अपेक्षित मूल्य

यह लेख प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी मे प्रयुक्त शब्द के बारे मे है। अन्य उपयोगों के लिए, आपेक्षित मूल्य(बहुविकल्पी) देखें।

E(X) यहाँ पुनर्निर्देश करता है। $e^{x}$ के लिए फलन, घातीय फलन देखें।

''E मान'' यहाँ पुनर्निर्देश करता है। अन्य उपयोगों के लिए, E-श्रेणी (बहुविकल्पी) देखें।

प्रायिकता सिद्धांत में, अपेक्षित मूल्य(जिसे अपेक्षा, प्रत्याशा, गणितीय अपेक्षा, माध्य, औसत या प्रथम मूल्य भी कहा जाता है) भारित औसत का एक सामान्यीकरण है। अनौपचारिक रूप से, अपेक्षित मूल्य एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से(प्रायिकता सिद्धांत) चयनित परिणामों(प्रायिकता सिद्धांत) का अंकगणितीय माध्य है।

परिमित संख्या में परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान सभी संभावित परिणामों का भारित औसत है। संभावित परिणामों की निरंतरता के स्थिति में, अपेक्षा को समाकलन द्वारा परिभाषित किया गया है। माप सिद्धांत द्वारा प्रदान की गई प्रायिकता के लिए स्वयंसिद्ध आधार में, प्रत्याशा लेबेसेग समाकलन द्वारा दी गई है।

एक यादृच्छिक चर X का अपेक्षित मूल्य द्वारा प्रायः E(X), E[X], या EX दर्शाया जाता है, साथ E के रूप में भी प्रायः E या $\mathbb {E} .$ शैलीबद्ध किया जाता है।

इतिहास

अपेक्षित मूल्य का विचार 17 वीं शताब्दी के मध्य में अंकों की तथाकथित समस्या के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, जो दो खिलाड़ियों के बीच दांव को उचित तरीके से विभाजित करना चाहता है, जिन्हें अपने खेल को ठीक से समाप्त करने से पहले समाप्त करना होगा। सदियों से इस समस्या पर बहस हुई थी। 1654 में फ्रांसीसी लेखक और अप्रवीण गणितज्ञ एंटोनी गोमबॉड शेवेलियर डे मेरे द्वारा ब्लेस पास्कल को पेश किए जाने पर कई परस्पर विरोधी प्रस्ताव और समाधान सुझाए गए थे। मेरे ने दावा किया कि इस समस्या को हल नहीं किया जा सकता है और यह दिखाता है कि गणित कितना त्रुटिपूर्ण था जब यह वास्तविक दुनिया में इसके अनुप्रयोग के लिए आया था। गणितज्ञ पास्कल ने, एक बार और सभी के लिए समस्या को हल करने के लिए प्रोत्साहित और दृढ़ संकल्पित किया था।

उन्होंने पियरे डी फर्मेट को लिखे पत्रों की प्रसिद्ध श्रृंखला में समस्या पर चर्चा करना प्रारंभ किया। जल्द ही, वे दोनों स्वतंत्र रूप से एक समाधान लेकर आए। उन्होंने विभिन्न संगणनात्मक तरीकों से समस्या को हल किया, लेकिन उनके परिणाम समान थे क्योंकि उनकी संगणनाएँ एक ही मूलभूत सिद्धांत पर आधारित थीं। सिद्धांत यह है कि भविष्य के लाभ का मूल्य इसे प्राप्त करने की प्रायिकता के सीधे आनुपातिक होना चाहिए। ऐसा लगता है कि यह सिद्धांत उन दोनों के लिए स्वाभाविक रूप से आया था। वे इस तथ्य से बहुत प्रसन्न थे कि उन्होंने अनिवार्य रूप से एक ही समाधान पाया था, और इसके बदले में उन्हें पूरी तरह से विश्वास हो गया कि उन्होंने समस्या को निर्णायक रूप से हल कर लिया है; हालाँकि, उन्होंने अपने निष्कर्षों को प्रकाशित नहीं किया। उन्होंने केवल पेरिस में परस्पर वैज्ञानिक मित्रों के एक छोटे से समूह को इसके बारे में सूचित किया।

डच गणितज्ञ क्रिस्टियान ह्यूजेंस की पुस्तक में, उन्होंने अंकों की समस्या पर विचार किया, और पास्कल और फर्मेट के समाधान के समान सिद्धांत के आधार पर एक समाधान प्रस्तुत किया। ह्यूजेंस ने 1657 में अपना ग्रंथ प्रकाशित किया,(देखें ह्यूजेन्स(1657)) पेरिस का दौरा करने के तुरंत बाद ''प्रायिकता सिद्धांत पर लूडो एलेओ में डी रेशियोसिनिस'' पुस्तक ने मूल समस्या(उदाहरण के लिए, तीन या अधिक खिलाड़ियों के लिए) की तुलना में अधिक जटिल परिस्थितियों में अपेक्षाओं की गणना करने के नियमों को जोड़कर अपेक्षा की अवधारणा को विस्तारित किया और इसे प्रायिकता के सिद्धांत की नींव रखने के पहले सफल प्रयास के रूप में देखा जा सकता है।

अपने ग्रंथ की प्रस्तावना में, ह्यूजेंस ने लिखा:

यह भी कहा जाना चाहिए कि कुछ समय के लिए फ्रांस के कुछ बेहतरीन गणितज्ञों ने इस तरह के गणना में खुद को व्यस्त कर लिया है ताकि कोई भी मुझे पहले आविष्कार के सम्मान का श्रेय न दे। यह मेरा नहीं है। लेकिन इन विद्वानों ने, यद्यपि वे एक-दूसरे को अनेक कठिन प्रश्नों का प्रस्ताव देकर एक-दूसरे की परीक्षा लेते हैं, फिर भी उन्होंने अपनी विधियों को छिपा रखा है। इसलिए मुझे तत्वों से प्रारंभ करके इस स्थिति की जांच और गहराई से जांच करनी पड़ी है, और इस कारण से यह पुष्टि करना मेरे लिए असंभव है कि मैंने भी उसी सिद्धांत से प्रारंभ की है। लेकिन आखिरकार मैंने पाया है कि कई स्थितियों में मेरे जवाब उनके जवाबों से अलग नहीं हैं। — एडवर्ड्स (2002)

— एडवर्ड्स (2002)

