क्लब सेट

गणित में, विशेष रूप से गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत में, एक क्लब सेट एक सीमा ऑर्डिनल का एक उपसमुच्चय है जो ऑर्डर टोपोलॉजी के तहत बंद सेट है, और सीमा ऑर्डिनल के सापेक्ष अनबाउंड (नीचे देखें) है। क्लब नाम बंद और असीमित का संकुचन है।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, यदि $\kappa$ एक सीमा क्रमसूचक है, फिर एक समुच्चय है $C\subseteq \kappa$ में बंद है $\kappa$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $\alpha <\kappa ,$ अगर $\sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,$ तब $\alpha \in C.$ इस प्रकार, यदि किसी अनुक्रम की सीमा से $C$ मै रुक जाना $\kappa ,$ तो फिर हद भी हो गयी $C.$ अगर $\kappa$ एक सीमा क्रमसूचक है और $C\subseteq \kappa$ तब $C$ में असीमित है $\kappa$ यदि किसी के लिए $\alpha <\kappa ,$ वहाँ कुछ $\beta \in C$ ऐसा है कि $\alpha <\beta .$ यदि कोई सेट बंद और अनबाउंड दोनों है, तो यह एक क्लब सेट है। बंद उचित वर्ग भी रुचिकर हैं (ऑर्डिनल्स का प्रत्येक उचित वर्ग सभी ऑर्डिनल्स के वर्ग में असीमित है)।

उदाहरण के लिए, सभी गणनीय सीमा क्रमादेशों का समुच्चय पहले बेशुमार क्रमादेशकों के संबंध में एक क्लब सेट है; लेकिन यह किसी उच्च सीमा क्रम के संबंध में निर्धारित क्लब नहीं है, क्योंकि यह न तो बंद है और न ही असीमित है। अगर $\kappa$ एक बेशुमार प्रारंभिक क्रमसूचक है, फिर सभी सीमा क्रमसूचकों का समुच्चय $\alpha <\kappa$ बिना सीमा के बंद है $\kappa .$ वास्तव में एक क्लब सेट और कुछ नहीं बल्कि एक सामान्य कार्य की सीमा है (अर्थात बढ़ती और निरंतर)।

अधिक सामान्यतः, यदि $X$ एक अरिक्त समुच्चय है और $\lambda$ तो, यह एक बुनियादी संख्या है $C\subseteq [X]^{\lambda }$ (उपसमुच्चय का समुच्चय $X$ प्रमुखता का $\lambda$) क्लब है यदि प्रत्येक संघ का एक उपसमुच्चय है $C$ में है $C$ और प्रत्येक उपसमुच्चय $X$ कार्डिनैलिटी से कम $\lambda$ के कुछ तत्व में समाहित है $C$ (स्थिर सेट देखें)।

बंद अनबाउंड फ़िल्टर

होने देना $\kappa \,$ बेशुमार सह-अंतिमता की एक सीमा क्रमसूचक बनें $\lambda \,.$ कुछ के लिए $\alpha <\lambda \,$, होने देना $\langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,$ के बंद असंबद्ध उपसमुच्चय का एक क्रम बनें $\kappa \,.$ तब $\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,$ भी असीमित बंद है. इसे देखने के लिए, कोई यह नोट कर सकता है कि बंद सेटों का एक चौराहा हमेशा बंद रहता है, इसलिए हमें बस यह दिखाने की ज़रूरत है कि यह चौराहा असीमित है। तो कोई भी ठीक करो $\beta _{0}<\kappa \,,$ और प्रत्येक n < ω के लिए प्रत्येक में से चुनें $C_{\xi }\,$ तत्व $\beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,$ जो संभव है क्योंकि प्रत्येक असीमित है। चूँकि यह इससे कम का संग्रह है $\lambda \,$ क्रमवाचक, सभी इससे कम $\kappa \,,$ उनकी न्यूनतम ऊपरी सीमा भी इससे कम होनी चाहिए $\kappa \,,$ तो हम इसे कॉल कर सकते हैं $\beta _{n+1}\,.$ यह प्रक्रिया एक गणनीय अनुक्रम उत्पन्न करती है $\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.$ इस क्रम की सीमा वास्तव में अनुक्रम की भी सीमा होनी चाहिए $\beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,$ और प्रत्येक के बाद से $C_{\xi }\,$ बंद है और $\lambda \,$ बेशुमार है, यह सीमा प्रत्येक में होनी चाहिए $C_{\xi }\,,$ और इसलिए यह सीमा ऊपर दिए गए प्रतिच्छेदन का एक तत्व है $\beta _{0}\,,$ जो दर्शाता है कि चौराहा अबाधित है। QED.

इससे पता चलता है कि यदि $\kappa \,$ तो फिर, वह एक नियमित कार्डिनल है $\{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}$ एक गैर-प्रिंसिपल है $\kappa \,$-सेट पर उचित फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) पूरा करें $\kappa$ (अर्थात, पोसेट पर $(\wp (\kappa ),\subseteq )$).

अगर $\kappa \,$ एक नियमित कार्डिनल है तो क्लब सेट भी विकर्ण चौराहे के नीचे बंद हैं।

वास्तव में, यदि $\kappa \,$ नियमित है और ${\mathcal {F}}\,$ क्या कोई फ़िल्टर चालू है $\kappa \,,$ विकर्ण चौराहे के नीचे बंद, जिसमें फॉर्म के सभी सेट शामिल हैं $\{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,$ के लिए $\alpha <\kappa \,,$ तब ${\mathcal {F}}\,$ सभी क्लब सेट शामिल होने चाहिए.

यह भी देखें

• Club filter
• Clubsuit
• Filter (mathematics)
• Filters in topology
• Stationary set

संदर्भ

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Lévy, Azriel (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
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