मापने योग्य कार्य

गणित में और विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण#माप_सिद्धांत में, एक मापने योग्य फ़ंक्शन दो मापने योग्य स्थानों के अंतर्निहित सेटों के बीच एक फ़ंक्शन होता है जो रिक्त स्थान की संरचना को संरक्षित करता है: किसी भी माप (गणित) सेट की पूर्वछवि मापने योग्य होती है। यह इस परिभाषा के सीधे सादृश्य में है कि टोपोलॉजिकल स्पेस आकारिता टोपोलॉजिकल संरचना के बीच एक सतत कार्य कार्य करता है: किसी भी खुले सेट की प्रीइमेज खुली होती है। वास्तविक विश्लेषण में, मापने योग्य कार्यों का उपयोग लेबेस्ग एकीकरण की परिभाषा में किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत में, संभाव्यता स्थान पर एक मापने योग्य फ़ंक्शन को यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है।

औपचारिक परिभाषा

होने देना $(X,\Sigma )$ और $(Y,\mathrm {T} )$ मापने योग्य स्थान बनें, जिसका अर्थ है $X$ और $Y$ are sets equipped with respective [[σ-algebra|$\sigma$-बीजगणित $\Sigma$ और $\mathrm {T} .$ एक समारोह $f:X\to Y$ प्रत्येक के लिए मापने योग्य कहा जाता है $E\in \mathrm {T}$ की पूर्व छवि $E$ अंतर्गत $f$ में है $\Sigma$; यानी सभी के लिए $E\in \mathrm {T}$

$$f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .$$

वह है, $\sigma (f)\subseteq \Sigma ,$ कहाँ $\sigma (f)$ Σ-बीजगणित#σ-algebra_generated_by_a_function|σ-बीजगणित f द्वारा उत्पन्न है। अगर $f:X\to Y$ एक मापने योग्य कार्य है, कोई लिखता है

$$f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).$$

पर निर्भरता पर जोर देना $\sigma$-बीजगणित $\Sigma$ और $\mathrm {T} .$

शब्द उपयोग भिन्नताएँ

का चुनाव $\sigma$-उपरोक्त परिभाषा में बीजगणित कभी-कभी अंतर्निहित होता है और संदर्भ पर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, के लिए $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ या अन्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, बोरेल बीजगणित (सभी खुले सेटों द्वारा उत्पन्न) एक आम पसंद है। कुछ लेखक बोरेल बीजगणित के संबंध में मापने योग्य कार्यों को विशेष रूप से वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं। यदि फ़ंक्शन के मान अनंत-आयामी वेक्टर स्थान में हैं, तो मापनीयता की अन्य गैर-समतुल्य परिभाषाएँ, जैसे कमजोर मापनीयता और बोचनर मापनीयता, मौजूद हैं।

मापने योग्य कार्यों के उल्लेखनीय वर्ग

• यादृच्छिक चर परिभाषा के अनुसार संभाव्यता स्थानों पर परिभाषित मापनीय कार्य हैं।
• अगर $(X,\Sigma )$ और $(Y,T)$ बोरेल सेट#स्टैंडर्ड बोरेल स्पेस और कुराटोस्की प्रमेय, एक मापने योग्य फ़ंक्शन हैं $f:(X,\Sigma )\to (Y,T)$ इसे बोरेल फ़ंक्शन भी कहा जाता है। सतत कार्य बोरेल कार्य हैं लेकिन सभी बोरेल कार्य निरंतर नहीं हैं। हालाँकि, एक मापने योग्य कार्य लगभग एक सतत कार्य है; लुज़िन का प्रमेय देखें। यदि बोरेल फ़ंक्शन मानचित्र का एक भाग होता है $Y\xrightarrow {~\pi ~} X,$ इसे बोरेल अनुभाग कहा जाता है।
• एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य फ़ंक्शन एक मापने योग्य फ़ंक्शन है $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),$ कहाँ ${\mathcal {L}}$ है $\sigma$-लेब्सेग मापने योग्य सेटों का बीजगणित, और ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ सम्मिश्र संख्याओं पर बोरेल बीजगणित है $\mathbb {C} .$ लेबेस्ग मापन योग्य कार्य गणितीय विश्लेषण में रुचि रखते हैं क्योंकि उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। यदि $f:X\to \mathbb {R} ,$ $f$ क्या लेब्सेग मापने योग्य है यदि और केवल यदि $\{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}$ सभी के लिए मापने योग्य है $\alpha \in \mathbb {R} .$ यह भी इनमें से किसी के समतुल्य है $\{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}$ सभी के लिए मापने योग्य होना $\alpha ,$ या किसी खुले सेट की पूर्वछवि मापने योग्य है। निरंतर कार्य, मोनोटोन कार्य, चरण कार्य, अर्धनिरंतर कार्य, रीमैन-अभिन्न कार्य, और बंधे हुए भिन्नता के कार्य सभी लेबेस्ग मापने योग्य हैं। एक समारोह $f:X\to \mathbb {C}$ मापने योग्य है यदि और केवल तभी जब वास्तविक और काल्पनिक भाग मापने योग्य हों।