1655 में फ्रांस की अपनी यात्रा के समय, ह्यूजेन्स ने डी मेरे की समस्या के बारे में पता चला। एक साल बाद(1656 में) कारकावाइन के साथ अपने पत्राचार से, उन्होंने महसूस किया कि उनकी पद्धति अनिवार्य रूप से पास्कल की तरह ही थी। इसलिए, 1657 में उनकी पुस्तक के छपने से पहले ही उन्हें पास्कल की इस विषय में प्राथमिकता के बारे में पता था।

उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में, यादृच्छिक चर की अपेक्षाओं के संदर्भ में व्यवस्थित रूप से सोचने वाले पहले व्यक्ति पफन्युटी चेबीशेव बने।

व्युत्पत्ति

न तो पास्कल और न ही ह्यूजेंस ने ''अपेक्षा'' शब्द का प्रयोग आधुनिक अर्थ में किया। विशेष रूप से, ह्यूजेंस लिखते हैं:

किसी भी चीज को जीतने का कोई भी अवसर या अपेक्षा सिर्फ इतनी राशि के योग्य है, जैसा कि आप एक ही अवसर पर प्राप्त कर लेंगे और निष्पक्ष स्तर पर अपेक्षा करेंगे। ... अगर मैं a या b की अपेक्षा करता हूं, और उन्हें प्राप्त करने का एक समान अपेक्षा है, तो मेरी उम्मीद (a+b)/2 है।

सौ से अधिक वर्षों के बाद, 1814 में, पियरे-साइमन लाप्लास ने अपना प्रकरण ''थ्योरी एनालिटिक डेस प्रोबैबिलिट्स'' प्रकाशित किया, जहां अपेक्षित मूल्य की अवधारणा को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया था:

… अवसर के सिद्धांत में यह लाभ इसे प्राप्त करने की संभावना से आशा की गई राशि का उत्पाद है; यह आंशिक राशि है जिसका परिणाम तब होना चाहिए जब हम यह मानकर घटना के जोखिमों को चलाना नहीं चाहते हैं कि विभाजन को संभावनाओं के अनुपात में बनाया गया है। यह विभाजन एकमात्र न्यायसंगत है जब सभी असाधारण परिस्थितियों को समाप्त कर दिया जाता है; क्योंकि संभाव्यता की एक समान डिग्री आशा की गई राशि के लिए समान अधिकार देती है। हम इस लाभ को गणितीय आशा कहेंगे.

अंकन

अपेक्षित मूल्य को दर्शाने के लिए अक्षर E का उपयोग 1901 मे W. A. व्हिटवर्थ पर वापस जाता है। प्रतीक तब से अंग्रेजी लेखकों के लिए लोकप्रिय हो गया है। जर्मन में, E का अर्थ ''एर्वर्टुगस्वर्ट'' है, स्पेनिश में ''एस्पेरांजा मैथमेटिका'' के लिए, और फ्रेंच मे ''एसपेरेंस मैथेमेटिका'' के लिए है।

जब E का उपयोग अपेक्षित मान को निरूपित करने के लिए किया जाता है, तो लेखक विभिन्न प्रकार की शैलीकरण का उपयोग करते हैं: अपेक्षा संचालिका को E(सीधा), E(इटैलिक), या $\mathbb {E}$( ब्लैकबोर्ड बोल्ड में) शैलीबद्ध किया जा सकता है, जबकि विभिन्न प्रकार के कोष्ठक संकेतन(जैसे E(X), E[X], तथा EX) सभी का उपयोग किया जाता है।

एक अन्य लोकप्रिय संकेतन μ_X है, जबकि ⟨X⟩, ⟨X⟩_av, तथा ${\overline {X}}$ सामान्यतः भौतिकी में, तथा M(X) रूसी भाषा के साहित्य में उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के कई संदर्भ-आधारित तरीके हैं। सबसे सरल और मूल परिभाषा बहुत सारे संभावित परिणामों के स्थिति से संबंधित है, जैसे कि एक सिक्के के पलटने में। अनंत श्रृंखला के सिद्धांत के साथ, इसे कई संभावित परिणामों के स्थिति में बढ़ाया जा सकता है। यादृच्छिक चर के अलग-अलग स्थिति पर विचार करना भी बहुत सामान्य है निरंतर प्रायिकता घनत्व फलनो द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि ये कई प्राकृतिक संदर्भों में उत्पन्न होते हैं। इन सभी विशिष्ट परिभाषाओं को सामान्य परिभाषा के विशेष स्थितियो के रूप में देखा जा सकता है जो माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन के गणितीय उपकरणों पर आधारित हैं, जो इन विभिन्न संदर्भों को एक स्वयंसिद्ध आधार और सामान्य भाषा प्रदान करते हैं।

एक बहुआयामी यादृच्छिक चर, अथार्थ एक यादृच्छिक वेक्टर X के अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के लिए अपेक्षित मूल्य की कोई भी परिभाषा विस्तारित की जा सकती है . इसे घटक द्वारा घटक के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे E[X]_i = E[X_i]. इसी तरह E[X]_ij = E[X_ij] द्वारा X_ij घटकों के साथ एक यादृच्छिक आव्यूह X के अपेक्षित मान को परिभाषित कर सकता है।

परिमित रूप से कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर

संभावित परिणामों की एक परिमित सूची x₁, ..., x_k के साथ एक यादृच्छिक चर X पर विचार करें जिनमें से प्रत्येक(क्रमशः) की प्रायिकता p₁, ..., p_k घटित होने की है। X की अपेक्षा को इस तरह परिभाषित किया गया है

$\operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.$

चूंकि प्रायिकता को p₁ + ⋅⋅⋅ + p_k = 1 को स्वीकार करना चाहिए, इसीलिए E[X] को उनकी प्रायिकता p_i द्वारा दिए गए औसत के रूप में x_i मानो के भारित औसत के रूप मे व्याख्या करना स्वाभाविक है।

विशेष स्थिति में कि सभी संभव परिणाम समतुल्य होते हैं(अर्थात, p₁ = ⋅⋅⋅ = p_k), भारित औसत मानक अंकगणितीय माध्य द्वारा दिया जाता है। सामान्य स्थिति में, अपेक्षित मूल्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि कुछ परिणाम दूसरों की तुलना में अधिक संभावित हैं।

उदाहरण

• मान ले कि $X$ निष्पक्ष छह-पक्षीय भूमिका के परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं विशेष रूप से, $X$ विक्षेप के बाद पिप की संख्या(गिनती) होगी जो के शीर्ष फलक पर प्रदर्शित होगी। $X$ के लिए संभावित मान 1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, जिनमें से सभी की समान प्रायिकता 1/6 के साथ समान रूप से संभव है $X$ की अपेक्षा

