संभाव्यता माप

गणित में, संभाव्यता माप एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो संभाव्यता स्थान में घटनाओं के एक सेट पर परिभाषित होता है जो गणनीय योगात्मकता जैसे माप (गणित) गुणों को संतुष्ट करता है।^[1] संभाव्यता माप और माप की अधिक सामान्य धारणा (जिसमें क्षेत्र या आयतन जैसी अवधारणाएं शामिल हैं) के बीच अंतर यह है कि संभाव्यता माप को संपूर्ण संभाव्यता स्थान के लिए मान 1 निर्दिष्ट करना होगा।

सहज रूप से, योगात्मकता गुण कहता है कि माप द्वारा दो असंयुक्त घटनाओं के मिलन को सौंपी गई संभावना घटनाओं की संभावनाओं का योग होनी चाहिए; उदाहरण के लिए, एक पासे को फेंकने पर 1 या 2 को दिए गए मान 1 और 2 को दिए गए मानों का योग होना चाहिए।

संभाव्यता उपायों का उपयोग भौतिकी से लेकर वित्त और जीव विज्ञान तक विविध क्षेत्रों में होता है।

परिभाषा

संभाव्यता माप के लिए संभाव्यता स्थान का मानचित्रण

2^{3}

इकाई अंतराल की घटनाएँ।

एक निर्धारित फ़ंक्शन के लिए आवश्यकताएँ $\mu$ संभाव्यता स्थान पर संभाव्यता माप होने के लिए ये हैं:

$\mu$ इकाई अंतराल में परिणाम लौटाना होगा $[0,1],$ रिटर्निंग $0$ खाली सेट के लिए और $1$ संपूर्ण स्थान के लिए.
$\mu$ सभी गणनीय संग्रहों के लिए सिग्मा-एडिटिव सेट फ़ंक्शन प्रॉपर्टी को संतुष्ट करना होगा $E_{1},E_{2},\ldots$ जोड़ीवार असंयुक्त सेटों की: $\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).$

उदाहरण के लिए, संभावनाओं के साथ तीन तत्व 1, 2 और 3 दिए गए हैं $1/4,1/4$ और $1/2,$ जो मान सौंपा गया है $\{1,3\}$ है $1/4+1/2=3/4,$ जैसा कि दाईं ओर दिए गए चित्र में है।

घटनाओं के प्रतिच्छेदन पर आधारित सशर्त संभाव्यता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.

जब तक संभाव्यता माप आवश्यकताओं को पूरा करता है

\mu (A)

शून्य नहीं है.^[2] संभाव्यता माप फ़ज़ी माप सिद्धांत की अधिक सामान्य धारणा से अलग हैं जिसमें फ़ज़ी मानों का योग करने की कोई आवश्यकता नहीं है

1,

और योगात्मक संपत्ति को सेट समावेशन के आधार पर ऑर्डर रिलेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण अनुप्रयोग

कई मामलों में, सांख्यिकीय भौतिकी संभाव्यता उपायों का उपयोग करती है, लेकिन इसके द्वारा उपयोग किए जाने वाले सभी माप सिद्धांत संभाव्यता उपाय नहीं हैं।^[3]^[4]

बाजार के उपाय जो वास्तविक बाजार आंदोलनों के आधार पर वित्तीय बाजार स्थानों को संभावनाएं प्रदान करते हैं, संभाव्यता उपायों के उदाहरण हैं जो गणितीय वित्त में रुचि रखते हैं; उदाहरण के लिए, वित्तीय डेरिवेटिव के मूल्य निर्धारण में।^[5] उदाहरण के लिए, जोखिम-तटस्थ माप एक संभाव्यता माप है जो मानता है कि संपत्ति का वर्तमान मूल्य उसी जोखिम तटस्थ माप के संबंध में भविष्य के भुगतान का अपेक्षित मूल्य है (यानी संबंधित जोखिम तटस्थ घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके गणना की जाती है), और जोखिम मुक्त दर पर छूट. यदि कोई अद्वितीय संभाव्यता माप है जिसका उपयोग बाजार में परिसंपत्तियों के मूल्य निर्धारण के लिए किया जाना चाहिए, तो बाजार को पूर्ण बाजार कहा जाता है।^[6]