मापने योग्य कार्यों के गुण

• दो जटिल-मूल्य वाले मापने योग्य कार्यों का योग और उत्पाद मापने योग्य हैं। भागफल भी ऐसा ही है, जब तक कि शून्य से कोई विभाजन न हो।* अगर $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ और $g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})$ मापने योग्य कार्य हैं, तो उनकी संरचना भी वैसी ही है $g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).$* अगर $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ और $g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})$ मापने योग्य कार्य हैं, उनकी संरचना $g\circ f:X\to Z$ जरूरत नहीं है $(\Sigma _{1},\Sigma _{4})$-जब तक मापने योग्य नहीं $\Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.$ वास्तव में, दो लेब्सेग-मापने योग्य कार्यों का निर्माण इस तरह से किया जा सकता है कि उनकी संरचना को गैर-लेबेस्ग-मापने योग्य बनाया जा सके।
• वास्तविक-मूल्यवान मापने योग्य कार्यों के अनुक्रम (अर्थात, अनगिनत) के (बिंदुवार) सर्वोच्च, अनंत, सीमा श्रेष्ठ, और सीमा निम्न सभी भी मापने योग्य हैं।
• मापने योग्य कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा $f_{n}:X\to Y$ मापने योग्य है, कहाँ $Y$ एक मीट्रिक स्थान है (बोरेल बीजगणित से संपन्न)। यह सामान्यतः सत्य नहीं है यदि $Y$ गैर-मेट्रिज़ेबल है। निरंतर कार्यों के लिए संगत कथन के लिए बिंदुवार अभिसरण की तुलना में अधिक मजबूत स्थितियों की आवश्यकता होती है, जैसे कि एकसमान अभिसरण।

गैर-मापने योग्य कार्य

अनुप्रयोगों में सामने आने वाले वास्तविक-मूल्यवान कार्य मापने योग्य होते हैं; हालाँकि, गैर-मापने योग्य कार्यों के अस्तित्व को साबित करना मुश्किल नहीं है। इस तरह के प्रमाण आवश्यक रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करते हैं, इस अर्थ में कि पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत ऐसे कार्यों के अस्तित्व को साबित नहीं करता है।

किसी भी माप स्थान में$(X,\Sigma )$एक गैर-मापने योग्य सेट के साथ $A\subset X,$ $A\notin \Sigma ,$ कोई एक गैर-मापने योग्य संकेतक फ़ंक्शन का निर्माण कर सकता है:

$$\mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}$$

कहाँ $\mathbb {R}$ सामान्य बोरेल बीजगणित से सुसज्जित है। मापने योग्य सेट की पूर्वछवि के बाद से यह एक गैर-मापनीय कार्य है $\{1\}$ गैर-मापनीय है $A.$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, कोई भी गैर-स्थिर कार्य $f:X\to \mathbb {R}$ तुच्छ के संबंध में मापने योग्य नहीं है $\sigma$-बीजगणित $\Sigma =\{\varnothing ,X\},$ चूँकि सीमा में किसी भी बिंदु की पूर्वछवि कुछ उचित, गैर-रिक्त उपसमुच्चय है $X,$ जो तुच्छ का तत्व नहीं है $\Sigma .$

यह भी देखें

• Bochner measurable function
• Bochner space
• Lp space - मापने योग्य कार्यों के वेक्टर स्थान: एलपी स्थान|$L^{p}$ खाली स्थान
• Measure-preserving dynamical system
• Vector measure
• Weakly measurable function

बाहरी संबंध

• Measurable function at Encyclopedia of Mathematics
• Borel function at Encyclopedia of Mathematics