$\operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.$

यदि कोई फलक को $n$ बार घूमता है और परिणामों के औसत(अंकगणितीय माध्य) की गणना करता है, तो जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है, औसत लगभग निश्चित रूप से अपेक्षित मूल्य के अभिसरण अनुक्रम होगा, एक तथ्य जिसे बड़ी संख्या के प्रबल नियम के रूप में जाना जाता है।

• रूले गेम में एक छोटी सी गेंद और एक पहिया होता है जिसके किनारे पर 38 नंबर वाला थैला होता हैं। जैसे ही पहिया घूमता है, गेंद अछे तरीके से इधर-उधर उछलती है जब तक कि वह किसी एक थैले में नहीं बैठ जाती। मान लीजिए यादृच्छिक चर $X$ एक नंबर(सीधे ऊपर शर्त) पर $1 शर्त के(मौद्रिक) परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि शर्त जीत जाती है(अमेरिकी रूले में प्रायिकता 1/38 के साथ होती है), अदायगी $35 है; अन्यथा खिलाड़ी शर्त हार जाता है। इस तरह के दांव से अपेक्षित लाभ होगा

$\operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.$

अर्थात्, $1 शर्त से जीते जाने वाला अपेक्षित मूल्य −$ है. इस प्रकार, 190 बाजी में, शुद्ध नुकसान लगभग $10 होगा।

कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर

अनौपचारिक रूप से, संभावित परिणामों के एक गणनीय समुच्चय के साथ एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा को समान रूप से सभी संभावित परिणामों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां भार प्रत्येक दिए गए मूल्य को वास्तविक करने की प्रायिकतां द्वारा दिया जाता है। यह कहना है

$\operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},$

जहां पर x₁, x₂, ... यादृच्छिक चर के संभावित परिणाम हैं X तथा p₁, p₂, ... उनकी संगत प्रायिकताएँ हैं। कई गैर-गणितीय पाठ्यपुस्तकों में, इसे इस संदर्भ में अपेक्षित मूल्यों की पूर्ण परिभाषा के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

हालाँकि, अनंत योग के साथ कुछ सूक्ष्मताएँ हैं, इसलिए उपरोक्त सूत्र गणितीय परिभाषा के रूप में उपयुक्त नहीं है। विशेष रूप से, गणितीय विश्लेषण के रीमैन श्रृंखला प्रमेय यह दर्शाता है कि धनात्मक और ऋणात्मक योग वाले कुछ अनंत राशियों का मान उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें सारांश दिए गए हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर के परिणामों में स्वाभाविक रूप से कोई क्रम नहीं दिया गया है, यह अपेक्षित मूल्य को ठीक से परिभाषित करने में कठिनाई उपन्न करता है।

इस कारण से, कई गणितीय पाठ्यपुस्तकें केवल इस स्थिति पर विचार करती हैं कि निरपेक्ष अभिसरण के ऊपर दिया गया अनंत योग, जिसका अर्थ है कि अनंत योग के क्रम से स्वतंत्र एक परिमित संख्या है। वैकल्पिक स्थिति में जब अनंत योग पूरी तरह से अभिसरण नहीं करता है, कोई कहता है कि यादृच्छिक चर में परिमित अपेक्षा नहीं होती है।

उदाहरण

• मान लीजिए $x_{i}=i$ तथा $p_{i}={\tfrac {c}{i2^{i}}}$ के लिये $i=1,2,3,\ldots ,$ जहां पर $c={\tfrac {1}{\ln 2}}$ मापन कारक है जो प्रायिकतां को 1 बनाता है। फिर, गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए प्रत्यक्ष परिभाषा का उपयोग करके, हमारे पास है
  $$\operatorname {E} [X]\,=\sum _{i}x_{i}p_{i}=1({\tfrac {c}{2}})+2({\tfrac {c}{8}})+3({\tfrac {c}{24}})+\cdots \,=\,{\tfrac {c}{2}}+{\tfrac {c}{4}}+{\tfrac {c}{8}}+\cdots \,=\,c\,=\,{\tfrac {1}{\ln 2}}.$$

घनत्व के साथ यादृच्छिक चर

अब एक यादृच्छिक चर X पर विचार करें जिसमें वास्तविक संख्या रेखा पर एक फलन f द्वारा दिया गया प्रायिकता घनत्व फलन है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी दिए गए खुले अंतराल मे X के मान लेने की प्रायिकता उस अंतराल पर f के पूर्णांक द्वारा दिया जाती है। X कीअपेक्षा तब समाकलन द्वारा दिया जाता है

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.$

इस परिभाषा का एक सामान्य और गणितीय रूप से सटीक सूत्रीकरण माप सिद्धांत और लेबेसेग समाकलन का उपयोग करता है, और अगले खंड में पूर्ण रूप से निरंतर यादृच्छिक चर के संबंधित सिद्धांत का वर्णन किया गया है। कई सामान्य वितरणों के घनत्व फलन टुकड़े निरंतर होते हैं, और इस तरह के सिद्धांत को प्रायः इस प्रतिबंधित व्यवस्था में विकसित किया जाता है। ऐसे फलनों के लिए, केवल मानक रीमैन समाकलन पर विचार करना पर्याप्त है। कभी-कभी निरंतर यादृच्छिक चर को घनत्व के इस विशेष वर्ग के अनुरूप परिभाषित किया जाता है, हालांकि इस शब्द का प्रयोग विभिन्न लेखकों द्वारा अलग-अलग तरीके से किया जाता है।

उपरोक्त अनगिनत-अनंत स्थिति के अनुरूप, समाकलन के अनंत क्षेत्र के कारण इस अभिव्यक्ति के साथ सूक्ष्मताएं हैं। यदि वितरण किया जाए तो ऐसी सूक्ष्मताएँ ठोस रूप से देखी जा सकती हैं यदि X कॉची वितरण कॉची(0, π) द्वारा दिया गया है, ताकि f(x) = (x² + π²)⁻¹. इस स्थिति में गणना करना स्पष्ट है

$\int _{a}^{b}xf(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+\pi ^{2}}{a^{2}+\pi ^{2}}}.$