सभी उपाय जो सहज रूप से मौका या संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं, संभाव्यता उपाय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, हालांकि सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक प्रणाली की मूल अवधारणा एक माप स्थान है, ऐसे उपाय हमेशा संभाव्यता उपाय नहीं होते हैं।^[3]सामान्य तौर पर, सांख्यिकीय भौतिकी में, यदि हम किसी प्रणाली S की संभाव्यता के रूप के वाक्यों पर विचार करते हैं, यह मानते हुए कि स्थिति A, p है, तो प्रणाली की ज्यामिति हमेशा संभाव्यता माप सर्वांगसम संबंध की परिभाषा की ओर नहीं ले जाती है, हालांकि यह ऐसा कर सकती है स्वतंत्रता की केवल एक डिग्री वाली प्रणालियों का मामला।^[4]

संभाव्यता मापों का उपयोग गणितीय जीवविज्ञान में भी किया जाता है।^[7] उदाहरण के लिए, तुलनात्मक अनुक्रम विश्लेषण में एक संभाव्यता माप को इस संभावना के लिए परिभाषित किया जा सकता है कि एक अनुक्रम में एमिनो एसिड के लिए एक प्रकार की अनुमति हो सकती है।^[8] अल्ट्राफ़िल्टर को इस प्रकार समझा जा सकता है $\{0,1\}$ -मूल्यवान संभाव्यता माप, मापों के आधार पर कई सहज प्रमाणों की अनुमति देना। उदाहरण के लिए, हिंडमैन की प्रमेय|हिंदमैन की प्रमेय को इन उपायों की आगे की जांच और विशेष रूप से उनके दृढ़ीकरण से सिद्ध किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ An introduction to measure-theoretic probability by George G. Roussas 2004 ISBN 0-12-599022-7 page 47
↑ Probability, Random Processes, and Ergodic Properties by Robert M. Gray 2009 ISBN 1-4419-1089-1 page 163
↑ ^3.0 ^3.1 A course in mathematics for students of physics, Volume 2 by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ISBN 0-521-40650-1 page 802
↑ ^4.0 ^4.1 The concept of probability in statistical physics by Yair M. Guttmann 1999 ISBN 0-521-62128-3 page 149
↑ Quantitative methods in derivatives pricing by Domingo Tavella 2002 ISBN 0-471-39447-5 page 11
↑ Irreversible decisions under uncertainty by Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 ISBN 3-540-73745-6 page 11
↑ Mathematical Methods in Biology by J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 ISBN 0-470-52587-8 page 195
↑ Discovering biomolecular mechanisms with computational biology by Frank Eisenhaber 2006 ISBN 0-387-34527-2 page 127

अग्रिम पठन

Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. John Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
Ash, Robert B.; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Probability & Measure Theory. Academic Press. ISBN 0-12-065202-1.

बाहरी संबंध

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[1] An introduction to measure-theoretic probability by George G. Roussas 2004 ISBN 0-12-599022-7 page 47

[2] Probability, Random Processes, and Ergodic Properties by Robert M. Gray 2009 ISBN 1-4419-1089-1 page 163

[stern-3] 3.0 ^3.1 A course in mathematics for students of physics, Volume 2 by Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ISBN 0-521-40650-1 page 802

[gut-4] 4.0 ^4.1 The concept of probability in statistical physics by Yair M. Guttmann 1999 ISBN 0-521-62128-3 page 149

[5] Quantitative methods in derivatives pricing by Domingo Tavella 2002 ISBN 0-471-39447-5 page 11

[6] Irreversible decisions under uncertainty by Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 ISBN 3-540-73745-6 page 11

[7] Mathematical Methods in Biology by J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 ISBN 0-470-52587-8 page 195

[8] Discovering biomolecular mechanisms with computational biology by Frank Eisenhaber 2006 ISBN 0-387-34527-2 page 127

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