टर्नरी अंक प्रणाली
एक टर्नरी /ˈtɜːrnəri/ अंक प्रणाली (जिसे आधार 3 या त्रिनेत्र भी कहा जाता है) का मूलांक 3 (संख्या) है। अंश के अनुरूप, टर्नरी संख्यात्मक अंक एक ट्रिट (ट्रिनरी अंक) है। ट्रिट सूचना के log2 3 (लगभग 1.58496) बिट्स के सामान्तर है।
चूँकि टर्नरी अधिकांशतः एक ऐसी प्रणाली को संदर्भित करता है जिसमें तीन अंक सभी गैर-ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं; विशेष रूप से 0, 1, और 2, विशेषण संतुलित टर्नरी प्रणाली को भी अपना नाम देता है; तुलनात्मक तर्क और टर्नरी कंप्यूटर में उपयोग किए जाने वाले अंक -1, 0 और +1 अधिकांशतः हैं।
अन्य आधारों से तुलना
| × | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
| 2 | 2 | 11 | 20 | 22 | 101 | 110 | 112 | 121 | 200 |
| 10 | 10 | 20 | 100 | 110 | 120 | 200 | 210 | 220 | 1000 |
| 11 | 11 | 22 | 110 | 121 | 202 | 220 | 1001 | 1012 | 1100 |
| 12 | 12 | 101 | 120 | 202 | 221 | 1010 | 1022 | 1111 | 1200 |
| 20 | 20 | 110 | 200 | 220 | 1010 | 1100 | 1120 | 1210 | 2000 |
| 21 | 21 | 112 | 210 | 1001 | 1022 | 1120 | 1211 | 2002 | 2100 |
| 22 | 22 | 121 | 220 | 1012 | 1111 | 1210 | 2002 | 2101 | 2200 |
| 100 | 100 | 200 | 1000 | 1100 | 1200 | 2000 | 2100 | 2200 | 10000 |
टर्नरी में पूर्णांक संख्याओं का निरूपण बाइनरी अंक प्रणाली जितनी जल्दी हो सके उतना असुविधाजनक रूप से लंबा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, दशमलव 365 (संख्या) या वरिष्ठ 1405 बाइनरी 101101101 (नौ अंक) और टर्नेरी 1111112 (छह अंक) से मेल खाता है। चूँकि, वे अभी भी दशमलव जैसे आधारों में संबंधित प्रतिनिधित्व की तुलना में बहुत कम कॉम्पैक्ट हैं – नॉनरी (आधार 9) और सेप्टेमविजेसिमल (आधार 27) का उपयोग करके टर्नरी को संहिताबद्ध करने की संक्षिप्त विधियों के लिए नीचे देखें।
| टर्नरी | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 | 22 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बाइनरी | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 |
| सेनेरी | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| डेसीमल | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| टर्नरी | 101 | 102 | 110 | 111 | 112 | 120 | 121 | 122 | 200 |
| बाइनरी | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 | 10001 | 10010 |
| सेनेरी | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 30 |
| डेसीमल | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| टर्नरी | 201 | 202 | 210 | 211 | 212 | 220 | 221 | 222 | 1000 |
| बाइनरी | 10011 | 10100 | 10101 | 10110 | 10111 | 11000 | 11001 | 11010 | 11011 |
| सेनेरी | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 | 42 | 43 |
| डेसीमल | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
| टर्नरी | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
|---|---|---|---|---|---|
| बाइनरी | 1 | 11 | 1001 | 11011 | 1010001 |
| सेनेरी | 1 | 3 | 13 | 43 | 213 |
| डेसीमल | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 |
| पावर | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 |
| टर्नरी | 100000 | 1000000 | 10000000 | 100000000 | 1000000000 |