इस अभिव्यक्ति की सीमा के रूप में a → −∞ तथा b → ∞ सम्मिलित नहीं है: यदि सीमाएं ली जाती हैं ताकि a = −b, तो सीमा शून्य है, जबकि यदि व्यवरोध 2a = −b लिया जाता है, तो सीमा ln(2) है।

इस तरह की अस्पष्टताओं से बचने के लिए, गणितीय पाठ्यपुस्तकों में यह आवश्यक है कि दिए गए समाकलन को पूरी तरह से अभिसरण करता है अन्यथा E[X] को अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है। हालांकि, नीचे दी गई माप-सैद्धांतिक धारणाओं का उपयोग अधिक सामान्य यादृच्छिक चर X के लिए E[X] की एक व्यवस्थित परिभाषा देने के किया जा सकता है।

एकपक्षीय वास्तविक मूल्यवान यादृच्छिक चर

अपेक्षित मूल्य की सभी परिभाषाएँ माप सिद्धांत की भाषा में व्यक्त की जा सकती हैं। सामान्य रूप से, अगर X प्रायिकता स्थान (Ω, Σ, P) पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है, तो E[X] द्वारा चिन्हित X का आपेक्षित मूल्य, लेबेसेग समाकलन के रूप में परिभाषित किया गया है

$\operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} .$

नई अमूर्त स्थिति केहोते हुए भी, यह परिभाषा कुछ भारित औसत के रूप में ऊपर दी गई अपेक्षित मूल्यों की सबसे सरल परिभाषा के स्वरूप में अत्यंत समान है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि माप सिद्धांत में, लेबेसेग समाकलन के मान X के अनुमानों के भारित औसत के माध्यम से परिभाषित किया गया है, जो निश्चित रूप से कई मान लेते हैं। इसके अतिरिक्त, यदि परिमित या गणनीय रूप से कई संभावित मानों के साथ एक यादृच्छिक चर दिया जाता है, तो अपेक्षा का लेबेस्ग सिद्धांत ऊपर दिए गए योग सूत्रों के समान है। हालांकि, लेबेस्ग सिद्धांत प्रायिकता घनत्व फलनों के सिद्धांत के दायरे को स्पष्ट करता है। एक यादृच्छिक चर X को पूर्ण रूप से निरंतर कहा जाता है यदि निम्न में से कोई भी शर्त पूरी होती है:

• वास्तविक रेखा पर एक गैर-ऋणात्मक मापने योग्य फलन f है जैसे कि

${\text{P}}(X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx,$

किसी भी बोरेल समुच्चय के लिए A, जिसमें समाकलन लेबेसेंग है।

• X का संचयी वितरण फलन नितांत सतत है।
• किसी भी बोरेल समुच्चय A के लिए लेबेसेंग माप के साथ वास्तविक संख्याओं का माप शून्य के बराबर है, A की प्रायिकता X में मूल्यांकित किया जा रहा है।
• किसी भी धनात्मक संख्या ε के लिए एक धनात्मक संख्या δ है जैसे कि: यदि A माप से कम के साथ एक बोरेल समुच्चय है जिसका माप δ से कम है, तो A मे मान के X की प्रायिकता ε से कम है।

ये स्थितियाँ सभी समतुल्य हैं, हालाँकि इसे स्थापित करना महत्वपूर्ण नहीं है। इस परिभाषा में, f का X प्रायिकता घनत्व फलन कहलाता है(लेबेस्ग माप के सापेक्ष)। लेबेसेंग समाकलन के लिए चर-के-परिवर्तन सूत्र के अनुसार, अचेतन सांख्यिकीविद् के नियम के साथ संयुक्त, यह इस प्रकार है कि

$\operatorname {E} [X]\equiv \int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx$

किसी भी पूर्णतया सतत यादृच्छिक चर के लिए X. निरंतर यादृच्छिक चर की उपरोक्त चर्चा इस प्रकार सामान्य लेबेस्ग सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक टुकड़ा-सतत-निरंतर फलन औसत दर्जे का है।

अनंत अपेक्षित मान

अपेक्षित मान जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है स्वचालित रूप से परिमित संख्याएँ हैं। हालांकि, कई स्थितियो में अपेक्षित मूल्यों ±∞पर विचार करने में सक्षम होना मौलिक है यह सहज ज्ञान युक्त है, उदाहरण के लिए, सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास की स्थिति में, जिसमें कोई संभावित परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करता है x_i = 2ⁱ, संबद्ध प्रायिकतां के साथ p_i = 2⁻ⁱ, के लिये i सभी धनात्मक पूर्णांकों को लेकर। गणनात्मक रूप से अनेक परिणामों वाले यादृच्छिक चरों के स्थिति में योग सूत्र के अनुसार, एक के पास होता है

$$\operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+16\cdot {\frac {1}{16}}+\cdots =1+1+1+1+\cdots .$$

यह कहना स्वाभाविक है कि अपेक्षित मूल्य +∞ बराबर है।

इस तरह के विचारों में अंतर्निहित एक कठोर गणितीय सिद्धांत है, जिसे प्रायः लेबेसेग समाकलन की परिभाषा के भाग के रूप में लिया जाता है। पहला मौलिक अवलोकन यह है कि उपरोक्त परिभाषाओं में से जो भी हो, किसी भी गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर को एक स्पष्ट अपेक्षित मूल्य दिया जा सकता है; जब भी पूर्ण अभिसरण विफल हो जाता है, तो अपेक्षित मान को +∞ इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है। दूसरा मौलिक अवलोकन यह है कि किसी भी यादृच्छिक चर को दो गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है। एक यादृच्छिक चर X को देखते हुए, एक द्वारा धनात्मक और ऋणात्मक भागों को X ⁺ = max(X, 0) तथा X ⁻ = −min(X, 0) द्वारा परिभाषित करता है। ये गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर हैं, और इसे स्पष्ट रूप से जाँचा जा सकता है कि X = X ⁺ − X ⁻चूंकि E[X ⁺] तथा E[X ⁻] दोनों को या तो गैर-ऋणात्मक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है या +∞, तो यह परिभाषित करना स्वाभाविक है:

$$\operatorname {E} [X]={\begin{cases}\operatorname {E} [X^{+}]-\operatorname {E} [X^{-}]&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty ;\\+\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty ;\\-\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty ;\\{\text{undefined}}&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty .\end{cases}}$$

