक संख्याओं में प्रमुखता होती है $\aleph _{0},$ प्रत्येक वास्तविक संख्या में है $\aleph _{0}$ इसके विस्तार में अंक.

चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या को एक पूर्णांक भाग और एक दशमलव अंश में तोड़ा जा सकता है, हमें मिलता है:

${\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}$

जहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया

$\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,.$

दूसरी ओर, यदि हम मानचित्र बनाते हैं $2=\{0,1\}$ को $\{3,7\}$ और विचार करें कि केवल 3 या 7 वाले दशमलव अंश वास्तविक संख्याओं का केवल एक हिस्सा हैं, तो हमें मिलता है

$2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,.$

और इस तरह

${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.$

बेथ संख्या

Main article: Beth number

बेथ संख्याओं का क्रम सेटिंग द्वारा परिभाषित किया गया है $\beth _{0}=\aleph _{0}$ और $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$. इसलिए ${\mathfrak {c}}$ दूसरा बेथ नंबर है, बेथ-वन:

${\mathfrak {c}}=\beth _{1}.$

तीसरा बेथ नंबर, बेथ-टू, पावर सेट की कार्डिनैलिटी है $\mathbb {R}$ (अर्थात् वास्तविक रेखा के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय):

$2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.$

सातत्य परिकल्पना

Main article: Continuum hypothesis

प्रसिद्ध सातत्य परिकल्पना इस बात पर जोर देती है ${\mathfrak {c}}$ दूसरा एलेफ़ संख्या भी है, $\aleph _{1}$.दूसरे शब्दों में, सातत्य परिकल्पना बताती है कि कोई समुच्चय नहीं है $A$ जिनकी प्रमुखता सख्ती से बीच में होती है $\aleph _{0}$ और ${\mathfrak {c}}$

$\nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.$

यह कथन अब पसंद के सिद्धांत (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के सिद्धांतों से स्वतंत्र माना जाता है, जैसा कि कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन द्वारा दिखाया गया है। अर्थात्, परिकल्पना और उसका निषेध दोनों ही इन सिद्धांतों के अनुरूप हैं। वास्तव में, प्रत्येक गैरशून्य प्राकृतिक संख्या n के लिए, समानता ${\mathfrak {c}}$ = $\aleph _{n}$ ZFC से स्वतंत्र है (मामला)। $n=1$ सातत्य परिकल्पना होने के नाते)। अधिकांश अन्य एलेफ़्स के लिए भी यही सच है, हालांकि कुछ मामलों में, कोनिग के प्रमेय (सेट सिद्धांत) द्वारा समानता को खारिज किया जा सकता है | सह-अंतिमता के आधार पर कोनिग के प्रमेय (उदाहरण के लिए, ${\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }$). विशेष रूप से, ${\mathfrak {c}}$ दोनो में से एक हो सकता है $\aleph _{1}$ या $\aleph _{\omega _{1}}$, कहाँ $\omega _{1}$ पहला बेशुमार क्रमसूचक है, इसलिए यह या तो उत्तराधिकारी कार्डिनल या सीमा कार्डिनल, और या तो एक कार्डिनल सीमा या एक विलक्षण कार्डिनल हो सकता है।

सातत्य की प्रमुखता के साथ सेट

गणित में अध्ययन किए गए बहुत से सेटों में कार्डिनैलिटी बराबर होती है ${\mathfrak {c}}$. कुछ सामान्य उदाहरण निम्नलिखित हैं:

• the real numbers $\mathbb {R}$
• any (nondegenerate) closed or open interval in $\mathbb {R}$ (such as the unit interval $[0,1]$)
• the irrational numbers
• the transcendental numbers We note that the set of real algebraic numbers is countably infinite (assign to each formula its Gödel number.) So the cardinality of the real algebraic numbers is $\aleph _{0}$. Furthermore, the real algebraic numbers and the real transcendental numbers are disjoint sets whose union is $\mathbb {R}$. Thus, since the cardinality of $\mathbb {R}$ is ${\mathfrak {c}}$, the cardinality of the real transcendental numbers is ${\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}$. A similar result follows for complex transcendental numbers, once we have proved that $\left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}$.
• the Cantor set
• Euclidean space $\mathbb {R} ^{n}$
• the complex numbers $\mathbb {C}$ We note that, per Cantor's proof of the cardinality of Euclidean space, $\left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}$. By definition, any $c\in \mathbb {C}$ can be uniquely expressed as $a+bi$ for some $a,b\in \mathbb {R}$. We therefore define the bijection
  ${\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}$
• the power set of the natural numbers ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ (the set of all subsets of the natural numbers)
• the set of sequences of integers (i.e. all functions $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z}$, often denoted $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$)
• the set of sequences of real numbers, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$
• the set of all continuous functions from $\mathbb {R}$ to $\mathbb {R}$
• the Euclidean topology on $\mathbb {R} ^{n}$ (i.e. the set of all open sets in $\mathbb {R} ^{n}$)
• the Borel σ-algebra on $\mathbb {R}$ (i.e. the set of all Borel sets in $\mathbb {R}$).

अधिक कार्डिनैलिटी वाले सेट

से अधिक कार्डिनैलिटी वाले सेट ${\mathfrak {c}}$ शामिल करना:

• के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय $\mathbb {R}$ (यानी, पावर सेट ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$)
• सेट पावर सेट#सबसेट को फ़ंक्शंस के रूप में प्रस्तुत करना|2^{वास्तविक के उपसमुच्चय (सेट) पर परिभाषित संकेतक कार्यों का आर} $2^{\mathbb {R} }$ के लिए समरूपी है ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$- सूचक फ़ंक्शन प्रत्येक उपसमूह के तत्वों को शामिल करने के लिए चुनता है)
• सेट $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ से सभी कार्यों का $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R}$
• लेबेस्गु माप|लेबेस्गुए σ-बीजगणित का $\mathbb {R}$, यानी, सभी लेब्सग्यू मापने योग्य सेट का सेट $\mathbb {R}$.
• सभी लेब्सग्यू एकीकरण का सेट|लेब्सग्यू-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस से $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R}$
• सभी मापने योग्य कार्यों का सेट|लेब्सग्यू-मापन योग्य कार्यों से $\mathbb {R}$ को $\mathbb {R}$
• स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन $\mathbb {N}$, $\mathbb {Q}$ और $\mathbb {R}$
• संमिश्र संख्याओं के (असतत) क्षेत्र के सभी ऑटोमोर्फिज्म का सेट।

इन सभी में प्रमुखता है $2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}$ (बेथ नंबर#बेथ दो).

ग्रन्थसूची

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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