| बाइनरी | 11110011 | 1011011001 | 100010001011 | 1100110100001 | 100110011100011 |
| सेनेरी | 1043 | 3213 | 14043 | 50213 | 231043 |
| डेसीमल | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19683 |
| पावर | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |
जहां तक तर्कसंगत संख्याओं का प्रश्न है, टर्नरी 1/3 प्रतिनिधित्व करने की सुविधाजनक विधि प्रदान करती है सेनेरी के समान (दशमलव में आवर्ती दशमलव की अनंत स्ट्रिंग के रूप में इसके बोझिल प्रतिनिधित्व के विपरीत); किंतु एक उच्च कमी यह है कि, परिवर्तन में, टर्नरी 1/2 (न ही के लिए 1/4, 1/8, आदि) सीमित प्रतिनिधित्व की प्रस्तुति नहीं करता है, क्योंकि 2 (संख्या) आधार का अभाज्य संख्या गुणन खंड नहीं है; आधार दो की तरह, एक-दसवां (दशमलव)।1/10, सेनेरी 1/14) स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने योग्य नहीं है (उदाहरण के लिए दशमलव की आवश्यकता होगी); न ही एक-छठा (सेनेरी) है 1/10, दशमलव 1/6) है।
| फ्रैक्शन | 1/2 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | 1/6 | 1/7 | 1/8 | 1/9 | 1/10 | 1/11 | 1/12 | 1/13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| टर्नरी | 0.1 | 0.1 | 0.02 | 0.0121 | 0.01 | 0.010212 | 0.01 | 0.01 | 0.0022 | 0.00211 | 0.002 | 0.002 |
| बाइनरी | 0.1 | 0.01 | 0.01 | 0.0011 | 0.001 | 0.001 | 0.001 | 0.000111 | 0.00011 | 0.0001011101 | 0.0001 | 0.000100111011 |
| सेनेरी | 0.3 | 0.2 | 0.13 | 0.1 | 0.1 | 0.05 | 0.043 | 0.04 | 0.03 | 0.0313452421 | 0.03 | 0.024340531215 |
| डेसीमल | 0.5 | 0.3 | 0.25 | 0.2 | 0.16 | 0.142857 | 0.125 | 0.1 | 0.1 | 0.09 | 0.083 | 0.076923 |
बाइनरी के विपरीत टर्नरी में अंकों का योग
n बिट्स वाली बाइनरी संख्या 1 का मान जो सभी 2n − 1 है.
इसी प्रकार, आधार b और d अंकों वाली संख्या N(b, d) के लिए, जो सभी अधिकतम अंक मान b − 1 हैं, हम लिख सकते हैं:
- N(b, d) = (b − 1)bd−1 + (b − 1)bd−2 + … + (b − 1)b1 + (b − 1)b0,
- N(b, d) = (b − 1)(bd−1 + bd−2 + … + b1 + 1),
- N(b, d) = (b − 1)M.
- bM = bd + bd−1 + … + b2 + b1 और
- −M = −bd−1 − bd−2 − … − b1 − 1, इसलिए
- bM − M = bd − 1, या
- M = bd − 1/b − 1.
जब
- N(b, d) = (b − 1)M,
- N(b, d) = (b − 1)(bd − 1)/b − 1,
- N(b, d) = bd − 1.
तीन अंकों वाली टर्नरी संख्या N(3, 3) = 33 − 1 = 26 = 2 × 32 + 2 × 31 + 2 × 30 = 18 + 6 + 2 के लिए।
कॉम्पैक्ट टर्नरी प्रतिनिधित्व: आधार 9 और 27
नॉनरी (आधार 9, प्रत्येक अंक दो टर्नरी अंक है) या सेप्टेमविगेसिमल (आधार 27, प्रत्येक अंक तीन टर्नरी अंक है) का उपयोग टर्नरी के कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व के लिए किया जा सकता है, जैसे बाइनरी अंक प्रणाली के स्थान पर अष्टभुजाकार और हेक्साडेसिमल प्रणाली का उपयोग किया जाता है।
व्यावहारिक उपयोग
कुछ एनालॉग तर्क में, परिपथ की स्थिति को अधिकांशतः टर्नरी व्यक्त किया जाता है। यह सामान्यतः सीएमओएस परिपथ में देखा जाता है, और टोटेम-पोल आउटपुट के साथ ट्रांजिस्टर-ट्रांजिस्टर लॉजिक में भी देखा जाता है। आउटपुट को या तो कम (ग्राउंड (विद्युत्)), उच्च, या संवृत (उच्च-जेड) कहा जाता है। इस कॉन्फ़िगरेशन में परिपथ का आउटपुट वास्तव में किसी भी वोल्टेज संदर्भ से जुड़ा नहीं है। जहां सिग्नल को सामान्यतः निश्चित संदर्भ या निश्चित वोल्टेज स्तर पर ग्राउंड किया जाता है, उस स्थिति को उच्च विद्युत प्रतिबाधा कहा जाता है क्योंकि यह संवृत होता है और अपने स्वयं के संदर्भ में कार्य करता है। इस प्रकार, वास्तविक वोल्टेज स्तर कभी-कभी अप्रत्याशित होता है।