इस परिभाषा के अनुसार, E[X] सम्मिलित है और परिमित है यदि केवल E[X ⁺] तथा E[X ⁻] दोनों परिमित हैं। सूत्र के कारण |X| = X ⁺ + X ⁻, यह स्थिति है यदि केवल E|X| परिमित है, और यह उपरोक्त परिभाषाओं में पूर्ण अभिसरण शर्तों के बराबर है। जैसे, वर्तमान विचार किसी भी स्थिति में परिमित अपेक्षित मूल्यों को परिभाषित नहीं करते हैं, जिन पर पहले विचार नहीं किया गया था; वे अनंत अपेक्षाओं के लिए ही उपयोगी हैं।

• सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास के स्थिति में, किसी के पास X ⁻ = 0 है, इसलिए E[X] = +∞ इच्छित है।
• मान लीजिए यादृच्छिक चर X 1, −2,3, −4, ...मान लेता है जिसकी प्रायिकता 6π⁻², 6(2π)⁻², 6(3π)⁻², 6(4π)⁻², .... इसके बाद यह इस प्रकार है X ⁺ प्रायिकता 6((2k−1)π)⁻² के साथ मान 2k−1लेता है, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए k, और शेष प्रायिकता के साथ 0 मान लेता है। इसी प्रकार, X ⁻ प्रायिकता6(2kπ)⁻²के साथ मान 2k लेता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक के लिए k और शेष प्रायिकता के साथ 0 मान लेता है। गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषा का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि दोनों E[X ⁺] = ∞ तथा E[X ⁻] = −∞( समरूप श्रृंखला(गणित) देखें)। इसलिए, इस स्थिति में X की अपेक्षा अपरिभाषित है।
• इसी तरह, कॉची वितरण, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, मे अपेक्षा अपरिभाषित है।

सामान्य वितरण के अपेक्षित मूल्य

निम्न तालिका कुछ सामान्य रूप से होने वाले प्रायिकता वितरणों के अपेक्षित मान देती है। तीसरा कॉलम परिभाषा द्वारा तुरंत दिए गए रूप में और साथ ही गणना द्वारा प्राप्त सरलीकृत रूप में अपेक्षित मान देता है। इन संगणनाओं का विवरण, जो हमेशा स्पष्ट नहीं होता, संकेतित संदर्भों में पाया जा सकता है।

विभाजन	संकेत चिन्ह	माध्य E(X)
बरनौली	$X\sim ~b(1,p)$	$0\cdot (1-p)+1\cdot p=p$
द्विपद	$X\sim B(n,p)$	$\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=np$
पॉइसन	$X\sim \mathrm {Po} (\lambda )$	$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {ie^{-\lambda }\lambda ^{i}}{i!}}=\lambda$
ज्यामितीय	$X\sim \mathrm {Geometric} (p)$	$\sum _{i=1}^{\infty }ip(1-p)^{i-1}={\frac {1}{p}}$
समरूप	$X\sim U(a,b)$	$\int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}$
घातीय	$X\sim \exp(\lambda )$	$\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}$
सामान्य	$X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\,dx=\mu$
मानक सामान्य	$X\sim N(0,1)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}/2}\,dx=0$
परेटों	$X\sim \mathrm {Par} (\alpha ,k)$	$\int _{k}^{\infty }\alpha k^{\alpha }x^{-\alpha }\,dx={\begin{cases}{\frac {\alpha k}{\alpha -1}}&\alpha >1\\\infty &0\leq \alpha \leq 1.\end{cases}}$
कॉची	$X\sim \mathrm {Cauchy} (x_{0},\gamma )$	${\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma x}{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx$ अपरिभाषित है।

गुण

नीचे दिए गए मूल गुण(और बोल्ड में उनके नाम) लेबेसेंग समाकलन के गुणों से से तुरंत दोहराए जाते हैं या उनका अनुसरण करते हैं। ध्यान दें कि अक्षर a.s. लगभग निश्चित रूप से मानक के लिए - लेबेस्ग समाकलन के केंद्रीय गुण। मूल रूप से, कोई कहता है कि असमानता अधिमान है $X\geq 0$ लगभग निश्चित रूप से सत्य है, जब प्रायिकता माप शून्य-द्रव्यमान को पूरक घटना के $\left\{X<0\right\}$रूप में प्रस्तुत करता है।

• गैर-ऋणात्मकता: यदि $X\geq 0$(a. s.), फिर $\operatorname {E} [X]\geq 0$.
• अपेक्षा की रैखिकता: अपेक्षित मान संक्रियक(या अपेक्षा संक्रियक) $\operatorname {E} [\cdot ]$ रैखिक संक्रियक इस अर्थ में है कि, किसी भी यादृच्छिक चर के लिए $X$ तथा $Y$, और एक स्थिर $a$,
  $${\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y],\\\operatorname {E} [aX]&=a\operatorname {E} [X],\end{aligned}}$$

जब भी दाहिना ओर अच्छी तरह से परिभाषित होता है। गणितीय प्रेरण द्वारा, इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर की किसी भी परिमित संख्या के योग का अपेक्षित मूल्य अलग-अलग यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों का योग है, और एक गुणक स्थिरांक के साथ रैखिक रूप से अपेक्षित मूल्य मापता है। प्रतीकात्मक रूप से, $N$ के लिए यादृच्छिक चर $X_{i}$ और स्थिरांक $a_{i}(1\leq i\leq N)$, अपने पास ${\textstyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\operatorname {E} [X_{i}]}$. यदि हम सदिश स्थान बनाने के रूप में परिमित अपेक्षित मान वाले यादृच्छिक चर के समुच्चय के बारे में सोचते हैं, तो अपेक्षा की रैखिकता का अर्थ है कि इस सदिश स्थान पर अपेक्षित मान एक रैखिक रूप है।

• एकरसता: यदि $X\leq Y$ लगभग निश्चित रूप से(a. s.), और दोनों $\operatorname {E} [X]$ तथा $\operatorname {E} [Y]$ सम्मिलित हैं, तो $\operatorname {E} [X]\leq \operatorname {E} [Y]$ प्रमाण रैखिकता और गैर-ऋणात्मकता गुण के लिए अनुसरण करता है $Z=Y-X$, जबसे $Z\geq 0$(a. s.)।
• गैर अपकर्ष: अगर $\operatorname {E} [|X|]=0$, फिर $X=0$(a. s.)।
• यदि $X=Y$ लगभग निश्चित रूप से|(अ.स.), फिर $\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [Y]$. दूसरे शब्दों में, यदि X और Y यादृच्छिक चर हैं जो प्रायिकता शून्य के साथ अलग-अलग मान लेते हैं, तो X की अपेक्षा Y की अपेक्षा के बराबर होगी।
• यदि $X=c$ लगभग निश्चित रूप से|(a.s.) किसी वास्तविक संख्या के लिए c, फिर $\operatorname {E} [X]=c$. विशेष रूप से, एक यादृच्छिक चर के लिए $X$ अच्छी तरह से परिभाषित अपेक्षा के साथ, $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X]$. एक अच्छी तरह से परिभाषित अपेक्षा का अर्थ है कि एक संख्या है, या एक स्थिरांक है जो अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करता है। इस प्रकार है कि इस स्थिरांक की अपेक्षा केवल मूल अपेक्षित मान है।
• सूत्र के फलस्वरूप |X| = X ⁺ + X ⁻ जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, त्रिभुज असमानता के साथ, यह किसी भी यादृच्छिक चर के लिए अनुसरण करता है $X$ अच्छी तरह से परिभाषित अपेक्षा के साथ, किसी के पास है $|\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|$.
• मान लीजिए 1_A किसी घटना के संकेतक फलन को निरूपित करें(प्रायिकता सिद्धांत) A, फिर E[1_A] की A प्रायिकता द्वारा दिया गया है। यह और कुछ नहीं बल्कि बर्नौली यादृच्छिक चर की अपेक्षा को बताने का एक अलग तरीका है, जैसा कि ऊपर दी गई तालिका में गणना की गई है।
• CDF के संदर्भ में सूत्र: यदि $F(x)$ एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन है, तो

$$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,dF(x),$$

जहां दोनों पक्षों के मूल्यों को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है या एक साथ अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया गया है, और समाकलन को लेबेसेंग-स्टीलटजेस समाकलन के अर्थ में लिया जाता है। E[X] इस प्रतिनिधित्व के लिए लागू भागों द्वारा समाकलन के परिणामस्वरूप है, यह सिद्ध किया जा सकता है कि

$$\operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }(1-F(x))\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,$$

लेबेसेंग के अर्थ में लिए गए समाकलन के साथ। एक विशेष स्थिति के रूप में, किसी भी यादृच्छिक चर X के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों में मूल्यवान {0, 1, 2, 3, ...}, एक के पास

$$\operatorname {E} [X]=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {P} (X>n),$$

जहां पर P अंतर्निहित प्रायिकता माप को दर्शाता है।

• गैर-गुणात्मकता: सामान्य रूप से , अपेक्षित मान गुणक नहीं होता है, अर्थात $\operatorname {E} [XY]$ के बराबर नहीं है $\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]$. यदि $X$ तथा $Y$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तो कोई यह दिखा सकता है $\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]$. यदि यादृच्छिक चर निर्भर और स्वतंत्र चर हैं, तो सामान्यतः $\operatorname {E} [XY]\neq \operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]$, हालांकि निर्भरता के विशेष स्थितियो में समानता हो सकती है।
• अचेतन सांख्यिकीविद् का नियम: मापने योग्य फलन का अपेक्षित मूल्य $X$, $g(X)$, मान लें कि $X$ प्रायिकता घनत्व फलन है $f(x)$, के आंतरिक उत्पाद द्वारा दिया जाता है $f$ तथा $g$:
  $$\operatorname {E} [g(X)]=\int _{\mathbb {R} }g(x)f(x)\,dx.$$
  यह सूत्र बहुआयामी स्थिति में भी लागू होता है, जब $g$ कई यादृच्छिक चर का एक फलन है, और $f$ क्या उनका प्रायिकता घनत्व फलन अनेक चरों से संबद्ध है।
  

असमानताएं

एकाग्रता असमानताएँ बड़े मूल्यों पर एक यादृच्छिक चर की प्रायिकता को नियंत्रित करती हैं। मार्कोव की असमानता प्रमाणित करने के लिए सबसे प्रसिद्ध और सरल है: एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए X और कोई धनात्मक संख्या a, यह प्रकट करता है कि

$$\operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.$$

यदि X परिमित अपेक्षा के साथ कोई भी यादृच्छिक चर है, तो मार्कोव की असमानता को यादृच्छिक चर पर लागू किया जा सकता है |X−E[X]|² चेबिशेव की असमानता प्राप्त करने के लिए

$$\operatorname {P} (|X-{\text{E}}[X]|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}},$$

जहां पर Var विचरण है। सशर्त धारणाओं के लगभग पूर्ण अभाव के लिए ये असमानताएँ महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, परिमित अपेक्षा वाले किसी भी यादृच्छिक चर के लिए, चेबिशेव असमानता का अर्थ है कि अपेक्षित मूल्य के दो मानक विचलन के अंदर परिणाम होने की कम से कम 75% प्रायिकता है। हालांकि, विशेष स्थितियो में मार्कोव और चेबिशेव असमानताएं प्रायः उपलब्ध जानकारी की तुलना में बहुत कमजोर जानकारी देती हैं। उदाहरण के लिए, एक बिना वजन वाले पासे की स्थिति में, चेबिशेव की असमानता कहती है कि 1 और 6 के बीच लुढ़कने की प्रायिकता कम से कम 53% है; वास्तव में,निश्चित रूप से 100% प्रायिकताएँ हैं। कोल्मोगोरोव असमानता चेबीशेव असमानता को यादृच्छिक चर के योग के संदर्भ में विस्तारित करती है।

निम्नलिखित तीन असमानताएँ गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में मौलिक महत्व की हैं और प्रायिकता सिद्धांत के लिए इसके अनुप्रयोग हैं।

• जेन्सेन की असमानता: मान ले f: ℝ → ℝ एक उत्तल फलन हो और X परिमित अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर। तो
  $$f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).$$

अभिकथन का एक भाग यह है कि के धनात्मक और ऋणात्मक भाग f(X) परिमित अपेक्षा है, ताकि दाहिना ओर अच्छी तरह से परिभाषित(संभवतः अनंत) हो। f की उत्तलता को यह कहते हुए व्यक्त किया जा सकता है कि दो इनपुट के भारित औसत का आउटपुट दो आउटपुट के समान भारित औसत का अनुमान लगाता है; जेन्सेन की असमानता इसे पूरी तरह से सामान्य भारित औसत की व्यवस्था तक विस्तारित करती है, जैसा कि अपेक्षा द्वारा दर्शाया गया है। विशेष स्थिति में कि f(x) = |x|^t/s धनात्मक संख्या के लिए s < t, ल्यापुनोव असमानता प्राप्त करता है

$$\left(\operatorname {E} |X|^{s}\right)^{1/s}\leq \left(\operatorname {E} |X|^{t}\right)^{1/t}.$$