सामान्यतः उपयोग में आने वाला दुर्लभ टर्नरी पॉइंट अमेरिकी बेसबॉल में रक्षात्मक आंकड़ों के लिए है (सामान्यतः सिर्फ पिचर्स के लिए), जो पारी के आंशिक भागों को दर्शाता है। चूँकि आक्रमण करने वाली टीम को तीन आउट (बेसबॉल) की अनुमति है, प्रत्येक आउट को रक्षात्मक पारी का एक तिहाई माना जाता है और इसे '.1' के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी खिलाड़ी ने चौथी, पांचवीं और छठी पारी में सभी पिचें कीं, साथ ही सातवीं पारी में 2 आउट प्राप्त किए, तो उस खेल के लिए उसकी पारी पिच कॉलम को '3.2' के रूप में सूचीबद्ध किया जाएगा, जो इसके सामान्तर है। 3+2⁄3 (जिसे कभी-कभी कुछ रिकॉर्ड रखने वालों द्वारा विकल्प के रूप में उपयोग किया जाता है)। इस प्रयोग में, संख्या का केवल भिन्नात्मक भाग टर्नरी रूप में लिखा जाता है।[1][2]
टर्नेरी संख्याओं का उपयोग सिएरपिंस्की त्रिकोण या कैंटर समुच्चय जैसी स्व-समान संरचनाओं को सरलता से व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, यह पता चला है कि कैंटर समुच्चय के निर्माण की विधियों के कारण, टर्नरी प्रतिनिधित्व कैंटर समुच्चय और संबंधित बिंदु समुच्चय को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है। कैंटर समुच्चय में 0 से 1 तक के बिंदु होते हैं जिनमें टर्नरी अभिव्यक्ति होती है जिसमें अंक 1 का कोई उदाहरण नहीं होता है।[3][4] टर्नरी प्रणाली में कोई भी समाप्ति विस्तार उस अभिव्यक्ति के सामान्तर है जो अंतिम गैर-शून्य पद से पहले वाले शब्द के समान है, जिसके बाद पहली अभिव्यक्ति के अंतिम गैर-शून्य पद से कम शब्द होता है, जिसके बाद दोहों की अनंत टेल होती है। उदाहरण के लिए: 0.1020, 0.1012222 के सामान्तर है... क्योंकि पहली अभिव्यक्ति के दो तक विस्तार समान हैं, दूसरे विस्तार में दो को घटा दिया गया था, और दूसरी अभिव्यक्ति में अनुगामी शून्य को अनुगामी दो से परिवर्तित दिया गया था।
टर्नरी सबसे कम मूलांक अर्थव्यवस्था वाला पूर्णांक आधार है, इसके बाद बाइनरी अंक प्रणाली और चतुर्धातुक अंक प्रणाली आती है। यह गणितीय स्थिरांक e (गणितीय स्थिरांक) से इसकी निकटता के कारण है। इस दक्षता के कारण इसका उपयोग कुछ कंप्यूटिंग प्रणालियों के लिए किया गया है। इसका उपयोग तीन-विकल्प वाले ट्री का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है, जैसे कि फोन मेनू प्रणाली, जो किसी भी शाखा के लिए सरल पथ की अनुमति देता है।
निरर्थक बाइनरी प्रतिनिधित्व का रूप जिसे बाइनरी हस्ताक्षरित-अंकीय संख्या प्रणाली कहा जाता है, हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का रूप, कभी-कभी पूर्णांकों के तीव्र से जोड़ को पूर्ण करने के लिए निम्न-स्तरीय सॉफ़्टवेयर और हार्डवेयर में उपयोग किया जाता है क्योंकि यह कैरी (अंकगणित) को समाप्त कर सकता है।[5]
बाइनरी-कोडित टर्नरी
बाइनरी कंप्यूटर का उपयोग करके टर्नरी कंप्यूटर के सिमुलेशन, या टर्नरी और बाइनरी कंप्यूटर के बीच इंटरफेसिंग में बाइनरी-कोडेड टर्नरी (बीसीटी) संख्याओं का उपयोग अधिकांशतः हो सकता है, जिसमें प्रत्येक ट्रिट को एन्कोड करने के लिए दो या तीन बिट्स का उपयोग किया जाता है।[6][7] बीसीटी एन्कोडिंग बाइनरी-कोडित दशमलव (बीसीडी) एन्कोडिंग के अनुरूप है। यदि ट्रिट मान 0, 1 और 2 को 00, 01 और 10 में एन्कोड किया गया है, तो बाइनरी-कोडित टर्नरी और बाइनरी के बीच किसी भी दिशा में रूपांतरण समय समष्टिता या लॉगरिदमिक समय में किया जा सकता है।[8] बीसीटी अंकगणित का समर्थन करने वाली सी (प्रोग्रामिंग भाषा) की एक लाइब्रेरी उपलब्ध है।[9]