 : इसे होल्डर असमानता द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है। माप सिद्धांत में, यह समावेशन को प्रमाणित करने के लिए विशेष रूप से L^s ⊂ L^t के रिक्त स्थान L^p spaces प्रायिकता रिक्त स्थान के विशेष स्थिति में उल्लेखनीय है।

• होल्डर की असमानता: यदि p > 1 तथा q > 1 संख्या संतोषजनक हैं p ⁻¹ + q ⁻¹ = 1, तो
  $$\operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.$$

किसी भी यादृच्छिक चर के लिए X तथा Y. की विशेष स्थिति p = q = 2 कॉची-श्वार्ज़ असमानता को कहा जाता है, और विशेष रूप से प्रसिद्ध है।

• मिन्कोवस्की असमानता: कोई भी संख्या दी गई हो p ≥ 1, किसी भी यादृच्छिक चर के लिए X तथा Y साथ E|X|^p तथा E|Y|^p दोनों परिमित हैं, यह उसी का अनुसरण करता है E|X + Y|^p भी परिमित है और
  $${\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.$$

होल्डर और मिन्कोव्स्की असमानताओं को सामान्य माप स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है, और प्रायः उस संदर्भ में दिया जाता है। इसके विपरीत, जेन्सेन असमानता प्रायिकता रिक्त स्थान के स्थिति में विशेष है।

यादृच्छिक चर के अभिसरण के तहत अपेक्षाएं

सामान्य रूप से , ऐसा नहीं है $\operatorname {E} [X_{n}]\to \operatorname {E} [X]$ यहाँ तक की $X_{n}\to X$ बिंदुवार। इस प्रकार, यादृच्छिक चर पर अतिरिक्त शर्तों के बिना, सीमा और अपेक्षा का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है। इसे देखने के लिए, $U$ को समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर हो $[0,1]$. के लिये $n\geq 1,$ यादृच्छिक चर के अनुक्रम को परिभाषित करें

$X_{n}=n\cdot \mathbf {1} \left\{U\in \left(0,{\tfrac {1}{n}}\right)\right\},$

साथ ${\mathbf {1} }\{A\}$ घटना का सूचक फलन होना $A$. फिर, यह इस प्रकार है $X_{n}\to 0$ बिंदुवार। परंतु, $\operatorname {E} [X_{n}]=n\cdot \operatorname {P} \left(U\in \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]\right)=n\cdot {\tfrac {1}{n}}=1$ प्रत्येक के लिए $n$. अत, $\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}]=1\neq 0=\operatorname {E} \left[\lim _{n\to \infty }X_{n}\right].$

समान रूप से, यादृच्छिक चर के सामान्य अनुक्रम के लिए $\{Y_{n}:n\geq 0\}$, अपेक्षित मान संक्रियक नहीं है $\sigma$-योगात्मक, अथार्थ

$\operatorname {E} \left[\sum _{n=0}^{\infty }Y_{n}\right]\neq \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} [Y_{n}].$

एक उदाहरण व्यवस्थित करके आसानी से प्राप्त किया जाता है $Y_{0}=X_{1}$ तथा $Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}$ के लिये $n\geq 1$, जहां पर $X_{n}$ पिछले उदाहरण की तरह है।

अभिसरण के कई परिणाम सटीक स्थितियों को निर्दिष्ट करते हैं जो नीचे निर्दिष्ट अनुसार सीमाओं और अपेक्षाओं को बदलने की अनुमति देते हैं।

• एकरस अभिसरण प्रमेय: मान ले $\{X_{n}:n\geq 0\}$ के साथ यादृच्छिक चर का एक क्रम हो $0\leq X_{n}\leq X_{n+1}$(a. s.) प्रत्येक के लिए $n\geq 0$. इसके अतिरिक्त, मान $X_{n}\to X$ बिंदुवार। तो मोनोटोन अभिसरण प्रमेय कहता है कि $\lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X].$ मोनोटोन अभिसरण प्रमेय का उपयोग करके, कोई दिखा सकता है कि अपेक्षा वास्तव में गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए गणनीय योगात्मकता को संतुष्ट करती है। विशेष रूप से, मान ले कि $\{X_{i}\}_{i=0}^{\infty }$ गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर है। यह मोनोटोन अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है
  $$\operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].$$
• फतौस लेम्मा: आसान $\{X_{n}\geq 0:n\geq 0\}$ गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर का अनुक्रम है। फतौस लेम्मा बताती है कि
  $$\operatorname {E} [\liminf _{n}X_{n}]\leq \liminf _{n}\operatorname {E} [X_{n}].$$
  परिणाम मान ले $X_{n}\geq 0$ साथ $\operatorname {E} [X_{n}]\leq C$ सभी के लिए $n\geq 0$. यदि $X_{n}\to X$(a. s), तो $\operatorname {E} [X]\leq C.$ प्रमाण यह देखने से ${\textstyle X=\liminf _{n}X_{n}}$(a. s.) और फतौस लेम्मा को लागू करना।
• प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय : मान ले $\{X_{n}:n\geq 0\}$ यादृच्छिक चर का एक क्रम हो। यदि $X_{n}\to X$ बिंदुवार अभिसरण(a. s.), $|X_{n}|\leq Y\leq +\infty$(के रूप में और $\operatorname {E} [Y]<\infty$. तब प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय के अनुसार,
  • $\operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty$;
  • $\lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X]$
  • $\lim _{n}\operatorname {E} |X_{n}-X|=0.$
• समान पूर्णता: कुछ स्थितियो में, समानता $\lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [\lim _{n}X_{n}]$ धारण करता है जब अनुक्रम $\{X_{n}\}$ समान रूप से समाकलनीय है।

विशेषता समारोह के साथ संबंध

प्रायिकता घनत्व फलन $f_{X}$ एक अदिश यादृच्छिक चर का $X$ इसके विशिष्ट फलन(प्रायिकता) से संबंधित है $\varphi _{X}$ उलटा सूत्र द्वारा:

$f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t.$

के अपेक्षित मूल्य के लिए $g(X)$(जहां पर $g:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }$ एक मापने योग्य फलन है), हम प्राप्त करने के लिए इस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं

$\operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }g(x)\left[\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} x.$

यदि $\operatorname {E} [g(X)]$ परिमित है, समाकलन के क्रम को बदलते हुए, हम फ़ुबिनी-टोनेली प्रमेय, के अनुसार प्राप्त करते हैं|

$\operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }G(t)\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t,$

जहां पर

$G(t)=\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{-itx}\,\mathrm {d} x$

का फूरियर रूपांतरण है $g(x).$ के लिए अभिव्यक्ति $\operatorname {E} [g(X)]$ प्लैंकेरल प्रमेय से भी सीधे अनुसरण करता है।

उपयोग और अनुप्रयोग

एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा विभिन्न संदर्भों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उदाहरण के लिए, निर्णय सिद्धांत में, अधूरी जानकारी के संदर्भ में एक इष्टतम विकल्प बनाने वाले एक एजेंट को प्रायः उनके वॉन न्यूमैन-मॉर्गेनस्टर्न यूटिलिटी फलन के अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करने के लिए माना जाता है। एक अलग उदाहरण के लिए, आंकड़ों में, जहां कोई उपलब्ध डेटा के आधार पर अज्ञात पैरामीटर के अनुमानों की तलाश करता है, अनुमान स्वयं एक यादृच्छिक चर है। ऐसी व्यवस्था में, एक अच्छे अनुमानक के लिए एक वांछनीय मानदंड यह है कि यह निष्पक्ष अनुमानक है; अर्थात्, अनुमान का अपेक्षित मान अंतर्निहित पैरामीटर के वास्तविक मान के बराबर है।

किसी घटना की प्रायिकता के बराबर एक अपेक्षित मूल्य का निर्माण करना संभव है, एक संकेतक फ़ंक्शन की अपेक्षा लेना यदि घटना हुई है और अन्यथा शून्य है। इस संबंध का उपयोग अपेक्षित मूल्यों के गुणों को प्रायिकतां के गुणों में बदलने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण सांख्यिकीय आवृत्ति द्वारा प्रायिकता का अनुमान लगाने के औचित्य के लिए बड़ी संख्या के नियम का उपयोग करना।

X की शक्तियों के अपेक्षित मूल्यों को X का महत्व(गणित) कहा जाता है; X के माध्य के बारे में मूल्य की शक्तियों के अपेक्षित मूल्य हैं X − E[X]. कुछ यादृच्छिक चरों के आघूर्णों का उपयोग उनके मूल्य उपन्न करने वाले फलनों के माध्यम से वितरण को निर्दिष्ट करने के लिए किया जा सकता है।

अनुभवजन्य रूप से अनुमान सिद्धांत के लिए एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य, एक बार-बार चर के अवलोकनों को मापता है और परिणामों के अंकगणितीय माध्य की गणना करता है। यदि अपेक्षित मूल्य सम्मिलित है, तो यह प्रक्रिया एक अनुमानक पूर्वाग्रह तरीके से वास्तविक अपेक्षित मूल्य का अनुमान लगाती है और इसमें त्रुटियों के वर्गों के योग को कम करने और आँकड़ों में अवशिष्ट(अवलोकन और अनुमानक के बीच वर्ग अंतर का योग) का गुण है। बड़ी संख्या का नियम दर्शाता है(काफी हल्की परिस्थितियों में) कि, जैसे-जैसे सांख्यिकीय नमूने का आकार बड़ा होता जाता है, इस अनुमानक का प्रसरण छोटा होता जाता है।

मोंटे कार्लो विधियों के माध्यम से अनुमान(प्रायिकता) ब्याज की मात्रा का अनुमान लगाने के लिए सांख्यिकीय अनुमान और मशीन सीखने की सामान्य समस्याओं सहित, इस संपत्ति का प्रायः विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, क्योंकि अधिकांश मात्रा में ब्याज अपेक्षा के संदर्भ में लिखा जा सकता है, उदा। $\operatorname {P} ({X\in {\mathcal {A}}})=\operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}]$, जहां पर ${\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}$ समुच्चय का सूचक फलन है ${\mathcal {A}}$.

प्रायिकता वितरण का द्रव्यमान अपेक्षित मान पर संतुलित है, यहाँ एक बीटा(α,β) वितरण अपेक्षित मान α/(α+β) के साथ है।

उत्कृष्ट यांत्रिकी में, द्रव्यमान का केंद्र अपेक्षा के अनुरूप अवधारणा है। उदाहरण के लिए, मान लें कि X मान x के साथ असतत यादृच्छिक चर है_iऔर संगत प्रायिकताएँ p_i. अब एक भारहीन छड़ पर विचार करें, जिस पर स्थानों x_i पर भार रखे गए हैं छड़ के साथ और द्रव्यमान p_i(जिसका योग एक है)। वह बिंदु जिस पर छड़ संतुलन E[X] है।

प्रसरण के लिए संगणनात्मक सूत्र के माध्यम से प्रसरण की गणना करने के लिए अपेक्षित मानों का भी उपयोग किया जा सकता है

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.$

अपेक्षा मूल्य का एक बहुत ही महत्वपूर्ण अनुप्रयोग क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्र में है। क्वांटम यांत्रिकी संक्रियक का अपेक्षित मूल्य ${\hat {A}}$ क्वांटम स्थिति वेक्टर पर कार्य कर रहे $|\psi \rangle$ के रूप में लिखा गया है $\langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$. में अनिश्चितता का सिद्धांत ${\hat {A}}$ सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है $(\Delta A)^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}$.

यह भी देखें

• द्रव्यमान का केंद्र
• केंद्रीय प्रवृत्ति
• चेबिशेव की असमानता(स्थान और पैमाने के मापदंडों पर एक असमानता)
• सशर्त अपेक्षा
• अपेक्षा(सामान्य शब्द)
• अपेक्षा मूल्य(क्वांटम यांत्रिकी)
• कुल अपेक्षा का नियम - X दिए गए Y के सशर्त अपेक्षित मूल्य का अपेक्षित मूल्य X के अपेक्षित मूल्य के समान है।
• समय(गणित)
• अरेखीय अपेक्षा(अपेक्षित मूल्य का एक सामान्यीकरण)
• नमूना माध्य
• आबादी मतलब
• वाल्ड का समीकरण—यादृच्छिक चरों की यादृच्छिक संख्या के अपेक्षित मान की गणना के लिए एक समीकरण

साहित्य

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बाहरी कड़ियाँ

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