प्रयास करें
सेतुन जैसे कुछ टर्नरी कंप्यूटरों ने ट्राइटे को छह ट्रिट्स[10] या लगभग 9.5 बिट्स (वास्तविक बाइनरी संख्या बाइट से अधिक सूचना रखते हुए) के रूप में परिभाषित किया है।[11]
यह भी देखें
- टर्नरी तर्क
- टी ऐक्स यूए एनजे आईएनजी
- सेतुन, एक टर्नरी कंप्यूटर
- कुट्रिट
- टर्नेरी फ़्लोटिंग पॉइंट
संदर्भ
- ↑ Ashley MacLennan (Jan 9, 2019). "A complete beginner's guide to baseball stats: Pitching statistics, and what they mean". Bless You Boys. Retrieved July 30, 2020.
- ↑ "आँकड़े - टीम - पिचिंग". MLB (Major League Baseball). Retrieved July 30, 2020.
- ↑ Soltanifar, Mohsen (2006). "On A sequence of cantor Fractals". Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal. 7 (1). Paper 9.
- ↑ Soltanifar, Mohsen (2006). "A Different Description of A Family of Middle–α Cantor Sets". American Journal of Undergraduate Research. 5 (2): 9–12.
- ↑ Phatak, D. S.; Koren, I. (1994). "Hybrid signed–digit number systems: a unified framework for redundant number representations with bounded carry propagation chains" (PDF). IEEE Transactions on Computers. 43 (8): 880–891. CiteSeerX 10.1.1.352.6407. doi:10.1109/12.295850.
- ↑ Frieder, Gideon; Luk, Clement (February 1975). "Algorithms for Binary Coded Balanced and Ordinary Ternary Operations". IEEE Transactions on Computers. C-24 (2): 212–215. doi:10.1109/T-C.1975.224188. S2CID 38704739.
- ↑ Parhami, Behrooz; McKeown, Michael (2013-11-03). "Arithmetic with Binary-Encoded Balanced Ternary Numbers". Proceedings 2013 Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. Pacific Grove, California, US: 1130–1133. doi:10.1109/ACSSC.2013.6810470. ISBN 978-1-4799-2390-8. S2CID 9603084.
- ↑ Jones, Douglas W. (June 2016). "Binary Coded Ternary and its Inverse".
- ↑ Jones, Douglas W. (2015-12-29). "Ternary Data Types for C Programmers".
- ↑ Impagliazzo, John; Proydakov, Eduard (2006). Perspectives on Soviet and Russian Computing. First IFIP WG 9.7 Conference, SoRuCom 2006. Petrozavodsk, Russia: Springer. ISBN 978-3-64222816-2.
- ↑ Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E. A. "Development of ternary computers at Moscow State University". Retrieved 2010-01-20.
अग्रिम पठन
- Hayes, Brian (November–December 2001). "Third base" (PDF). American Scientist. Sigma Xi, the Scientific Research Society. 89 (6): 490–494. doi:10.1511/2001.40.3268. Archived (PDF) from the original on 2019-10-30. Retrieved 2020-04-12.
बाहरी संबंध
- Ternary Arithmetic Archived 2011-05-14 at the Wayback Machine
- The ternary calculating machine of Thomas Fowler
- Ternary Base Conversion – includes fractional part, from Maths Is Fun
- Gideon Frieder's replacement ternary numeral system